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第5讲 邻补角、对顶角及垂直（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）
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第5讲 邻补角、对顶角及垂直
模块一：邻补角的意义和性质
知识精讲
平面上两条不重合直线的位置关系
相交：两条直线有一个交点；
平行：两条直线没有交点．
2、邻补角的意义
两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．
3、邻补角的性质
互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
例题解析
例1．（2018·上海七年级零模）已知，∠B与∠A互为邻补角，且∠B=2∠A，那么∠A为________度．
【答案】60
【分析】设，则，然后根据领补角的定义进行求解即可．
【详解】解：设，则
根据题意得，，解得：，∴，故答案为：60．
【点睛】本题主要考查领补角的定义及一元一次方程的解法，熟练掌握领补角的定义及一元一次方程的解法是解题的关键．
例2．（2019·上海浦东新区·七年级期末）互为邻补角的两个角的大小相差，这两个角的大小分别为_____________
【答案】
【分析】设其中一个角为x，则根据邻补角的定义得另一个角为，再根据两个角的大小相差，列出方程，解方程即可
【详解】解：设其中一个角为x，则另一个角为，
∵两个角的大小相差，∴或
∴或，∴或，故答案为：
【点睛】本题考查了邻补角的定义和解一元一次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键
例3．（2018·上海七年级期中）如果两个角互为邻补角，其中一个角为65°，那么另一个角为______度．
【答案】115
【分析】根据邻补角互补即可得到结论．
【详解】解：由题意得，180°-65°=115°， 答：另一个角为115°， 故答案为115．
【点睛】本题考查了邻补角，熟记邻补角互补是解题的关键．
例4.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD =35°，则∠AOC=___________；
∠BOD=_________；∠BOC=______________．
【难度】★
【答案】，，．
【解析】和互为邻补角，
和，和互为邻补角．
【总结】考察邻补角的定义．
例5.经过两点可以画_______________条直线，两条直线相交，有且只有_________个交点．
【难度】★
【答案】1，1．
【解析】考察两点确定一条直线以及相交的意义 ．
例6.如图，∠BOF的邻补角是（）．
A．∠AOEB．∠AOF和∠BOEC．∠AOBD．∠BOE和∠DOF
【难度】★
【答案】B
【解析】考察邻补角的意义．
例7.把下图中邻补角分别写出来．
【难度】★
【答案】和，和，和，和，和．
【解析】考察邻补角的意义
例8.已知∠1=∠2，∠1与∠3互余，∠2与∠4互补，则∠3___________∠4．
【难度】★
【答案】<．
【解析】（互余的意义），（互补的意义），
又（已知）， （等式性质）．
（等式性质）， ．
【总结】考察互余，互补的概念以及利用简单的运算比较大小．
例9.已知，AB与CD相交于O点，若∠AOD比∠AOC大40°，则∠BOD=________，若∠AOD=2∠AOC，则∠BOD=________，若∠AOD=∠AOC，则∠BOD=________．
【难度】★
【答案】．
【解析】设，则，（邻补角的意义），
解得：，所以， 所以（邻补角的意义）；
设，则解得：，
所以，所以（邻补角的意义）；
设，则，解得：，所以．
【总结】考察平角的意义以及邻补角的定义．
例10.如图所示，O是直线AB上任意一点，以O为端点任意做一条射线OC，且OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度数．
【难度】★★
【答案】．
【解析】因为平分，平分（已知）
所以，（角平分线的意义）
因为（平角的意义）
所以（等量代换）
所以（等式性质）
即
【总结】主要考察平角的意义，角平分线的意义的综合运用．
例11.如图，射线OA、OB、OC、OD有公共端点O，且∠AOB=90°，∠COD=90°，∠AOD=∠BOC，求∠BOC的度数．
【难度】★★
【答案】．
【解析】因为∠AOD=∠BOC， 所以设，则．
因为（周角的意义）
又∠AOB=90°，∠COD=90°（已知）
所以（等式性质） 解得：， 即．
【总结】考察周角的概念，以及利用设未知数的思路求解角的度数．
例12.（1）已知∠1和∠2互为邻补角，且∠1比∠2的3倍大20°，求∠1和∠2的度
数；
（2）一个角的补角比这个角的余角的2倍大15°，求这个角的度数．
【难度】★★
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）因为∠1和∠2互为邻补角， 所以（邻补角的意义）．
因为 （已知）， 所以（等量代换），
所以，（等式性质）；
（2）设这个角为，则根据题意可得：，
解得：， 即这个角的度数为．
【总结】考察补角，余角以及邻补角的概念及其综合运用．
例13.如图，直线AB、CD相交于点O，且∠AOC=54°，∠1比∠2小10°，求∠1、∠2的度数．
【难度】★★
【答案】，．
【解析】因为直线AB、CD相交于点O（已知），
所以（对顶角相等）．
设，则， 故， 解得：，
所以， 即，．
【总结】考察对顶角的意义及角的和差的综合运用．
例14.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，且∠AOF=3∠BOF，∠AOC=90°，
求∠COE的度数；
说明OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线的理由．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）略．
【解析】（1）因为（邻补角的意义）
又（已知）
所以（等量代换）
所以（等式性质）
因为直线AB、EF相交于点O（已知）
所以（对顶角相等）
因为（已知）
所以（等式性质）
（2）因为，（已知）
所以（等式性质）
所以（等量代换）
因为（对顶角相等）
所以（等量代换）
同理
所以OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线（角平分线的意义）
【总结】考察邻补角的意义，角平分线的意义以及相应的计算，综合性较强，注意认真分析题目中的条件．
模块二：对顶角的意义和性质
知识精讲
1、对顶角的意义
两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关
系的两个角叫做互为对顶角．
2、对顶角的性质
对顶角相等．
例题解析
例1．（2019·上海浦东新区·七年级期中）下列说法：
①对顶角相等；
②相等的两角一定是对顶角；
③如果两个角不是对顶角，那么它们一定不相等；
其中正确的说法有( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据对顶角的定义以及性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：①对顶角相等，正确；
②相等的两个角是一定对顶角，错误；
③如果两个角不是对顶角，那么它们一定不相等；错误；故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角的定义以及对顶角相等的性质，是基础题，掌握概念与性质是解题的关键．
例2．（2019·上海市嘉定区震川中学七年级期中）在下列四个选项中的图形中，∠1与∠2是对顶角的图形是( ).
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据对顶角的定义，对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此即可判断．
【详解】解：根据对顶角的定义可得，四个图形中C中∠1与∠2为对顶角．故答案为：C．
【点睛】本题考查了对顶角的定义，理解定义是解题的关键.
例3.下列说法中，正确的是()
有公共顶点的两个角是对顶角
对顶角一定相等
有一条公共边的两个角是邻补角
互补的两个角一定是邻补角
【难度】★
【答案】B
【解析】错误，有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角才叫做互为对顶角；正确；错误，有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线；错误，互补的两个角不一定是邻补角．
【总结】考察邻补角和对顶角的概念．
例4.把下图中对顶角分别写出来．
【难度】★
【答案】和，和．
【解析】考察对顶角的定义．
例5.（1）如果以点O为端点画四条射线OA、OB、OC、OD，且OA、OC， OB、OD互为反向延长线，那么∠AOB和∠COD互为_________；
（2）如果以点O为端点画三条射线OA、OB、OC，且射线OA、OC互为反向延长线，那么∠AOB和∠COB互为_________．
【难度】★
【答案】对顶角，邻补角．
【解析】考察对顶角和邻补角的定义．
例6.如图，共有对顶角（）
A．4对B．5对C．6对D．8对
【难度】★
【答案】D
【解析】和，和，和，和，和，
和，和，和均互为对顶角．
【总结】本题主要考察对顶角的概念．
例7.下列说法：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③如果两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角；④如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等．其中正确的说法是（）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【难度】★★
【答案】B
【解析】（1）正确；（2）错误，相等的角不一定是对顶角；（3）正确，对顶角一定是相等的，
（4）错误，不是对顶角也可以相等．
【总结】主要考察学生对对顶角的理解，相等的角不一定是对顶角，但对顶角一定相等，不是对顶角的两个角也可以相等．
例8.a、b、c两两相交，∠1=60°，∠2：∠4=3:2，求∠3和∠5的度数．
【难度】★★
【答案】，．
【解析】因为（对顶角相等），（已知）
所以（等量代换）
因为（已知）， 所以（等式性质）
因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）
因为（邻补角的意义）， 所以（等式性质）
【总结】考察邻补角和对顶角的意义及综合运用．
例9.如图，直线AB、CD交于点O，则（1）若∠2=3∠1，则∠1=__________；
（2）若∠2：∠3=4：1，则∠2=__________；（3）若∠2∠1=100°，则∠3=__________．
【难度】★★
【答案】，，．
【解析】（1）因为（邻补角的意义）， 又（已知）
所以（等量代换）， 所以（等式性质）；
（2）因为（邻补角的意义），∠2：∠3=4：1（已知）
所以设，， 则（等量代换），
解得：，（等式性质）， 即；
因为（邻补角的意义），∠2∠1=100°（已知）
所以，（等式性质）， 所以（对顶角相等）
【总结】考察学生对于邻补角知识点的掌握，同时还考察学生对于二元一次方程组的计算，设未知数列式计算等．
例10.a、b、c交于点O，两条直线相交，∠2=∠1，∠3：∠1=8:1，求∠4的度数
【难度】★★
【答案】．
【解析】设，则， 故，
解得：（等式性质）， 所以．
所以（对顶角相等）
【总结】考察学生对邻补角和对顶角的意义及综合运用．
例11.已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2：∠1=4:1，求∠AOF的度数．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】因为OE平分∠BOD（已知）
所以（角平分线的意义）
设，则，，
因为（平角的意义）， 所以（等式性质）
即， 所以（邻补角的意义）．
因为OF平分∠COE（已知）， 所以（角平分线的意义）
所以（等式性质）
因为（角的和差）
所以（等式性质）
因为（邻补角的意义）
所以（等式性质）
【总结】考察学生对邻补角，角平分线的意义的概念的理解以及简单的运算，综合性较强，注意认真分析条件．
例12．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）观察图形，回答下列各题：
（1）图A中，共有＿＿＿＿对对顶角；
（2）图B中，共有＿＿＿＿对对顶角；
（3）图C中，共有＿＿＿＿对对顶角；
（4）探究（1）--（3）各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成＿＿＿＿＿＿＿＿对对顶角；
【答案】（1）2对；（2）6对；（3）12对；（4）n(n-1) (n≥2).
试题分析：（1）图A中，共有2对对顶角；（2）图B中，共有6对对顶角；（3）图C中，共有12对对顶角；（4）找出对顶角的对数与直线的条数n之间的关系式为：n（n－1）（n≥2）.
试题解析：
（1）2对；
（2）6对；
（3）12对；
（4）2条直线相交时，对顶角对数为：1×2=2对；
3条直线相交时，对顶角对数为：3×2=6对；
4条直线相交时，对顶角对数为：4×3=12对；
…
n条直线相交时，对顶角对数为：n（n－1）（n≥2）对.
点睛：本题关键在于找出直线的条数与对顶角对数的关系式.
模块三：垂线(段)的意义和性质
知识精讲
1、垂线的意义
如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
2、垂直的符号
记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”．
注：垂直是特殊的相交．
垂直公理：
在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直
中垂线
过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．
垂线段的性质
联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线
上，那么就说这个点到直线的距离为零．
例题解析
例1.“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”中这一点的位置（）
A．在直线的上方B．在直线的下方C．在直线上D．可以任意位置
【难度】★
【答案】D
【解析】考察对垂直公理的理解及运用．
例2.如图，OA⊥OB于O，直线CD经过点O，∠AOD=35°，则∠BOC=_______．
【难度】★
【答案】．
【解析】（已知）
（垂线的意义）
（已知）
（互余）
（邻补角的意义）
【总结】考察垂线的意义以及互余的意义及综合运用．
例3.下列说法中正确的是（）
A．有且只有一条直线垂直于已知直线
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离
C．互相垂直的两条线段一定相交
D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm
【难度】★★
【答案】D
【解析】A错误，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； B错误，垂线段的长度；
C错误，互相垂直的两条直线一定相交； D正确．
【总结】考察垂直公理，点到直线的距离以及垂线段的性质等内容．
例4.列说法正确的个数是（）
直线上或直线外一点，都能且只能画这条直线的一条垂线；②过直线上一点和
直线外一点B的直线，使它与直线垂直；③从直线外一点作这条直线的垂线段，叫做
这个点到这条直线的距离；④过直线外一点画这条直线的垂线段，垂线段的长度叫做这
点到这条直线的距离.
A．1B．2C．3D．4
【难度】★★
【答案】C
【解析】（1）错误，在同一平面内；（2）错误；（3）错误，点到直线的距离是指垂线段的长度，故选C．
【总结】考察学生对基本概念的理解．
例5．（2018·上海松江区·七年级期中）如图，已知，根据下列语句画图．
（1）过点作，垂足为；
（2）过点作，交于点；
（3）点到直线的距离是线段_______的长度．
【答案】（1）见解析．（2）见解析．（3）．
【分析】（1）根据垂线的定义画出直线AD即可；
（2）根据平行线的定义画出直线DE即可；
（3）根据点到直线的距离判断即可．
【详解】（1）如图，直线AD即为所求
（2）如图，直线DE即为所求
（3）点到直线的距离是线段CD的长度．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、平行线的判定及性质、点到直线的距离，熟练掌握垂线、平行线、点到直线的距离的定义是解题的关键．
例6．（2019·上海市浦东新区建平中学南校七年级期中）按下列要求画图并填空：如图，
（1）过点A画直线BC的平行线AD；
（2）过点B画直线AD的垂线段，垂足为点E；
（3）若点B到直线AD的距离为4，BC=2，则=________．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）4
【分析】（1）根据平行线的画法画出即可；
（2）根据垂线的画法画出即可；
（3）根据平行线间的距离处处相等得出三角形ABC的高为4cm，再根据三角形的面积公式即可求出．
【详解】解：（1）如图:AD即为所求
（2）如图: BE即为所求
（3）因为BC//AD,所以三角形ABC的高为4cm；
所以；故答案为：4
【点睛】本题考查了基本作图的知识以及三角形的面积公式，正确的作出图形是解答第（3）题的关键，难度不大．
例7.（2019·上海七年级单元测试）如图所示，点P是∠ABC内一点．
(1)画图：①过点P画BC的垂线，垂足为D；②过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P画AB的平行线交BC于点F．
(2)∠EPF等于∠B吗?为什么?
【答案】（1）图形见解析（2）∠EPF＝∠B
试题分析:（1）①过点P作BC的垂线，D是垂足；②过点P作BC的平行线交AB于E，过点P作AB的平行线交BC于F；
（2）根据平行线的性质可得∠AEP＝∠B，∠EPF＝∠AEP然后利用等量代换得到结论即可．
解:如图所示，(1)①直线PD即为所求；②直线PE、PF即为所求．
(2)∠EPF＝∠B，理由：因为PE∥BC(已知)，所以∠AEP＝∠B(两直线平行，同位角相等)．又因为PF∥AB(已知)，所以∠EPF＝∠AEP(两直线平行，内错角相等)，∠EPF＝∠B(等量代换)．
点睛:本题考查了平行线和垂线的画法及平行线的性质,熟练掌握两直线平行同位角相等,两直线平行内错角相等是解答本题的关键.
例8.如图，点A到直线BC的距离是线段_______的长；线段CH的长表示点C到直线________的距离；点A到点C的距离是线段_________长．
【难度】★★
【答案】AE，AD，AC．
【解析】考察点到直线的距离的概念的理解及运用．
例9.如图,AC⊥BC，C为垂足，CD⊥AB，D为垂足，BC=8，CD=4.8，BD=6.4，AD=3.6，AC= 6，那么点C到AB的距离是_______，点A到BC的距离是________，点B到CD 的距离是_____，A、B两点的距离是_________．
【难度】★★
【答案】4.8，6，6.4，10．
【解析】点C到AB的距离是线段CD的长，即4.8；点A到BC的距离是线段AC的长，
即6；点B到CD 的距离是线段BD的长，即6.4；A、B两点的距离是线段AB的长，
即10．
【总结】考察点到直线的距离的内容．
例10.作图题：
过点P分别画直线a、b的垂线，垂足分别为M、N．
【难度】★★
【答案】
【解析】考察垂线的画法
例11.按下列要求画图并填空：
（1）过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D，那么点B到直线AC的距离是线段_________的长．
（2）用直尺和圆规作出△ABC的边AB的垂直平分线EF，交边AB、AC于点M、N，联结CM．那么线段CM是△ABC的___________．（保留作图痕迹）
【难度】★★
【答案】（1）；（2）边上的中线
【解析】考察垂线的画法．
例12.一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的两个学校；
（1）汽车行驶时，会对公路两旁的学校都造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大?在图中标出来．
（2）当汽车由A向B行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大?越来越小?对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大?
【难度】★★★
【解析】（1）如下图所示，到C点时对M影响最大，
到D点时对N影响最大；
（2）由A向C时，对两学校影响逐渐增大；
由D向B时，对两学校影响逐渐减小；由C向D时，对M影响减小，对N影响增大．
【总结】本题主要考察对点到直线的距离的概念的理解及在实际问题中的运用．
随堂检测
1.到一条直线的距离等于2的点有（）
A．1个B．0个C．无数个D．无法确定
【难度】★
【答案】C
【解析】到直线的距离等于2的点有无数个，这些点组成两条直线．
【总结】考察点到直线的距离．
2.下列说法错误的是（）
A．两点之间，线段最短
B．和已知直线垂直的直线有且只有一条
C．过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线
D．在同一平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
【难度】★
【答案】B
【解析】B错误，有无数条．
【总结】考察学生对垂线的意义和性质的理解．
3.如图，过△ABC三个顶点A、B、C，分别作BC、AC、AB的垂线，并用“⊥”符号表示出来．
【难度】★
【答案】
【解析】考察垂线段的作法．
4.下列说法正确的个数有（）
直线外一点与直线上各点的所有连接线中垂线段最短；
画一条直线的垂线可以画无数条；
在同一平面内，经过一个已知点能画出一条直线和已知直线垂直；
从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
A．1个B．2个C．3个D．4个
【难度】★★
【答案】C
【解析】（4）错误，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故选C．
【总结】本题主要考查点到直线的距离及垂线的相关概念等．
5.若∠=54°，∠的两边与∠两边互相垂直，则∠=____________．
【难度】★★
【答案】或．
【解析】∠和∠是相等或者互补的关系．
【总结】考察垂线的意义以及两解问题，注意分类讨论．
6.平面上三条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则=____________．
【难度】★★
【答案】4．
【解析】最多有3个交点，最少有1个交点．，，．
【总结】考察学生的作图分析能力．
7.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OA平分∠COE，当∠COE=70°，求∠BOD的度数，当∠DOE=110°时，求∠BOD的度数．
【难度】★★
【答案】，．
【解析】因为平分，∠COE=70°（已知）
所以（角平分线的意义）
所以（对顶角相等）
同理，
【总结】考察学生对邻补角和对顶角知识点的掌握和简单应用．
8.已知AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，问：A、B、C三点共线吗?为什么?
【难度】★★
【答案】共线．
【解析】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【总结】考察垂线段意义和性质，注意对三点共线的理解．
9.如图已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，∠BOE=∠EOC，∠DOE=70°，求∠EOC的度数．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】因为OD平分∠AOB（已知）
所以（角平分线的意义）
设，，
则， 解得： ，
所以∠EOC =．
【总结】这一题考察学生对角平分线的内容理解，对补角的知识点的掌握以及二元一次方程组的列式和计算等．
10.如图，已知∠AOB，画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，你能画出几种符合要求的图形?并猜想∠COD与∠AOB的数量关系，并说明理由．
【难度】★★★
【答案】相等或互补
【解析】如图．
【总结】主要考察多解问题，是对学生发散思维的要求．
第5讲 邻补角、对顶角及垂直
模块一：邻补角的意义和性质
知识精讲
平面上两条不重合直线的位置关系
相交：两条直线有一个交点；
平行：两条直线没有交点．
2、邻补角的意义
两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．
3、邻补角的性质
互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
例题解析
例1．（2018·上海七年级零模）已知，∠B与∠A互为邻补角，且∠B=2∠A，那么∠A为________度．
【答案】60
【分析】设，则，然后根据领补角的定义进行求解即可．
【详解】解：设，则
根据题意得，，解得：，∴，故答案为：60．
【点睛】本题主要考查领补角的定义及一元一次方程的解法，熟练掌握领补角的定义及一元一次方程的解法是解题的关键．
例2．（2019·上海浦东新区·七年级期末）互为邻补角的两个角的大小相差，这两个角的大小分别为_____________
【答案】
【分析】设其中一个角为x，则根据邻补角的定义得另一个角为，再根据两个角的大小相差，列出方程，解方程即可
【详解】解：设其中一个角为x，则另一个角为，
∵两个角的大小相差，∴或
∴或，∴或，故答案为：
【点睛】本题考查了邻补角的定义和解一元一次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键
例3．（2018·上海七年级期中）如果两个角互为邻补角，其中一个角为65°，那么另一个角为______度．
【答案】115
【分析】根据邻补角互补即可得到结论．
【详解】解：由题意得，180°-65°=115°， 答：另一个角为115°， 故答案为115．
【点睛】本题考查了邻补角，熟记邻补角互补是解题的关键．
例4.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD =35°，则∠AOC=___________；
∠BOD=_________；∠BOC=______________．
【难度】★
【答案】，，．
【解析】和互为邻补角，
和，和互为邻补角．
【总结】考察邻补角的定义．
例5.经过两点可以画_______________条直线，两条直线相交，有且只有_________个交点．
【难度】★
【答案】1，1．
【解析】考察两点确定一条直线以及相交的意义 ．
例6.如图，∠BOF的邻补角是（）．
A．∠AOEB．∠AOF和∠BOEC．∠AOBD．∠BOE和∠DOF
【难度】★
【答案】B
【解析】考察邻补角的意义．
例7.把下图中邻补角分别写出来．
【难度】★
【答案】和，和，和，和，和．
【解析】考察邻补角的意义
例8.已知∠1=∠2，∠1与∠3互余，∠2与∠4互补，则∠3___________∠4．
【难度】★
【答案】<．
【解析】（互余的意义），（互补的意义），
又（已知）， （等式性质）．
（等式性质）， ．
【总结】考察互余，互补的概念以及利用简单的运算比较大小．
例9.已知，AB与CD相交于O点，若∠AOD比∠AOC大40°，则∠BOD=________，若∠AOD=2∠AOC，则∠BOD=________，若∠AOD=∠AOC，则∠BOD=________．
【难度】★
【答案】．
【解析】设，则，（邻补角的意义），
解得：，所以， 所以（邻补角的意义）；
设，则解得：，
所以，所以（邻补角的意义）；
设，则，解得：，所以．
【总结】考察平角的意义以及邻补角的定义．
例10.如图所示，O是直线AB上任意一点，以O为端点任意做一条射线OC，且OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度数．
【难度】★★
【答案】．
【解析】因为平分，平分（已知）
所以，（角平分线的意义）
因为（平角的意义）
所以（等量代换）
所以（等式性质）
即
【总结】主要考察平角的意义，角平分线的意义的综合运用．
例11.如图，射线OA、OB、OC、OD有公共端点O，且∠AOB=90°，∠COD=90°，∠AOD=∠BOC，求∠BOC的度数．
【难度】★★
【答案】．
【解析】因为∠AOD=∠BOC， 所以设，则．
因为（周角的意义）
又∠AOB=90°，∠COD=90°（已知）
所以（等式性质） 解得：， 即．
【总结】考察周角的概念，以及利用设未知数的思路求解角的度数．
例12.（1）已知∠1和∠2互为邻补角，且∠1比∠2的3倍大20°，求∠1和∠2的度
数；
（2）一个角的补角比这个角的余角的2倍大15°，求这个角的度数．
【难度】★★
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）因为∠1和∠2互为邻补角， 所以（邻补角的意义）．
因为 （已知）， 所以（等量代换），
所以，（等式性质）；
（2）设这个角为，则根据题意可得：，
解得：， 即这个角的度数为．
【总结】考察补角，余角以及邻补角的概念及其综合运用．
例13.如图，直线AB、CD相交于点O，且∠AOC=54°，∠1比∠2小10°，求∠1、∠2的度数．
【难度】★★
【答案】，．
【解析】因为直线AB、CD相交于点O（已知），
所以（对顶角相等）．
设，则， 故， 解得：，
所以， 即，．
【总结】考察对顶角的意义及角的和差的综合运用．
例14.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，且∠AOF=3∠BOF，∠AOC=90°，
求∠COE的度数；
说明OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线的理由．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）略．
【解析】（1）因为（邻补角的意义）
又（已知）
所以（等量代换）
所以（等式性质）
因为直线AB、EF相交于点O（已知）
所以（对顶角相等）
因为（已知）
所以（等式性质）
（2）因为，（已知）
所以（等式性质）
所以（等量代换）
因为（对顶角相等）
所以（等量代换）
同理
所以OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线（角平分线的意义）
【总结】考察邻补角的意义，角平分线的意义以及相应的计算，综合性较强，注意认真分析题目中的条件．
模块二：对顶角的意义和性质
知识精讲
1、对顶角的意义
两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关
系的两个角叫做互为对顶角．
2、对顶角的性质
对顶角相等．
例题解析
例1．（2019·上海浦东新区·七年级期中）下列说法：
①对顶角相等；
②相等的两角一定是对顶角；
③如果两个角不是对顶角，那么它们一定不相等；
其中正确的说法有( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据对顶角的定义以及性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：①对顶角相等，正确；
②相等的两个角是一定对顶角，错误；
③如果两个角不是对顶角，那么它们一定不相等；错误；故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角的定义以及对顶角相等的性质，是基础题，掌握概念与性质是解题的关键．
例2．（2019·上海市嘉定区震川中学七年级期中）在下列四个选项中的图形中，∠1与∠2是对顶角的图形是( ).
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据对顶角的定义，对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此即可判断．
【详解】解：根据对顶角的定义可得，四个图形中C中∠1与∠2为对顶角．故答案为：C．
【点睛】本题考查了对顶角的定义，理解定义是解题的关键.
例3.下列说法中，正确的是()
有公共顶点的两个角是对顶角
对顶角一定相等
有一条公共边的两个角是邻补角
互补的两个角一定是邻补角
【难度】★
【答案】B
【解析】错误，有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角才叫做互为对顶角；正确；错误，有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线；错误，互补的两个角不一定是邻补角．
【总结】考察邻补角和对顶角的概念．
例4.把下图中对顶角分别写出来．
【难度】★
【答案】和，和．
【解析】考察对顶角的定义．
例5.（1）如果以点O为端点画四条射线OA、OB、OC、OD，且OA、OC， OB、OD互为反向延长线，那么∠AOB和∠COD互为_________；
（2）如果以点O为端点画三条射线OA、OB、OC，且射线OA、OC互为反向延长线，那么∠AOB和∠COB互为_________．
【难度】★
【答案】对顶角，邻补角．
【解析】考察对顶角和邻补角的定义．
例6.如图，共有对顶角（）
A．4对B．5对C．6对D．8对
【难度】★
【答案】D
【解析】和，和，和，和，和，
和，和，和均互为对顶角．
【总结】本题主要考察对顶角的概念．
例7.下列说法：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③如果两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角；④如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等．其中正确的说法是（）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【难度】★★
【答案】B
【解析】（1）正确；（2）错误，相等的角不一定是对顶角；（3）正确，对顶角一定是相等的，
（4）错误，不是对顶角也可以相等．
【总结】主要考察学生对对顶角的理解，相等的角不一定是对顶角，但对顶角一定相等，不是对顶角的两个角也可以相等．
例8.a、b、c两两相交，∠1=60°，∠2：∠4=3:2，求∠3和∠5的度数．
【难度】★★
【答案】，．
【解析】因为（对顶角相等），（已知）
所以（等量代换）
因为（已知）， 所以（等式性质）
因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）
因为（邻补角的意义）， 所以（等式性质）
【总结】考察邻补角和对顶角的意义及综合运用．
例9.如图，直线AB、CD交于点O，则（1）若∠2=3∠1，则∠1=__________；
（2）若∠2：∠3=4：1，则∠2=__________；（3）若∠2∠1=100°，则∠3=__________．
【难度】★★
【答案】，，．
【解析】（1）因为（邻补角的意义）， 又（已知）
所以（等量代换）， 所以（等式性质）；
（2）因为（邻补角的意义），∠2：∠3=4：1（已知）
所以设，， 则（等量代换），
解得：，（等式性质）， 即；
因为（邻补角的意义），∠2∠1=100°（已知）
所以，（等式性质）， 所以（对顶角相等）
【总结】考察学生对于邻补角知识点的掌握，同时还考察学生对于二元一次方程组的计算，设未知数列式计算等．
例10.a、b、c交于点O，两条直线相交，∠2=∠1，∠3：∠1=8:1，求∠4的度数
【难度】★★
【答案】．
【解析】设，则， 故，
解得：（等式性质）， 所以．
所以（对顶角相等）
【总结】考察学生对邻补角和对顶角的意义及综合运用．
例11.已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2：∠1=4:1，求∠AOF的度数．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】因为OE平分∠BOD（已知）
所以（角平分线的意义）
设，则，，
因为（平角的意义）， 所以（等式性质）
即， 所以（邻补角的意义）．
因为OF平分∠COE（已知）， 所以（角平分线的意义）
所以（等式性质）
因为（角的和差）
所以（等式性质）
因为（邻补角的意义）
所以（等式性质）
【总结】考察学生对邻补角，角平分线的意义的概念的理解以及简单的运算，综合性较强，注意认真分析条件．
例12．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）观察图形，回答下列各题：
（1）图A中，共有＿＿＿＿对对顶角；
（2）图B中，共有＿＿＿＿对对顶角；
（3）图C中，共有＿＿＿＿对对顶角；
（4）探究（1）--（3）各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成＿＿＿＿＿＿＿＿对对顶角；
【答案】（1）2对；（2）6对；（3）12对；（4）n(n-1) (n≥2).
试题分析：（1）图A中，共有2对对顶角；（2）图B中，共有6对对顶角；（3）图C中，共有12对对顶角；（4）找出对顶角的对数与直线的条数n之间的关系式为：n（n－1）（n≥2）.
试题解析：
（1）2对；
（2）6对；
（3）12对；
（4）2条直线相交时，对顶角对数为：1×2=2对；
3条直线相交时，对顶角对数为：3×2=6对；
4条直线相交时，对顶角对数为：4×3=12对；
…
n条直线相交时，对顶角对数为：n（n－1）（n≥2）对.
点睛：本题关键在于找出直线的条数与对顶角对数的关系式.
模块三：垂线(段)的意义和性质
知识精讲
1、垂线的意义
如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
2、垂直的符号
记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”．
注：垂直是特殊的相交．
垂直公理：
在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直
中垂线
过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．
垂线段的性质
联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线
上，那么就说这个点到直线的距离为零．
例题解析
例1.“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”中这一点的位置（）
A．在直线的上方B．在直线的下方C．在直线上D．可以任意位置
【难度】★
【答案】D
【解析】考察对垂直公理的理解及运用．
例2.如图，OA⊥OB于O，直线CD经过点O，∠AOD=35°，则∠BOC=_______．
【难度】★
【答案】．
【解析】（已知）
（垂线的意义）
（已知）
（互余）
（邻补角的意义）
【总结】考察垂线的意义以及互余的意义及综合运用．
例3.下列说法中正确的是（）
A．有且只有一条直线垂直于已知直线
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离
C．互相垂直的两条线段一定相交
D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm
【难度】★★
【答案】D
【解析】A错误，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； B错误，垂线段的长度；
C错误，互相垂直的两条直线一定相交； D正确．
【总结】考察垂直公理，点到直线的距离以及垂线段的性质等内容．
例4.列说法正确的个数是（）
直线上或直线外一点，都能且只能画这条直线的一条垂线；②过直线上一点和
直线外一点B的直线，使它与直线垂直；③从直线外一点作这条直线的垂线段，叫做
这个点到这条直线的距离；④过直线外一点画这条直线的垂线段，垂线段的长度叫做这
点到这条直线的距离.
A．1B．2C．3D．4
【难度】★★
【答案】C
【解析】（1）错误，在同一平面内；（2）错误；（3）错误，点到直线的距离是指垂线段的长度，故选C．
【总结】考察学生对基本概念的理解．
例5．（2018·上海松江区·七年级期中）如图，已知，根据下列语句画图．
（1）过点作，垂足为；
（2）过点作，交于点；
（3）点到直线的距离是线段_______的长度．
【答案】（1）见解析．（2）见解析．（3）．
【分析】（1）根据垂线的定义画出直线AD即可；
（2）根据平行线的定义画出直线DE即可；
（3）根据点到直线的距离判断即可．
【详解】（1）如图，直线AD即为所求
（2）如图，直线DE即为所求
（3）点到直线的距离是线段CD的长度．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、平行线的判定及性质、点到直线的距离，熟练掌握垂线、平行线、点到直线的距离的定义是解题的关键．
例6．（2019·上海市浦东新区建平中学南校七年级期中）按下列要求画图并填空：如图，
（1）过点A画直线BC的平行线AD；
（2）过点B画直线AD的垂线段，垂足为点E；
（3）若点B到直线AD的距离为4，BC=2，则=________．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）4
【分析】（1）根据平行线的画法画出即可；
（2）根据垂线的画法画出即可；
（3）根据平行线间的距离处处相等得出三角形ABC的高为4cm，再根据三角形的面积公式即可求出．
【详解】解：（1）如图:AD即为所求
（2）如图: BE即为所求
（3）因为BC//AD,所以三角形ABC的高为4cm；
所以；故答案为：4
【点睛】本题考查了基本作图的知识以及三角形的面积公式，正确的作出图形是解答第（3）题的关键，难度不大．
例7.（2019·上海七年级单元测试）如图所示，点P是∠ABC内一点．
(1)画图：①过点P画BC的垂线，垂足为D；②过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P画AB的平行线交BC于点F．
(2)∠EPF等于∠B吗?为什么?
【答案】（1）图形见解析（2）∠EPF＝∠B
试题分析:（1）①过点P作BC的垂线，D是垂足；②过点P作BC的平行线交AB于E，过点P作AB的平行线交BC于F；
（2）根据平行线的性质可得∠AEP＝∠B，∠EPF＝∠AEP然后利用等量代换得到结论即可．
解:如图所示，(1)①直线PD即为所求；②直线PE、PF即为所求．
(2)∠EPF＝∠B，理由：因为PE∥BC(已知)，所以∠AEP＝∠B(两直线平行，同位角相等)．又因为PF∥AB(已知)，所以∠EPF＝∠AEP(两直线平行，内错角相等)，∠EPF＝∠B(等量代换)．
点睛:本题考查了平行线和垂线的画法及平行线的性质,熟练掌握两直线平行同位角相等,两直线平行内错角相等是解答本题的关键.
例8.如图，点A到直线BC的距离是线段_______的长；线段CH的长表示点C到直线________的距离；点A到点C的距离是线段_________长．
【难度】★★
【答案】AE，AD，AC．
【解析】考察点到直线的距离的概念的理解及运用．
例9.如图,AC⊥BC，C为垂足，CD⊥AB，D为垂足，BC=8，CD=4.8，BD=6.4，AD=3.6，AC= 6，那么点C到AB的距离是_______，点A到BC的距离是________，点B到CD 的距离是_____，A、B两点的距离是_________．
【难度】★★
【答案】4.8，6，6.4，10．
【解析】点C到AB的距离是线段CD的长，即4.8；点A到BC的距离是线段AC的长，
即6；点B到CD 的距离是线段BD的长，即6.4；A、B两点的距离是线段AB的长，
即10．
【总结】考察点到直线的距离的内容．
例10.作图题：
过点P分别画直线a、b的垂线，垂足分别为M、N．
【难度】★★
【答案】
【解析】考察垂线的画法
例11.按下列要求画图并填空：
（1）过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D，那么点B到直线AC的距离是线段_________的长．
（2）用直尺和圆规作出△ABC的边AB的垂直平分线EF，交边AB、AC于点M、N，联结CM．那么线段CM是△ABC的___________．（保留作图痕迹）
【难度】★★
【答案】（1）；（2）边上的中线
【解析】考察垂线的画法．
例12.一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的两个学校；
（1）汽车行驶时，会对公路两旁的学校都造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大?在图中标出来．
（2）当汽车由A向B行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大?越来越小?对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大?
【难度】★★★
【解析】（1）如下图所示，到C点时对M影响最大，
到D点时对N影响最大；
（2）由A向C时，对两学校影响逐渐增大；
由D向B时，对两学校影响逐渐减小；由C向D时，对M影响减小，对N影响增大．
【总结】本题主要考察对点到直线的距离的概念的理解及在实际问题中的运用．
随堂检测
1.到一条直线的距离等于2的点有（）
A．1个B．0个C．无数个D．无法确定
【难度】★
【答案】C
【解析】到直线的距离等于2的点有无数个，这些点组成两条直线．
【总结】考察点到直线的距离．
2.下列说法错误的是（）
A．两点之间，线段最短
B．和已知直线垂直的直线有且只有一条
C．过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线
D．在同一平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
【难度】★
【答案】B
【解析】B错误，有无数条．
【总结】考察学生对垂线的意义和性质的理解．
3.如图，过△ABC三个顶点A、B、C，分别作BC、AC、AB的垂线，并用“⊥”符号表示出来．
【难度】★
【答案】
【解析】考察垂线段的作法．
4.下列说法正确的个数有（）
直线外一点与直线上各点的所有连接线中垂线段最短；
画一条直线的垂线可以画无数条；
在同一平面内，经过一个已知点能画出一条直线和已知直线垂直；
从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
A．1个B．2个C．3个D．4个
【难度】★★
【答案】C
【解析】（4）错误，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故选C．
【总结】本题主要考查点到直线的距离及垂线的相关概念等．
5.若∠=54°，∠的两边与∠两边互相垂直，则∠=____________．
【难度】★★
【答案】或．
【解析】∠和∠是相等或者互补的关系．
【总结】考察垂线的意义以及两解问题，注意分类讨论．
6.平面上三条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则=____________．
【难度】★★
【答案】4．
【解析】最多有3个交点，最少有1个交点．，，．
【总结】考察学生的作图分析能力．
7.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OA平分∠COE，当∠COE=70°，求∠BOD的度数，当∠DOE=110°时，求∠BOD的度数．
【难度】★★
【答案】，．
【解析】因为平分，∠COE=70°（已知）
所以（角平分线的意义）
所以（对顶角相等）
同理，
【总结】考察学生对邻补角和对顶角知识点的掌握和简单应用．
8.已知AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，问：A、B、C三点共线吗?为什么?
【难度】★★
【答案】共线．
【解析】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【总结】考察垂线段意义和性质，注意对三点共线的理解．
9.如图已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，∠BOE=∠EOC，∠DOE=70°，求∠EOC的度数．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】因为OD平分∠AOB（已知）
所以（角平分线的意义）
设，，
则， 解得： ，
所以∠EOC =．
【总结】这一题考察学生对角平分线的内容理解，对补角的知识点的掌握以及二元一次方程组的列式和计算等．
10.如图，已知∠AOB，画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，你能画出几种符合要求的图形?并猜想∠COD与∠AOB的数量关系，并说明理由．
【难度】★★★
【答案】相等或互补
【解析】如图．
【总结】主要考察多解问题，是对学生发散思维的要求．
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