初中数学人教版八年级上册第十五章 分式综合与测试优秀巩固练习

第十五章 分式验收卷

一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校八年级期中）下列各式：，，，中，是分式的共有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】

根据分式的定义，形如，其中A、B为整式，且B中含有字母的式子叫分式，进行判断即可．

【详解】

解：，，这三个式子分母中都含有字母，因此是分式，

，分母为，是常数，因此不是分式

故选：C

【点睛】

本题考查了分式的概念，解题的关键是理解并掌握分式的概念．

2．（2021·广东三水·八年级期末）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）

A．x≠﹣3 B．x＝﹣3 C．x＞﹣3 D．x≥﹣3

【答案】A

【分析】

先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．

【详解】

解：由题意得x＋3≠0，

解得x≠−3，

故选：A．

【点睛】

本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．

3．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级月考）将分式约分为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

找出分子，分母的公因式，然后进行约分即可得．

【详解】

解：，

故选D．

【点睛】

本题考查了分式的约分，解题的关键是掌握分式约分的定义：根据分式的性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

4．（2020·全国·八年级期末）某种微粒的直径为，0.000001027用科学记数法表示是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】

解：0.000001027=1.027×10-6；

故选D．

【点睛】

此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

5．（2021·全国·八年级课时练习）如果把分式中的x和y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（    ）

A．扩大到原来的5倍 B．缩小到原来的

C．缩小到原来的 D．不变

【答案】D

【分析】

根据分式的基本性质进行化简，可得结论．

【详解】

解：把分式中的x和y都扩大到原来的5倍，即，

故选：D．

【点睛】

本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟练运用分式基本性质进行化简约分．

6．（2021·海南海口·八年级期末）计算的结果是（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】

先根据同分母分式的加减法则计算，然后再约分即可；

【详解】

解：

故选：A

【点睛】

本题考查了同分母分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键

7．（2021·陕西西安·七年级期末）计算（﹣1）0﹣2﹣3正确的是（　　）

A．﹣ B． C．6 D．7

【答案】B

【分析】

根据负指数幂运算法则a-p=（a≠0，p为正整数），零指数幂运算法则：a0=1（a≠0）进行计算即可得出答案．

【详解】

解：原式=．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了负指数幂及零指数幂，熟练应用负指数幂和零指数幂的运算法则进行计算是解决本题的关键．

8．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为x km/h，依题意，下面所列方程正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

题中设列车的平均速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为3xkm/h，总路程为360km，可求出高铁列出和普通列车所用的时间，根据乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h，即可列出方程．

【详解】

根据题意可得：列车的平均速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为3xkm/h，

高铁列车所用的时间为：，

普通列车的时间为：，

所列方程为：，

故选：A．

【点睛】

题目主考查分式方程的应用，理解题意运用速度、时间、路程的关系是解题关键．

9．（2021·福建福州·一模）下列解分式方程的步骤中，错误的是（    ）

A．找最简公分母：

B．去分母：

C．计算方程的根：

D．验根：当时，方程成立

【答案】D

【分析】

由解分式方程的步骤即可选择．

【详解】

该分式方程的最简公分母是，故A正确，不符合题意．

分式两边同时乘以，得：，故B正确，不符合题意．

由B选项即可得出，故C正确，不符合题意．

当时，，故该分式方程无解．故D错误，符合题意．

故选D．

【点睛】

本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．

10．（2021·河南夏邑·八年级期末）如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（    ）

A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处

【答案】B

【分析】

将分子分母能分解因式的分解因式，然后再约分，再对分式值进行估算，即可得到答案．

【详解】

原式，

∵为正整数，

∴，

∴原式可化为：，

∵分子比分母小1，且为正整数，

∴是真分数，且最小值是，

即，，

∴表示这个数的点落在线②处，

故选：B．

【点睛】

本题考查分式的化简、因式分解、分式值的估算，解答本题的关键是熟悉以上知识点并灵活运用．

11．（2021·河南驿城·八年级期末）若解分式方程产生增根，则（    ）

A．5 B．0 C．4 D．-5

【答案】A

【分析】

根据增根定义求得的值，代入即可求得

【详解】

有增根

是原方程的增根；

解方程：

故选A

【点睛】

本题考查了分式方程无解的问题，理解增根的概念是解题的关键．

12．（2021·四川成都·九年级专题练习）对于实数a、b，定义一种新运算“Θ”为：aΘb＝，例如：1Θ2＝，则xΘ（﹣2）＝﹣1的解是（　　）

A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5

【答案】B

【分析】

所求方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．

【详解】

解：根据题中的新定义得：，

去分母得：1＝2﹣x﹣4，

解得：x＝﹣3，

经检验x＝﹣3是分式方程的解．

故选：B．

【点睛】

此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．

13．（2021·重庆市南华中学校九年级月考）整数满足下列两个条件，使不等式恰好只有3个整数解，使得分式方程的解为整数，则所有满足条件的的和为（    ）

A．2 B．3 C．5 D．6

【答案】A

【分析】

根据不等式组求出a的范围，然后再根据分式方程求出a的范围，从而确定的a的可能值．

【详解】

解：由不等式组可知：-3≤x＜，

∵x有且只有3个整数解，则3个整数解为-3，-2，-1，

∴-1＜≤0，

∴0＜a≤3，

由分式方程可知：，且，

∴a≠0，

∵关于x的分式方程有整数解，

∴4能被a+2整除，即a+2=4或2或1，

∵a是整数，

∴a=-1、-3、-4、-6、2；

∵0＜a≤3，

∴a=2，

∴所有满足条件的整数a之和为2，

故选：A．

【点睛】

本题考查学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根据不等式组以及分式方程求出a的范围，本题属于中等题型．

二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）

14．（2020·全国·八年级课时练习）方程的解是______．

【答案】-3

【分析】

根据解分式方程的步骤去分母，解方程，检验解答即可．

【详解】

解：方程的两边同乘，得：，

解这个方程，得：，

经检验，是原方程的解，

原方程的解是．

故答案为-3．

【点睛】

本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解题步骤是关键．

15．（2021·四川邛崃·八年级期末）分式的最简公分母是________．

【答案】3bm22b

【分析】

根据最简公分母的求解方法进行求解即可．

【详解】

分式的分母含有的因式为3、m2、b，

所以最简公分母是3bm2．

故答案为3bm2．

【点睛】

本题考查了最简公分母的概念，熟练掌握最简公分母概念和确定方法是解题的关键.确定方法：各分母的系数最小公倍数作为最简公分母的系数；相同底数的，取次数最高次幂；单独出现的字母或者多项式都要算入最简公分母中．

16．（2021·全国·八年级专题练习）（_______）．

【答案】

【分析】

利用单项式除以单项式的运算法则即可解得结果．

【详解】

解：由已知可得，原计算可化为

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了单项式除以单项式的问题，熟悉运算法则是解题关键．

17．（2021·湖南·衡南县北斗星中学八年级期中）已知＝，则＝______．

【答案】

【分析】

讲＝变形，化简 得到，之后将中转化为，再合并，转化，最后进行约分即可求解．

【详解】

解：∵＝，

∴，

∴，

∴

．

．

故答案为：

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的性质，将已知条件和所求分式进行变形，化简是解题关键．

18．（2021·北京·大峪中学八年级期中）当分别取2017、2016、2015、、2、1时，计算分式值，所得结果相加的和为___．

【答案】

【分析】

把1、2、3、、2016、2017分别代入得到分式的值，相加即可得到答案．

【详解】

解：，

把1、2、3、、2016、2017分别代入得，、、、、、，

所得结果相加的和为

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了数字的变化规律，总结出数字的变化规律是解题的关键．

三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）

19．（2021·全国·八年级课时练习）填空并判断所填式子是否为分式：

（1）一位作家先用m天写完了一部小说的上集，又用n天写完下集，这部小说（上､下集）共120万字，这位作家平均每天的写作量为____________；

（2）走一段长的路，步行用，骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少，骑自行车的平均速度为________；

【答案】（1）万字，是分式；（2），是分式；

【分析】

分式：形如，都为整式，中含有字母，这样的代数式是分式；

（1）由作家写的作品的总字数除以总的时间可得作家平均每天的写作量，再利用分式的定义进行判断即可；

（2）先求解骑自行车的时间，再利用路程除以时间可得骑自行车的平均速度，再利用分式的定义进行判断即可；

【详解】

解：（1）这位作家平均每天的写作量为万字，

代数式分母中含有字母，符合分式的定义，是分式；

（2） 走一段长的路，步行用，骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少，

骑自行车的时间为：

所以骑自行车的平均速度为，

代数式分母中含有字母，符合分式的定义，是分式；

【点睛】

本题考查的是列代数式，分式的含义，掌握列代数式，分式的定义是解题的关键.

20．（2021·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）计算：

（1）当x为何值时，分式的值为0

（2）当x=4时，求的值

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）根据分母为0是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可；

（2）把直接代入分式，计算即可．

【详解】

解：（1）根据题意，

∵分式的值为0，

∴当x+1=0，即时，分式值为0；

（2）当x=4时， = = ；

【点睛】

本题考查了分式的值为0的条件，以及求分式的值，解题的关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

21．（2021·全国·八年级课时练习）计算：．

解：

①

②

请判断上述解题过程是否正确？若不正确，请指出在①、②中，错在何处，并给出正确的解题过程．

【答案】不正确，见解析

【分析】

先把除法运算转化为乘法运算，然后计算分式的乘法运算．

【详解】

解：不正确，①中出错，

正确的解答为：

【点睛】

本题考查了分式的乘除法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．

22．（2021·全国·八年级课时练习）解方程：

（1）；（2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】

解：（1）去分母得，3x=4(x-1)，

去括号，得3x=4x-4，

移项，合并同类项，得x=4，

检验：把x=4代入得：x（x-1）≠0，

所以，原方程的根为：x=4；

（2）去分母，得x-5=4（2x-3），

去括号，得x-5=8x-12，

移项，合并同类项，得-7x=-7，

化x的系数为1，得x=1，

检验：把x=1代入得：2x-3≠0，

∴原方程的解为x=1．

【点睛】

本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

23．（2017·山东·龙口市兰高学校八年级期中）某水果店原来苹果的进价为a元/千克（a＞2），每千克加价2元售出，现在苹果的进价上涨了b元/千克，该水果店打算在原零售价的基础上再上涨2b元/千克，那么，

⑴ 原来苹果的利润率是多少？　

⑵ 现在苹果的利润率是多少？　

⑶苹果的利润率是提高了还是降低了？说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）提高了．

【解析】

试题分析：（1）利用原来的利润÷原来的进价即可；
（2）利用现在的利润÷现在的进价；
（3）根据（1）（2）中的代数式可得，然后通分计算．

试题解析：（1）原来苹果的利润率是：；
（2）现在苹果的利润率是：；
（3）=＞0，
因此苹果的利润率提高了．

24．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一半．

（1）求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需多少元；

（2）经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液的数量是测温枪数量的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过1540元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？

【答案】（1）购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元；（2）该学校最多可购买50个测温枪．

【分析】

（1）设购买一瓶洗手液需要元，则购买一个测温枪需要元，根据“用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一半．

”，可列出方程，解出即可；

（2）设该学校购买个测温枪，则购买瓶洗手液，根据“购买测温枪和洗手液的总费用不超过1540元，”可列出不等式，即可求解．

【详解】

（1）设购买一瓶洗手液需要元，则购买一个测温枪需要元，

依题意，得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

．

答：购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元．

（2）设该学校购买个测温枪，则购买瓶洗手液，

依题意，得：，

解得：．

答：该学校最多可购买50个测温枪．

【点睛】

本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．

25．（2019·四川雁江·八年级期中）探索：（1）如果，则m=        

（2）如果 ，则m=      

总结：如果（其中a.b.c为常数），则m=      

应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值．

【答案】（1）m=﹣13；（2）m=﹣5；（3）m=b﹣ac；（4）x=2或0

【解析】

【分析】

（1）根据分式的性质把5化出来，再根据等式的性质求出m的值；

（2）根据分式的性质把3化出来，再根据等式的性质求出m的值；

总结：根据分式的性质把a化出来，再根据等式的性质求出m的值，先把代数式的4化出来即可求解.

【详解】

解：（1）∵

∴m=﹣13；

（2）∵

∴m=﹣5；

总结：∵

∴m=b﹣ac；

应用：∵=

又∵代数式的值为整数，

∴为整数，∴x﹣1=1或x﹣1=﹣1，∴x=2或0

【点睛】

此题主要考查分式的运算，解题的关键是根据已知等式进行求解，再得出规律进行解答.

26．（2021·全国·八年级专题练习）有一列按一定顺序和规律排列的数：

第一个数是；第二个数是；第三个数是；

对任何正整数，第个数与第个数的和等于

（1）经过探究，我们发现：，，

设这列数的第个数为，那么①；②，③，则               正确（填序号）．

（2）请你观察第个数、第个数、第个数，猜想这列数的第个数可表示           （用含的式子表示），并且证明：第个数与第个数的和等于；

（3）利用上述规律计算：的值．

【答案】（1）②；（2），证明见解析；（3）

【分析】

（1）根据题干知道即可得到结果；
（2）根据题干中的规律总结出第 个数表示为，再分别表示出第n个和第n+1个数求和即可；
（3）根据题意发现每一项两分母之差为2，即通分后分子为2，故每一项乘以即可，再提取公因数合并各项计算即可．

【详解】

解：（1）∵，
∴；
故填：

（2）第个数表示为：，                                   

证明：第个数表示为：， 第个数表示为：

（3）原式

【点睛】

此题考查了有理数运算的规律观察能力，从已知题干中提取规律解题运算是关键．