初中人教版第一章 有理数综合与测试学案及答案
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1正数与负数
知识概述
正数与负数
正数:像,,这样大于的数叫做正数.
正数都大于.
负数:像,这样在正数前加上符号“”(负)号的数叫做负数.
负数都小于.
符号:一个数前面的“”,“”号叫做它的符号.
正数前面的“” 号可以省略,注意与表示是同一个正数.
负数前面的“” 号不可以省略.
用正数和负数表示具有相反意义的量:
如果正数表示某种意义,那么负数表示它的相反意义,反之亦然.
比如:用正数表示向南,那么向北可以用负数表示为.
“相反意义的量”包括两个方面的含意:一是相反意义;二是要有量.
“”的特殊性
既不是正数,也不是负数;
是正数与负数的分界;
是自然数;
的意义:
有时表示没有,比如文具盒中有支铅笔,表示没有铅笔;
有时是一个数,比如是一个确定的温度;
有时也作为基准,比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度.
常见名词:
非负数:正数和零统称为非负数;
非正数:负数和零统称为非正数;
小试牛刀
【例1】(2018•福田区一模)如果“收入10元”记作+10元,那么支出20元记作( )
A.+20元B.﹣20元C.+10元D.﹣10元
【解答】解:如果收入10元记作+10元,那么支出20元记作﹣20元.
故选:B.
【练习1】(2018•龙华区二模)如果赚120万元记作+120万元,那么亏100万元记作( )
A.+100万元B.﹣100万元C.±100万元D.±10万元
【解答】解:赚120万元记作+120万元,亏100万元记作﹣100万元,
故选:B.
再接再厉
【例2】(2018•海珠区一模)某种药品说明书上标明保存温度是(20±3)℃,则该药品在( )范围内保存最合适.
A.17℃~20℃B.20℃~23℃C.17℃~23℃D.17℃~24℃
【解答】解:20℃﹣3℃=17℃
20℃+3℃=23℃
所以该药品在17℃~23℃范围内保存才合适.
故选:C.
【巩固】(2017秋•平阳县期末)下列一组数:﹣8,0,﹣32,﹣(﹣5.7),其中负数的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解答】解:在﹣8,0,﹣32,﹣(﹣5.7)中负数是﹣8,﹣32,
即负数的个数有2个.
故选:B.
2有理数
知识概述
有理数
整数:正整数、、负整数统称为整数.
所有的正整数组成正整数集合,所有的负整数组成负整数集合.
分数:正分数、负分数统称为分数.
有限小数和无限循环小数可以化为分数,所以我们也把它们看成分数.
有理数:整数和分数统称为有理数.
有理数的分类:
(1)
(2)
小试牛刀
【例1】(2017秋•遂宁期末)下列说法正确的是( )
A.一个数前面加上“﹣”号,这个数就是负数
B.零既是正数也是负数
C.若a是正数,则﹣a不一定是负数
D.零既不是正数也不是负数
【解答】解:A、负数是小于0的数,在负数和0的前面加上“﹣”号,所得的数是非负数,故A错误;
B、0既不是正数也不是负数,是正数和负数的分界点,故B错误;
C、若a是正数,则a>0,﹣a<0,所以﹣a一定是负数,故C错误;
D、0既不是正数也不是负数,是正数和负数的分界点,故D正确.
故选:D.
【练习1】(2017秋•卫辉市期末)最小的正有理数是( )
A.0B.1C.﹣1D.不存在
【解答】解:没有最小的正有理数,
故选:D.
再接再厉
【例2】(2017秋•遂宁期末)在下列各数:﹣,+1,6.7,﹣(﹣3),0,,﹣5,25% 中,属于整数的有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
【解答】解:∵﹣(﹣3)=3,
∴在以上各数中,整数有:+1、﹣(﹣3)、0、﹣5,共有4个.
故选:C.
【练习2】(2017秋•抚州期末)下列说法正确的个数有( )
①负分数一定是负有理数
②自然数一定是正数
③﹣π是负分数
④a一定是正数
⑤0是整数
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解答】解:①负分数一定是负有理数,故①正确;
②自然数一定是非负数,故②错误;
③﹣π是负无理数,故③错误
④a可能是正数、零、负数,故④错误;
⑤0是整数,故⑤正确;
故选:B.
总述
归纳:有趣的“”
= 1 \* GB3①是自然数;
= 2 \* GB3②是偶数;
= 3 \* GB3③是整数;
= 4 \* GB3④是有理数;
= 5 \* GB3⑤是非正数;
= 6 \* GB3⑥是非负数;
= 7 \* GB3⑦既不是正数,也不是负数,是正数和负数的分界;
= 8 \* GB3 ⑧有时表示没有,有时是一个确定的数,有时也作为基准.
3数轴
知识概述
数轴
数轴:在数学中,可以用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴.它满足以下要求:
原点:在直线上任取一个点表示数,这个点叫做原点.
原点是数轴的基准点.
正方向:通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向.
选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示,,,…;从原点向左,用类似的方法依次表示,,,….
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素.
数轴的画法
画一条水平的直线(一般画水平的数轴);
在这条直线上适当位置取一实心点作为原点:
确定向右的方向为正方向,用箭头表示;
选取适当的长度作单位长度,用细短线画出,并对应标注各数,同时要注意同一数轴的单位长度要一致.
有理数与数轴的关系
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.
数轴上的点并不全是有理数,如也可以在数轴上表示,但并不是有理数.
正有理数位于原点的右边,负有理数位于原点的左边.
利用数轴比较有理数的大小
在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.
因此,正数总大于零,负数总小于零,正数大于负数.
小试牛刀
【例1】(2018•晋城三模)若数轴上表示﹣2和3的两点分别是点A和B,则点A和点B之间的距离是( )
A.﹣5B.﹣1C.1D.5
【解答】解:因为3﹣(﹣2)
=5
故选:D.
【练习1】(2018•长春模拟)如图,在数轴上点M表示的数可能是( )
A.1.5B.﹣1.5C.﹣2.4D.2.4
【解答】解;点M表示的数大于﹣3且小于﹣2,
A、1.5>﹣2,故A错误;
B、﹣1.5>﹣2,故B错误;
C、﹣3<﹣2.4<﹣2,故C正确;
D、2.4>﹣2,故D错误.
故选:C.
再接再厉
【例2】(2017秋•双城市期末)下列数轴画正确的是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:A没有单位长度,故A错误;
B、没有正方向,故B错误;
C、原点、单位长度、正方向都符合条件,故C正确;
D、原点左边的单位表示错误,应是从左到右由小到大的顺序,故D错误;
故选:C.
【巩固】(2017秋•浉河区期末)如图,将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1cm),刻度尺上“1cm”和“9cm”分别对应数轴上的﹣3和x,那么x的值为 .
【解答】解:x的值为9﹣4=5.
故答案为:5.
4相反数
知识概述
相反数
相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
一般地,与互为相反数,表示任意一个数,可以是正数、负数,也可以是.
特别地,的相反数是.
相反数是成对出现的.
相反数的几何意义:
互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧,并且到原点的距离相等.
求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“”号即可.
多重符号的化简
一个正数前面不管有多少个“”号,都可以全部去掉;
一个正数前面有偶数个“”号,也可以把“”号全部去掉;
一个正数前面有奇数个“”号,则化简后只保留一个“”号
口诀“奇负偶正”,其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数,“负正”是指化简的最后结果的符号
小试牛刀
【例1】(2018•商河县一模)的相反数是( )
A.B.C.D.
【解答】解:的相反数是,
故选:D.
【练习1】(2018•连山区一模)2018的相反数是( )
A.8102B.﹣2018C.D.2018
【解答】解:2018的相反数﹣2018,
故选:B.
再接再厉
【巩固】(2018•东莞市模拟)下列各数中,其相反数等于本身的是( )
A.﹣1B.0C.1D.2018
【解答】解:相反数等于本身的数是0.
故选:B.
5绝对值
知识概述
绝对值
绝对值的概念:一般地,数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值,记作.
绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离.
绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;的绝对值是.
即:(1)如果,那么;
(2)如果,那么;
(3)如果,那么.
可整理为:,或,或
绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或.
即:
有理数的比较大小
两个负数,绝对值大的反而小.
正数大于零,零大于负数,正数大于负数.
利用数轴:在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.
小试牛刀
【例1】(2018•禹城市一模)﹣的绝对值是( )
A.﹣B.C.﹣2D.2
【解答】解:﹣的绝对值为.
故选:B.
【练习】(2018•通州区二模)﹣2的绝对值是( )
A.﹣2B.C.±2D.2
【解答】解:﹣2的绝对值是2.
故选:D.
【巩固】(2018•岐山县二模)|﹣3|的值是( )
A.3B.C.﹣3D.﹣
【解答】解:|﹣3|=3,
故选:A.
再接再厉
【例2】(2017秋•沂水县期末)如图,图中数轴的单位长度为1.如果点B,C表示的数的绝对值相等,那么点A表示的数是( )
A.﹣4B.﹣5C.﹣6D.﹣2
【解答】解:因为点B,C表示的数的绝对值相等,即到原点的距离相等,
所以点B,C表示的数分别为﹣2,2,
所以点A表示的数是﹣2﹣2=﹣4.故选A.
【练习2】(2018•天桥区一模)计算:|﹣5+3|的结果是 .
【解答】解:|﹣5+3|=|﹣2|=2.
故答案为:2.
总述
归纳:大家一起说说——绝对值.
= 1 \* GB3①绝对值等于它本身的数是 ;
= 2 \* GB3②绝对值大于它本身的数是 ;
= 3 \* GB3③绝对值等于它的相反数的数是 ;
= 4 \* GB3④绝对值最小的有理数是 ;
= 5 \* GB3⑤绝对值最小的正整数是 ;
= 6 \* GB3⑥绝对值最小的负整数是 .
综合练习
一.选择题(共6小题)
1.若数轴上表示数﹣3和1的两点分别是点A和点B,则点A和点B之间的距离是( )
A.﹣4B.﹣2C.2D.4
【解答】解:1﹣(﹣3)=4
故选:D.
2.如果实数a满足|a|=3,且a<0,那么a的值为( )
A.±3B.1C.3D.﹣3
【解答】解:∵|a|=3,且a<0,
∴a=﹣3.
故选:D.
3.下列各对数中互为相反数的是( )
A.﹣(+3)和+(﹣3)B.+(﹣3)和+|﹣3|
C.﹣(﹣3)和+|﹣3|D.+(﹣3)和﹣|+3|
【解答】解:A、﹣(+3)=﹣3和+(﹣3)=﹣3,不是相反数,故此选项错误;
B、+(﹣3)=﹣3和+|﹣3|=3,是相反数,符合题意;
C、﹣(﹣3)=3和+|﹣3|=3,不是相反数,故此选项错误;
D、+(﹣3)=﹣3和﹣|+3|=﹣3,不是相反数,故此选项错误;
故选:B.
4.有理数a、b在数轴上的对应位置如图所示,则下列四个选项正确的是( )
A.a<b<﹣b<﹣aB.a<﹣b<﹣a<bC.a﹣b>0D.﹣a+b>0
【解答】解:观察图形可知a<0<b,且|a|>|b|,
∴a<﹣b<b<﹣a
∴答案A、B都错误;
又∵a<0<b,
∴a﹣b<0,b﹣a>0
故选:D.
5.有理数a、b在数轴上的位置如图所示,则化简|a﹣b|﹣2|a|的结果为( )
A.﹣a﹣bB.3a﹣bC.a+bD.2a﹣b
【解答】解:根据题意得,a<0,b>0,
∴a﹣b<0,
∴|a﹣b|﹣2|a|=b﹣a+2a=a+b.
故选:C.
6.已知a,b两数在数轴上对应的点如图所示,下列结论正确的是( )
A.a+b>0B.﹣a+b>0C.ab<0D.﹣a﹣b>0
【解答】解:由图可知b<a<0,|b|>|a|,
所以a+b<0,﹣a+b<0,ab>0,﹣a﹣b>0,
故选:D.
二.填空题(共1小题)
7.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简|a﹣c|﹣|c﹣b|+|b|= ﹣a .
【解答】解:由题可得a﹣c<0,c﹣b>0,b<0,
∴|a﹣c|﹣|c﹣b|+|b|
=﹣a+c﹣c+b﹣b
=﹣a.
故答案为:﹣a.
三.解答题(共1小题)
8.快递配送员王叔叔一直在一条南北走向的街道上送快递,如果规定向北为正,向南为负,某天他从出发点开始所行走的路程记录为(长度单位:千米):+3,﹣4,+2.+3.﹣1,﹣1,﹣3
(1)这天送完最后一个快递时,王叔叔在出发点的什么方向,距离是多少?
(2)如果王叔叔送完快递后,需立即返回出发点,那么他这天送快递(含返回)共耗油多少升(已知每千米耗油0.2升)?
【解答】解:(1)由题意得:
+3﹣4+2+3﹣1﹣1﹣3
=﹣9+8
=﹣1
答:王叔叔送完最后一个快递时,在出发点的南方,距离出发点是1km.
(2)设王叔叔总的行驶路程为S,则S=|+3|+|﹣4|+|+2|+|+3|+|﹣1|+|﹣1|+|﹣3|+|﹣1|=18
∵每行驶1千米耗油0.2升,
∴耗油量为18×0.2=3.6
答:王叔叔这天送快递(含返回)共耗油3.6升.
中考内容
中考要求
A
B
C
有理数
理解有理数的意义
能比较有理数的大小
数轴
了解实数与数轴上的点一一对应
能用数轴上的点表示有理数
相反数和绝对值
借助数轴理解相反数和绝对值的意义;了解的意义
能求实数的相反数与绝对值
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