高中人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质背景图课件ppt

课题名

5.4.2正弦、余弦函数的性质第2课时

教学目标

1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值;

2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小；

3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间；

4.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴、对称中心。

教学重点

通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质

教学难点

应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性

教学准备

教师准备：幻灯片、黑板、投影

学生准备：笔、纸、课本

教学过程

一、 新课引入

过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)，几个循环路径.

【设计意图】通过复习三角函数的定义，用联系的观点引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括推理的能力。

二、讲授新课

正弦函数、余弦函数的单调性与最值

【设计意图】通过探究让学生理解正弦、余弦函数的单调性与最值，提高学生分析问题的能力。

1. 正、余弦函数的单调性

例1. 求函数y=sin(3x+) ，x∈的单调减区间.

【变式探究】：求函数y＝2sin的单调递减区间．

【解】　y＝2sin＝－2sin，

令z＝x－，而函数y＝－2sin z的单调递减区间是(k∈Z)．

∴原函数递减时，得－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，

得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．

∴原函数的单调递减区间是(k∈Z)．

【类题通法】求单调区间的步骤

(1)用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤：

第一步：写出基本函数y＝sin x(或y＝cos x)的相应单调区间；

第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；

第三步：解关于x的不等式．

(2)对于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数的单调区间问题，当ω＜0时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性讨论同上．另外，值得注意的是k∈Z这一条件不能省略．

【巩固练习1】求下列函数的单调递增区间：

(1)y＝cos 2x；(2)y＝sin，x∈.

【解】(1)由2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)，所以kπ－≤x≤kπ(k∈Z)，

所以函数y＝cos 2x的单调递增区间为(k∈Z)．

(2)因为y＝sin＝－sin，

所以函数y＝sin的单调递增区间就是函数y＝sin的单调递减区间，

由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.

因为x∈，所以所求函数的单调递增区间为.

2. 正弦函数、余弦函数单调性的应用

例2.  比较下列各组中函数值的大小：

（1）cos与cos；(2)sin 194°与cos 160°.

【解】（1）cos＝cos＝cos，cos＝cos＝cos，∵π＜＜＜2π，且函数y＝cos x在[π，2π]上单调递增，∴cos＜cos，即cos＜cos.

(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵0°＜14°＜70°＜90°，且函数y＝sin x在0°＜x＜90°时单调递增，∴sin 14°＜sin 70°.从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°.

【类题通法】比较三角函数值大小的步骤

(1)异名函数化为同名函数；

(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；

(3)利用函数的单调性比较大小．

【巩固练习2】比较大小：(1)cos与cos ；(2)sin 与cos .

【解】　(1)cos＝cos ＝cos＝－cos ，而cos ＝－cos ，

∵0<<<，∴cos >cos .∴－cos <－cos ，∴cos<cos .

(2)∵cos ＝sin，<<＋<π，

又y＝sin x在上是减函数，∴sin >sin＝cos ，即sin >cos .

3. 正、余弦函数的值域与最值问题

例3.求下列函数的值域:

(1)y=cos(x+),x∈[0,];(2)y=cos2x-4cos x+5.

【解】(1)由x∈[0,]可得x+∈[,],

函数y=cos x在区间[,]上单调递减,所以函数的值域为[-,].

 (2)y=cos2x-4cos x+5,令t=cos x,则-1≤t≤1.y=t2-4t+5=(t-2)2+1,

当t=-1时,函数取得最大值10;

当t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为[2,10].

【类题通法】求三角函数值域的常用方法

(1)求解形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．

(2)求解形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．

【巩固练习3】1. 函数y=2cos2x+5sin x-4的值域为　　　　. 

【答案】[-9,1]

【解析】y=2cos2x+5sin x-4=2(1-sin2x)+5sin x-4=-2sin2x+5sin x-2=-2(sin x-)2+.

故当sin x=1时,ymax=1;当sin x=-1时,ymin=-9,故y=2cos2x+5sin x-4的值域为[-9,1].

2.设f(x)=acos x+b的最大值是1,最小值是-3,则g(x)=bsin(ax+)的最大值为　　　　. 

【答案】1.

【解析】由题意a≠0,当a>0时,所以

此时g(x)=-sin(2x+),其最大值为1.当a<0时,所以

此时g(x)=-sin(-2x+),其最大值为1.综上知,g(x)的最大值为1.

4.正弦、余弦函数的对称性

例4.函数y＝sin的图象的对称轴方程是________，对称中心的坐标是________．

【答案】　x＝π＋(k∈Z)　(k∈Z)

【解析】根据正弦函数的周期性知，过函数图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线均是对称轴，而图象与x轴的交点均为对称中心．

要使sin＝±1，必有2x＋＝kπ＋(k∈Z)，所以x＝π＋(k∈Z)，

即对称轴方程为x＝π＋(k∈Z)，

而函数y＝sin的图象与x轴的交点即为对称中心，

所以令y＝0，即sin＝0，

所以2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝π－(k∈Z)，

故函数y＝sin的图象的对称中心的坐标为(k∈Z)．

【类题通法】正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.

y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)．

y＝cos x的对称中心为(k∈Z)，对称轴为x＝kπ(k∈Z)．

【巩固练习4】函数图象的一条对称轴可能是直线（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，解得.

当时，.

二、 课堂小结

四、达标检测

1．函数y＝－cos x在区间上是(　　)

A．增函数   B．减函数

C．先减后增函数   D．先增后减函数

2．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是(　　)

A．y轴   B．x轴

C．直线x＝   D．直线x＝π

3．y＝cos在[0，π]上的单调递减区间为(　　)

A.   B.

C.   D.

4.函数y＝sin2x＋sin x－1的最大值为________ ，最小值为________．

【答案】1.C    2.C   3.D    4.1  －

布置作业

完成对应课后练习

板书设计

教学反思

学生基本可以掌握本节内容，不过在求最值方面会忘记考虑定义域。