人教B版高考数学一轮总复习第1章第1节集合学案

第1节　集合

一、教材概念·结论·性质重现

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、维恩图法．

(4)常见数集的记法

2．集合间的基本关系

与子集有关的性质

(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个．

(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.

(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.

3．集合的基本运算

集合的运算性质

(1)并集的性质：A∪∅＝∅∪A＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.

(2)交集的性质：A∩∅＝∅∩A＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.

(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × )

(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0或1.( × )

(3)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( × )

(4)含有n个元素的集合有2n个真子集．( √ )

(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( × )

(6)若a属于集合A，则可用符号表示为a⊆A.( × )

2．(2020·潍坊市高三上期中)已知U＝{2,4,6,8,10}，A＝{4,6,8}，B＝{6,10}，则下列结论正确的是(　　)

A．B⊆A B．A∪B＝{6}

C．A∩B＝{4,8,10} D．∁UA＝{2,10}

D　解析：由于A，B没有包含关系，故A错；A∪B＝{4,6,8,10}，A∩B＝{6}，故B，C错；∁UA＝{2,10}，故D正确．

3．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下面结论中正确的是(　　)

A．{a}⊆A B．a⊆A

C．{a}∈A D．a∉A

D　解析：因为2不是自然数，所以a∉A.

4．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0<x≤4}，则A∪B＝(　　)

A．[－1,4] B．(0,3]

C．(－1,0]∪(1,4] D．[－1,0]∪[1,4]

A　解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤4}．

5．若{x|ax＋1＝0}⊆{x|x2－1＝0}，则实数a的值为________．

0或－1或1　解析：{x|x2－1＝0}＝{－1,1}．

当a＝0时，{x|ax＋1＝0}＝∅，

满足{x|ax＋1＝0}⊆{x|x2－1＝0}．

当a≠0时，{x|ax＋1＝0}＝.

由题意知，－＝1或－1，此时a＝－1或1.

综上所述，a的值为0或－1或1.

考点1　集合的概念——基础性

1．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)

A．   B． 

C．0 D．0或

D　解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.故选D.

2．(2020·长沙市长郡中学高三)集合中含有的元素个数为

(　　)

A．4 B．6

C．8 D．12

B　解析：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，所以集合中的元素为1,2,3,4,6,12.故选B.

3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　)

A．1 B．－1 

C．2 D．－2

C　解析：因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.故选C.

4．已知P＝{x|2<x<k，x∈N}．若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为________．

(5,6]　解析：因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为(5,6]．

与集合中的元素有关问题的求解思路

(1)确定集合的元素特征，即集合是数集还是点集．

(2)看清元素的限制条件．

(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，但要检验参数是否满足集合元素的互异性．

考点2　集合的基本关系——综合性

(1)设全集U＝R，则集合M＝{0,1,2}和N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}的关系可表示为

(　　)

(2)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}．若B⊆A，则m的取值范围为________．

(1)A　解析：因为N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}＝{1,2}，M＝{0,1,2}，所以N是M的真子集．故选A.

(2)(－∞，1]　解析：当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.

当m>0时，A＝{x|－1<x<3}，

若B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，

所以所以0<m≤1.

综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．

1．若本例(1)中M不变，则满足NM的集合N的个数为(　　)

A．2　　　 B．3　　　

C．7　　　 D．8

C　解析：因为M＝{0,1,2}，NM，所以N＝{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，∅，共7个．

2．若本例(2)中，把条件“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．

[3，＋∞)　解析：若A⊆B，由得m≥3，所以m的取值范围为

[3，＋∞)．

1．判断两集合关系的方法

(1)列举法：先用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．

(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需对表达式变形、化简，再寻求两个集合间的关系．

2．根据两集合的关系求参数的方法

已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．

(1)若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性．

(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需检验端点值能否取到．

1．(2021·八省联考)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝

(　　)

A．∅ B．M 

C．N D．R

B　解析：因为∁RM⊆N，所以M⊇∁RN，据此可得M∪(∁RN)＝M.

2．(2020·哈尔滨市高三调研)已知集合A＝{0,1}，B＝{0,1,2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为(　　)

A．4 B．3 

C．2 D．1

A　解析：由A∪C＝B可知集合C中一定有元素2，所以符合要求的集合C有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}，共4种情况．故选A.

3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}．若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

[－2,2)　解析：若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，

解得－2＜m＜2.

若1∈B，则12＋m＋1＝0，

解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意．

若2∈B，则22＋2m＋1＝0，

解得m＝－，此时B＝，不符合题意．

综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．

考点3　集合的运算——应用性

考向1　集合的运算

(1)(2020·泰安一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是(　　)

A．[－1,1]

B．(－3,1]

C．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)

D．(－3，－1)

D　解析：阴影部分表示M∩∁UN.由U＝R，N＝{x||x|≤1}，可得∁UN＝{x|x<－1或x>1}．又M＝{x|－3<x<1}，所以M∩∁UN＝{x|－3<x<－1}．故选D.

(2)若集合A＝{x|2x2－9x＞0}，B＝{y|y≥2}，则A∩B＝________，(∁RA)∪B＝________.

　[0，＋∞)　解析：因为A＝{x＝，所以∁RA＝.又B＝{y|y≥2}，所以A∩B＝，(∁RA)∪B＝[0，＋∞)．

已知全集U＝{1,3,5,7}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则如图所示的阴影区域表示的集合为(　　)

A．{3}　　　　　　　　　　 B．{7}

C．{3,7}　　　　　　　　　 D．{1,3,5}

B　解析：由题图可知，阴影区域为∁U(A∪B)．由并集的概念知，A∪B＝{1,3,5}．又U＝{1,3,5,7}，于是∁U(A∪B)＝{7}．故选B.

集合基本运算的方法技巧

考向2　集合运算的应用

(1)(2020·岳阳市高三质量检测)已知集合A＝{x|x－1≤0}，B＝{x|x≥a}．若A∪B＝R，则实数a的值不可以为(　　)

A．2  　　 B．1  　　

C．0  　　 D．－2

A　解析：因为A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}且A∪B＝R，所以a≤1, 所以a的值不可以为2.故选A.

(2)(2020·南昌适应性测试)已知集合M＝{x|0<x<5}，N＝{x|m<x<6}．若M∩N＝{x|3<x<n}，则m＋n等于(　　)

A．9  　　 B．8  　　

C．7  　　 D．6

B　解析：因为M∩N＝{x|0<x<5}∩{x|m<x<6}＝{x|3<x<n}，所以m＝3，n＝5.因此m＋n＝8.故选B.

根据集合的运算结果求参数的值或范围的方法

(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．

(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．

(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．

1．设集合A＝{x∈N|5－x≥0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，则∁AB＝(　　)

A．{0,3,4} B．{0,3,4,5}

C．{3,4} D．{3,4,5}

B　解析：因为集合A＝{x∈N|5－x≥0}＝{x∈N|x≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，所以∁AB＝{0,3,4,5}．故选B.

2．(2021·潍坊一中月考)已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|y＝lg(x－2)}，则A∩(∁RB)＝(　　)

A．(2,4) B．(－2,4) 

C．(－2,2) D．(－2,2]

D　解析：B＝{x|y＝lg(x－2)}＝{x|x>2}，

所以∁RB＝{x|x≤2}．

所以A∩(∁RB)＝{x|－2<x≤2}＝(－2,2]．

故选D.

3．(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)

A．2 B．3 

C．4 D．6

C　解析：由题意，A∩B中的元素满足

且x，y∈N*.由x＋y＝8≥2x，得x≤4，

所以满足x＋y＝8的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，

故A∩B中元素的个数为4.

4．(多选题)已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x＜0}，则(　　)

A．M∩N＝N B．M∩(∁UN)≠∅

C．M∪N＝U D．M⊆∁UN

AB　解析：由题意知M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜1}，所以M∩N＝N.又∁UN＝{x|x≤0或x≥1}，所以M∩(∁UN)＝{x|x≤0}≠∅，M∪N＝{x|x＜1}＝M，M⃘(∁UN)．故选AB.

全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，则集合A＝________，B＝________.

[四字程序]

思路参考：将集合用维恩图表示出来，进行观察，写出集合A，B.

{1,3,9}　{2,3,5,8}　解析：根据题意作出维恩图，如图所示，

由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．

思路参考：直接根据集合运算的含义分析求解．

{1,3,9}　{2,3,5,8}　解析：因为(∁UB)∩A＝{1,9}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，所以∁UB＝{1,4,6,7,9}．

又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，

所以B＝{2,3,5,8}．

因为(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，

所以A＝{1,3,9}．

1．有限集的混合运算涉及交、并、补及其关系问题，常用维恩图法处理．

2．涉及有交叉集合的元素个数问题往往用维恩图法处理较为方便．

3．基于新课程标准，对于集合问题，要熟练掌握基本概念，数学阅读技能、推理能力和表达能力，体现了数学抽象、直观想象、逻辑推理的数学素养．

某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为(　　)

A．17 B．18 

C．19 D．20

B　解析：记全集U为该班全体同学，喜欢篮球运动的记作集合A，喜欢乒乓球运动的记作集合B，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球运动的记作A∩∁UB(如图)，有18人．