专题08 《一次函数》解答题重点题型分类- 2022-2023学年八年级数学下册拔尖题精选精练（人教版）

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专题08 《一次函数》解答题重点题型分类
专题简介：本份资料专攻《一次函数》中“待定系数法求解析式”、“交点问题及直线围成的面积问题”、“一次函数的应用”解答题重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：待定系数法求解析式
方法点拨：依据两个独立的条件确定k,b的值，即可求解出一次函数y=ｋx＋ｂ（ｋ≠0)的解析式.
☆ 已知是直线或一次函数可以设y＝ｋx＋ｂ（ｋ≠０）；
☆ 若点在直线上,则可以将点的坐标代入解析式构建方程。

1．已知直线经过点，两点，求这条直线的表达式．
【答案】
【分析】利用待定系数法将两个点代入解析式求解即可得出一次函数解析式．
【详解】解：依题意把点、分别代入得：
，
解之得：，
∴该直线的表达式为 ．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
2．若y﹣2与2x+3成正比例，且当x＝1时，y＝12．
（1）求y与x的函数解析式．
（2）求当x＝1时，函数y的值．
【答案】（1）y＝4x+8；（2）12
【分析】（1）利用正比例函数的定义，设y﹣2＝k（2x+3），然后把已知的对应值代入求出k得到y与x之间的函数关系式；
（2）计算自变量为1对应的y的值即可．
【详解】解：（1）设y﹣2＝k(2x+3)，
把x＝1，y＝12代入得12﹣2＝5k，解得k＝2，
所以y﹣2＝2(2x+3)，
所以y与x之间的函数关系式为y＝4x+8；
（2）当x＝1时，y＝4x+8＝4+8＝12．
【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0．
3．已知y+3与x+2成正比例，且当x＝﹣3时，y＝7．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）当x＝﹣3时，求y的值；
（3）若y的取值范围是﹣3≤y≤3，求x的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣10x﹣23；（2）7；（3）﹣2.6≤x≤﹣2
【分析】（1）设，把x、y的值代入求出k的值，即可求得函数表达式；
（2）把代入函数表达式，即可求得y的值；
（3）由题意得出关于x的不等式组，求解不等式组即可得到x的取值范围．
【详解】解：（1）设，把，代入得：
，
解得：，
∴，
∴y与x之间的函数表达式为：；
（2）把代入，
得：；
（3）根据题意得：，
解得：，
∴x的取值范围为：．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数解析式及解不等式组，熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题关键．
4．已知y是x的一次函数，下表列出了部分y与x的对应值，求m的值．
x
1
0
2
y
5
m
7
【答案】3
【分析】利用待定系数法即可求得函数的解析式，然后把x＝0代入解析式即可求得m的值．
【详解】解：设一次函数的表达式为．
代入（1，5），（2,7）两点，得：
∴
解得：
∴一次函数表达式为y=2x+3．
把（0，m）代入y=2x +3，解得m=3
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确解方程组求得k和b的值是关键．
5．如图，已知点A（﹣6，0）、点B（0，4）．

(1)求直线AB所对应的函数表达式；
(2)在直线AB上有点P，满足点P到x轴的距离等于8，求点P的坐标．
【答案】(1)y=x+4
(2)点P的坐标为（6，8）或（-18，-8）
【分析】（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b，把点A（﹣6，0）、点B（0，4）分别代入y=kx+b，解出k、b即可；
（2）在直线AB上有点P，满足点P到x轴的距离等于8，那么点P的纵坐标可能是8也可能是-8，把它代入直线AB的解析式求出点P的横坐标即可．
(1)解：设直线AB的函数表达式为y=kx+b，把点A（﹣6，0）、点B（0，4）分别代入y=kx+b得，

解得：
∴直线AB的函数表达式为y=x+4
(2)解：∵点P到x轴的距离等于8
∴点P的纵坐标为，则
当y=8时，x+4＝8解得：x=6
当y=-8时，x+4＝-8解得：x=-18
∴点P的坐标为（6，8）或（-18，-8）
【点睛】本题考查了一次函数待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
6．如图，已知一次函数的图象经过，B（1，4）两点．


(1)求一次函数的解析式，并在直角坐标系中画出其图象．
(2)当时，求x的取值范围．
【答案】(1)，见解析
(2)当时，
【分析】（1）用待定系数法即可求得一次函数的解析式；用描点法即可作出函数图象；
（2）求出直线与x轴的交点，利用数形结合即可求得结果．
(1)将，B（1，4）两点代入，
得，解得
所以一次函数的解析式为．作图如图．


(2)
令，得．
∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为．
由图可知，当时，．
7．已知一次函数y＝kx﹣2，当x＝2时，y＝﹣3．
(1)求一次函数的解析式；
(2)将该函数的图象向上平移6个单位长度，求平移后的图象与x轴交点的坐标；
(3)在（2）的条件下，直接写出y＞0时，x的取值范围．
【答案】(1)
(2)（8，0）
(3)x＜8
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意求得平移后的解析式，令即可求解；
（3）根据与x轴交点的坐标以及一次函数的增减性即可求解．
(1)解：当x＝2时，y＝﹣3，
∴ ﹣3＝2k﹣2，          
则，                 
∴ ，
(2)图象向上平移6个单位长度，
∴，                  
当y＝0时，x＝8，        
∴ 平移后的图象与x轴交点的坐标为（8，0），
(3)与x轴交点的坐标为（8，0），

则y＞0时，x的取值范围为x＜8
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数的平移，一次函数与坐标轴交点，根据直线与轴的交点求不等式的解集，掌握一次函数的性质是解题的关键．
8．一次函数为常数，且．
(1)若点，在一次函数的图象上，求的值；
(2)若一次函数的图像经过一、二、三象限，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把点，代入函数解析式进行求解即可；
（2）根据一次函数的图象与性质可知，然后问题可求解．
(1)解：将点代入，
，
，
；
(2)解：∵一次函数的图像经过一、二、三象限，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
考点2：交点问题及直线围成的面积问题
方法点拨：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解;复杂图形“外补内割”即:往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形);往往选择平行于坐标轴的线段作为底,底所对的顶点的坐标确定高；
1．如图，直线L1的解析表达式为：y＝−3x＋3，且L1与x轴交于点D，直线L2经过点A、B，直线L1，L2交于点C，点C的横坐标为2．

(1)求点D的坐标；
(2)求直线L2的解析表达式；
(3)求△ADC的面积；
(4)在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标．
【答案】(1)D（1，0）
(2)y＝x﹣6
(3)
(4)（6，3）
【分析】（1）把代入，得出一元一次方程，解方程，得出点的横坐标，则点的坐标为；
（2）根据点在的函数图象上，可求点坐标为，通过图象可知用待定系数法，求出直线的函数关系式；
（3）先根据，的函数关系式，求出两条直线的交点坐标，把作为的底，点的纵坐标的绝对值为边上的高，即可求解；
（4）根据与的面积相等，底相等，得出边上的高也相等，在根据点纵坐标为，则点的纵坐标为3，然后把代入，得出点的横坐标，即可求解．
(1)解：，
令，得，
解得：，
；
(2)解：设直线的解析式为，
点的横坐标为2，且在上，
，
图象可得：，，
代入表达式，
，
解得，
直线的解析式为，
(3)解：如图所示：

，
令，得，
解得：，
，
；
，
，
；
(4)解：点与点到的距离相等，
点的纵坐标为3，
当时，，
解得，
点坐标为．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数关系的方法，解题的关键是利用二元一次方程组与一次函数之间关系，求两个函数图象的交点坐标．
2．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．

(1)求一次函数表达式；
(2)求D点的坐标；
(3)求的面积．
(4)不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解．
【答案】(1)y=－x +2
(2)D（0，2）
(3)3
(4)
【分析】（1）根据题意可得m=-1，进而得到P（-1，3），再利用待定系数法，即可求解；
（2）令x =0，即可求解；
（3）先求出点C（2，0），再根据三角形的面积公式，即可求解；
（4）根据正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，即可求解．
(1)解：∵正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点P（m，3），
∴-3m=3，解得：m=-1，
∴P（-1，3），
把（1，1）和（-1，3）代入一次函数y=k x +b，得：
，
解得， ，
∴ 一次函数解析式是y=-x +2   ；
(2)解：由（1）知一次函数表达式是y=-x +2   
令x =0，则y=2   
即点D（0，2）；
(3)解：由（1）知一次函数解析式是y=-x +2
令y=0，       
∴- x +2=0，
解得： x =2，          
∴点C（2，0），
∴OC=2，   
∵P（-1，3），
∴△COP的面积=OC . = ×2×3=3；
(4)解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
∴方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，两直线的交点问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
3．如图，一次函数y＝kx＋b的图像与x轴正半轴交于点A，与一次函数y＝2x﹣3的图像交于点B（m，1），且OA＝4

(1)求k，b的值；
(2)求一次函数y＝kx＋b，y＝2x﹣3的图像与x轴所围成的三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点B（m，1）在一次函数y＝2x﹣3的图像上，求出m的值，从而求出B点坐标，由A、B两点坐标代入一次函数y＝kx＋b列出方程组求出结果；
（2）设一次函数y = 2x一3的图象与x轴的交点为C，求出C点坐标，根据三角形面积公式即可求得结论．
(1)解： 点B（m，1）在一次函数y＝2x﹣3的图像上，

解得m=2，
B（2，1），
OA＝4，A在x轴上，
A（4，0），
A（4，0），B（2，1）两点在一次函数y＝kx＋b的图像上，
，解得，
(2)解：如图1，

直线BC：y＝2x﹣3，
C（，0），
A （4，2），B（2，1），
．
答：图像与x轴所围成的三角形的面积为．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，两直线平行或相交问题，三角形的面积．利用待定系数法求出函数解析式，进而求出函数与坐标轴的交点是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．


(1)求m的值及的解析式；
(2)若点M是直线上的一个动点，连接OM，当的面积是面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标；
(3)一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值．
【答案】(1)，的解析式为
(2)或
(3)或
【分析】（1）设的解析式为，将点的坐标代入的解析式，即可求解；
（2）设，进而根据题意列出方程，解方程求解即可；
（3）根据题意，则或，进而即可求得的值
(1)与交于点．
设的解析式为，将点的坐标代入的解析式，可得，
，，
解得，，
的解析式为
(2)设，
，令，则，令，则
，
又

的面积是面积的2倍，

即
解得或
或
(3)
一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，
或
或
【点睛】本题考查了一次函数综合，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移，掌握一次函数的性质是解题的关键．
5．如图所示，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点．过直线上的一点作轴的垂线，交直线于点，连接．

(1)求点的坐标；
(2)求的面积；
(3)将直线向下平移4个单位长度得到直线，设直线与轴相交于点，则直线上是否存在一点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为（）
(2)
(3)（0，1）或（，）或（，）
【分析】（1）联立方程组，求出方程组的解即可得到答案；
（2）把P（a,-1）代入y=x+1求得a=-2，即P（-2，-1），再求出点C的坐标为（2，-1），故可得PC=4，点A到PC的距离为，点B到PC的距离为1，求出和，依据可得结论；
（3）求出平移后的直线与y轴的交点D的坐标（0，-1），得DP=2，设Q（m，m+1），根据两点间距离公式求出DQ，PQ的长，然后分DP=DQ，DP=PQ两种情况讨论求解即可．
(1)∵直线与直线相交于点，
∴联立方程组，
解得，
∴点A的坐标为（）
(2)∵点在直线上
∴
∴
∴
∵轴
∴点C的纵坐标为-1
又点C在直线上，
∴
∴
∴
∴，点A到PC的距离为
∴
∵直线与轴相交于点，
∴当y=0时，x+1=0，解得，x=-1
∴B（-1，0）
∴点B到PC的距离为1
∴
∴；
(3)把直线y=-2x+3向下平移4个单位后得直线y=-2x+3-4=-2x-1
令x=0，则y=-1
∴D(0,-1)
∴DP=0-(-2)=2
∵Q在直线上，
∴设Q（m，m+1）
∴

当DP=DQ时，即
∴
经检验，是原方程的解，
当m=0时，Q（0，1）
当m=-2时，Q（-2，-1）与点P重合，不存在，故舍去；
当DP=PQ时，即
∴
经检验，是原方程的解，
当时，Q（，）
当时，Q（，）
综上，点Q的坐标为（0，1）或（，）或（，）
【点睛】本题主要考查了两条相交直线的交点求法，一次函数图象的平移，等腰三角形的性质以及运用割补法求三角形面积等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线l：分别交x轴，y轴于点A、B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到．


(1)求直线的解析式；
(2)若直线与直线l相交于点C，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线l的解析式先确定出点A、B的坐标，根据旋转的性质结合图象可得，设直线的解析式为（为常数），将两点代入求解即可得；
（2）联立两个一次函数求解可得点，结合图形得出，利用三角形面积公式求解即可得．
(1)解：由直线分别交x轴、y轴于点A、B，
当时，；
当时，；
∴，
∵绕点顺时针旋转而得到，
∴，
故，
设直线的解析式为（为常数），
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
(2)解：联立两个一次函数为：
，
解得：，
∴点，
∵，
∴，
∴的面积为．
【点睛】题目主要考查直线与坐标轴交点问题及利用待定系数法确定函数解析式，旋转的性质，两个函数交点问题等，理解题意，结合图象，综合运用一次函数的基本性质是解题关键．
7．如图，过点A的两条直线l1，l2分别与y轴交于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝，B（0，3）．

(1)求点A的坐标；
(2)若△ABC的面积为4，求直线l2的表达式．
(3)在（2）的条件下，在直线l1上是否存在点M，使得△OAM的面积与△OCA的面积相等？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A（2，0）
(2)y＝
(3)存在，M的坐标为（，1）或（，﹣1）
【分析】（1）先根据勾股定理求得AO的长，再写出点A的坐标；
（2）先根据△ABC的面积为4，求得CO的长，再根据点A、C的坐标，运用待定系数法求得直线l2的解析式；
（3）求出直线l1的表达式为y=−x+3，设M（m，-m+3），根据△OAM的面积与△OCA的面积相等且△OAM与△OCA同底，即可得到结论．
(1)解：∵B（0，3），
∴OB=3，
在Rt△AOB中，OA=，
∴A（2，0）；
(2)解：∵S△ABC=BC•OA，
∴4=•BC×2，解得BC=4，
∴OC=BC-OB=4-3=1，
∴C（0，-1），
设直线l2的表达式为y=kx+b，
将A（2，0），C（0，-1）代入y=kx+b，得：
，解得，
∴直线l2的表达式为y=x−1；
(3)（3）设直线l1的表达式为y=k1x+b1将A（2，0），B（0，3）代入y=k1x+b1，
得，解得，
∴直线l1的表达式为y=−x+3，
∵△OAM的面积与△OCA的面积相等且△OAM与△OCA同底，
∴两个三角形的高都为OC=1，
∴点M的纵坐标为±1且点M在直线l1上，
令y=1，则1=−x+3，解得x=，
令y=-1，则−1=−x+3，解得x=，
∴M的坐标为（，1）或（，-1）．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了两条直线的交点问题，三角形的面积公式，解题的关键是掌握勾股定理以及待定系数法．
8．如图，已知直线经过点，与x轴交于点B，点C在x轴上，且，直线与y轴交于点D．


(1)求点A，B的坐标；
(2)求直线的表达式；
(3)若点P是线段上的一点，求与面积之差的最大值．
【答案】(1)，
(2)直线的表达式为；
(3)△PBO与△PCO面积之差的最大值为12.
【分析】（1）将代入直线中，得出a值，即可求得点A坐标，令y=0，得x值，即可得到点B坐标；
（2）过A作AE⊥x轴于点E，则E（-2，0），由等腰三角形三线合一性质，可得EC=8，进而OC=EC-OE=6，可得点C坐标，待定系数法即可求直线的表达式；
（3）过点P作PF⊥x轴于点F，连接PO、PB，可得S△PBO- S△PCO=2PF，当点P与A重合时，PF最大，即可求得△PBO与△PCO面积之差的最大值.
(1)解：将代入直线中，
得：=6，
，
令y=0，得=0，
解得x=-10，
，
即：，
(2)解：过A作AE⊥x轴于点E，则E（-2，0），


∵AB=AC，
∴EC=BE=（-2）-（-10）=8，
∴OC=EC-OE=8-2=6，
∴C（6，0），
设直线的表达式为y=kx+b，
把、C（6，0）代入，得，
解得：，
∴直线的表达式为；
(3)解：过点P作PF⊥x轴于点F，连接PO、PB，


∵S△PBO=OB·PF，S△PCO=OC·PF，
∴S= S△PBO- S△PCO=PF·（OB-OC）=×（10-6）·PF=2PF，
∵点P在线段AD上，
∴当点P与A重合时，PF=AE最大，
∴S最大=2×6=12，
因此△PBO与△PCO面积之差的最大值为12.
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、直线与坐标轴的交点、等腰三角形三线合一等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线．
9．在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=8cm，BC=6cm，AD=10cm，以CD所在直线为x轴，以经过点A并且与CD垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图）．点P，Q分别是线段AB和CD上的动点，点P以1cm/s的速度从点B向点A运动，同时点Q以2cm/s的速度从点D向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜8），请回答下列问题：

(1)用含t的代数式表示点P的坐标；
(2)设四边形PBCQ的面积为S cm2，求S与t之间的关系式．
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PBCQ的面积恰为四边形ABCD面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)连接BQ，求t为何值时，直线BQ与y轴的交点坐标为（0，-2）？
【答案】(1)点P的坐标为（t-8，6）；
(2)S=-3t+48（0＜t＜8）；
(3)不存在，理由见解析
(4)t=5时，直线BQ与y轴的交点坐标为（0，-2）．
【分析】（1）首先求出PB=t cm，则AP=（8-t）cm，再利用平行线的性质得OA=BC=6，AP=8-t，即可求解；
（2）用含t的代数式表示BP，CQ，再利用梯形的面积公式即可求解；
（3）求出四边形ABCD面积，根据四边形PBCQ的面积恰为四边形ABCD面积的可得关于t的方程，解方程即可求解；
（4）由题意得直线BQ过点B（-8，6），点（0，-2），利用待定系数法求直线BQ的解析式，可得直线BQ与x轴的交点Q的坐标，求出DQ的值，由DQ=2t即可求解．
(1)解：由题意得：PB=t cm，则AP=（8-t）cm，
∵AB∥CD，∠BCD=90°，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∵∠AOC=90°，
∴四边形ABCO是矩形，
∴AB=OC=8cm，OA=BC=6cm，
∴点P的坐标为（t-8，6）；
(2)解：由题意得：PB=t cm，CQ=CD-DQ，
∵AD=10cm，OA=BC=6cm，∠AOD=90°，
∴OD==8(cm)，
∴CQ=CD-DQ=OC+OD-DQ=（16-2t）cm，
∴四边形PBCQ的面积为S=（t+16-2t）×6=-3t+48（0＜t＜8）；
(3)解：不存在，理由如下：
四边形ABCD面积：（AB+CD）•BC=×（8+16）×6=72（cm2），
由题意得：-3t+48=×72，解得t=10，
∵0＜t＜8，
∴t=10不合题意，
∴不存在某一时刻t，使四边形PBCQ的面积恰为四边形ABCD面积的；
(4)解：由题意得直线BQ过点B（-8，6），点（0，-2），
设直线BQ的解析式为y=kx+b，
∴，解得，
∴直线BQ的解析式为y=-x-2，
当y=0时，0=-x-2，解得x=-2，
∴直线BQ与x轴的交点Q的坐标为（-2，0），
∵OD=8cm，
∴D（8，0），
∴DQ=10=2t，解得t=5，
∴t=5时，直线BQ与y轴的交点坐标为（0，-2）．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了坐标与图形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，面积的计算，勾股定理等知识，解题的关键是掌握一次函数的性质．
考点3：一次函数的应用
方法点拨：(1)认真分析实际问题中变量之间的关系；
(2)若具有一次函数关系，则建立一次函数的关系式；
(3)利用一次函数的有关知识解题
1．某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变．
(1)现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元不高于200万元，该公司有哪几种进货方案？
(2)在第（1）小题的条件下，该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？
(3)利用第（2）小题中所求得的最大利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案．
【答案】(1)有三种进货方案：①购甲种商品8件，乙种商品12件；②购甲种商品9件，乙种商品11件；③购甲种商品10件，乙种商品10件
(2)乙种商品10件时，可获得最大利润，最大利润是45万元
(3)购甲种商品1件，乙种商品4件时，可获得最大利润为10.5万元
【分析】（1）关系式为：甲种商品总进价乙种商品总进价，根据此不等关系列不等式组求解即可；
（2）利润甲种商品数量乙种商品数量，整理后按（1）中自变量的取值算出最大利润；
（3）用最大利润45万元来进货，用最大利润进货，没有总件数限制，但要考虑尽量把钱用完．分以下五种情况讨论，通过计算比较即可．①全进甲，能购买3件；②全进乙，能购买5件；③甲进1件，同时乙进4件；④甲进2件，同时乙进2件；⑤甲进3件，同时乙进1件．
(1)解：设购进甲种商品件，乙种商品件，根据题意得
，
解得，
为非负整数，
取8，9，10，
有三种进货方案：
①购甲种商品8件，乙种商品12件；
②购甲种商品9件，乙种商品11件；
③购甲种商品10件，乙种商品10件．
(2)设利润为元，
则，
购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润，最大利润是45万元．
(3)
①全进甲，能购买3件，利润为万元；
②全进乙，能购买5件，利润为万元；
③甲进1件，同时乙进4件，利润为万；
④甲进2件，同时乙进2件，利润为万元；
⑤甲进3件，同时乙进1件，利润为万元；
所以购甲种商品1件，乙种商品4件时，可获得最大利润为10.5万元．
【点睛】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，及所求量的等量关系．要会用分类的思想来讨论问题并能用不等式的特殊值来求得方案的问题．
2．某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题：

(1)出租车的起步价是多少元？当时，求y关于x的函数关系式．
(2)若行驶2km、8km分别要多少车费？
(3)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．
【答案】(1)起步价8元，
(2)8元，18元
(3)15 km
【分析】（1）从图像上可以看出起步价为8元，当x>3时，设函数关系式为，利用待定系数法求解析式即可；
（2）x<3时，付费为8元，x>3时，将x=8代入即可；
（3）将y=32代入，即可求出里程．
(1)解：由图可知，出租车的起步价为8元；
当x>3时，设函数关系式为，将x=3，y=8；x=5，y=12代入得：
，解得：，
∴当x>3时，设函数关系式为：．
(2)∵2<3，
∴行驶2km，费用为8元，
∵8>3，
∴将x=8代入，得：y=18，
即：行驶8km，费用为18元．
(3)∵32>8，
∴将y=32代入，得：x=15，
∴这位乘客乘车的里程为15km．
【点睛】本题主要考查一次函数应用题中的生活问题，能够看懂函数图像代表的意义，了解打车问题中的起步价的意义是解题的关键．
3．如图，直线y＝﹣3x+6交x轴和y轴于点A和点B，点C（0，﹣3）在y轴上，连接AC．

(1)求点A和点B的坐标；
(2)若点P是直线AB上一点，若△BCP的面积为18，求点P的坐标；
(3)过点B的作直线BE交x轴于点E（E点在点A右侧），当∠ABE＝45°时，直接写出直线BE的函数表达式．
【答案】(1)A（2，0），B（0，6）
(2)P（4，-6）或（﹣4，18）
(3)
【分析】（1）将分别代入解析式，求解相应的的值即可；
（2）：如图1，连接PC，设点P（a，﹣3a+6），则，计算求解的值，进而可得点坐标；
（3）当∠ABE＝45°，如图2，过点A作AD⊥AB交BE于点D，过点D作DH⊥x轴，△BAD为等腰直角三角形，证明△AOB≌△DHA（AAS），进而可得D，设直线BE的表达式为y＝kx+b，待定系数法求解即可．
(1)
解：∵y＝﹣3x+6交轴和y轴于点A和点B，
∴当x＝0时，y＝6；
当y＝﹣3x+6＝0时，解得x＝2，
∴A（2，0），B（0，6）．
(2)
解：如图1，连接PC，设点P（a，﹣3a+6）

则，解得a＝±4，
∴点P（4，-6）或（﹣4，18）．
(3)
解：当∠ABE＝45°，如图2，过点A作AD⊥AB交BE于点D，过点D作DH⊥x轴，

∵∠ABE＝45°，
∴△BAD为等腰直角三角形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAH＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°，
∴∠BAO＝∠ADH，
在△AOB与△DHA中，
∵，
∴△AOB≌△DHA（AAS），
∵OA＝2，OB＝6，
∴OH＝OA+AH＝2+6＝8，DH＝2，
∴D（8，2），
设直线BE的表达式为y＝kx+b，
将D（8，2），B（0，6），代入得，
解得
∴故直线BE的表达式为．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形全等，一次函数与几何综合，一次函数解析式等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
4．某书店计划同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元，
(1)A，B两类图书每本的进价各是多少元？
(2)该书店计划用4500元全部购进两类图书，设购进A类x本，B类y本．
①求y关于x的关系式；
②进货时，A类图书的购进数量不少于60本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为50元，若书店全部售完可获利W元，求W关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)A，B两类图书每本的进价分别是36元和45元．
(2)①；②应该购进A类图书60本，B类图书52本才能使书店所获利润最大，最大利润为380元．
【分析】（1）设A，B两类图书每本的进价分别是a和b元，根据题意即可列出关于a、b的一元二次方程组，解出a、b，即得出答案．
（2）①根据题意即可直接得出关系式为；②将①所求关系式变形为
．根据题意可列出W与x、y的关系式，再将代入，即得出W与x的关系式．最后根据题意，结合一次函数的性质，即得出答案．
(1)解：设A，B两类图书每本的进价分别是a和b元．
依题意可列方程组：，
解得：．
故A，B两类图书每本的进价分别是36元和45元．
(2)解：①根据题意即得出关系式为：．
②∵，
∴
根据题意可知：，且，
将代入，得：，
整理得：．
∵，
∴W随x的增大而变小，
∴当时，W有最大值，最大值为．
将代入，得：．
故应该购进A类图书60本，B类图书52本才能使书店所获利润最大，最大利润为380元．
【点睛】本题考查一元二次方程组的实际应用，一次函数的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
5．为了净化空气，美化校园环境，某学校计划种植A，B两种树木．已知购买20棵A种树木和15棵B种树木共花费2680元；购买10棵A种树木和20棵B种树木共花费2240元．
(1)求A，B两种树木的单价分别为多少元．
(2)如果购买A种树木有优惠，优惠方案是:购买A种树木超过20棵时，超出部分可以享受八折优惠．若该学校购买m（m＞0，且m为整数）棵A种树木花费w元，求w与m之间的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，该学校决定在A，B两种树木中购买其中一种，且数量超过20棵，请你帮助该学校判断选择购买哪种树木更省钱．
【答案】(1)A种树木的单价为80元，B种树木的单价为72元；
(2)；
(3)当20＜m＜40时，选择购买B种树木更省钱；当m＝40时，选择购买两种树木的费用相同；当m＞40时，选择购买A种树木更省钱
【分析】（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，根据“购买20棵A种树木和15棵B种树木共花费2680元；购买10棵A种树木和20棵B种树木共花费2240元”列出方程组，解方程组即可；
（2）分0≤m≤20，m＞20两种情况根据（1）求出的单价即可得w与m之间的函数关系式；
（3）根据B种树的单价求出费用和（2）求得的函数关系式进行解答即可．
(1)解:设A种树木的单价为α元，B种树木的单价为b元．
根据题意，得，
解得: ，
答:A种树木的单价为80元，B种树木的单价为72元；
(2)解：根据题意得，当0＜m≤20时，w＝80m；
当m＞20时，w＝80×20+80×0.8（m﹣20）＝64m+320，
∴w与m之间的函数关系式为w＝；
(3)解：根据题意购买B种数目的费用为72m
当64m+320＞72m时，解得m＜40，
即当20＜m＜40时，选择购买B种树木更省钱；
当64m+320＝72m时，解得m＝40，
即当m＝40时，选择购买两种树木的费用相同；
当64m+320＜72m时，解:m＞40，
即当m＞40时，选择购买A种树木更省钱．
答:当20＜m＜40时，选择购买B种树木更省钱；当m＝40时，选择购买两种树木的费用相同；当m＞40时，选择购买A种树木更省钱．
【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，列分段函数，最佳省钱方案设计，解不等式，掌握列二元一次方程组解应用题方法与步骤，列分段函数的方法，最佳省钱方案设计是解题关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线AB和直线BC相交于点，直线AB与y轴相交于点A，直线BC与x轴、y轴分别交于点，点C．

(1)求直线AB的解析式．
(2)过点A作BC的平行线交x轴于点E，求点E的坐标．
(3)在（2）的条件下，点P是直线AB上一个动点，且点P在x轴的上方，如果以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的面积等于三角形ABC的面积．
①求出点P的坐标．
②画出所有情况并直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)y=x+4
(2)（2，0）
(3)①P（-2，2）；②画见解析，Q1（1，2），Q2（-5，2），Q3（3，-2）
【分析】（1）设过点A，B的直线，求得b，k而求得直线解析式；
（2）首先设过点A且平行于直线BC的直线为y=kx+c，则可求得k的值，所求直线后代入点A，求得c则得到直线；
（3）在（2）的基础上，求得点P的有关坐标，求得△ABC面积，代入点P而求得点P，进而求得点Q．
(1)解：设直线AB为y=kx+b，
代入点B，A，
则，
解得b=4，k=1，
∴直线AB为y=x+4；
(2)设过点A且平行于直线BC的直线为y=kx+c，
根据题意得：k=＝−2，
则直线AE的直线为y=-2x+c，
则代入点A得c=4，
则直线AE为y=-2x+4，
则点E为（2，0）；

(3)
①∵点D（-1，0）、点B（-2，2），
设直线BD的解析式为y=mx+n，
则，解得：，
∴直线BD的解析式为：y=-2x-2，
∴点C（0，-2），
∴AC=6，
∴S△ABC=×6×2=6，
∵DE=2-（-1）=3，
∴以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的高为6÷3=2，
∵点P是直线AB上一动点且在x轴的上方，
∴点P的纵坐标为4，
∴2=x+4，
∴x=-2，即点P的坐标为（-2，2）；
②若点Q在x轴上方，
则PQ∥DE，且PQ=DE，
此时点Q1（1，2），Q2（-5，2）；
若点Q在x轴下方，
则Q3（3，-2）；
∴Q1（1，2），Q2（-5，2），Q3（3，-2）．

【点睛】
本题考查了一次函数的运用，考查了过两点确定一条直线，考查了知道直线斜率和一点求直线，直线间的交点，形成四边形而求面积．
7．如图1，在一次航海模型船训练中，A1B1和A2B2是水面上相邻的两条赛道（看成两条互相平行的线段）．甲船在赛道A1B1上从A1处出发，到达B1后，以同样的速度返回A1处，然后重复上述过程；乙船在赛道A2B2上以2m/s的速度从B2处出发，到达A2后以相同的速度回到B2处，然后重复上述过程（不考虑每次折返时的减速和转向时间）．若甲、乙两船同时出发，设离开池边B1B2的距离为y（m），运动时间为t（s），甲船运动时，y（m）与t（s）的函数图象如图2所示．

(1)甲船在30≤t≤60时，y关于t的函数表达式为 　 　；
(2)求出乙船由B2首次到达A2的时间，并在图2中画出乙船在3分钟内的函数图象；
(3)请你根据（2）中所画的图象直接判断，若从甲、乙两船同时开始出发到3分钟为止，甲、乙两船共相遇了几次？并求出第二次相遇的时间．
【答案】(1)y=3t-90
(2)45秒，图象见解析
(3)5次，54秒
【分析】（1）由于甲船在赛道A1B1上从A1处出发，到达B1后，以同样的速度返回A1处，然后重复上述过程，又因为y表示船离开池边B1B2的距离，所以图2中当t=0时对应的y值即为赛道的长度；因为30秒钟甲船从A1处运动到B1处，即30s运动90m，根据速度=路程÷时间，即可求出甲船的速度；根据图象的形状，可判断出甲船在30＜t≤60时，y都是t的一次函数，设出其解析式，再运用待定系数法求解；
（2）乙船的速度为2m/s，由B2到达A2的路程为赛道的长度90m，根据时间=路程÷速度，即可求出乙船由B2到达A2的时间为45s；乙船在3分钟内可运动2个来回，每45s可从赛道一端运动到另外一端，起点在原点，据此在图2中画出乙船在3分钟内的函数图象；
（3）两个图象的交点个数即为相遇次数，联立2个解析式可求出第二次相遇的时间；
(1)解：图2中，∵t=0时，y=90，
∴赛道的长度是90m；
∵甲船30s运动90m，
∴速度为90÷30=3（m/s）；
当30＜t≤60时，设y=mt+n，
将（30，0），（60，90）代入，得，
解得，
则y=3t-90（30＜t≤60）；
故答案为：y=3t-90．
(2)解：∵赛道的长度为90米，乙船的速度为2米/秒，
∴乙船由B2到达A2的时间为90÷2=45（秒）；
∴乙船在3分钟内的函数图象如图3所示：

(3)解：从图3可知甲、乙共相遇5次．
设乙第二段的解析式为：y=ax+b，把（45，90），（90，0）代入，得
，
解得，
∴y=-2t+180，
令-2t+180=3t-90，解得t=54；
∴共相遇了5次，第二次相遇的时间为54s．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，主要涉及了分段函数，数形结合是解答本题的关键．
8．如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段AB的垂直平分线交y轴于点C．

(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
(2)试求点C的坐标；
(3)如图2，作直线AC，小明认为，直线AC在第二象限的部分上存在一点P使得△PAB≌△OBA，连接OP，求证：．
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题目所给一次函数解析式，当y=0时，可求得A的横坐标，当x=0时，可以求出B点的纵坐标，进而求得结果；
（2）设，根据垂直平分线的性质即可得到，再列出方程，即可求得，从而求得点C的坐标；
（3）根据，即可证得，再根据，证得，进而求得，从而命题得证．
(1)解：当y=0时，
，
∴，
∴点，
当x=0时，
，
∴点，
故答案为：，；
(2)解：设，
则，
在中，
，
∵的垂直平分线交于点C，
∴,
∴，
∴，
∴；
(3)证明：∵，
∴，
∴，
即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考察了由一次函数的解析式求点的坐标，线段垂直平分线性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是根据数量关系列方程求解．
9．某班为了丰富学生的课外活动，计划购买一批“名著经典”，河南省某市A、B两家书店分别推出了自己的优惠方案：
A书店：每套“名著经典”标价120元，若购买超过20套，超过部分按每套标价的八折出售；
B书店：每套“名著经典”标价120元，若购买超过15套，超过部分按每套标价的九折出售，然后每套再优惠10元．若用字母x表示购买“名著经典”的数量，字母y表示购买的价格，其函数图象如图所示．

(1)分别写出选择购买A、B书店“名著经典”的总价y与数量x之间的函数关系式；
(2)请求出图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义；
(3)根据图象直接写出选择哪家书店购买“名著经典”更合算？
【答案】(1)，
(2)(75,7680)，点M表示的实际意义为当买75套“名著经典”，在A、B两家书店所付的钱数相同，均为7680元
(3)当0≤x≤15或x=75时，在A、B两家书店所付的钱数相同；当1575时，选择A书店更合算
【分析】(1)分段函数，利用待定系数法求解即可；
(2)根据(1)的结论列方程解答即可；
(3)根据(2)的结果结合图象解答即可．
(1)解：由题意可知，当0≤x≤20，当yA=120x；
当x>20时，yA=120×20+(x﹣20)×120×0.8=96x+480；
∴yA与数量x之间的函数关系式为，
当0≤x≤15时，yB=120x，
当x>15时，yB=120×15+(x﹣15)×(120×0.9﹣10)=98x+330，
∴yB与数量x之间的函数关系式为；
(2)解：由96x+480=98x+330，
得x=75，
此时y=96×75+480=7680，
∴点M的坐标为(75,7680)，
点M表示的实际意义为当买75套“名著经典”，在A、B两家书店所付的钱数相同，均为7680元；
(3)
解：观察图象可知：当0≤x≤15或x=75时，在A、B两家书店所付的钱数相同；
当15 当x>75时，选择A书店更合算．
【点睛】本题考查分段函数、一次函数，单价、数量、总价之间的关系，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用图象确定自变量取值范围．
10．如图1，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点分别在x轴、y轴上，其中C，D两点的坐标分别为，．两动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒1个单位的速度沿线段AB向终点B运动，点Q以每秒2个单位的速度沿折线CDA向终点A运动，设运动的时间为t秒．

(1)求菱形ABCD的高h和面积s的值；
(2)当点Q在CD边上运动时，t为何值时直线PQ将菱形ABCD的面积分成1：2两部分；
(3)设四边形APCQ的面积为y，求y关于t的函数关系式（要写出t的取值范围）；在点P、Q运动的整个过程中是否存在y的最大值？若存在，求出这个最大值，并指出此时点P、Q的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)24，
(2)当时，直线PQ将菱形面积分成1：2两部分
(3)，存在最大值18，此时点P运动到AB的中点，点Q运动到与点D重合
【分析】（1）先根据C、D的坐标求出，，即可利用勾股定理求出，再由菱形的性质可得，则；
（2）如图1．由已知可得：，，则，求出，再由直线PQ将菱形的面积分成1：2两部分，则或，由此求解即可；
（3）分当Q在CD上，即时和当Q在AD上，即时两种情况讨论求解即可．
(1)解：∵，，
∴，．
∵，
∴．
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形面积．
∴菱形的高；
(2)解：如图1．由已知可得：，，则．
则
若直线PQ将菱形的面积分成1：2两部分，则或．
即，或．
解得：或（舍去）．
∴当时，直线PQ将菱形面积分成1：2两部分．

(3)当Q在CD上，即时，见图2．

∴此时，y随t的增大而增大．
∴当时，取得最大值．

当Q在AD上，即时，见图3．




∴此时y随t的增大而减小，无最大值．
∴，在点P、Q运动的整个过程中，y有最大值18，此时点P运动到AB的中点，点Q运动到与点D重合．

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，一次函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识．