2022-2023学年湖南省长沙市天心区怡海中学九年级（上）入学数学试卷（Word解析版）

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2022-2023学年湖南省长沙市天心区怡海中学九年级（上）入学数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 以下列各组数的长为边作三角形，不能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 下列式子中，为最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 义务教育课程标准年版首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 随着网络的发展，某快递公司的业务增长迅速完成快递件数从六月份的万件增长到八月份的万件假定每月增长率相同设为则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.
C. 且 D. 且

8. 在同一直角坐标系中，当时，与的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C. 或 D. 以上都不对

10. 已知二次函数下列结论正确是(    )
    已知点，点在二次函数的图象上，则；
    该图象一定过定点和；
    直线与抛物线一定存在两个交点；
    当时，的最小值是，则；

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共24分）

11. 在函数中，自变量的取值范围______ ．
12. 已知，是方程的两个根，则______．
13. 某工厂一共有人，为选拔人才，提出了一些选拔的条件，并进行了抽样调查．从中抽出人，发现有人是符合条件的，那么该工厂人中符合选拔条件的人数为______．
14. 将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得的抛物线为______．
15. 如图，将一矩形纸片折叠，使两个顶点，重合，折痕为若，，则的长为______．

16. 将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，若直线与这个图象恰好有个公共点，则的值为______．

三、解答题（本题共9小题，共66分）

17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中满足．
19. 如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为已知原传送带长为
    求新传送带的长度；
    如果需要在货物着地点的右侧留出的通道，试判断距离点的货物是否需要挪走，并说明理由．

20. 五一放假前，我市某中学举行了“喜迎二十大，筑梦向未来”知识竞赛，数学王老师从七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩百分制，进行整理、描述和分析如下：成绩得分用表示为整数，共分成四组：
    A.；；；．
    七年级名学生的成绩是：，，，，，，，，，．
    八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，．
    抽取的七、八年级学生成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：
这次比赛中______年级成绩更平衡，更稳定．
直接写出图表中，，的值：______，______，______
该校八年级共人参加了此次竞赛活动，估计八年级参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？

21. 已知一次函数的图象经过点，两点．
    求一次函数的表达式．
    在直角坐标系中，画出这个函数的图象．
    求这个一次函数与坐标轴围成的三角形面积．
     

22. 如图，在▱中，是对角线上的一点，过点作，且，连接，，．
    求证：≌；
    若，则四边形是什么特殊四边形？说明理由．

23. 喜迎元旦，某商店销售一种进价为元件的商品，售价为元件，每星期可卖出件，若每件商品的售价每上涨元，则每星期就会少卖出件．
    假设设每件商品的售价上涨元为正整数，每星期销售该商品的利润为元，求与之间的函数关系式．
    每件商品的售价上涨多少元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润？此时，该商品的定价为多少元？获得的最大利润为多少？
24. 定义：若函数与轴的交点，的横坐标为，，与轴的交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足或，则称该函数为“函数”如图，函数与轴的一个交点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，满足，则称为“函数”．
    判断是否为“函数”，并说明理由；
    请探究“函数”表达式中的与之间的关系；
    若是“函数”，且为锐角，求的取值范围．

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点．
    求抛物线的解析式；
    如图，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；
    如图，将中抛物线向上平移个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点点在点的左侧．
    求点和点的坐标；
    若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点点，与点，不重合，试求四边形面积的最大值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则、幂的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式解答即可．
本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式．熟练掌握合并同类项法则、幂的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，，
，
以，，为边能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
以，，为边不能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、，，
，
以，，为边能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
以，，为边能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故原式不是最简二次根式，故此选项不合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、，故原式不是最简二次根式，故此选项不合题意；
D、，故原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
利用最简二次根式定义进行解答即可．
此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
 

4.【答案】 

【解析】解：这个数据中出现次数最多的数据是，
这组数据的众数是．
把这组数据按从小到大顺序排为：
，，，，，，，
位于中间的数据为，
这组数据的中位数为，
故选：．
这个数据中出现次数最多的数据为众数是，中位数是把这组数据按从小到大的顺序排，位于中间的数据是．
本题主要考查众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数，中位数是指将一组数据按照由小到大或由大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数这这组数据的中位数．
 

5.【答案】 

【解析】解：设每月增长率为，
依题意得：，
故选：．
设每月增长率为，根据该快递公司六月份及八月份完成快递件数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，
，，
，故A错误，
，故B错误，
，故C正确，
不一定大于，故D错误．
故选：．
首先判断、的符号，再逐一判断即可解决问题．
本题考查一次函数与不等式，解题的关键是学会根据函数图象的位置，确定、的符号，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，或，，
当，时，函数的图象开口向上，顶点在原点，函数的图象经过第一、三、四象限，故选项A、B错误，不符合题意；
当，时，函数的图象开口向下，顶点在原点，函数的图象经过第二、三、四象限，故选项C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意；
故选：．
根据，可以得到，或，，然后分类讨论与的图象所在的象限，本题得以解决．
本题考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线上有两点，，且，
，
，或或，
故选：．
根据二次函数的性质判断即可．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数开口向上，对称轴为，所以点关于对称轴的对称点为，
，在对称轴右边，随的增加而增加，
，
，故错误；
当时，，
，
解得，或，
该图像一定经过定点，，故正确；
由题意可得方程：，
整理可得：，
，
直线与抛物线一定存在两个交点，故正确；
当时，随的增加而减少，
当时，有最小值为，
即，
解得，故错误；
综上，正确的选项有，
故选B．
根据表格中的数据，可得到该二次函数开口向上，对称轴为，再根据二次函数的性质，即可判断题目中各选项是否正确．
本题考察二次函数图像与系数的关系，二次函数与语言二次方程．二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：且，
解得
自变量的取值范围是．
故答案为：．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

12.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系可得出，，将其代入即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于，两根之积等于是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
答：该工厂人中符合选拔条件的人数为．
故答案为：．
符合选拔条件的人数该工厂总共人数符合条件的人数所占的分率，列出算式计算即可求解．
本题考查了用样本估计总体，关键是得到符合条件的人数所占的分率．
 

14.【答案】 

【解析】解：将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得的抛物线为：．
故答案为：．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
 

15.【答案】 

【解析】解：将一矩形纸片折叠，使两个顶点，重合，
，
设，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
故答案为：．
根据折叠的性质得，根据勾股定理得出关于的方程，求出即可．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用；熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，由勾股定理得出方程是解此题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：当直线与抛物线相切时满足题意，
令，整理得，
，
解得，

令，
解得，，
抛物线与轴交点坐标为，，
当直线经过时符合题意．
将代入得，
解得，

故答案为：或．
分类讨论直线与抛物线相切，直线经过抛物线与轴交点，结合图象求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了负整数指数幂，绝对值，立方根，实数的运算，二次根式的性质与化简，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式


，
解方程得，舍去，，
当时，原式． 

【解析】先算括号里面的，再算除法，最后求出的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
 

19.【答案】解：在中，，
，
在中，，
，
答：新传送带的长度为；
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
货物需要挪走． 

【解析】根据等腰直角三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出；
根据余弦的定义求出，根据题意求出，根据题意判断即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】八       

【解析】解：七年级成绩的方差为，八年级成绩的方差为，
八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
八年级成绩更平衡，更稳定；
故答案为：八；
八年级学生成绩落在组人数所占百分比为，
，即；
将七年级成绩重新排列为：，，，，，，，，，，
则这组数据的中位数，，
故答案为：、、；
人，
答：估计八年级参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是人．
根据方差的意义求解即可；
先求出八年级学生成绩落在组人数所占百分比，再根据百分比之和为求解可得的值，然后根据中位数和众数的概念求解即可；
用总人数乘以样本中成绩优秀的八年级学生人数对应的百分比即可．
本题考查方差、中位数、众数的意义和计算方法，扇形统计图，从统计图中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：一次函数的图象经过两点、，

解得，
函数解析式为：；
函数图象如图
；
令，
一次函数与轴的交点为，
的面积． 

【解析】本题考查待定系数法求函数解析式及三角形的面积的知识，难度不大，关键是正确得出函数解析式及坐标与线段长度的转化．
将两点坐标代入，运用待定系数法求解；
两点法即可确定函数的图象．
求出与轴及轴的交点坐标，然后根据面积公式求解即可．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，

在与中
，
≌．
四边形是菱形
理由：，且，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
≌，
，
，
，
，
四边形是菱形． 

【解析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；
根据平行四边形的性质和全等三角形的判定以及菱形的判定解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定以及菱形的判定解答．
 

23.【答案】解：设每件商品的售价上涨元为正整数，
则每件商品的利润为：元，
总销量为：件，
商品利润为：
，
，
；
根据题意得，
所以，当时，取得最大值为．
答：每件商品的售价上涨元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商品的定价为元，获得的最大利润为元． 

【解析】根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出与的函数关系式；
根据二次函数的性质健康得到结论．
此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据每天的利润一件的利润销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．
 

24.【答案】解：是“函数”，理由如下：
当时，；当时，或，
与轴一个交点的横坐标和与轴交点的纵坐标都是，
是“函数”；

当时，，即与轴交点的纵坐标为，
是“函数”，
时，，即在上，
代入得：，
，
而，
；

如图，当在轴负半轴上时，

由可得：，即，
显然当时，，
即与轴的一个交点为，
则，
只需满足，即，
；
如图，当在轴正半轴上，且与不重合时，

显然都满足为锐角，
，且；
当与原点重合时，不符合题意，
综上所述，或，且． 

【解析】求出函数与坐标轴的交点，可直接根据“函数”的定义进行判断；
当时，，即与轴交点的纵坐标为，将代入，即可求出与之间的关系；
分情况讨论：当在轴负半轴上时，画出草图，求出函数与轴的一个交点为，则，所以只需满足，即可判断的取值范围；当在轴正半轴上，且与不重合时，画出草图，显然都满足为锐角，即可写出的取值范围；当与原点重合时，不符合题意．
本题为二次函数综合题，主要考查了新定义、二次函数与坐标轴的交点等，解题关键是要有较强的理解能力及在第三问中注意分类讨论思想的运用等．
 

25.【答案】解：将点和点代入，
，
解得，
；
，
抛物线的顶点，
顶点关于原点的对称点为，
抛物线的解析式为，
；
由题意可得，抛物线的解析式为，
联立方程组，
解得或，
或；
设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，
设，，
则，，
，
，
，，
当时，有最大值，
当时，有最大值，
，
当最大时，四边形面积的最大值为． 

【解析】将点和点代入，即可求解；
利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式；
通过联立方程组，求出点和点坐标即可；
求出直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，，则，，可求，，由，分别求出的最大值，的最大值，即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移和对称的性质是解题的关键．