2021-2022学年高二物理竞赛课件：能带的计算方法

这是一份2021-2022学年高二物理竞赛课件：能带的计算方法，共14页。PPT课件主要包含了能带的计算方法，平面波方法，傅里叶展开系数，展开后代入，正交化平面波方法，赝势方法等内容，欢迎下载使用。

◇对于三维的周期场中的单电子问题，通常采用各种近似方法求解。◇首先，选取某个具有布洛赫函数形式的完全集，把晶体电子态的波函数用此函数集展开，然后代人薜定谔方程，确定展开式的系数所必须满足的久期方程，据此可求得能量本征值，再依照逐个本征值确定波函数展开的系数。◇选择不同的函数集合，有不同的计算方法。借助快速大容量的电子计算机，使实际的计算更快捷。
平面波方法：以波矢相差一个倒格子矢量的一组平面波作为基函数。
势能是具有晶格周期性的函数，可以展开成傅里叶级数：
其中，Gm是倒格子矢量，Gm=m1b1+m2b2+m3b3
b1,b2,b3是晶体的倒格子基矢，m1,m2,m3是整数。
得到本征能量值En(k)
◇平面波方法概念简单，结果物理意义清晰。◇缺点是需要大量平面波的组合来表示Blch函数，计算量大，收敛速度很慢。
◇平面波方法计算固体能带的优点是概念简单明了，缺点是收敛很慢，即使借助现代高速大容量的计算机作计算也不现实，于是C．Herring提出了正交化平面波方法。◇其基本思想是展开波函数的基不但含有动量k+K较小的平面波成分，还有原子核附近具有大动量的孤立原子波函数的成分，并且与孤立原子芯态波函数组成布洛赫正交，这种基函数称为正交化平面波。
1940年 Herring提出了OPW 方法，取波函数为平面波和紧束缚波函数的线性组合，并要求与离子实不同壳层紧束缚波函数正交，从而自然地兼顾了波函数在离子实附近以及在离子之间应有的特征，求解时，往往只需要取几个正交平面波，结果就很好了。
使用OPW方法很方便的求出了 Li 的价带，求出了半导体 Si 和 Ge的能带。从上图可以看出：（a）是平面波，（b) 是离子实波，（c）是正交化平面波。后者本身包括了电子在离子实区的多次振荡特征，已经十分接近真实波函数了。因此正交平面波法是描述价带和导带电子波函数（即外层电子）的好表象，是定量计算能带的重要方法。
赝势方法：在求解固体的单电子波动方程时，用假想的势能代替离子实内部的真实势能，若不改变电子的能量本征值及其在离子实之间区域的波函数，则这个假想的势能叫赝势。
正交化项起着抵消势能的作用，给出一个弱得多的有效势。
上述结果很有趣，有效势场不是 U，而是 U’，通常 U’综上所述，我们可以找出一个赝波动方程，它与严格的Blch函数的能量本征值相同，因此计算能带时可以不必先求Blch函数，而是先求解赝势，然后用赝波动方程求解出平滑函数所对应的能量 Ek 值。这就是建立在OPW基础上的赝势方法。