专题16+基本不等式-暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义(人教A版2019)
展开专题16 基本不等式 【知识点梳理】 知识点一:基本不等式 1.对公式及的理解. (1)成立的条件是不同的:前者只要求都是实数,而后者要求都是正数; (2)取等号“=” 的条件在形式上是相同的,都是“当且仅当时取等号”. 2.由公式和可以引申出常用的常用结论 ①(同号); ②(异号); ③或 知识点诠释: 可以变形为:,可以变形为:. 知识点二:基本不等式的证明 方法一:几何面积法 如图,在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、,那么正方形的边长为.这样,4个直角三角形的面积的和是,正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,所以:.当直角三角形变为等腰直角三角形,即时,正方形缩为一个点,这时有. 得到结论:如果,那么(当且仅当时取等号“=”) 特别的,如果,,我们用、分别代替、,可得: 如果,,则,(当且仅当时取等号“=”). 通常我们把上式写作:如果,,,(当且仅当时取等号“=”) 方法二:代数法 ∵, 当时,; 当时,. 所以,(当且仅当时取等号“=”). 知识点诠释: 特别的,如果,,我们用、分别代替、,可得: 如果,,则,(当且仅当时取等号“=”). 通常我们把上式写作: 如果,,,(当且仅当时取等号“=”). 知识点三:基本不等式的几何意义 如图,是圆的直径,点是上的一点,,,过点作交圆于点D,连接、. 易证,那么,即. 这个圆的半径为,它大于或等于,即,其中当且仅当点与圆心重合,即时,等号成立. 知识点诠释: 1.在数学中,我们称为的算术平均数,称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把看作是正数的等差中项,看作是正数的等比中项,那么基本不等式可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 知识点四:用基本不等式求最大(小)值 在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等. ① 一正:函数的解析式中,各项均为正数; ② 二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值; ③ 三取等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值. 知识点诠释: 1.两个不等式:与成立的条件是不同的,前者要求a,b都是实数,后者要求a,b都是正数. 2.两个不等式:与都是带有等号的不等式,对于“当且仅当……时,取“=”号这句话的含义要有正确的理解. 3.基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和,另一边是积的形式,则考虑使用平均不等式;若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值,则“和”有最小值,对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值,则“积”有最大值. 4.利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件: ①各项都是正数; ②和(或积)为定值; ③各项能取得相等的值. 5.基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用,在应用时一般按以下步骤进行: ①先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; ②建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; ③在定义域内,求出函数的最大或最小值; ④写出正确答案. 【题型归纳目录】 题型一:对基本不等式的理解及简单应用 题型二:利用基本不等式比较大小 题型三:利用基本不等式证明不等式 题型四:利用基本不等式求最值 题型五:利用基本不等式求解恒成立问题 题型六:基本不等式在实际问题中的应用 【典型例题】 题型一:对基本不等式的理解及简单应用 1.(2022·新疆喀什·高一期末)已知,则下列说法正确的是( ) A.有最大值0 B.有最小值为0 C.有最大值为-4 D.有最小值为-4 2.(2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试)已知x>3,则对于,下列说法正确的是( ) A.y有最大值7 B.y有最小值7 C.y有最小值4 D.y有最大值4 (多选题)3.(2022·江苏省天一中学高一期末)已知、、、均为非零实数,则下列一定正确的有( ) A. B. C.若,则 D.若,,则 (多选题)4.(2022·安徽蚌埠·高一期末)已知,且,则下列结论中正确的是( ) A.有最小值1 B.有最小值2 C.有最小值4 D.有最小值4 (多选题)5.(2022·湖北武汉·高一期末)下列说法正确的是( ) A.的最小值是 B.的最小值是 C.的最小值是 D.的最小值是 6.(2022·陕西·长安一中高一期中)已知,且,那么下列不等式:①;②;③;④中,正确的序号是________. 题型二:利用基本不等式比较大小 1.(2022·陕西安康·高一期中)若,,,则下列不等式恒成立的是( ) A. B. C. D. 2.(2022·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末)设,其中、是正实数,且,,则与的大小关系是( ) A. B. C. D. 3.(2022·湖南·雅礼中学高一期末)近来猪肉价格起伏较大,假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a元/斤、b元/斤,甲和乙购买猪肉的方式不同,甲每周购买20元钱的猪肉,乙每周购买6斤猪肉,甲、乙两次平均单价为分别记为,,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D.,的大小无法确定 4.(2022·湖南·高一课时练习)若实数,满足,且.则下列四个数中最大的是( ) A. B. C. D. (多选题)5.(2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习)设,则下列不等式中一定成立的是( ) A. B. C. D. (多选题)6.(2022·湖南·娄底市第四中学高一阶段练习)已知,,给出下列四个不等式,其中正确的不等式有( ) A. B. C. D. (多选题)7.(2022·江西·高一期末)已知,,则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. (多选题)8.(2022·广东·高一期末)下列命题正确的有( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 (多选题)9.(2022·河北唐山·高一期末)已知两个不为零的实数x,y满足,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. (多选题)10.(2022·福建省龙岩第一中学高一阶段练习)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分别为和 ,其全程的平均速度为,则下列选项正确的是( ) A. B. C. D. 题型三:利用基本不等式证明不等式 1.(2022·湖南·高一课时练习)下列结论是否成立?若成立,试说明理由;若不成立,试举出反例. (1)若,则; (2)若,则; (3)若,则. 2.(2022·湖南·高一课时练习)证明下列不等式,并讨论等号成立的条件: (1)若,则; (2)若,则; (3)若,则; (4)若,则; (5)对任意实数和,. 3.(2022·湖南·高一课时练习)设,为正实数,求证:. 4.(2022·湖南·高一课时练习)已知a,b,c为任意实数,求证:. 5.(2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习)(1)已知a,b,c,d均为正数.求证: (2)已知.求证:<的充要条件为x>y 6.(2022·湖北黄冈·高一期中)证明: (1)已知a>b>0,c
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