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2021-2022学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）入学数学试卷 - 副本
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这是一份2021-2022学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）入学数学试卷 - 副本，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）入学数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．（3分）在平面直角坐标系中，在第三象限的点是（ ）
A．（﹣3，5） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（1，1）
2．（3分）如图，AB⊥CD，垂足为O，EF是过点O的一条直线，已知∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
3．（3分）已知点P（2a+6，4+a）在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞﹣3 D．a＞﹣4
4．（3分）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了了解我市居民平均每日废弃口罩的数量，选择全面调查
B．为了了解某一批次LED灯泡的使用寿命，选择抽样调查
C．为了了解中国空间站“天和”核心舱的设备零件质量情况，选择抽样调查
D．为了了解我市七年级学生参加社会实践的时间，选择全面调查
5．（3分）已知一个多边形的内角和是1080°，则该多边形的边数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．（3分）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，下列判断正确的是（ ）
A．若∠1＝∠3，则AB∥DC
B．若∠ABC＝∠ADC，则AD∥BC
C．若∠ABC+∠BCD＝180°，则AD∥BC
D．若∠2＝∠4，则AB∥DC
8．（3分）如果a＞b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a+1＜b+1 B．﹣a+3＜﹣b+3 C．﹣a＞﹣b D．＜
9．（3分）如图，在△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB，再添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ACB＝∠DBC B．∠A＝∠D C．AB＝CD D．AC＝DB
10．（3分）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《九章算术》中记载了这样一个问题，大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每1只各重多少斤？”如果设每只雀重x斤，每只燕重y斤，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）如图，要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l，垂足为点Q，然后沿PQ开挖水渠，其依据是 ．
14．（3分）把方程5x﹣2y＝3改写成用含x的式子表示y的形式是： ．
15．（3分）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 ．
16．（3分）如图，△ABC≌△DBE，△ABC的周长为30，AB＝9，BE＝8，则AC的长是 ．
17．（3分）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，CQ的长为 ．
三、解答题（本大题共11个小题，共66分）
19．（4分）计算：．
20．（4分）解二元一次方程组：．
21．（4分）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
22．（6分）按要求画图及填空：
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．
（1）点A的坐标为 ．
（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（3）计算△A1B1C1的面积．
23．（6分）泗阳县某校开展八年级“新冠疫情防控”学生知识竞赛，现抽取部分学生的竞赛成绩（满分为100分，得分均为整数）进行统计，绘制了图中两幅不完整的统计图，根据图中信息，回答下列问题：
（1）a＝ ，n＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校八年级共有2000名学生，若成绩在80分以上的为优秀，请你估计该校绩优秀的学生人数．
24．（6分）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．
25．（6分）如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．
26．（6分）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
27．（8分）现计划把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地．已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，如果每辆A型货车最多可装甲种货物7吨和乙种货物3吨，每辆B型货车最多可装甲种货物5吨和乙种货物7吨．
（1）装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案？
（2）使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元．在上述方案中，哪个方案运费最省？最省的运费是多少元？
（3）在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元．每辆B型车奖金为n元，38＜m＜n．且m、n均为整数，求此次奖金发放的具体方案．
28．（8分）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
29．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P'（1+2×4，2×1+4），即P'（9，6）．
（1）若点P的“3属派生点”P'的坐标为（6，2），求点P的坐标；
（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且线段PP'的长度为线段OP长度的2倍，求k的值；
（3）如图，已知点A（0，2），点P是x轴上一点，且是点（2，4）的“k属派生点”，以线段AP为一边，在其一侧作如图所示等边三角线APQ．现P点沿x轴运动，当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．问三角形ABQ的面积是否是一个定值，如果是，请求出面积；如果不是，请说明理由．
2021-2022学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．（3分）在平面直角坐标系中，在第三象限的点是（ ）
A．（﹣3，5） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（1，1）
【分析】写出每个点所在的象限后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、（﹣3，5）在第二象限，不符合题意；
B、（1，﹣2）在第四象限，不符合题意；
C、（﹣2，﹣3）在第三象限，符合题意；
D、（1，1）在第一象限，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查了在第三象限内点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．（3分）如图，AB⊥CD，垂足为O，EF是过点O的一条直线，已知∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】由垂直的定义求出∠BOD＝90°，再根据平角定义得∠1+∠BOD+∠2＝180°，即可求得∠2＝50°．
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴∠BOD＝90°，
∵∠1+∠BOD+∠2＝180°，∠1＝40°，
∴40°+90°+∠2＝180°，
∴∠2＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查角的计算，解题的关键是由垂直的定义得出∠BOD＝90°．
3．（3分）已知点P（2a+6，4+a）在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞﹣3 D．a＞﹣4
【分析】先根据第二象限内点的坐标符号特点列出关于a的不等式组，再求解即可．
【解答】解：∵点P（2a+6，4+a）在第二象限，
∴，
解得﹣4＜a＜﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．（3分）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了了解我市居民平均每日废弃口罩的数量，选择全面调查
B．为了了解某一批次LED灯泡的使用寿命，选择抽样调查
C．为了了解中国空间站“天和”核心舱的设备零件质量情况，选择抽样调查
D．为了了解我市七年级学生参加社会实践的时间，选择全面调查
【分析】根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似得出答案．
【解答】解：A．为了了解我市居民平均每日废弃口罩的数量，适合抽样调查，故选项A不符合题意；
B．为了了解某一批次LED灯泡的使用寿命，选择抽样调查，故选项B符合题意；
C．为了了解中国空间站“天和”核心舱的设备零件质量情况，选择全面调查，故选项C不符合题意；
D．为了了解我市七年级学生参加社会实践的时间，适合抽样调查，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．（3分）已知一个多边形的内角和是1080°，则该多边形的边数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】应用多边形的内角和公式，列出方程，解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意：
（n﹣2）•180°＝1080°．
解得：n＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理的应用，熟记多边形的内角和定理是解题的关键．
6．（3分）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、＝7，故此选项错误；
B、＝3，故此选项错误；
C、＝﹣，故此选项错误；
D、﹣＝8﹣4＝4，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
7．（3分）如图，下列判断正确的是（ ）
A．若∠1＝∠3，则AB∥DC
B．若∠ABC＝∠ADC，则AD∥BC
C．若∠ABC+∠BCD＝180°，则AD∥BC
D．若∠2＝∠4，则AB∥DC
【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．
【解答】解：A．若∠1＝∠3，根据“内错角相等，两直线平行”可判定AD∥BC，不能判定AB∥DC，故A不符合题意；
B．若∠ABC＝∠ADC，不能判定AD∥BC，故B不符合题意；
C．若∠ABC+∠BCD＝180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定AB∥CD，不能判定AD∥BC，故C不符合题意；
D．若∠2＝∠4，根据“内错角相等，两直线平行”可判定AB∥DC，故D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
8．（3分）如果a＞b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a+1＜b+1 B．﹣a+3＜﹣b+3 C．﹣a＞﹣b D．＜
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、∵a＞b，
∴a+1＞b+1，故本选项不合题意；
B、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴﹣a+3＜﹣b+3，故本选项符合题意；
C、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，故本选项不符合题意；
D、∵a＞b，
∴，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB，再添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ACB＝∠DBC B．∠A＝∠D C．AB＝CD D．AC＝DB
【分析】根据全等三角形的判定逐个判断即可．
【解答】解：A．∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B．∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
D．∠ABC＝∠DCB，AC＝DB，BC＝CB，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
10．（3分）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《九章算术》中记载了这样一个问题，大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每1只各重多少斤？”如果设每只雀重x斤，每只燕重y斤，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“4只雀的质量+1只燕的质量＝5只燕的质量+1只雀的质量和5只雀的质量+6只燕的质量＝1”可得方程组．
【解答】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，
则方程组为，
故选：A．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意找到其蕴含的相等关系．
11．（3分）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，
∴5x+2x+3x＝180°，
解得：x＝18°，
∴∠A＝18°×5＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵3∠C＝2∠B＝∠A，
∴∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（）°，
∴△ABC为钝角三角形．
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握有一个内角为90°的三角形是直角三角形是解决问题的关键．
12．（3分）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）如图，要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l，垂足为点Q，然后沿PQ开挖水渠，其依据是 垂线段最短 ．
【分析】根据垂线段的性质，可得答案．
【解答】解：要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l，垂足为点Q，然后沿PQ开挖水渠，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题考查了垂线段最短，关键是利用垂线段的性质：直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短．
14．（3分）把方程5x﹣2y＝3改写成用含x的式子表示y的形式是： y＝ ．
【分析】要把方程5x﹣2y＝3写成用含x的式子表示y的形式，需要把含有y的项移到等号一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1．
【解答】解：5x﹣2y＝3，
移项得：﹣2y＝3﹣5x，
系数化1得：＝．
故答案为：y＝．
【点评】本题考查的是方程的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1即可．
15．（3分）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 180° ．
【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠4＝∠A+∠2，∠2＝∠E+∠C，进而利用三角形的内角和定理求解．
【解答】解：如图可知：
∵∠4是三角形的外角，
∴∠4＝∠A+∠2，
同理∠2也是三角形的外角，
∴∠2＝∠E+∠C，
在△BDG中，∵∠B+∠D+∠4＝180°，
∴∠B+∠E+∠A+∠D+∠C＝180°．
故答案为：180°．
【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
16．（3分）如图，△ABC≌△DBE，△ABC的周长为30，AB＝9，BE＝8，则AC的长是 13 ．
【分析】根据全等三角形的性质求出BC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，BE＝8，
∴BC＝BE＝8，
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC＝30，
∴AC＝30﹣AB﹣BC＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
17．（3分）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是 9＜AB＜19 ．
【分析】如图，延长AD到E使DE＝AD，连接BE，通过证明△ACD≌△EBD就可以得出BE＝AC，在△AEB中，由三角形的三边关系就可以得出结论．
【解答】解：延长AD到E使DE＝AD，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BD．
在△ACD和△EBD中
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝EB＝5．
∵AD＝7，
∴AE＝14．
由三角形的三边关系为：
14﹣5＜AB＜14+5，
即9＜AB＜19．
故答案为：9＜AB＜19．
【点评】本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的三边关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，CQ的长为 5或2.5或6 ．
【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值，进而即可求得CQ的长．
【解答】解：当P在AC上，Q在BC上时，
∵∠ACB＝90°，
∴∠PCE+∠QCF＝90°，
∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．
∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，
若△PCE≌△CQF，则PC＝CQ，
∴6﹣t＝8﹣3t，
解得t＝1，
∴CQ＝8﹣3t＝5；
当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，
由题意得，6﹣t＝3t﹣8，
解得t＝3.5，
∴CQ＝3t﹣8＝2.5，
当Q在AC上，且点Q与A重合，点P运动到BC上时，CQ＝AC＝6．
综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．
故答案为5或2.5或6．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共11个小题，共66分）
19．（4分）计算：．
【分析】由去绝对值及算术平方根运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝7﹣﹣（π﹣）﹣7
＝7﹣﹣π+﹣7
＝﹣π．
【点评】本题考查实数计算，掌握去绝对值及算术平方根运算法则是解题的关键．
20．（4分）解二元一次方程组：．
【分析】根据题意①×2+②得可得﹣5y＝﹣9，即可算出y的值，再把y的值代入①式即可算出x的值，即可得出答案．
【解答】解：，
①×2+②得：﹣5y＝﹣9，
解得：，
把代入①式解得：，
∴原方程组的解为．
【点评】本题主要考查了二解元一次方程组，熟练应用二元一次方程组的解法进行求解是解决本题的关键．
21．（4分）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：去分母，得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）＞6，
去括号，得：4x﹣2﹣15x﹣3＞6，
移项，得：4x﹣15x＞6+2+3，
合并同类项，得：﹣11x＞11，
系数化为1，得：x＜﹣1，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
22．（6分）按要求画图及填空：
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．
（1）点A的坐标为 （﹣4，2） ．
（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（3）计算△A1B1C1的面积．
【分析】（1）根据点A的位置写出坐标即可．
（2）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（3）利用分割法求面积即可．
【解答】解：（1）如图，A（﹣4，2）．
故答案为：（﹣4，2）．
（2）如图，△A1B1C1即为所求作．
（3）＝3×4﹣×1×3﹣×2×3﹣×1×4＝5.5．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，正确作出图形是解题的关键．
23．（6分）泗阳县某校开展八年级“新冠疫情防控”学生知识竞赛，现抽取部分学生的竞赛成绩（满分为100分，得分均为整数）进行统计，绘制了图中两幅不完整的统计图，根据图中信息，回答下列问题：
（1）a＝ 75 ，n＝ 15 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校八年级共有2000名学生，若成绩在80分以上的为优秀，请你估计该校绩优秀的学生人数．
【分析】（1）从两个统计图中，“A50.5～60.5”的频数是30人，占调查人数的10%，可求出调查人数；进而求出“C 70.5～80.5”的频数a，求出“B”“E”的频数，即可计算出“E”组的百分比；
（2）根据各组的频数即可补全频数分布直方图；
（3）求出样本中，“优秀”所占的百分比，估计总体的百分比即可计算出相应的人数．
【解答】解：（1）30÷10%＝300（人），
“B”组人数为：300×20%＝60（人），
“C”组人数为：a＝300×25%＝75（人），
“E”组人数为：300﹣60﹣30﹣75﹣90＝45（人），所占百分比为45÷300×100%＝15%，即n＝15，
故答案为：75，15；
（2）根据各组的频数补全频数分布直方图如下：
（3）2000×＝900（人），
答：该校八年级2000名学生中成绩为优秀的学生大约有900人．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率＝是正确解答的关键．
24．（6分）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．
【分析】（1）根据∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；
（2）根据同旁内角互补可判定AB∥FP，结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质可得∠B＝∠F，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，
∴∠E＝∠BQM，
∴EF∥BC；
（2）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，
∴∠3+∠MNF＝180°，
∴AB∥FP，
∴∠F+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝3∠F﹣20°，
∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，
解得∠F＝50°，
∵AB∥FP，EF∥BC，
∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，
∴∠B＝∠F＝50°．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，垂线的定义，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．
25．（6分）如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．
【分析】根据三角形高线可得∠ADC＝90°，利用三角形的内角和定理可求解∠DAC的度数；由三角形的内角和可求解∠B的度数，再根据角平分线的定义可求出∠BAO和∠ABO的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
【解答】解：∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，∠C＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∵AE，BF分别平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于点O，
∴∠BAO＝∠BAC＝25°，∠ABO＝∠ABC＝30°，
∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
【点评】本题主要考查角平分线，三角形的内角和定理，灵活运用三角形的内角和定理是解题的关键．
26．（6分）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
【分析】（1）由ASA证明△ABD≌△COD即可；
（2）理由全等三角形的性质即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型．
27．（8分）现计划把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地．已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，如果每辆A型货车最多可装甲种货物7吨和乙种货物3吨，每辆B型货车最多可装甲种货物5吨和乙种货物7吨．
（1）装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案？
（2）使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元．在上述方案中，哪个方案运费最省？最省的运费是多少元？
（3）在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元．每辆B型车奖金为n元，38＜m＜n．且m、n均为整数，求此次奖金发放的具体方案．
【分析】（1）设安排A种货车x辆，安排B种货车（50﹣x）辆．根据不等式组，求整数解即可．
（2）根据三种方案判断即可．
（3）根据二元一次方程，求整数解即可．
【解答】解：（1）设安排A种货车x辆，安排B种货车（50﹣x）辆．
由题意，
解得28≤x≤30，
∵x为整数，
∴x＝28或29或30，
∴50﹣x＝22或21或20，
∴共有3种方案．
（2）方案一：A种货车28辆，安排B种货车22辆，
方案二：A种货车29辆，安排B种货车21辆，
方案三：A种货车30辆，安排B种货车20辆，
∵使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元，
600＜800，
∴第三种方案运费最省，费用为600×30+800×20＝34000（元）．
（3）由题意30m+20n＝2100，
∴3m+2n＝210，
∴m＝70﹣n，
∵m，n是整数，
∴n是3的倍数，
∵38＜m＜n．
∴38＜70﹣n＜n，
∴42＜n＜48，
∵n为3的倍数，
∴n＝45，
∴m＝40
∴每辆A型车奖金为40元．每辆B型车奖金为45元．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程的整数解问题，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式组解决问题，属于中考常考题型．
28．（8分）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
【分析】（1）根据题目中的条件和∠BED＝∠CFD，可以证明△BDE≌△CDF，从而可以得到DE＝DF；
（2）作辅助线，过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，从而可以得到△BDE≌△CDG，然后即可得到DE＝DG，BE＝CG，再根据题目中的条件可以得到△EDF≌△GDF，即可得到EF＝GF，然后即可得到EF，BE，CF具有的数量关系．
【解答】解：（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，
∴∠DBE＝∠DCF＝90°，
在△BDE和△CDF中，
∵
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
∴DE＝DF；
（2）EF＝FC+BE，
理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（ASA），
∴DE＝DG，BE＝CG．
∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，
∴∠BDE+∠CDF＝60°．
∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，
∴∠EDF＝∠GDF．
在△EDF和△GDF中，
，
∴△EDF≌△GDF（SAS）．
∴EF＝GF，
∴EF＝FC+CG＝FC+BE．
【点评】本题考查全等三角形的判定、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
29．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P'（1+2×4，2×1+4），即P'（9，6）．
（1）若点P的“3属派生点”P'的坐标为（6，2），求点P的坐标；
（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且线段PP'的长度为线段OP长度的2倍，求k的值；
（3）如图，已知点A（0，2），点P是x轴上一点，且是点（2，4）的“k属派生点”，以线段AP为一边，在其一侧作如图所示等边三角线APQ．现P点沿x轴运动，当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．问三角形ABQ的面积是否是一个定值，如果是，请求出面积；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）设点P的坐标为（x、y），根据“k属派生点”定义及P′的坐标列出关于x、y的方程组，解之可得；
（2）先得出点P′的坐标为（a，ka），由线段PP′的长度为线段OP长度的2倍列出方程，解之可得．
（3）首先确定等P的坐标，证明△PAO≌△QAB（SAS），推出∠AOP＝∠ABQ＝90°，PO＝BQ即可解决问题．
【解答】解：（1）设点P的坐标为（x、y），
由题意知，，
解得：，
即点P的坐标为（0，2）．
（2）∵点P在x轴的正半轴上，
∴b＝0，a＞0．
∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka）
∴线段PP′的长为P′到x轴距离为|ka|．
∵P在x轴正半轴，线段OP的长为a，
∴|ka|＝2a，即|k|＝2，
∴k＝±2．
（3）结论：△ABQ的面积是定值．
理由：∵点P是x轴上一点，且是点（2，4）的“k属派生点”，
∴P（2+4k，2k+4），
∴2k+4＝0，
∴k＝﹣2，
∴P（﹣6，0），
∴OP＝6，
∵△APQ，△AOB都是等边三角形，
∴∠OAB＝∠PAQ＝60°，AB＝AO＝2，AP＝AQ，
∴∠PAO＝∠QAB，
∴△PAO≌△QAB（SAS），
∴∠AOP＝∠ABQ＝90°，PO＝BQ，
∵S△ABQ＝•AB•BQ＝×2×6＝6，
∴△ABQ的面积是定值．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键．
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2021-2022学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）入学数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．（3分）在平面直角坐标系中，在第三象限的点是（ ）
A．（﹣3，5） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（1，1）
2．（3分）如图，AB⊥CD，垂足为O，EF是过点O的一条直线，已知∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
3．（3分）已知点P（2a+6，4+a）在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞﹣3 D．a＞﹣4
4．（3分）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了了解我市居民平均每日废弃口罩的数量，选择全面调查
B．为了了解某一批次LED灯泡的使用寿命，选择抽样调查
C．为了了解中国空间站“天和”核心舱的设备零件质量情况，选择抽样调查
D．为了了解我市七年级学生参加社会实践的时间，选择全面调查
5．（3分）已知一个多边形的内角和是1080°，则该多边形的边数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．（3分）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，下列判断正确的是（ ）
A．若∠1＝∠3，则AB∥DC
B．若∠ABC＝∠ADC，则AD∥BC
C．若∠ABC+∠BCD＝180°，则AD∥BC
D．若∠2＝∠4，则AB∥DC
8．（3分）如果a＞b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a+1＜b+1 B．﹣a+3＜﹣b+3 C．﹣a＞﹣b D．＜
9．（3分）如图，在△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB，再添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ACB＝∠DBC B．∠A＝∠D C．AB＝CD D．AC＝DB
10．（3分）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《九章算术》中记载了这样一个问题，大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每1只各重多少斤？”如果设每只雀重x斤，每只燕重y斤，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）如图，要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l，垂足为点Q，然后沿PQ开挖水渠，其依据是 ．
14．（3分）把方程5x﹣2y＝3改写成用含x的式子表示y的形式是： ．
15．（3分）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 ．
16．（3分）如图，△ABC≌△DBE，△ABC的周长为30，AB＝9，BE＝8，则AC的长是 ．
17．（3分）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，CQ的长为 ．
三、解答题（本大题共11个小题，共66分）
19．（4分）计算：．
20．（4分）解二元一次方程组：．
21．（4分）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
22．（6分）按要求画图及填空：
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．
（1）点A的坐标为 ．
（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（3）计算△A1B1C1的面积．
23．（6分）泗阳县某校开展八年级“新冠疫情防控”学生知识竞赛，现抽取部分学生的竞赛成绩（满分为100分，得分均为整数）进行统计，绘制了图中两幅不完整的统计图，根据图中信息，回答下列问题：
（1）a＝ ，n＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校八年级共有2000名学生，若成绩在80分以上的为优秀，请你估计该校绩优秀的学生人数．
24．（6分）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．
25．（6分）如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．
26．（6分）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
27．（8分）现计划把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地．已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，如果每辆A型货车最多可装甲种货物7吨和乙种货物3吨，每辆B型货车最多可装甲种货物5吨和乙种货物7吨．
（1）装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案？
（2）使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元．在上述方案中，哪个方案运费最省？最省的运费是多少元？
（3）在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元．每辆B型车奖金为n元，38＜m＜n．且m、n均为整数，求此次奖金发放的具体方案．
28．（8分）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
29．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P'（1+2×4，2×1+4），即P'（9，6）．
（1）若点P的“3属派生点”P'的坐标为（6，2），求点P的坐标；
（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且线段PP'的长度为线段OP长度的2倍，求k的值；
（3）如图，已知点A（0，2），点P是x轴上一点，且是点（2，4）的“k属派生点”，以线段AP为一边，在其一侧作如图所示等边三角线APQ．现P点沿x轴运动，当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．问三角形ABQ的面积是否是一个定值，如果是，请求出面积；如果不是，请说明理由．
2021-2022学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．（3分）在平面直角坐标系中，在第三象限的点是（ ）
A．（﹣3，5） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（1，1）
【分析】写出每个点所在的象限后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、（﹣3，5）在第二象限，不符合题意；
B、（1，﹣2）在第四象限，不符合题意；
C、（﹣2，﹣3）在第三象限，符合题意；
D、（1，1）在第一象限，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查了在第三象限内点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．（3分）如图，AB⊥CD，垂足为O，EF是过点O的一条直线，已知∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】由垂直的定义求出∠BOD＝90°，再根据平角定义得∠1+∠BOD+∠2＝180°，即可求得∠2＝50°．
【解答】解：∵AB⊥CD，
∴∠BOD＝90°，
∵∠1+∠BOD+∠2＝180°，∠1＝40°，
∴40°+90°+∠2＝180°，
∴∠2＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查角的计算，解题的关键是由垂直的定义得出∠BOD＝90°．
3．（3分）已知点P（2a+6，4+a）在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞﹣3 D．a＞﹣4
【分析】先根据第二象限内点的坐标符号特点列出关于a的不等式组，再求解即可．
【解答】解：∵点P（2a+6，4+a）在第二象限，
∴，
解得﹣4＜a＜﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．（3分）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了了解我市居民平均每日废弃口罩的数量，选择全面调查
B．为了了解某一批次LED灯泡的使用寿命，选择抽样调查
C．为了了解中国空间站“天和”核心舱的设备零件质量情况，选择抽样调查
D．为了了解我市七年级学生参加社会实践的时间，选择全面调查
【分析】根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似得出答案．
【解答】解：A．为了了解我市居民平均每日废弃口罩的数量，适合抽样调查，故选项A不符合题意；
B．为了了解某一批次LED灯泡的使用寿命，选择抽样调查，故选项B符合题意；
C．为了了解中国空间站“天和”核心舱的设备零件质量情况，选择全面调查，故选项C不符合题意；
D．为了了解我市七年级学生参加社会实践的时间，适合抽样调查，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．（3分）已知一个多边形的内角和是1080°，则该多边形的边数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】应用多边形的内角和公式，列出方程，解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意：
（n﹣2）•180°＝1080°．
解得：n＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理的应用，熟记多边形的内角和定理是解题的关键．
6．（3分）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、＝7，故此选项错误；
B、＝3，故此选项错误；
C、＝﹣，故此选项错误；
D、﹣＝8﹣4＝4，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
7．（3分）如图，下列判断正确的是（ ）
A．若∠1＝∠3，则AB∥DC
B．若∠ABC＝∠ADC，则AD∥BC
C．若∠ABC+∠BCD＝180°，则AD∥BC
D．若∠2＝∠4，则AB∥DC
【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．
【解答】解：A．若∠1＝∠3，根据“内错角相等，两直线平行”可判定AD∥BC，不能判定AB∥DC，故A不符合题意；
B．若∠ABC＝∠ADC，不能判定AD∥BC，故B不符合题意；
C．若∠ABC+∠BCD＝180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定AB∥CD，不能判定AD∥BC，故C不符合题意；
D．若∠2＝∠4，根据“内错角相等，两直线平行”可判定AB∥DC，故D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
8．（3分）如果a＞b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a+1＜b+1 B．﹣a+3＜﹣b+3 C．﹣a＞﹣b D．＜
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、∵a＞b，
∴a+1＞b+1，故本选项不合题意；
B、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴﹣a+3＜﹣b+3，故本选项符合题意；
C、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，故本选项不符合题意；
D、∵a＞b，
∴，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB，再添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）
A．∠ACB＝∠DBC B．∠A＝∠D C．AB＝CD D．AC＝DB
【分析】根据全等三角形的判定逐个判断即可．
【解答】解：A．∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B．∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
D．∠ABC＝∠DCB，AC＝DB，BC＝CB，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
10．（3分）中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《九章算术》中记载了这样一个问题，大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每1只各重多少斤？”如果设每只雀重x斤，每只燕重y斤，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“4只雀的质量+1只燕的质量＝5只燕的质量+1只雀的质量和5只雀的质量+6只燕的质量＝1”可得方程组．
【解答】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，
则方程组为，
故选：A．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意找到其蕴含的相等关系．
11．（3分）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，
∴5x+2x+3x＝180°，
解得：x＝18°，
∴∠A＝18°×5＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵3∠C＝2∠B＝∠A，
∴∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（）°，
∴△ABC为钝角三角形．
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握有一个内角为90°的三角形是直角三角形是解决问题的关键．
12．（3分）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）如图，要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l，垂足为点Q，然后沿PQ开挖水渠，其依据是 垂线段最短 ．
【分析】根据垂线段的性质，可得答案．
【解答】解：要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l，垂足为点Q，然后沿PQ开挖水渠，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题考查了垂线段最短，关键是利用垂线段的性质：直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短．
14．（3分）把方程5x﹣2y＝3改写成用含x的式子表示y的形式是： y＝ ．
【分析】要把方程5x﹣2y＝3写成用含x的式子表示y的形式，需要把含有y的项移到等号一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1．
【解答】解：5x﹣2y＝3，
移项得：﹣2y＝3﹣5x，
系数化1得：＝．
故答案为：y＝．
【点评】本题考查的是方程的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1即可．
15．（3分）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 180° ．
【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠4＝∠A+∠2，∠2＝∠E+∠C，进而利用三角形的内角和定理求解．
【解答】解：如图可知：
∵∠4是三角形的外角，
∴∠4＝∠A+∠2，
同理∠2也是三角形的外角，
∴∠2＝∠E+∠C，
在△BDG中，∵∠B+∠D+∠4＝180°，
∴∠B+∠E+∠A+∠D+∠C＝180°．
故答案为：180°．
【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
16．（3分）如图，△ABC≌△DBE，△ABC的周长为30，AB＝9，BE＝8，则AC的长是 13 ．
【分析】根据全等三角形的性质求出BC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，BE＝8，
∴BC＝BE＝8，
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC＝30，
∴AC＝30﹣AB﹣BC＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
17．（3分）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是 9＜AB＜19 ．
【分析】如图，延长AD到E使DE＝AD，连接BE，通过证明△ACD≌△EBD就可以得出BE＝AC，在△AEB中，由三角形的三边关系就可以得出结论．
【解答】解：延长AD到E使DE＝AD，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BD．
在△ACD和△EBD中
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝EB＝5．
∵AD＝7，
∴AE＝14．
由三角形的三边关系为：
14﹣5＜AB＜14+5，
即9＜AB＜19．
故答案为：9＜AB＜19．
【点评】本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的三边关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，CQ的长为 5或2.5或6 ．
【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值，进而即可求得CQ的长．
【解答】解：当P在AC上，Q在BC上时，
∵∠ACB＝90°，
∴∠PCE+∠QCF＝90°，
∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．
∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，
若△PCE≌△CQF，则PC＝CQ，
∴6﹣t＝8﹣3t，
解得t＝1，
∴CQ＝8﹣3t＝5；
当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，
由题意得，6﹣t＝3t﹣8，
解得t＝3.5，
∴CQ＝3t﹣8＝2.5，
当Q在AC上，且点Q与A重合，点P运动到BC上时，CQ＝AC＝6．
综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．
故答案为5或2.5或6．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共11个小题，共66分）
19．（4分）计算：．
【分析】由去绝对值及算术平方根运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝7﹣﹣（π﹣）﹣7
＝7﹣﹣π+﹣7
＝﹣π．
【点评】本题考查实数计算，掌握去绝对值及算术平方根运算法则是解题的关键．
20．（4分）解二元一次方程组：．
【分析】根据题意①×2+②得可得﹣5y＝﹣9，即可算出y的值，再把y的值代入①式即可算出x的值，即可得出答案．
【解答】解：，
①×2+②得：﹣5y＝﹣9，
解得：，
把代入①式解得：，
∴原方程组的解为．
【点评】本题主要考查了二解元一次方程组，熟练应用二元一次方程组的解法进行求解是解决本题的关键．
21．（4分）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：去分母，得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）＞6，
去括号，得：4x﹣2﹣15x﹣3＞6，
移项，得：4x﹣15x＞6+2+3，
合并同类项，得：﹣11x＞11，
系数化为1，得：x＜﹣1，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
22．（6分）按要求画图及填空：
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．
（1）点A的坐标为 （﹣4，2） ．
（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（3）计算△A1B1C1的面积．
【分析】（1）根据点A的位置写出坐标即可．
（2）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（3）利用分割法求面积即可．
【解答】解：（1）如图，A（﹣4，2）．
故答案为：（﹣4，2）．
（2）如图，△A1B1C1即为所求作．
（3）＝3×4﹣×1×3﹣×2×3﹣×1×4＝5.5．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，正确作出图形是解题的关键．
23．（6分）泗阳县某校开展八年级“新冠疫情防控”学生知识竞赛，现抽取部分学生的竞赛成绩（满分为100分，得分均为整数）进行统计，绘制了图中两幅不完整的统计图，根据图中信息，回答下列问题：
（1）a＝ 75 ，n＝ 15 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校八年级共有2000名学生，若成绩在80分以上的为优秀，请你估计该校绩优秀的学生人数．
【分析】（1）从两个统计图中，“A50.5～60.5”的频数是30人，占调查人数的10%，可求出调查人数；进而求出“C 70.5～80.5”的频数a，求出“B”“E”的频数，即可计算出“E”组的百分比；
（2）根据各组的频数即可补全频数分布直方图；
（3）求出样本中，“优秀”所占的百分比，估计总体的百分比即可计算出相应的人数．
【解答】解：（1）30÷10%＝300（人），
“B”组人数为：300×20%＝60（人），
“C”组人数为：a＝300×25%＝75（人），
“E”组人数为：300﹣60﹣30﹣75﹣90＝45（人），所占百分比为45÷300×100%＝15%，即n＝15，
故答案为：75，15；
（2）根据各组的频数补全频数分布直方图如下：
（3）2000×＝900（人），
答：该校八年级2000名学生中成绩为优秀的学生大约有900人．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率＝是正确解答的关键．
24．（6分）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．
【分析】（1）根据∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；
（2）根据同旁内角互补可判定AB∥FP，结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质可得∠B＝∠F，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，
∴∠E＝∠BQM，
∴EF∥BC；
（2）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，
∴∠3+∠MNF＝180°，
∴AB∥FP，
∴∠F+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝3∠F﹣20°，
∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，
解得∠F＝50°，
∵AB∥FP，EF∥BC，
∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，
∴∠B＝∠F＝50°．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，垂线的定义，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．
25．（6分）如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．
【分析】根据三角形高线可得∠ADC＝90°，利用三角形的内角和定理可求解∠DAC的度数；由三角形的内角和可求解∠B的度数，再根据角平分线的定义可求出∠BAO和∠ABO的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
【解答】解：∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，∠C＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∵AE，BF分别平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于点O，
∴∠BAO＝∠BAC＝25°，∠ABO＝∠ABC＝30°，
∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
【点评】本题主要考查角平分线，三角形的内角和定理，灵活运用三角形的内角和定理是解题的关键．
26．（6分）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
【分析】（1）由ASA证明△ABD≌△COD即可；
（2）理由全等三角形的性质即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型．
27．（8分）现计划把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地．已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，如果每辆A型货车最多可装甲种货物7吨和乙种货物3吨，每辆B型货车最多可装甲种货物5吨和乙种货物7吨．
（1）装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案？
（2）使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元．在上述方案中，哪个方案运费最省？最省的运费是多少元？
（3）在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元．每辆B型车奖金为n元，38＜m＜n．且m、n均为整数，求此次奖金发放的具体方案．
【分析】（1）设安排A种货车x辆，安排B种货车（50﹣x）辆．根据不等式组，求整数解即可．
（2）根据三种方案判断即可．
（3）根据二元一次方程，求整数解即可．
【解答】解：（1）设安排A种货车x辆，安排B种货车（50﹣x）辆．
由题意，
解得28≤x≤30，
∵x为整数，
∴x＝28或29或30，
∴50﹣x＝22或21或20，
∴共有3种方案．
（2）方案一：A种货车28辆，安排B种货车22辆，
方案二：A种货车29辆，安排B种货车21辆，
方案三：A种货车30辆，安排B种货车20辆，
∵使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元，
600＜800，
∴第三种方案运费最省，费用为600×30+800×20＝34000（元）．
（3）由题意30m+20n＝2100，
∴3m+2n＝210，
∴m＝70﹣n，
∵m，n是整数，
∴n是3的倍数，
∵38＜m＜n．
∴38＜70﹣n＜n，
∴42＜n＜48，
∵n为3的倍数，
∴n＝45，
∴m＝40
∴每辆A型车奖金为40元．每辆B型车奖金为45元．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程的整数解问题，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式组解决问题，属于中考常考题型．
28．（8分）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
【分析】（1）根据题目中的条件和∠BED＝∠CFD，可以证明△BDE≌△CDF，从而可以得到DE＝DF；
（2）作辅助线，过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，从而可以得到△BDE≌△CDG，然后即可得到DE＝DG，BE＝CG，再根据题目中的条件可以得到△EDF≌△GDF，即可得到EF＝GF，然后即可得到EF，BE，CF具有的数量关系．
【解答】解：（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，
∴∠DBE＝∠DCF＝90°，
在△BDE和△CDF中，
∵
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
∴DE＝DF；
（2）EF＝FC+BE，
理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（ASA），
∴DE＝DG，BE＝CG．
∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，
∴∠BDE+∠CDF＝60°．
∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，
∴∠EDF＝∠GDF．
在△EDF和△GDF中，
，
∴△EDF≌△GDF（SAS）．
∴EF＝GF，
∴EF＝FC+CG＝FC+BE．
【点评】本题考查全等三角形的判定、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
29．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P'（1+2×4，2×1+4），即P'（9，6）．
（1）若点P的“3属派生点”P'的坐标为（6，2），求点P的坐标；
（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且线段PP'的长度为线段OP长度的2倍，求k的值；
（3）如图，已知点A（0，2），点P是x轴上一点，且是点（2，4）的“k属派生点”，以线段AP为一边，在其一侧作如图所示等边三角线APQ．现P点沿x轴运动，当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．问三角形ABQ的面积是否是一个定值，如果是，请求出面积；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）设点P的坐标为（x、y），根据“k属派生点”定义及P′的坐标列出关于x、y的方程组，解之可得；
（2）先得出点P′的坐标为（a，ka），由线段PP′的长度为线段OP长度的2倍列出方程，解之可得．
（3）首先确定等P的坐标，证明△PAO≌△QAB（SAS），推出∠AOP＝∠ABQ＝90°，PO＝BQ即可解决问题．
【解答】解：（1）设点P的坐标为（x、y），
由题意知，，
解得：，
即点P的坐标为（0，2）．
（2）∵点P在x轴的正半轴上，
∴b＝0，a＞0．
∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka）
∴线段PP′的长为P′到x轴距离为|ka|．
∵P在x轴正半轴，线段OP的长为a，
∴|ka|＝2a，即|k|＝2，
∴k＝±2．
（3）结论：△ABQ的面积是定值．
理由：∵点P是x轴上一点，且是点（2，4）的“k属派生点”，
∴P（2+4k，2k+4），
∴2k+4＝0，
∴k＝﹣2，
∴P（﹣6，0），
∴OP＝6，
∵△APQ，△AOB都是等边三角形，
∴∠OAB＝∠PAQ＝60°，AB＝AO＝2，AP＝AQ，
∴∠PAO＝∠QAB，
∴△PAO≌△QAB（SAS），
∴∠AOP＝∠ABQ＝90°，PO＝BQ，
∵S△ABQ＝•AB•BQ＝×2×6＝6，
∴△ABQ的面积是定值．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键．
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