专题08一元二次方程的应用（动态几何问题）-2022-2023学年九年级数学上册考点精练（人教版）

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专题08 一元二次方程的应用（动态几何问题）

类型一 三角形中的动态几何问题
1．中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2cm/s的速度移动．如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．

(1)填空：________，________（用含t的代数式表示）；
(2)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，当时，的面积等于
【解析】
【分析】
（1）根据“路程=速度×时间”可表示出BQ、AP．再用AB-AP就可以求出PB即可；
（2）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程求出t的值即可．
(1)
（1）由题意得：BQ=2t，AP=t，则BP=5-AP=5-t．
故答案为：2t，5-t．
(2)
（3）存在．
由题意可得：的面积为，
∵的面积等于，
∴=4，解得：t1=1，t2=4（不符合题意，舍去），
∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．
【点睛】
本题考查了行程问题的运用、一元二次方程的解法、三角形面积公式的运用等知识点．在解答时要注意所求的解的实际问题有意义成为解答本题的关键．
2．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速移动，它们的速度都是2cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点都停止运动，设点P的运动时间为ts，解答下列问题：


(1)求△ABC的面积；
(2)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
(3)是否存在t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）过点作于点，先根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，然后利用三角形的面积公式即可得；
（2）分或两种情况，分别利用直角三角形的性质建立方程，解方程即可得；
（3）假设存在某一时刻，使四边形的面积是面积的，从而可得，过点作于点，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，再利用三角形的面积公式建立方程，然后利用一元二次方程根的判别式进行分析即可得出答案．
(1)
解：如图，过点作于点，


为等边三角形，且边长为，
，
，
的面积为．
(2)
解：由题意得：，
，
为等边三角形，
，
当点到达点时，，
则，
①当时，是直角三角形，
，
，即，
解得，符合题意；
②当时，是直角三角形，
，
，即，
解得，符合题意，
综上，当或时，是直角三角形．
(3)
解：不存在，使四边形的面积是面积的，理由如下：
假设存在某一时刻，使四边形的面积是面积的，
由（1）得：，
，
如图，过点作于点，


，
，
，
整理得：，
此方程根的判别式为，方程无解，
所以假设不成立，
即不存在，使四边形的面积是面积的．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，较难的是题（3），正确建立关于时间的方程是解题关键．
3．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（       ）

A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s
【答案】D
【解析】
【分析】
设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，
根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102，
解得：x1=2，x2=，
答：当P、Q两点从出发开始到2s或s时，点P和点Q的距离是10cm．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．
4．上午8点，某台风中心在A岛正南方向处由南向北匀速移动，同时在A岛正西方向处有一艘补给船向A岛匀速驶来，补给完后改变速度立即向A岛正北方向的C港匀速驶去，如图所示是台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象．已知台风影响的半径是（包含边界），请结合图象解答下列问题：

（1）台风的速度是_________，补给船在到达A岛前的速度是_________，图中点P的实际意义是_______________；
（2）从几点开始，补给船将受到台风的影响？
（3）设补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，出于安全考虑，补给船速度不超过、．求出图中补给船航行时间m的正整数值及此时补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间．
【答案】（1）20，60，补给船与台风中心分别在A岛正北与正南方向，且到A岛的距离相等；（2）8点12分；（3）补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间为小时．
【解析】
【分析】
（1）首先根据图像为台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象，台风在上午8点距离A岛100km，即可得出线段DE为台风中心距离A岛的距离S和时间t的图象；补给船上午8点距离A岛40km，即可得出线段FG为补给船与A岛的距离S和时间t的图象，从图像获取信息即可求得各自的速度；由题目可知，补给船到达A岛后，还要去C港，此时与台风的图像相交，结合各自的速度，即可得出点P的实际意义；
（2）由台风影响的半径是（包含边界），即可画出此情况下的图形，利用勾股定理列出方程，求解即可得出答案；
（3）根据补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，即可列出方程，解出a，根据题目要求，补给船速度不超过且，列出不等式，再根据m为正整数，即可求出m；补给船受台风影响总时间为驶向C港受影响的时间加上驶向A岛受影响的时间，即可求得答案．
【详解】
（1）由题分析得，线段DE为台风中心与A岛之间的距离S与时间t的图像，

∴台风的速度,
线段FG是补给船与A岛的距离S与时间t的图像，
∴补给船的速度，
∴点P表示：补给船与台风中心分别在A岛正北与正南方向，且到A岛的距离相等；
（2）如图所示开始受影响，即BH=100km，

设t小时后补给船开始受台风影响，
则
在中，由勾股定理得，
，

解得，（不合题意，舍去），
∴补给船出发（分钟），开始受台风影响，
∴从8点12分开始补给船开始受台风影响；
（3）由图可得，补给船离开A岛时，台风已经移动了1小时，
台风中心距离A岛的距离为：
，
由图可知，补给船离开A岛驶向C港的路程为120km，时间为，
故补给船离开A岛驶向C港的速度为：(km/h)，
∵补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，
∴
解得，
∵
∴，
由图可知，
去分母得，
解得：，
又∵补给船速度不超过，
∴
由图可知，
去分母得，
解得：
∴
∵m为正整数，
∴
当
即补给船驶出A岛到驶到C港之前受台风影响的时间为，
在补给船出发驶向A岛的过程中，有没有受台风影响，
∴补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间．
【点睛】
本题考查了从函数图像获取信息，勾股定理，一元二次方程的应用，解不等式组，解题关键是正确理解题意，能从函数图像中获取需要信息进行求解．
5．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则的长为______．

【答案】4
【解析】
【分析】
当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．
【详解】
解：由图象与题意知可知，当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为3，
∴，即．
当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，
∴．
则，代入，得，
解得或，
∵，即，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
类型二 四边形中的动态几何问题
6．如图，将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为3，则它移动的距离AA′等于 ___；移动的距离AA′等于 ___时，两个三角形重叠部分面积最大．

【答案】     1cm或3cm##3cm或1cm     2cm
【解析】
【分析】
如图，设交于 交于证明四边形是平行四边形，证明是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，设cm，则 再利用面积公式建立方程，解方程即可，同时利用配方法求解面积最大值时的平移距离.
【详解】
解：如图，设交于 交于

由平移的性质可得：
四边形是平行四边形，
由正方形可得：
是等腰直角三角形，
同理：也是等腰直角三角形，
设cm，则


解得：
cm或cm
重叠部分的面积为：
当时，重叠部分的面积最大，最大面积为4cm2
所以当cm时，重叠部分的面积最大.
故答案为：1cm或3cm；2cm
【点睛】
本题考查的是正方形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，配方法的应用，平移的性质，熟悉以上基础知识是解题的关键.
7．如图，矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝3 cm，点E从点B沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，同时点F从点C沿CD以1 cm/s的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当△AEF是以AF为底边的等腰三角形时，求点E运动的时间．

【答案】（6－）s
【解析】
【分析】
设点E运动的时间是x秒．根据题意可得方程，解方程即可得到结论．
【详解】
解：设点E运动的时间是x s．
根据题意可得22＋（2x）2＝（3－2x）2＋x2，解这个方程得
x1＝6－，x2＝6＋，
∵3÷2＝1.5（s），2÷1＝2（s），
∴两点运动了1.5s后停止运动．
∴x＝6－．
答：当△AEF是以AF为底边的等腰三角形时，点E运动的时间是（6－）s．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理的运用．
8．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）．

(1)______cm，______cm（用含x的式子表示）；
(2)若时，求x的值；
(3)当x为何值时，将成为以为斜边的直角三角形．
【答案】(1)，
(2)或
(3)当为或时，是以为斜边的直角三角形
【解析】
【分析】
（1）直接根据P、Q点运动方向和运动速度表示出答案；
（2）在中，根据勾股定理即可求出答案；
（3）表示出、和，由勾股定理即可求出答案．
(1)
由题可得：，，
∴，，
故答案为：，；
(2)
在中，，即，
解得：或；
(3)
，，，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
解得：或，
∴当为或时，是以为斜边的直角三角形．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出三角形各边的长度是解题的关键．
三、解答题(共0分)
9．如图，长方形ABCD中（长方形的对边平行且相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t（s），问：
（1）当t＝1s时，四边形BCQP面积是多少？
（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？
（3）当t＝　 s时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）

【答案】（1）5cm2；（2）；（3）或或或．
【解析】
【分析】
（1）当t=1时，可以得出CQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6-2=4（cm），由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；
（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；
（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．
【详解】
解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∵CQ＝1cm，AP＝2cm，
∴AB＝6﹣2＝4（cm）．
∴S＝（cm2）．
答：四边形BCQP面积是5cm2；
（2）如图1，作QE⊥AB于E，

∴∠PEQ＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．
∵AP＝2t（cm），
∴PE＝6﹣2t﹣t＝（6﹣3t）cm．
在Rt△PQE中，由勾股定理，得
（6﹣3t）2+4＝9，
解得：t＝．
如图2，作PE⊥CD于E，

∴∠PEQ＝90°．
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴PE＝BC＝2cm，BP＝CE＝6﹣2t．
∵CQ＝t，
∴QE＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得
（3t﹣6）2+4＝9，
解得：t＝．
综上所述：t＝或；
（3）如图3，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，

∴∠PEQ＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．
∵AP＝2t，
∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．
∵PQ＝DQ，
∴PQ＝6﹣t．
在Rt△PQE中，由勾股定理，得
（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，
解得：t＝．
如图4，当PD＝PQ时，作PE⊥DQ于E，

∴DE＝QE＝DQ，∠PED＝90°．
∵∠A＝∠D＝90°，
∴四边形APED是矩形，
∴PE＝AD＝2cm．DE＝AP＝2t，
∵DQ＝6﹣t，
∴DE＝ ．
∴2t＝，
解得：t＝；
如图5，当PD＝QD时，

∵AP＝2t，CQ＝t，
∴DQ＝6﹣t，
∴PD＝6﹣t．
在Rt△APD中，由勾股定理，得
4+4t2＝（6﹣t）2，
解得t1＝，t2＝（舍去）．
综上所述：t＝或或或．
故答案为：或或或．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．
10．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2；
(3)P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．

【答案】(1) P，Q两点从出发开始到3.2秒时，四边形APQD为长方形； (2) P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；(3) P，Q两点从出发开始到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【解析】
【分析】
（1）当PB=CQ时，四边形PBCQ为矩形，依此建立方程求出即可；
（2）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16-3x）cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式可列方程：，解方程可得解；
（3）作QE⊥AB，垂足为E，设运动时间为x秒，用x表示线段长，用勾股定理列方程求解．
【详解】
(1)设P，Q两点从出发开始到x秒时，四边形APQD为长方形，
根据题意得：16﹣3x=2x，
解得：x=．
答：P，Q两点从出发开始到秒时，四边形APQD为长方形．
(2)设P，Q两点从出发开始到y秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2，
根据题意得：×6（16﹣3x+2x）=33，
解得：x=5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
(3)过点Q作QE⊥AB于点E，如图所示．
设P，Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，
根据题意得：（16﹣3x﹣2x）2+62=102，
整理得：（16﹣5x）2=82，
解得：x1=，x2=．
答：P，Q两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．

【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是做辅助线进行解答.
11．如图，在直角梯形中，，，，．点从点出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向点运动．已知动点、同时发，当点运动到点时，、运动停止，设运动时间为．

(1)求的长；
(2)当四边形为平行四边形时，求四边形的周长；
(3)在点、点的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)四边形的周长为；
(3)满足条件的的值为秒或5秒
【解析】
【分析】
（1）先构造直角三角形，求出，，进而得出结论；
（2）利用平行四边形的对边相等，建立方程求解即可得出结论；
（3）分两种情况利用三角形面积为15建立方程求解即可得出结论．
(1)
如图1，过点作于，

∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，，，
根据勾股定理得，，
∴；
(2)
当四边形是平行四边形，
当点在上，点在上，
如图3，由运动知，，，

∴，
∴，
此时，，，根据勾股定理得，；
∴四边形的周长为；
(3)
（3）①当点在线段上时，即：时，
如图2，，

∴；
②当点在线段上时，即：时，
如图4，，，

∴，∴或（舍），
即：满足条件的的值为秒或5秒．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，分类讨论的思想，用方程的思想解决问题是解本题的关键．