初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系第2课时达标测试

2022-2023学年度人教版九年级数学章节培优训练试卷

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第二十四章　圆

24.2　点和圆、直线和圆的位置关系

24.2.2　直线和圆的位置关系

第2课时　切线的判定与性质

一、选择题

1.如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,若∠BAC=35°,则∠ACB的大小为(　　)

A.35°　　B.45°　　C.55°　　D.65°

2.如图,BC为☉O的直径,弦AD⊥BC于点E,直线l切☉O于点C,延长OD交l于点F,若AE=2,∠ABC=22.5°,则CF的长为(　　)

A.2　　B.2　　C.2　　D.4

3.如图,∠ABC=70°,O为射线BC上一点,以点O为圆心,OB长为半径作☉O,要使射线BA与☉O相切,应将射线绕点B按顺时针方向旋转(　　)

A.35°或70°　　B.40°或100°　　

C.40°或90°　　D.50°或110°

4. 如图,在△ABC中,AB=6,以点A为圆心,3为半径的圆与边BC相切于点D,与AC,AB分别交于点E和点G,点F是优弧GE上一点,

∠CDE=18°,则∠GFE的度数是(　　)

A.50°　　B.48°　　C.45°　　D.36°

5.如图,点A在☉O上,点B在☉O外,以下条件能判定AB是☉O切线的有(　　)

①∠O+∠B=90°;②∠A-∠B=∠O;③OB=AB=OA;④OA∶AB∶OB=3∶4∶5.

A.1个　　　　B.2个　　

C.3个　　　　D.4个

6.如图,∠BAC=36°,点O在边AB上,☉O与边AC相切于点D,交边AB于点E,F,连接FD,则∠AFD等于(　　)

A.27°　　B.29°　　C.35°　　D.37°

7.如图,已知☉O上三点A,B,C,半径OC=1,∠ABC=30°,过点A作☉O的切线交OC的延长线于点P,则PA的长为(　　)

A.2　　B.　　C.　　D.

二、填空题

8.如图,已知☉O的半径为1,点P是☉O外一点,且OP=2.若PT是☉O的切线,T为切点,连接OT,则PT=　　　　. 

9.如图,☉O与△OAB的边AB相切,切点为B.将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B,使点O'落在☉O上,边A'B交线段AO于点C.若∠A'=25°,则∠OCB=　　　　度. 

10.如图,在Rt△AOB中,OB=2,∠A=30°,☉O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作☉O的一条切线PQ(其中点Q为切点),则线段PQ长度的最小值为　　　　. 

三、解答题

11.如图,AB为☉O的直径,点C,D在☉O上,==,DE⊥AC.

求证:DE是☉O的切线.

12.如图,OA=OB=13 cm,AB=24 cm,☉O的直径为10 cm.求证:AB是☉O的切线.

13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的☉O交斜边AB于点D,若E是AC的中点,连接DE.求证:DE为☉O的切线.

14.如图,AB是☉O的直径,==2,连接AC、CD、AD,CD交AB于点F,过点B作☉O的切线BM交AD的延长线于点E.

(1)求证:AC=CD;

(2)连接OE,若DE=2,求OE的长.

答案全解全析

一、选择题

1.答案　C　∵BC是☉O的切线,AB是☉O的直径,

∴AB⊥BC,

∴∠ABC=90°,

∴∠ACB=90°-∠BAC=90°-35°=55°.故选C.

2.答案　B　∵BC为☉O的直径,弦AD⊥BC于点E,AE=2,∠ABC=22.5°,

∴∠COD=2∠ABC=45°,DE=AE=2,

∴OE=ED=2,

∴OC=OD=2.

∵直线l切☉O于点C,

∴BC⊥CF,∴△OCF是等腰直角三角形,

∴CF=OC=2.故选B.

3. 答案　B　设旋转后与☉O相切于点D,连接OD,∴OD⊥BD,∴∠ODB=90°,

∵OD=OB,∴∠OBD=30°,如图,当点D在射线BC上方时,D在D1处,∠ABD1=∠ABC-∠OBD1=70°-30°=40°;当点D在射线BC下方时,

D在D2处,∠ABD2=∠ABC+∠OBD2=70°+30°=100°.故选B.

4. 答案　B　如图,连接AD,∵BC与☉A相切于点D,

∴AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,

∵AB=6,AG=AD=3,∴AD=AB,∴∠B=30°,

∴∠GAD=60°,∵∠CDE=18°,

∴∠ADE=90°-18°=72°,

∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE=72°,

∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-72°-72°=36°,

∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+36°=96°,

∴∠GFE=∠GAE=×96°=48°,故选B.

5. 答案　D　①∵∠O+∠B=90°,∴∠A=90°,∴AB是☉O的切线;

②∵∠A-∠B=∠O,∴∠A=∠O+∠B=×180°=90°,∴AB是☉O的切线;

③∵OB=AB=OA,∴OA2+AB2=OB2,∴∠A=90°,∴AB是☉O的切线;

④∵OA∶AB∶OB=3∶4∶5,设OA=3x,则AB=4x,OB=5x,

∴OA2+AB2=9x2+16x2=25x2,OB2=25x2,∴OA2+AB2=OB2,∴∠A=90°,∴AB是☉O的切线.综上所述,①②③④都能判定AB是☉O的切线.

6. 答案　A　如图,连接OD,∵☉O与边AC相切于点D,

∴∠ADO=90°,

∵∠BAC=36°,

∴∠AOD=90°-36°=54°,

∵OD=OF,∴∠AFD=∠ODF,

∴∠AFD=∠AOD=×54°=27°.

7. 答案　B　如图,连接OA,

∵∠ABC=30°,∴∠AOC=2∠ABC=60°.

∵AP为☉O的切线,

∴∠OAP=90°,∴∠P=30°.

∵OA=OC=1,∴OP=2,∴AP=.故选B.

二、填空题

8.答案　

解析　∵PT是☉O的切线,T为切点,∴OT⊥PT,在Rt△OPT中,OT=1,OP=2,∴PT===,故PT=.

9.答案　85

解析　∵☉O与△OAB的边AB相切,∴OB⊥AB,∴∠OBA=90°,连接OO',如图,∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B,

∴∠A=∠A'=25°,∠ABA'=∠OBO',BO=BO',∵OB=OO',∴△OO'B为等边三角形,∴∠OBO'=60°,∴∠ABA'=60°,∴∠OCB=∠A+∠ABC=25°+60°=85°.

10.答案　2

解析　如图,连接OP、OQ,作OP'⊥AB于P',∵PQ是☉O的切线,∴OQ⊥PQ,

∴PQ==,当OP的长度最小时,线段PQ的长度最小,当OP⊥AB时,OP的长度最小,在Rt△AOB中,∠A=30°,OB=2,∴AB=4,由勾股定理可得OA=6.在Rt△AOP'中,∠A=30°,∴OP'=OA=3,∴线段PQ长度的最小值==2.

三、解答题

11.证明　如图,连接OD,

∵==,

∴∠BOD=×180°=60°.

∵=,∴∠EAD=∠DAB=∠BOD=30°.

∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAB=30°.

∵DE⊥AC,∴∠E=90°,

∴∠EAD+∠EDA=90°,

∴∠EDA=60°,

∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°,

∴OD⊥DE.

∵OD是☉O的半径,

∴DE是☉O的切线.

12.证明　如图,过点O作OC⊥AB于点C,

∵OA=OB=13 cm,AB=24 cm,

∴AC=AB=12(cm).

在Rt△OAC中,根据勾股定理,得

OC==5(cm).

∵☉O的直径为10 cm

∴☉O的半径r为5 cm,

∴OC=r,即OC为☉O的半径,

∵OC⊥AB,∴AB是☉O的切线.

13.证明　如图,连接OD、OE,

∵BC是☉O的直径,E是AC的中点,

∴OE是△ABC的中位线,∴OE∥AB,

∴∠EOD=∠ODB,∠EOC=∠B.

又∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,

∴∠EOD=∠EOC.

又∵OC=OD,OE=OE,

∴△EOD≌△EOC,

∴∠EDO=∠ECO.

又∵∠ACB=90°,∴∠EDO=90°.

又∵点D在☉O上,

∴DE为☉O的切线.

14.解析　(1)证明:∵==2,

∴AD=CD,B是的中点.

∵AB是直径,

∴=,

∴AD=AC,

∴AC=CD.

(2)如图,连接BD,

∵AD=DC=AC,

∴∠ADC=∠DAC=60°.

∵=2,∴=,∴∠DAB=∠CAB,∴∠DAB=∠DAC=30°.

∵BM切☉O于点B,AB是直径,

∴BM⊥AB,

∵CD⊥AB,∴BM∥CD,

∴∠AEB=∠ADC=60°,

∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴∠BDE=90°.

在Rt△BDE中,∵∠DBE=90°-∠DEB=30°,

∴BE=2DE=4,

∴BD===2.

在Rt△BDA中,∵∠DAB=30°,

∴AB=2BD=4,

∴OB=AB=2,

在Rt△OBE中,OE===2.