还剩27页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- （挑战压轴）专题1.7 正方形模型-对角互补模型-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版） 试卷 0 次下载
- 专题1.1 菱形的性质与判定（能力提升）-2022-2023学年九年级数学上册《考点解读•专题训练》（北师大版） 试卷 0 次下载
- 专题1.1 菱形的性质与判定（专项训练）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版） 试卷 0 次下载
- 专题1.2 矩形的性质与判定（能力提升）-2022-2023学年九年级数学上册《考点解读•专题训练》（北师大版） 试卷 0 次下载
- 专题1.2 矩形的性质与判定（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版） 试卷 0 次下载
专题1.1 菱形的性质与判定（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版）
展开
这是一份专题1.1 菱形的性质与判定（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版），共30页。
专题1.1 菱形的性质与判定（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1、探索菱形的面积计算公式，并运用其进行有关计算。
2、能够综合应用菱形的性质定理与判定定理进行相关的证明和计算。
3、通过相关证明和计算，进一步发展逻辑思维能力与推理论证能力。
【知识点梳理】
考点 1 菱形的性质 ：
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质
（2） 且四条边都相等
（3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
考点2 菱形的面积：
菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半
考点3 菱形的判定：
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
【典例分析】
【考点 1 菱形的性质】
【典例1】（2022春•海淀区校级期中）若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
【变式1-1】（2022春•启东市校级月考）如图，若四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．13 B．12 C．26 D．52
【变式1-2】（2021秋•双流区期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线BD＝6，则菱形的边AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．3 D．8
【变式1-3】（2022•剑阁县模拟）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（ ）
A． B．8 C． D．16
【典例2】（2022•石阡县模拟）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．16 B．24 C．28 D．32
【变式2-1】（2020春•武川县期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，H为AD边的中点，BC＝6cm，则OH的长为（ ）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
【变式2-2】（2018•沙湾区模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD中点，则△AEF周长等于（ ）
A． B． C． D．3
【变式2-3】（2022•河东区一模）如图，若菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（3，0）、（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（﹣5，4） B．（﹣5，5） C．（﹣4，4） D．（﹣4，5）
【考点 2 菱形的面积】
【典例3】（2022春•连江县期中）如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝12，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．96 B．48 C．24 D．12
【变式3-1】（2021秋•深圳期末）已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（ ）
A．20cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．100cm2
【变式3-2】（2022•渝中区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【变式3-3】（2022春•仓山区期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长是（ ）
A． B． C． D．
【考点 3 菱形的判定】
【典例4】（2022春•晋安区期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝AD B．AO2+BO2＝AB2
C．AC＝BD D．∠BAC＝∠ACB
【变式4-1】（2022春•九龙坡区校级月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，添加下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AC平分∠DAB D．AC＝BD
【变式4-2】（2021秋•天桥区期末）如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ACDB是菱形的依据是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线平分一组对角的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
【变式4-3】（2022春•无锡期中）如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC
【典例5】（2022•潮南区模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接EF．
（1）若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形；
（2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形．
【变式5-1】（2021秋•碑林区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝3，∠C＝60°，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE、BF．求证：四边形EBFD是菱形．
【变式5-2】（2021秋•佛山月考）如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作∠DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF．求证：四边形AFED是菱形．
【变式5-3】（2022春•宝应县月考）已知：如图，在▱ABCD中，点 E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．
求证：（1）AB＝AE；
（2）四边形ABFE是菱形．
【典例6】（2020春•永春县期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝13，AC＝24，BD＝10．求证：四边形ABCD是菱形．
【变式6-1】（2019秋•景泰县校级期中）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1，求证：▱ABCD是菱形．
【变式6-2】（2022春•新田县期中）如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作EF⊥BD，垂足为点O，且交AD，BC分别于点E，F．
求证：四边形BEDF是菱形．
【考点 4 菱形的性质与判定综合】
【典例7】（2022•丹江口市模拟）如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．
【变式7-1】（2022春•庐江县期中）如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，DE＝CE，过点B作BF∥CE，交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形BCEF是菱形．
（2）若BC＝2，∠BCE＝60°，求菱形BCEF的面积．
【变式7-2】（2021秋•章丘区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形BNDM的周长．
【变式7-3】（2022•仪征市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A做AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．
专题1.1菱形的性质（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1、探索菱形的面积计算公式，并运用其进行有关计算。
2、能够综合应用菱形的性质定理与判定定理进行相关的证明和计算。
3、通过相关证明和计算，进一步发展逻辑思维能力与推理论证能力。
【知识点梳理】
考点 1 菱形的性质 ：
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质
（3） 且四条边都相等
（3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
考点2 菱形的面积：
菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半
考点3 菱形的判定：
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
【典例分析】
【考点 1 菱形的性质】
【典例1】（2022春•海淀区校级期中）若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
【答案】D
【解答】解：在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，如图：
∵ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，BO＝3，AO＝4．
∴AB＝5．
∴周长＝4×5＝20．
故选：D
【变式1-1】（2022春•启东市校级月考）如图，若四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．13 B．12 C．26 D．52
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝24，BD＝10，
∴PA＝12，OB＝5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB＝，
故选：A．
【变式1-2】（2021秋•双流区期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线BD＝6，则菱形的边AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．3 D．8
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝BD＝6，
故选：B．
【变式1-3】（2022•剑阁县模拟）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（ ）
A． B．8 C． D．16
【答案】C
【解答】解：如图，设AC，BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD＝4，∠DAO＝DAB＝30°，
∴AD＝2OD＝8，
∴AO＝＝＝4，
∴AC＝2AO＝8，
故选：C．
【典例2】（2022•石阡县模拟）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．16 B．24 C．28 D．32
【答案】D
【解答】解：∵点E、F分别是AB、AC的中点，EF＝4，
∴BC＝2EF＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的周长是：4×8＝32．
故选：D．
【变式2-1】（2020春•武川县期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，H为AD边的中点，BC＝6cm，则OH的长为（ ）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝6cm，AC⊥BD，
∵H为AD边的中点，
∴HO＝AD＝3cm．
故选：C．
【变式2-2】（2018•沙湾区模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD中点，则△AEF周长等于（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解答】解：如图，连接AC，
∵菱形ABCD，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点E是BC的中点，
∴AE＝，∠EAC＝30°，
同理可得：AF＝，∠FAC＝30°，
∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAC，
∴△AEF是等边三角形，
∴△AEF的周长＝3×＝3．
故选：B．
【变式2-3】（2022•河东区一模）如图，若菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（3，0）、（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（﹣5，4） B．（﹣5，5） C．（﹣4，4） D．（﹣4，5）
【答案】A
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，
∴AB＝3﹣（﹣2）＝5，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝5，
即CD∥x轴，
在Rt△AOD中，
由勾股定理得：OD＝＝＝4，
∴点C的坐标是：（﹣5，4）．
故选：A．
【考点 2 菱形的面积】
【典例3】（2022春•连江县期中）如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝12，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．96 B．48 C．24 D．12
【答案】C
【解答】解：∵BD＝4，AC＝12，
∴菱形ABCD的面积＝＝24，
故选：C．
【变式3-1】（2021秋•深圳期末）已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（ ）
A．20cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．100cm2
【答案】B
【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，
∴这个菱形的面积＝×6×8＝24（cm2），
故选：B．
【变式3-2】（2022•渝中区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH，
∵OH＝2，
∴BD＝4，
∵OA＝4，
∴AC＝8，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝＝16．
故选：B．
【变式3-3】（2022春•仓山区期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，
∴AB＝＝5，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•DH，
∴DH＝＝，
故选C．
【考点 3 菱形的判定】
【典例4】（2022春•晋安区期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝AD B．AO2+BO2＝AB2
C．AC＝BD D．∠BAC＝∠ACB
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故A正确；
∵AO2+BO2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故B正确；
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故C错误；
∵∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故D正确；
故选：C．
【变式4-1】（2022春•九龙坡区校级月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，添加下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AC平分∠DAB D．AC＝BD
【答案】D
【解答】解：当AB＝BC或AC⊥BD时，均可判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A、B不符合题意；
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴CD＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
当AC＝BD时，可判定平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
【变式4-2】（2021秋•天桥区期末）如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ACDB是菱形的依据是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线平分一组对角的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
【答案】D
【解答】解：由作图得：BA＝BD，CA＝CD，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ACDB是菱形，
故选：D．
【变式4-3】（2022春•无锡期中）如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC
【答案】A
【解答】解：∵点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，
∴EG＝FH＝AB，EH＝FG＝CD，
∵当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形，
∴当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．
故选：A．
【典例5】（2022•潮南区模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接EF．
（1）若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形；
（2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形．
【答案】略
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE≌△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠D+∠C＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD为菱形．
【变式5-1】（2021秋•碑林区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝3，∠C＝60°，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE、BF．求证：四边形EBFD是菱形．
【答案】略
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，DC∥AB，∠A＝∠C＝60°，
∵E，F分别是AB，CD的中点，AB＝6，AD＝3，
∴DF＝AE＝EB＝3，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵AD＝AE＝3，∠A＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE＝3，
∴DE＝EB，
∴平行四边形EBFD是菱形．
【变式5-2】（2021秋•佛山月考）如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作∠DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF．求证：四边形AFED是菱形．
【答案】略
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DEA＝∠FAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠FAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴AD＝ED，
∵AD＝AF，
∴DE＝AF，
∴四边形AFED是平行四边形，
又∵AD＝ED，
∴平行四边形AFED是菱形．
【变式5-3】（2022春•宝应县月考）已知：如图，在▱ABCD中，点 E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．
求证：（1）AB＝AE；
（2）四边形ABFE是菱形．
【答案】略
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
由（1）得：AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
【典例6】（2020春•永春县期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝13，AC＝24，BD＝10．求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】略
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝12，OB＝BD＝5，
∵OA2+OB2＝122+52＝169，AB2＝132＝169，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形．
【变式6-1】（2019秋•景泰县校级期中）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1，求证：▱ABCD是菱形．
【答案】略
【解答】证明：在△AOB中，AB＝，OA＝2，OB＝1，
∴AO2+OB2＝22+1＝5，
又∵AB2＝（）2＝5，
∴AO2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是菱形．
【变式6-2】（2022春•新田县期中）如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作EF⊥BD，垂足为点O，且交AD，BC分别于点E，F．
求证：四边形BEDF是菱形．
【答案】略
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O为对角线BD的中点，
∴BO＝DO，∠EDB＝∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
∴OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF为菱形．
【考点 4 菱形的性质与判定综合】
【典例7】（2022•丹江口市模拟）如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）略 （2）
【解答】（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴AO＝CO，
∵AM∥BN，
∴∠DAO＝∠BCO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△ADO≌△CBO（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AM∥BN，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AM∥BN，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABN，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝CB，
又∵DE⊥BD，
∴AC∥DE，
∵AM∥BN，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝2，AD＝EC，
∴EC＝CB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EC＝CB＝AB＝2，
∴EB＝4，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：BD＝＝＝2，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝＝．
【变式7-1】（2022春•庐江县期中）如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，DE＝CE，过点B作BF∥CE，交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形BCEF是菱形．
（2）若BC＝2，∠BCE＝60°，求菱形BCEF的面积．
【答案】(1) 略 (2)2
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴EF∥BC，
∵BF∥CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵DE＝CE，
∴BC＝CE，
∴平行四边形BCEF是菱形；
（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，
由（1）知BC＝CE，
∵∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE＝BC＝2，
∵EG⊥BC，
∴BG＝BC＝1，
在Rt△BGE中，由勾股定理得：EG＝＝＝，
∴S菱形BCEF＝BC•EG＝2×＝2．
【变式7-2】（2021秋•章丘区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形BNDM的周长．
【答案】（1） 略 （2）40．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，
∴BM＝BN＝DM＝DN，
设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x，
在Rt△CDN中，由勾股定理得：CD2+CN2＝DN2，
即82+（16﹣x）2＝x2，
解得：x＝10，
即BN＝10，
∴菱形BNDM的周长＝4BN＝40．
【变式7-3】（2022•仪征市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A做AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．
【答案】（1） 略 （2）略 （3）6
【解答】（1）证明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AEF和△DEB中，，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）解：连接DF，如图所示：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝4，
∵四边形ADCF是菱形，
∴菱形ADCF的面积＝AC▪DF＝×3×4＝6．
专题1.1 菱形的性质与判定（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1、探索菱形的面积计算公式，并运用其进行有关计算。
2、能够综合应用菱形的性质定理与判定定理进行相关的证明和计算。
3、通过相关证明和计算，进一步发展逻辑思维能力与推理论证能力。
【知识点梳理】
考点 1 菱形的性质 ：
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质
（2） 且四条边都相等
（3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
考点2 菱形的面积：
菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半
考点3 菱形的判定：
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
【典例分析】
【考点 1 菱形的性质】
【典例1】（2022春•海淀区校级期中）若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
【变式1-1】（2022春•启东市校级月考）如图，若四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．13 B．12 C．26 D．52
【变式1-2】（2021秋•双流区期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线BD＝6，则菱形的边AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．3 D．8
【变式1-3】（2022•剑阁县模拟）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（ ）
A． B．8 C． D．16
【典例2】（2022•石阡县模拟）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．16 B．24 C．28 D．32
【变式2-1】（2020春•武川县期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，H为AD边的中点，BC＝6cm，则OH的长为（ ）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
【变式2-2】（2018•沙湾区模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD中点，则△AEF周长等于（ ）
A． B． C． D．3
【变式2-3】（2022•河东区一模）如图，若菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（3，0）、（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（﹣5，4） B．（﹣5，5） C．（﹣4，4） D．（﹣4，5）
【考点 2 菱形的面积】
【典例3】（2022春•连江县期中）如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝12，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．96 B．48 C．24 D．12
【变式3-1】（2021秋•深圳期末）已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（ ）
A．20cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．100cm2
【变式3-2】（2022•渝中区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【变式3-3】（2022春•仓山区期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长是（ ）
A． B． C． D．
【考点 3 菱形的判定】
【典例4】（2022春•晋安区期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝AD B．AO2+BO2＝AB2
C．AC＝BD D．∠BAC＝∠ACB
【变式4-1】（2022春•九龙坡区校级月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，添加下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AC平分∠DAB D．AC＝BD
【变式4-2】（2021秋•天桥区期末）如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ACDB是菱形的依据是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线平分一组对角的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
【变式4-3】（2022春•无锡期中）如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC
【典例5】（2022•潮南区模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接EF．
（1）若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形；
（2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形．
【变式5-1】（2021秋•碑林区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝3，∠C＝60°，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE、BF．求证：四边形EBFD是菱形．
【变式5-2】（2021秋•佛山月考）如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作∠DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF．求证：四边形AFED是菱形．
【变式5-3】（2022春•宝应县月考）已知：如图，在▱ABCD中，点 E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．
求证：（1）AB＝AE；
（2）四边形ABFE是菱形．
【典例6】（2020春•永春县期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝13，AC＝24，BD＝10．求证：四边形ABCD是菱形．
【变式6-1】（2019秋•景泰县校级期中）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1，求证：▱ABCD是菱形．
【变式6-2】（2022春•新田县期中）如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作EF⊥BD，垂足为点O，且交AD，BC分别于点E，F．
求证：四边形BEDF是菱形．
【考点 4 菱形的性质与判定综合】
【典例7】（2022•丹江口市模拟）如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．
【变式7-1】（2022春•庐江县期中）如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，DE＝CE，过点B作BF∥CE，交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形BCEF是菱形．
（2）若BC＝2，∠BCE＝60°，求菱形BCEF的面积．
【变式7-2】（2021秋•章丘区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形BNDM的周长．
【变式7-3】（2022•仪征市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A做AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．
专题1.1菱形的性质（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1、探索菱形的面积计算公式，并运用其进行有关计算。
2、能够综合应用菱形的性质定理与判定定理进行相关的证明和计算。
3、通过相关证明和计算，进一步发展逻辑思维能力与推理论证能力。
【知识点梳理】
考点 1 菱形的性质 ：
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质
（3） 且四条边都相等
（3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
考点2 菱形的面积：
菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半
考点3 菱形的判定：
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
【典例分析】
【考点 1 菱形的性质】
【典例1】（2022春•海淀区校级期中）若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
【答案】D
【解答】解：在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，如图：
∵ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，BO＝3，AO＝4．
∴AB＝5．
∴周长＝4×5＝20．
故选：D
【变式1-1】（2022春•启东市校级月考）如图，若四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．13 B．12 C．26 D．52
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝24，BD＝10，
∴PA＝12，OB＝5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB＝，
故选：A．
【变式1-2】（2021秋•双流区期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线BD＝6，则菱形的边AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．3 D．8
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝BD＝6，
故选：B．
【变式1-3】（2022•剑阁县模拟）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（ ）
A． B．8 C． D．16
【答案】C
【解答】解：如图，设AC，BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD＝4，∠DAO＝DAB＝30°，
∴AD＝2OD＝8，
∴AO＝＝＝4，
∴AC＝2AO＝8，
故选：C．
【典例2】（2022•石阡县模拟）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．16 B．24 C．28 D．32
【答案】D
【解答】解：∵点E、F分别是AB、AC的中点，EF＝4，
∴BC＝2EF＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的周长是：4×8＝32．
故选：D．
【变式2-1】（2020春•武川县期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，H为AD边的中点，BC＝6cm，则OH的长为（ ）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝6cm，AC⊥BD，
∵H为AD边的中点，
∴HO＝AD＝3cm．
故选：C．
【变式2-2】（2018•沙湾区模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD中点，则△AEF周长等于（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解答】解：如图，连接AC，
∵菱形ABCD，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点E是BC的中点，
∴AE＝，∠EAC＝30°，
同理可得：AF＝，∠FAC＝30°，
∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAC，
∴△AEF是等边三角形，
∴△AEF的周长＝3×＝3．
故选：B．
【变式2-3】（2022•河东区一模）如图，若菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（3，0）、（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（﹣5，4） B．（﹣5，5） C．（﹣4，4） D．（﹣4，5）
【答案】A
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，
∴AB＝3﹣（﹣2）＝5，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝5，
即CD∥x轴，
在Rt△AOD中，
由勾股定理得：OD＝＝＝4，
∴点C的坐标是：（﹣5，4）．
故选：A．
【考点 2 菱形的面积】
【典例3】（2022春•连江县期中）如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝12，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．96 B．48 C．24 D．12
【答案】C
【解答】解：∵BD＝4，AC＝12，
∴菱形ABCD的面积＝＝24，
故选：C．
【变式3-1】（2021秋•深圳期末）已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（ ）
A．20cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．100cm2
【答案】B
【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，
∴这个菱形的面积＝×6×8＝24（cm2），
故选：B．
【变式3-2】（2022•渝中区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH，
∵OH＝2，
∴BD＝4，
∵OA＝4，
∴AC＝8，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝＝16．
故选：B．
【变式3-3】（2022春•仓山区期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，
∴AB＝＝5，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•DH，
∴DH＝＝，
故选C．
【考点 3 菱形的判定】
【典例4】（2022春•晋安区期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝AD B．AO2+BO2＝AB2
C．AC＝BD D．∠BAC＝∠ACB
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故A正确；
∵AO2+BO2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故B正确；
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故C错误；
∵∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故D正确；
故选：C．
【变式4-1】（2022春•九龙坡区校级月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，添加下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AC平分∠DAB D．AC＝BD
【答案】D
【解答】解：当AB＝BC或AC⊥BD时，均可判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A、B不符合题意；
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴CD＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
当AC＝BD时，可判定平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
【变式4-2】（2021秋•天桥区期末）如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ACDB是菱形的依据是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线平分一组对角的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
【答案】D
【解答】解：由作图得：BA＝BD，CA＝CD，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ACDB是菱形，
故选：D．
【变式4-3】（2022春•无锡期中）如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC
【答案】A
【解答】解：∵点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，
∴EG＝FH＝AB，EH＝FG＝CD，
∵当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形，
∴当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．
故选：A．
【典例5】（2022•潮南区模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接EF．
（1）若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形；
（2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形．
【答案】略
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE≌△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠D+∠C＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD为菱形．
【变式5-1】（2021秋•碑林区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝3，∠C＝60°，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE、BF．求证：四边形EBFD是菱形．
【答案】略
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，DC∥AB，∠A＝∠C＝60°，
∵E，F分别是AB，CD的中点，AB＝6，AD＝3，
∴DF＝AE＝EB＝3，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵AD＝AE＝3，∠A＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE＝3，
∴DE＝EB，
∴平行四边形EBFD是菱形．
【变式5-2】（2021秋•佛山月考）如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作∠DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF．求证：四边形AFED是菱形．
【答案】略
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DEA＝∠FAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠FAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴AD＝ED，
∵AD＝AF，
∴DE＝AF，
∴四边形AFED是平行四边形，
又∵AD＝ED，
∴平行四边形AFED是菱形．
【变式5-3】（2022春•宝应县月考）已知：如图，在▱ABCD中，点 E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．
求证：（1）AB＝AE；
（2）四边形ABFE是菱形．
【答案】略
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
由（1）得：AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
【典例6】（2020春•永春县期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝13，AC＝24，BD＝10．求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】略
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝12，OB＝BD＝5，
∵OA2+OB2＝122+52＝169，AB2＝132＝169，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形．
【变式6-1】（2019秋•景泰县校级期中）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1，求证：▱ABCD是菱形．
【答案】略
【解答】证明：在△AOB中，AB＝，OA＝2，OB＝1，
∴AO2+OB2＝22+1＝5，
又∵AB2＝（）2＝5，
∴AO2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是菱形．
【变式6-2】（2022春•新田县期中）如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作EF⊥BD，垂足为点O，且交AD，BC分别于点E，F．
求证：四边形BEDF是菱形．
【答案】略
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O为对角线BD的中点，
∴BO＝DO，∠EDB＝∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
∴OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF为菱形．
【考点 4 菱形的性质与判定综合】
【典例7】（2022•丹江口市模拟）如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）略 （2）
【解答】（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴AO＝CO，
∵AM∥BN，
∴∠DAO＝∠BCO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△ADO≌△CBO（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AM∥BN，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AM∥BN，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABN，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝CB，
又∵DE⊥BD，
∴AC∥DE，
∵AM∥BN，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝2，AD＝EC，
∴EC＝CB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EC＝CB＝AB＝2，
∴EB＝4，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：BD＝＝＝2，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝＝．
【变式7-1】（2022春•庐江县期中）如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，DE＝CE，过点B作BF∥CE，交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形BCEF是菱形．
（2）若BC＝2，∠BCE＝60°，求菱形BCEF的面积．
【答案】(1) 略 (2)2
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴EF∥BC，
∵BF∥CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵DE＝CE，
∴BC＝CE，
∴平行四边形BCEF是菱形；
（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，
由（1）知BC＝CE，
∵∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE＝BC＝2，
∵EG⊥BC，
∴BG＝BC＝1，
在Rt△BGE中，由勾股定理得：EG＝＝＝，
∴S菱形BCEF＝BC•EG＝2×＝2．
【变式7-2】（2021秋•章丘区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形BNDM的周长．
【答案】（1） 略 （2）40．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，
∴BM＝BN＝DM＝DN，
设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x，
在Rt△CDN中，由勾股定理得：CD2+CN2＝DN2，
即82+（16﹣x）2＝x2，
解得：x＝10，
即BN＝10，
∴菱形BNDM的周长＝4BN＝40．
【变式7-3】（2022•仪征市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A做AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．
【答案】（1） 略 （2）略 （3）6
【解答】（1）证明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AEF和△DEB中，，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）解：连接DF，如图所示：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝4，
∵四边形ADCF是菱形，
∴菱形ADCF的面积＝AC▪DF＝×3×4＝6．
相关试卷
北师大版八年级上册第一章 勾股定理1 探索勾股定理同步训练题： 这是一份北师大版八年级上册第一章 勾股定理1 探索勾股定理同步训练题，共20页。
专题1.1 菱形的性质与判定（专项训练）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版）： 这是一份专题1.1 菱形的性质与判定（专项训练）-2022-2023学年九年级数学上册《 考点解读•专题训练》（北师大版），共21页。
专题1.1 菱形的性质与判定（能力提升）-2022-2023学年九年级数学上册《考点解读•专题训练》（北师大版）： 这是一份专题1.1 菱形的性质与判定（能力提升）-2022-2023学年九年级数学上册《考点解读•专题训练》（北师大版），文件包含专题11菱形的性质与判定能力提升解析版docx、专题11菱形的性质与判定能力提升原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
