初中数学北师大版八年级上册第三章 位置与坐标3 轴对称与坐标变化优秀精练

这是一份初中数学北师大版八年级上册第三章 位置与坐标3 轴对称与坐标变化优秀精练，共20页。试卷主要包含了单选题，四象限的角平分线上，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题3.3 轴对称与坐标变化（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．若与互为相反数，则点关于x轴对称点的坐标为（       ）
A． B． C． D．
2．已知点，则和满足（）
A．P1P2//x轴 B． C．P1P2//y轴 D．
3．如图，在一次活动中，位于A处的1班准备前往相距5km的B处与2班会合，那么用方向和距离描述2班相对于1班的位置是（       ）

A．南偏西50°，距离5km B．南偏西40°，距离5km
C．北偏东40°，距离5km D．北偏东50°，距离5km
4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，－3），点B的坐标为（3，－3），下列说法不正确的是（       ）
A．点A在第三象限 B．点B在第二、四象限的角平分线上
C．线段AB平行于x轴 D．点A与点B关于y轴对称
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点，，规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为（       ）

A． B． C． D．
6．若点P（a＋1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（       ）
A． B．
C． D．
7．已知点与点关于某条直线对称，则这条直线是（       ）
A．轴 B．轴
C．过点且垂直于轴的直线 D．过点且平行于轴的直线
8．平面直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标都乘以，纵坐标不变，得到一个图案，下列结论正确的是（　　　）
A．新图案是原图案向下平移了个单位 B．新图案是原图案向左平移了个单位
C．新图案与原图案关于轴对称 D．新图案与原图案形状和大小完全相同
9．已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段沿坐标轴翻折180°后，若点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为（       ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是，则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（       ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则的值是______．
12．已知点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标是_________，点关于轴的对称点的坐标是_________．
13．如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（2，0），则点C的坐标是________．

14．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、，如果以、、为顶点的三角形与全等（点与点不重合），请写出一个符合条件的点的坐标为________．
15．如图，点A，B在直线的同侧，点A到的距离，点B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b．
（1）________；
（2）________．

16．如图，在平面直角坐标系中，点О为坐标原点，点A的坐标为，它关于y轴的对称点为B，则的周长为____________．

17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，在y轴和x轴上分别有两点P、Q，则A，B，P，Q四点组成的四边形的最小周长为__．

18．如图三角形ABC的顶点坐标如下：点A（2，2），B（1，1），C（5，1），若三角形DBC与三角形ABC全等，写出符合条件的点D的坐标：___．

三、解答题
19．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，画出与关于x轴对称的图形．


20．如图，在正方形网格中，是格点三角形．

(1)画出，使得和关于直线对称；
(2)请在直线上找一点（即画出点），使点到点和点的距离之和最小；
(3)求的面积．





21．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)请画出△ABC关于y轴的对称图形△，并写出、两点的坐标；
(2)如果△ABC关于x轴对称的图形是△，请写出，两点的坐标；
(3)若M（x，y）是△ABC内部任意一点，请直接写出这点在△内部的对应点的坐标为 ．


22．如图，在平面直角坐标中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（1.5，0）．
(1) 若△ABC关于y轴对称的图形为△GEF，点G关于x轴的对称点为D，请直接写出以下三点的坐标：E ，F ，D ；
(2) 求∠ABC的度数；
(3) 在（1）的条件下，猜想AC与DF的关系，并证明．


23．操作探究：在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，直线l经过点，并且与x轴平行，与关于线l对称
画出，并写出三个顶点的坐标；
观察图中对应点坐标之间的关系，写出点关于直线l的对称点的坐标．



24．在平面直角坐标系中，若两点关于过原点的一条直线对称，则我们称这两点关于这条直线互为“镜面点”，这条直线叫“镜面直线”．
例如：M（﹣1，2）和M′（1，2）关于y轴对称，则我们称M和M′关于y轴互为“镜面点”，y轴为“镜面直线”．
若已知两点坐标P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则P1、P2之间的距离为．
如M（﹣1，2）和N（3，5）的距离为．
实验与探究：
（1）直线l为∠AOA′角平分线所在的直线，由图观察易知A（0，2）关于直线l的镜面点A′的坐标为（2，0），在图中找出B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点B′、C′的位置，请写出他们的坐标：B′　 　、C′　 　；
归纳与发现：
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为 　 　；（不必证明）
拓展与应用：
（3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出这个和的最小值．






参考答案
1．A
【分析】
先根据相反数的定义得出，再根据二次根式及绝对值的非负性得出关于a、b的方程，求出即可得出M的坐标，再根据关于x轴对称点的坐标的特征求解即可．
解：与互为相反数，
，
，
解得，

点M关于x轴对称点的坐标为，
故选：A．
【点拨】本题考查了相反数的定义，二次根式及绝对值的非负性，关于x轴对称点的坐标的特征，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．C
【分析】
由两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数即可得到两点关于x轴对称，与y轴平行．
解：∵P1(−6，2)，P2(−6，−2)，
∴两个点关于x轴对称，与y轴平行，
故选：C．
【点拨】本题考查了关于坐标轴对称点的坐标的特点，解题的关键是熟记坐标特点．
3．B
【分析】
根据方位角的意义描述即可．
解：根据图示，得到2班相对于1班的位置是南偏西40°，距离5km，
故A，C，D都不符合题意，B符合题意，
故选B．
【点拨】本题考查了方位角和距离描述位置，正确理解方位角的意义是解题的关键．
4．D
【分析】
根据点坐标特征、特殊直线的解析式可以作出判断 ．
解：A、根据点坐标的符号特征，点A在第三象限，正确；
B、第二、四象限的角平分线为y=-x，并且点B坐标符合y=-x，正确；
C、线段AB为y=-3，平行于x轴，正确；
D、与点A关于y轴对称的点为（2，-3），错误；
故选D．
【点拨】本题考查点坐标的应用，熟练掌握点坐标特征及特殊直线的解析式是解题关键．
5．D
【分析】
根据正方形ABCD的顶点A（1，-1），B（3，-1），可得AB＝BC＝2，C（3，-3），先求出前几次变换后正方形ABCD的中心的坐标，根据变化规律求解即可．
解：∵正方形ABCD的顶点A（1，-1），B（3，-1），
∴AB＝BC＝2，
∴C（3，-3），正方形ABCD的中心的坐标为（2，-2）
一次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为（-2，-3），
二次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为（2，-4），
三次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为（-2，﹣5），
…，
通过观察得：翻折次数为奇数时正方形ABCD的中心的横坐标为﹣2，翻折次数为偶数时正方形ABCD的中心的横坐标为2，变换一次，正方形ABCD的中心的纵坐标向下移一个单位，
∵2022是偶数，
∴正方形ABCD的中心的横坐标为2，其纵坐标为-2﹣2022×1＝﹣2024．
∴经过2021次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（2，﹣2024）．
故选：D．
【点拨】本题考查了坐标与图形变化﹣对称、规律型﹣点的坐标、坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握对称性质和平移的性质．
6．C
【分析】
由P点关于x轴的对称点在第四象限，得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
解：∵点P（a+1，2-2a）关于x轴的对称点在第四象限，
∴点P在第一象限，
∴，
解得：-1＜a＜1，
在数轴上表示为：
，
故选：C．
【点拨】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据题意得出不等式组是解此题的关键．
7．C
【分析】
由题意PQ∥x轴，所以过PQ中点且垂直于x轴的直线即为所求的直线，然后根据选项内容进行判断．
解：∵点，点
∴PQ∥x轴，
设PQ的中点为M
则M点坐标为，即
∴点与点关于经过点且垂直于轴的直线对称
故选项A，B，D错误；
又∵在这条直线上，
∴选项C符合题意
故选：C．
【点拨】本题考查点的坐标及轴对称，掌握轴对称的性质，利用数形结合思想解题是关键．
8．D
【分析】
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
解：∵图案上各个顶点的横坐标都乘以−1，纵坐标不变，
∴原图形各点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，
∴新图案与原图案形状和大小完全相同．
故选：D．
【点拨】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
9．C
【分析】
根据点A，点A'坐标可得点A，点A'关于y轴对称，即可求点B'坐标．
解：∵将线段AB沿坐标轴翻折后，点A（1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3），
∴线段AB沿y轴翻折，
∴点B关于y轴对称点B'坐标为（-2，1）
故选：C．
【点拨】本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．
10．C
【分析】
观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，
点A第二次关于x轴对称后在第三象限，
点A第三次关于y轴对称后在第四象限，
点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2021÷4＝505余1，
∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（−1，2）．
故选：C．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
11．7
【分析】
根据关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求得a、b的值即可求得答案．
解：点与点关于轴对称，
，，
∴2a+b=2×3+1=7，
故答案为7．
【点拨】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解此类问题的关键．
12．         
【分析】
根据平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，易得答案．
解：∵点的坐标为，
∴点关于轴的对称点的坐标是；
点关于轴的对称点的坐标是；
故答案为：；；
【点拨】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13．
【分析】
根据点的坐标建立坐标系，再确定坐标．
解：如图所示：

点C的坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）．
【点拨】本题考查了坐标系及其点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．
14．（2，3）或（5，3）或（5，-5）
【分析】
由于AB公共，所以△ABC与△ABP全等时可分两种情况进行讨论：①△ABC≌△ABP，此时P与C关于直线AB对称；②△ABC≌△BAP，③△ABC≌△BA，画出图形易得点P的坐标．
解：如图，分三种情况：

①△ABC≌△ABP，此时P与C关于直线AB对称，点P的坐标为（2，3）；
②△ABC≌△BAP，点P的坐标为（5，3）．
③△ABC≌△BA，点P的坐标为（5，-5）．
故答案为（2，3）或（5，3）或（5，-5）
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，坐标与图形性质，难度适中．利用分类讨论与数形结合是解题的关键．
15．         
【分析】
作点A关于直线MN的对称点A，连接AB交直线MN于点P，过点A作直线AE⊥BD的延长线于点E，再根据勾股定理求出AB的长就是PA＋PB的最小值；延长AB交MN于点P，此时PA−PB＝AB，由三角形三边关系可知AB＞|PA−PB|，故当点P运动到P点时|PA−PB|最大，作BE⊥AM，由勾股定理即可求出AB的长就是|PA−PB|的最大值．进一步代入求得答案即可．
解：如图，

作点A关于直线MN的对称点A，连接AB交直线MN于点P，
则点P即为所求点．
过点A作直线AE⊥BD的延长线于点E，则线段AB的长即为PA＋PB的最小值．
∵AC＝8，BD＝5，CD＝4，
∴AC＝8，BE＝8＋5＝13，AE＝CD＝4，
∴AB＝，
即PA＋PB的最小值是a＝．
如图，

延长AB交MN于点P，
∵PA−PB＝AB，AB＞|PA−PB|，
∴当点P运动到P点时，|PA−PB|最大，
∵BD＝5，CD＝4，AC＝8，
过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝4，AE＝AC−BD＝8−5＝3，
∴AB＝＝5．
∴|PA−PB|＝5为最大，
即b＝5，
∴a2−b2＝185−25＝160．
故答案为：160．
【点拨】本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类问题的关键．
16．36
【分析】
根据勾股定理求得OA，根据对称得到OA=OB，AB，计算周长即可．
解：如图，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，
∵点A的坐标为，
∴AC=12，OC=5，
∴AO==13，
∵它关于y轴的对称点为B，

∴点B的坐标为，
∴AB=10，OB=OA=13，
∴的周长,10+13+13=36，
故答案为：36．
【点拨】本题考查了坐标系的关于y轴对称，勾股定理，三角形的周长，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标的特点，灵活用勾股定理是解题的关键．
17．##
【分析】
作点A关于y轴的对称点C，点B关于x轴的对称点D，连接CD交y轴于P，交x轴于Q，则此时，四边形APQB的周长最小，且四边形的最小周长=AB+CD，根据两点间的距离公式即可得到结论．
解：作点A关于y轴的对称点C，点B关于x轴的对称点D，连接CD交y轴于p，交x轴于Q，则此时，四边形APQB的周长最小，且四边形的最小周长=AB+CD，
∵点A的坐标是(2，4)，点B的坐标是(6，2)，
∴C(-2,4)，D(6，-2)，
∵AB=，CD=，
∴四边形APQB的最小周长=10+，
故答案为：10+．

【点拨】本题考查了坐标与图形性质，轴对称-最短路径问题，两点间的距离公式，正确的确定点P和点Q的位置是解题的关键．
18．（2，0）或（ 4，0）或（4，1）或（2，2）．
【分析】
依据以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，可知两个三角形有公共边BC，运用对称性即可得出所有符合条件的点D坐标．
解：如图所示，
当△BCD与△BCA关于BC对称时，点D坐标为（2，0），
当△BCA与△CBD关于BC的中点对称时，点D坐标为（ 4，0），
△BCA与△CBD关于BC的中垂线对称时，点D坐标为（4，1），
当D与A重合时，点D坐标为（2，2），
故答案为：（2，0）或（ 4，0）或（4，1）或（2，2）．

【点拨】本题主要考查了利用轴对称变换构建全等三角形，解题时注意，成轴对称的两个三角形或成中心对称的两个三角形全等．
．
19．见分析
【分析】
先求出A、B、C关于x轴对称点D、E、F的坐标，再在坐标系中描出这些点，然后连接DE、EF、FD即可．
解：A(-4,1)关于x轴对称点D(-4,-1)，B(-1,-1)关于x轴对称点E(-1,1)，C(-3,2)关于x轴对称点F(-3,-2)，
在坐标系中描出点D(-4,-1)，E(-1,1)，F(-3,-2)，
连接DE、EF、FD，
如图所示，△DEF就是△ABC关于x轴对称的图形．

【点拨】本题考查了利用轴对称性质坐标作图，熟练掌握关于坐标轴对称点的坐标变换特征是解题的关键．
20．(1)见分析(2)见分析(3)3
【分析】
（1）先分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）连接，线段与直线的交点即为所求；
（3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可．
（1）解：如下图所示，△即为所求；
（2）解：如下图所示，点即为所求；
（3）解：△的面积为．

【点拨】本题主要考查了作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质及正确作出图形，结合图形求解．
21．(1)图见分析，（-3，2），（-2，0）(2)（3，－2），（0，－3）(3)（x，y）
【分析】
（1）先作出作A、B、C三点关于y轴的对应点，再顺次连接各点，进而即可写出、两点的坐标；
（2根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数即可写出，两点的坐标；
（3）根据△ABC关于y轴的对称图形是△得M（x，y）与点关于y轴对称，从而即可写出点的坐标．
（1）解：如图，△为所求作的三角形，（-3，2），（-2，0）；
（2）解：∵△ABC关于x轴对称的图形是△，A(3，2)，C(0，3)，∴（3，－2），（0，－3）；
（3）解：∵△ABC关于y轴的对称图形是△，M（x，y），∴（x，y）．
【点拨】本题考查的是作简单平面图形关于对称轴对称的图形以及根据关于对称轴对称的图形的性质，基本作法是①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点，熟记关于坐标轴对称的图形的性质是解题的关键．
22．(1)，，(2)45°(3)，，证明见分析
【分析】
（1）根据点的坐标关于谁对称，谁不变，不关谁对称，谁全变的特点求解即可；
（2）过点A，作轴，交于点H，利用两点间的距离求出，，即可得；
（3）根据轴对称的性质可知：，，，，可得， ，．
(1)解：∵△ABC关于y轴对称的图形为△GEF，，，，
∴，，，
∵点G关于x轴的对称点为D，
∴，
∴，，，
故答案为：，，；
(2)解：过点A，作轴，交于点H，

∵，，，
∴
∴，，
∴．
(3)解：，，
作△ABC关于y轴对称的图形为△GEF，作△GEF关于x轴对称的图形为△DEF，点G、点D关于x轴对称，

根据轴对称的性质可知：
，，，，
∴， ，
∴．
【点拨】本题考查轴对称的性质，点到坐标轴的距离，平行线的判定，解题的关键是掌握轴对称的性质，理解点的坐标关于x轴对称，y轴对称的特点．
23．（1），，，见分析；（2）点关于直线l的对称点的坐标．
【分析】
分别作出A，B，C的对应点，，即可解决问题；
探究规律利用规律对应点的横坐标不变，纵坐标的和为即可解决问题；
解：（1）如图所示，，；

点关于直线l的对称点的坐标．
【点拨】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会探究规律利用规律解决问题，属于中考常考题型．
24．（1）（3，5）、（5，﹣2）；（2）（b，a）；（3）图见分析，
【分析】
（1）求得线段AA′的中点，然后根据待定系数法求得镜面直线，进而即可求得B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标即可得出结论；
（3）求得E点关于直线l的镜面点E′，连接DE′，交直线l于点Q，Q点即为所求．
解：（1）设镜面直线的解析式为y＝kx，
∵A（0，2），A′（2，0），
∴线段AA′的中点为（1，1），
∵镜面直线经过原点和（1，1），
∴镜面直线为y＝x，
∵B（5，3）、C（﹣2，5），
∴B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点B′（3，5）、C′（5，﹣2），
故答案为：B′（3，5）、C′（5，﹣2）；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，会发现：平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为（b，a）；
故答案为：（b，a）；
拓展与应用：
（3）∵E（﹣1，﹣4），平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为（b，a）；
∴E点关于直线l的镜面点E'的坐标为（﹣4，﹣1），
∵D（1，﹣3），
∴DE′＝＝，
∴点Q到D、E两点的距离之和的最小值为：．

【点拨】本题考查了轴对称−最短路线问题，勾股定理的应用，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．