第01讲 相似形与比例线段- 2022-2023学年九年级数学上册 精讲精练（沪教版）

第1讲   放缩与相似形

1、相似形的概念

相似形：我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，简称相似形．

2、相似多边形的性质

如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．

要点： (1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

   (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；

（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．

（4）相似多边形对应边的比称为相似比．

题型一、相似形的判断

【例1】有以下命题：

（1）邻边之比为2 : 3的两个平行四边形相似；

（2）有一个角是40°的两个菱形相似；

（3）两个矩形相似；

（4）两个正方形相似，其中正确的是（    ）

 A．和  B．和  C．和  D．和

【答案】B

【解析】邻边之比固定，但邻边的夹角不确定，形状不一定相同，①错误；矩形每个角都是90度，但长宽之比不确定，即对应边不一定成比例，③错误；故选B．

【例2】如图，有三个矩形，其中是相似形的是（     ）

A.甲与乙            B.甲与丙           C.乙与丙            D.以上都不对

【答案】B

【解析】甲：长:宽=3：2；乙：长：宽=2.5：1.5=5：3；丙：长：宽=1.5：1=3：2；所以甲与丙的对应边成比例，故选择B.

【例3】（2021•龙港区一模）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

【答案】A

【解析】解：第一个三角形的三边的三边之比为：1：2：，

第二个三角形的三边的三边之比为：：：，

第三个三角形的三边的三边之比为：1：2：，

第一个四角形的三边的三边之比为：1：1：，

只有第一和第三个三角形的三边成比例，

所以只有第一和第三个三角形相似，

故选：A．

题型二、相似形性质的应用

【例4】将一个多边形I放大或缩小得到多边形II，那么在多边形I和多边形II的对应量中，没有被放大或缩小的是（    ）

A.多边形的边长      B.多边形的周长      C.多边形的面积      D.多边形的内角

【答案】D

【解析】放缩运动后，多边形的边长会放大或者缩小，同时周长与面积也会发生变化，所以A、B、C不正确，而放缩后，角不变，故选择D.

【例5】如果两个矩形相似，已知一个矩形的两边长分别为5 cm和4 cm，另一边矩形的边长为6 cm，则另一边长为______．

【答案】4.8cm或7.5cm．

【解析】设矩形另一边长为cm，根据相似形的定义，对应边成比例，可知或，解得：或．

【例6】在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3 cm的两地，它们的实际距离为 （　　）

　　A.3 km　　   B.30 km　　    C.300 km　　    D.3 000 km

【答案】B．

【解析】图上距离︰实际距离＝比例尺．所以3cm：实际距离=1：1000 000，故实际距离=3000 000cm=30km。

【例7】如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似的图形，点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′分别是对应顶点，已知数据如图所示，求未知边x、y的长度和角α、β的大小．

【答案】x＝6，y＝15；α＝155°β＝55°.

【解析】解：在四边形ABCD中，∠D＝∠D'＝β＝55°，

∠A＝α＝360°﹣55°﹣90°﹣60°＝155°，

∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，

∴＝＝，

∴x＝6，y＝15．

【例8】如图，△ABC和△ADE是相似形，AE=5cm，AC=6cm，BC=12cm，∠ACB=40°，∠B=∠D.

（1）求∠AED的度数；

（2）求DE的长.

【答案】（1）∠AED=40°；（2）DE=10cm.

【解析】（1）∵△ABC ~△ADE，∠B=∠D，∠DAE=∠BAC,∴∠ACB=∠AED,

           又∵∠ACB=40°，∴∠AED=40°

（2）∵△ABC ~△ADE，∴,

∵AE=5cm，AC=6cm，BC=12cm,

∴,∴DE=10cm.

举一反三

1.(2020秋•期末）观察下列图形中，是相似图形的一组是（    ）

A.       B.       C.     D.

【答案】B

【解析】A.形状不相同，不符合相似形的定义，故不符合题意；

1. 形状相同，且大小不同，符合相似形的定义，故符合题意；
2. 形状不相同，不符合相似形的定义，故此项不符合题意；
3. 形状不相同，所以不符合相似形的定义，此项不符合题意；

故选B.

2.（2020•全国课时练习）下列命题中，正确的命题是（    ）

A.相似三角形是全等三角形         B.不全等的图像不是相似形

C.全等形是相似形                 D.不相似的图形可能是全等形

【答案】C

【解析】A.相似三角形不一定是全等三角形，故错误，A不符合题意；

B.不全等的图形可能是相似形，也可能不是相似形，故不正确，B不符合题意；

C.全等形一定是相似形，C正确；

4. 不相似的图形一定不是全等形，故D不符合题意；

故选C.

3.（2021•沁阳市模拟）如图，已知△ABC，则下列三角形中，与△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C菁优网版权所有

【解析】解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠A＝30°，

∴∠C＝75°＝∠B，

A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，

B、三角形各角的度数都是60°，

C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，

D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，

∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，

故选：C．

4.（2020秋•全国期末练习）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF,则∠ABC+∠ACB的度数为（    ）

  A.135°       B.90°       C.60°       D.45°

【答案】D

【解析】∵△ABC与△EDF相似，根据图形可以看出，∠DEF=135°，

∴∠BAC=∠DEF==135°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=45°.

故选：D.

5.（2020秋•全国期末练习）下列说法中：（1）所有的等腰三角形都相似；（2）所有的正三角形都相似；（3）所有的正方形都相似；（4）所有的矩形都相似；（5）所有的圆都相似。其中说法正确的序号是          。

【答案】（2）（3）（5）

【解析】（1）错误，对应角不一定相等，例如：一个等腰三角形的顶角为30°，另一个等腰三角形的顶角为50°，不相似，故（1）不正确；

（2）正确；

（3）正确；

（4）对应边不一定成比例，故错误；

（5）正确。

6.（2020•全国期末练习）利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长之比是          .

【答案】1:4

【解析】原图的边长为5厘米，周长为15厘米，放大后的边长为20厘米，周长为60厘米，所以周长之比为15:60=1:4，故答案为：1:4.

7．（2020秋•阜宁县期末）在比例尺为1：500000的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为11.7cm，则它的实际长度约为（　　）

A．0.585 km B．5.85 km C．58.5 km D．585 km

【答案】C

【解析】解：设这两城市的实际距离是x厘米，由题意，得

1：500000＝11.7：x，

解得：x＝5950000，

5850000cm＝58.5km．

故选：C．

8. △ABC的三条边长分别为、2、，△A′B′C′的两边长分别为1和，且△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长为____________

【答案】 

【解析】△A′B′C′已知两边之比为1：，在△ABC中找出两边、，它们长度之比也为1︰，设△A′B′C′第三边为，所以2：=：1，则=.

9.（2019•秋杨浦区期末）定义：我们知道，四边形的一条对角线吧这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线.在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC,那么∠ADC=        度.

【答案】145

【解析】如图所示，∵∠ABC=70°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC,

又∵对角线BD是它的相似对角线，∴△ABD与△DBC相似，

∴∠A=∠BDC,∠ADB=∠C,∴∠A+∠C=∠ADC,∠A+∠C+∠ADC=360°-70°=290°，

∴∠ADC=145°，故答案为：145.

10.从一个矩形中剪去一个正方形，如图所示，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长边与宽边比.

【答案】（1+）：2

【解析】设原矩形的长为，宽为，则剩下矩形的长为，宽为

由题意知，，即，令，则，所以，

所以，所以原矩形的长与宽之比为 .

课后练习

1.（2020徐汇区一模）下列命题中，假命题是（    ）

A.凡有内角为的直角三角形都相似；

B.凡有内角为的等腰三角形都相似；

C.凡有内角为的直角三角形都相似；

D.凡有内角为的等腰三角形都相似．

【答案】B

【解析】A.直角三角形三个内角分别为30°、60°、90°，所以对应角相等，且对应边成比例，所以相似，故A是真命题；

B.如果一个等腰三角形顶角为45°，另一个等腰三角形底角为45°，不相似，故B为假命题；

C.由题意，直角三角形三个内角分别为30°、60°、90°，所以对应角相等，且对应边成比例，所以相似，故C是真命题；

D.内角我90°的等腰三角形即为等腰直角三角形，对应角相等，且对应边成比例，故D为真命题.

故选B.

2.（2020秋•麦积区期末）下列说法错误的是（　　）

A．等边三角形都相似 B．矩形都相似 

C．等腰直角三角形都相似 D．正方形都相似

【答案】B

【解析】解：因为所有等边三角形，正方形，等腰直角三角形都相似，

故选：B．

3.（2020秋•奉贤区期末）下列两个图形一定相似的是（　　）

A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个梯形

【答案】B

【解析】解：A、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；

B、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；

C、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；

D、两个梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；

故选：B．

4.（2020秋•娄星区期末）图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：从图中看出，△A1B1C1中有一个角是135°，而观察选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，

故选：B．

5.（2020秋•北碚区校级月考）选项图形与如图所示图形相似的是（　　）

A．     B．       C．     D．

【答案】D

【解析】解：因为相似图形的形状相同，

所以A、B、C中形状不同，

故选：D．

6.（2020秋•拱墅区期末）在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（　　）

A．没有发生变化 B．放大了10倍 

C．放大了30倍 D．放大了100倍

【答案】B

【解析】解：在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，则边长扩大10倍，故三角形的周长放大了10倍．

故选：B．

7.（2019秋•徐汇区期末）四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是　     ．

【答案】1.6

【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，

∴CD：C′D′＝BC：B′C′，

∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，

∴C′D′＝1.6，

故答案为：1.6．

8.（2018秋•嘉定区期中）已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25°、55°，则另一个三角形的最大内角的度数为　   　．

【答案】100°

【解析】解：∵一个三角形的两个角分别为25°、55°，

∴第三个角，即最大角为180°﹣（25°+55°）＝100°，

∵两个三角形相似，

∴另一个三角形的最大内角度数为100°，

故答案为：100°．

9.（2020秋•松江区期末）在一张地图上量得上海与南京两地的距离为3.2厘米，又已知上海与南京、北京两地的实际距离分别约为300千米和1080千米，那么在这张地图上，上海与北京两地的距离为多少厘米？

【答案】11.52厘米

【解析】解：设在这张地图上，上海与北京两地的距离为x厘米．根据题意得到：．

解得x＝11.52，

答：在这张地图上，上海与北京两地的距离为11.52厘米．

10.已知四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似的图形，并且点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'、点D与点D'分别是对应顶点，已知BC＝4，CD＝3.6，A'B'＝3.3，B'C'＝3，∠B＝75°，∠C＝105°，∠D＝95°，求AB，C'D'的长和∠A'的度数．

【答案】AB＝4.4．C′D′＝2.7，∠A′＝∠A＝85°.

【解析】解：在四边形ABCD中，∠A＝360°﹣75°﹣105°﹣95°＝85°，

∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，

∴AB：A′B′＝CD：C′D′＝BC：B′C′＝4：3，∠A′＝∠A＝85°，

∵A′B′＝3.3，CD＝3.6，

∴AB＝4.4．C′D′＝2.7，

11.（2019秋•大观区校级期中）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：

观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．

观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．

请回答下列问题：

（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．

（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，DE＝15，求△DEF的面积．

【答案】（1）观点一正确；观点二不正确;（2）△DEF的面积为：54.

【解析】解：（1）观点一正确；观点二不正确．

理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，

∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，

∴AB∥DE，AC∥DF，

∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，

∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，

即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，

∴△ABC∽△DEF，

∴观点一正确；

②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，

则新矩形邻边为4和8，

∵＝，＝，

∴，

∴新矩形于原矩形不相似，

∴观点二不正确；

（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，

∵A到DE、DF的距离都为1，

∴DA是∠FDE的角平分线，

同理，EB是∠DEF的角平分线，

∴点O是△ABC的内心，

∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，

∴△ABC是直角三角形，

设△ABC的内切圆的半径为r，

则6﹣r+8﹣r＝10，

解得r＝2，

过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，

∵AB∥DE，

∴OG⊥AB，

∴OG＝r＝2，

∴＝＝，

同理＝＝＝，

∴DF＝9，EF＝12，

∴△DEF的面积为：×9×12＝54．