初中人教版24.4 弧长及扇形的面积第2课时导学案

第二十四章  圆

24.4  弧长和扇形面积

第2课时 圆锥的侧面积和全面积

学习目标：1.体会圆锥侧面积的探索过程.

2.会求圆锥的侧面积和全面积，并能解决一些简单的实际问题.

重点：体会圆锥侧面积的探索过程，了解圆锥侧面积的计算公式，并会应用其解决问题.

难点：会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题.

自主学习

一、知识链接

1.说一说弧长和扇形面积的计算公式？

2. 我们在“展开与折叠”的学习活动中，已经知道圆锥的侧面展开图是一个扇形，那么怎么样求圆锥的侧面展开图的面积呢？

课堂探究

二、要点探究

探究点1：圆锥及相关概念

  圆锥是如何形成的？它是由哪几部分构成？             

知识要点 

我们把连接圆锥顶点 (点 S ) 和底面圆上任意一点的线段(如线段SA，SB等)叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等．从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高．

要点归纳：如果用r表示圆锥底面圆的半径，h表示圆锥的高线长，l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间的等量关系是：               .

填一填  根据下列条件求值(其中r、h、l 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长)：

(1) l= 2，r=1则 h=      .

(2) h =3，r=4则 l =      .

(3) l = 10，h = 8则r=      .

探究点2：圆锥的侧面展开图

思考：圆锥的侧面展开图是什么图形？

问题1  沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面剪开铺平，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面圆的周长有什么关系？

问题2  圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段长相等？

要点归纳：如图，圆锥侧面展开图扇形的半径等于圆锥母线的长l，侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面周长2πr，因此，圆锥的侧面积为πrl，圆锥的全面积为πr(r+l).

练一练  已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，则这个圆锥的侧面积为       ，全面积为       .

典例精析

例1  一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°，弧长为20π的扇形，试求该圆锥的底面圆半径及母线长.

例2  如图，圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm，母线为50cm.在一块大铁皮上裁剪时，如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的圆心角的度数及面积.

例3  蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为12m2，高为3.2m，外围高为1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡(π取3.142，结果取整数)？

练一练  如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面.

(1) 则这个圆锥的底面半径r=       ；

(2) 这个圆锥的高h=      .

三、课堂小结

当堂检测

1.圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是      ．

2.一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为      ．

3.已知圆锥的底面的半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积是      ，全面积是      ．

4.如图所示，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则：

(1)求出围成的圆锥的侧面积为多少？

(2)求出该圆锥的底面半径是多少？

5.(1) 在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面积？

(2) 若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求这个圆锥的底面圆的半径？

(3) 能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底面？请说明理由．

1.   半径为r,圆心角度数为n°，弧长l=,扇形面积S=.
2.   计算出侧面展开图的弧长以及半径，即可得圆锥侧面展开图的面积.

课堂探究

二、要点探究

探究点1：圆锥及相关概念

观察与思考：圆锥可看作由一个直角三角形绕其某一直角边旋转一周形成的图形.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体.

要点归纳：

填一填  (1)  （2）5  （3）6

探究点2：圆锥的侧面展开图

思考：圆锥的侧面展开图是扇形

问题1   扇形的弧长与底面圆周长相等

问题2   扇形半径与圆锥的母线长相等

练一练：  240π cm2  384π cm2

典例精析

例1 解：设该圆锥的底面的半径为r，母线长为a.由题意得，,可得r=10.又，可得a=30.

例2 解：该烟囱的侧面展开图是扇形，如图所示：设该扇形的面积为S.

∵

或

答：该侧面展开图的面积为 2000π cm2.

例3  解：如图是一个蒙古包示意图．根据题意，下部圆柱的底面积

为12m2，高为1.8m；上部圆锥的高为3.2－1.8=1.4 (m)．圆柱的底面

积半径为侧面积为2π×1.954×1.8≈22.10 (m2)，

圆锥的母线长为侧面展开扇形的弧长

为圆锥的侧面积为

搭建20个需要毛毡20×(22.10+14.76)≈738 (m2)．

练一练： （1）4    （2） 2

当堂检测

1.180°  2.10cm   3.15πcm2    24πcm2

4.解：(1)由已知得扇形的半径 R = 6cm.

圆锥的侧面积为.

(2)该圆锥的底面半径为r cm，根据题意得  解得r=2．即圆锥的底面半径为2 cm．

5.解：(1)连接BC，则BC=20，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴AB=AC=.∴S扇形=

(2)圆锥侧面展开图的弧长为：

(3)连接AO并延长交⊙O于点F，交扇形于点E，EF=20-，最大半径为10-＜r,

∴不能从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底面．