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高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册4 单摆优秀课时作业
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人教版新教材 物理选择性必修第一册 第二章《机械振动》 2.4 单摆 精选练习 夯实基础 1．（2022·全国·高二专题练习）（多选）关于单摆，下列说法正确的是（ ） A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置 B．摆球经过平衡位置时，所受的合力不为零 C．摆球受到的回复力是它所受的合力 D．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对于平衡位置的位移大小成正比 【答案】AB 【解析】A．回复力是使摆球回到平衡位置的力，其方向总是指向平衡位置，A正确； B．摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，有向心力，合力不为零，方向指向悬点，B正确； C．摆球所受的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球所受的合力，C错误； D．摆角很小时，摆球所受回复力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比，而不是合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比，D错误。故选AB。 2．（2022·江苏淮安·高二期末）探究单摆摆长与周期的关系的实验中，已选用摆长约为的单摆，下列操作更合乎实验要求且误差最小的是（，）（ ） A．振幅取，从平衡位置处开始计时 B．振幅取，从最大位置处开始计时 C．振幅取，从平衡位置处开始计时 D．振幅取，从最大位置处开始计时 【答案】A 【解析】探究单摆摆长与周期的关系的实验中，要求最大摆角应小于5°，即最大振幅约为 故振幅取较合适。摆球通过平衡位置时，速度最大，计时误差最小，故应从平衡位置处开始计时。故选A。 3．（2022·全国·高二专题练习）（多选）一个单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是（ ） A．t1时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小 B．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大 C．t2时刻摆球速度最大，但加速度不为零 D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大 【答案】ACD 【解析】AB．t1时刻和t3时刻摆球离平衡位置的位移最大，此时摆球的速度为零，悬线对摆球的拉力最小，故A正确，B错误； CD．t2时刻和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，则位移最大，悬线对摆球的拉力最大，加速度向上，故CD正确。故选ACD。 4．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）（多选）图甲中O点为单摆的固定悬点，现将摆球拉至A点，此时细线处于张紧状态。由静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，α小于5°且大小未知，同时由连接到计算机的力传感器得到了摆线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，如图乙所示（图中所标字母以及重力加速度g均为已知量）。不计空气阻力。根据题中（包括图中）所给的信息，下列说法中正确的是（ ） A．该单摆的周期为2t0 B．该单摆的摆长为 C．可以求出摆球质量 D．不可以求出单摆的最大速度 【答案】ABC 【解析】A．小球在一个周期内两次经过最低点，根据该规律可知该单摆的周期为，故A正确； B．根据单摆周期公式 求得，故B正确； CD．当摆球在最高点时，沿绳方向根据平衡条件 在最低点，根据牛顿第二定律 由最高点到最低点过程，根据动能定理 联立解得 同时，根据以上也可以求出最大速度v，故C正确，D错误；故选ABC。 5．（2022·山东潍坊·高二期末）电场强度大小为E、方向竖直向上的匀强电场中，一长度为L的绝缘细线，一端固定于O点，另一端拴一质量为m、带电量为+q的小球（可质为质点），小球静止在图中A点，细线绷紧。现将小球拉至B点（），由静止释放。已知重力加速度为g。则小球做简谐运动的过程中（ ） A．机械能守恒 B．回复力等于重力、电场力和细线拉力的合力 C．周期为 D．周期为 【答案】D 【解析】A．小球做简谐运动过程中，电场力做功，所以机械能不守恒，故A错误； B．回复力等于重力和电场力的合力沿轨迹切线方向的分力，故B错误； CD．小球的等效重力加速度为 根据单摆的周期公式可得小球做简谐运动的周期为 故C错误，D正确。故选D。 6．（2022·全国·高二专题练习）关于单摆，下列说法中正确的是（ ） A．摆球运动的回复力是它受到的合力 B．摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置 C．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的 D．摆球经过平衡位置时，加速度为零 【答案】C 【解析】A．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球所受的合力。故A错误； B．摆球在运动过程中，回复力产生的加速度的方向始终指向平衡位置，而向心加速度指向悬点，合成后，方向在变化，故B错误； C．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，受力情况相同，加速度是不变的，故C正确； D．摆球经过平衡位置时，加速度不为零，是向心加速度，故D错误。 故选C。 7．（2021·四川·西昌市第二中学高二期中）如图所示为同一地点的两个单摆甲、乙的振动图像，下列说法正确的是（ ） A．甲、乙两单摆的振幅相等 B．甲摆的摆长比乙摆的大 C．甲摆的机械能比乙摆的大 D．在t＝0.5s时有正向最大加速度的是乙摆 【答案】D 【解析】A．从题图上可以看出甲摆振幅大，A错误； B．由题图知两摆周期相等，根据单摆周期公式，可知两单摆摆长相等，B错误； C．因两摆球质量关系不明确，无法比较它们的机械能的大小，C错误； D．t＝0.5s时，乙摆球在负的最大位移处，故有正向最大加速度，D正确。 故选D。 8．（2022·江苏南通·高二期末）如图所示，表面光滑的固定圆弧轨道，最低点为P，弧长远小于R，现将可视为质点的两个小球从A、B点同时由静止释放，弧长AP大于BP，则（ ） A．两球在P点相遇 B．两球在P点右侧相遇 C．两球在P点左侧相遇 D．以上情况均有可能 【答案】A 【解析】由于弧长远小于R，所以两球的运动都可以看作是单摆，由单摆的等时性可知，两球从释放到最低点的时间都等于单摆周期（单摆周期公式）的四分之一，摆长相等，L=R，所以两球会同时到达P点，故BCD错误，A正确。 故选A。 9．（2021·江苏南通·高二期中）小华利用频闪照相的方法研究单摆的运动过程，从摆球离开左侧最高点A时开始，每隔相同时间曝光一次，得到了一张记录摆球从A位置由静止运动到右侧最高点B的照片，如图所示，其中摆球运动到最低点C时，摆线在点被一钉子挡住。对照片进行分析可知（ ） A．摆球经过C点前后瞬间角速度大小不变 B．摆球经过C点前后瞬间绳中拉力大小不变 C．摆球在C点附近相邻位置的间隔大，说明在C点附近相邻位置间的运动时间长 D．若已知左侧摆长OA的长度，则可以求出右侧摆长的长度 【答案】D 【解析】A．摆球经过C点前后线速度不变，但半径发生了变化，根据 可知角速度发生了变化，故A错误； B．根据 可得绳上拉力 摆球经过C点前后运动半径改变，则绳中拉力改变，故B错误； C．频闪照相时，摆球在C点附近相邻位置的间隔大可说明C点附近的线速度大，在相邻两个位置间运动的时间是相同的，故C错误； D．由题图可计算摆球在不同摆长状态下对应的周期，根据，若已知左侧摆长，则可计算右侧摆长，故D正确。 故选D。 10．（2022·山西·晋城市第一中学校高二阶段练习）如图所示，摆长为L的单摆上端固定在天花板上的O点，在O点正下方相距l处的P点有一固定的细铁钉。将小球向右拉开一个约2°的小角度后由静止释放，使小球来回摆动。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，规定向右为正方向，则小球在开始的一个周期内的x-t关系图线如图所示。以下关于l与L的关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图像可知，单摆在钉子右边振动的周期为T1=8s；在钉子左边振动的周期为T2=4s；根据 可得 解得 故选D。 提升训练 11．（2022·福建·模拟预测）将一单摆a悬挂在力传感器的下面，让单摆小角度摆动，图甲记录了力传感器示数F随时间t的变化关系，随后将这个单摆和其他两个单摆拴在同一张紧的水平绳上（c的摆长和a的摆长相等，b的摆长明显长于a的摆长），并让a先摆动起来。则单摆a的摆长为___________，单摆c的摆动周期___________（填“大于”“小于”或“等于”）单摆b的摆动周期。 【答案】 等于 【解析】[1]对单摆a受力分析可知，摆球经过最低点时拉力最大，摆球经过最高点时拉力最小，所以单摆a振动的周期为，由单摆周期公式 得单摆a的摆长为 [2]单摆均做受迫振动，振动的周期均等于单摆a的固有周期。 12．（2022·全国·高二专题练习）正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时30 s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1 m，当地重力加速度g取π2（m/s2）；根据以上数据可得小球运动的周期T＝________ s；房顶到窗上沿的高度h＝________ m。 【答案】 3.0 3.0 【解析】[1]从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时30s，故周期为: [2]本题单摆为复合摆，当摆长为L时，小摆周期为 当摆长为时，大摆周期为 故单摆周期为 联立解得 13．（2022·湖南·高二期末）如图所示，用两不可伸长的轻绳悬挂一个小球，两绳长度均为L、两绳之间的夹角已知，小球的半径为r，当小球垂直于纸面做简谐运动时，其周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】单摆的周期公式为 公式中的l指质点到悬点（等效悬点）的距离，此题中单摆的摆长为，带入公式可得 故ABC错误，D正确。 故选D。 14．（2022·浙江嘉兴·高二期末）某研究性学习小组以秋千的摆动规律为研究课题。如图甲所示为研究所用的“模拟秋千”，秋千上固定了一只玩具兔。实验中测量了拴秋千的四根绳子长度的平均值l，并利用手机传感器记录了秋千摆动频率f。改变绳长，测出“多组f随l变化的数据，并描点绘图得如图乙所示的f-l图像。该研究小组通过分析图乙中的信息（ ） A．可得出f与秋千摆角无关 B．可得出f与摆和玩具兔的总质量无关 C．可得出摆动过程中最大速度与秋千摆角有关 D．可尝试进一步绘制f与图像以探究f与l的定量关系 【答案】D 【解析】A．通过分析图乙中的信息，没有f与秋千摆角的信息，则不可以得出f与秋千摆角无关，故A错误； B．通过分析图乙中的信息，没有f与摆和玩具兔的总质量的信息，则不可以得出f与摆和玩具兔的总质量无关，故B错误； C．通过分析图乙中的信息，没有最大速度与秋千摆角的信息，则不可以得出摆动过程中最大速度与秋千摆角有关，故C错误； D．通过分析图乙中的信息，秋千摆动频率与绳子长度的平均值可能存在反比关系，则可以尝试进一步绘制、、图像，以探究f与l的定量关系，故D正确。 故选D。 15．（2022·湖北武汉·高三期末）如图所示，倾角为的斜面上的B点固定一光滑圆弧槽（对应的圆心角小于），其圆心在B点正上方的O点，另外，光滑斜面和的下端亦在上，让可视为质点的小球分别无初速出发，从A点到达B的时间为，从O点到达C的时间为，从O点到达D的时间为。比较这三段时间，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由单摆运动的等时性可知从A点到达B的时间 由于OD垂直于MN，则点D同样位于AB所构成的圆上，分析可知OD与竖直方向夹角为倾角，则OD段为 解得 同理利用等时圆分析可知小于，故A正确，BCD错误。故选A。 16．（2022·全国·高三专题练习）（多选）某实验小组在研究单摆时改进了实验方案，将一力传感器连接到计算机上。图甲中O点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至A点，此时细线处于张紧状态。由静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，其中B点为最低位置，∠AOB＝∠COB＝α，α小于5°且大小未知，同时由计算机得到了摆线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，如图乙所示（图中所标字母均为已知量），且图中t＝0时刻为摆球从A点开始运动的时刻。已知摆长为l，重力加速度为g。根据题中（包括图中）所给的信息，下列说法正确的是（ ） A．该单摆的周期为t2 B．可求出摆球的质量 C．不能求出摆球在最低点B时的速度大小 D．若在地球的两极做该实验，则测得单摆的周期最大 E．若增加摆球的质量，单摆的周期不变 【答案】ABE 【解析】A．由题图乙可知单摆的周期为 T＝t2 A正确； BC．在B点拉力F有最大值，根据牛顿第二定律 在A、C两点拉力F有最小值，即有 Fmin＝mg cos α 由A点到B点根据机械能守恒定律有 mgl（1－cos α）＝mv2 由此可求得摆球的质量 在B点时的速度 C错误，B正确； D．地球的两极重力加速度最大，若在地球的两极做该实验，单摆周期为 T＝2π 所以测得单摆的周期最小，D错误； E．根据单摆周期公式可知，单摆的周期与摆球质量无关，E正确。故选ABE。 17．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）一个周期的理想单摆叫秒摆。如果将此单摆的摆长变为，那么单摆的周期变为多少？如果不改变摆长，将这个单摆拿到月球上，已知月球上自由落体的加速度为，那么此单摆在月球上1分钟能做多少次全振动呢？已知地球表面重力加速度。 【答案】1s，12次 【解析】根据单摆周期公式 可得 当 时 在月球上，根据 可得 则 一分钟全振动的次数 18．（2022·江苏·南京市第一中学高二开学考试）两个摆长不同的单摆1、2同轴水平悬挂，两单摆摆动平面相互平行，振动图像如图（a）。t=0时把单摆1的摆球向左、单摆2的摆球向右拉至摆角相同处，如图（b）。求： （1）两单摆摆长之比； （2）通过计算判断同时释放两摆球，两摆球是否可以同时摆到最左端？如果可以请计算所经历的时间；如果不可以请说明理由。 【答案】（1）；（2）不可以；理由见解析 【解析】（1）由图（a）可知，两单摆的周期之比 由可得两单摆摆长之比 （2）同时释放两摆球，假设两摆球可以同时摆到最左端，运动时间为t，则 ， 两式相等，则 即 上式中m、n不可能同时为整数，由此可以判断假设不成立，即两摆球不可以同时摆到最左端。 19．（2021·山东·无高二阶段练习）电影中，质量为60kg的特工从楼顶出发，欲到达距离楼顶L=22.5m处的房间。如图所示，他通过手轮沿一条竖直悬垂的滑索从静止开始下滑。下滑时他可调节对手轮的压力，从获得足够的阻力以控制下滑加速度。开始时他放松手轮，自由下落1s；然后他调节手轮，匀速下落了12.5m；然后他再调节手轮，匀减速下滑，当滑到该房间的窗户A处时，速度恰好为0。此时他用脚踏蹬开窗户，自己向墙外侧反弹了 0.9m，然后进入窗内。（不计空气阻力；放松手轮时，不计手轮与滑索间的摩擦；不考虑特工的身高影响。g=10m/s2）求：从开始下落到进入窗内，特工所用的时间。（此小题结果保留1位小数） 【答案】8.0s 【解析】自由下落时间为 匀速下落 减速下落 单摆周期T 所以摆动过程 故全程 20．（2021·湖南·高二阶段练习）如图所示，光滑圆弧槽BC半径为R，O、B分别为光滑圆弧槽的圆心和最低点，OB连线在竖直方向，光滑斜面AB与光滑圆弧槽BC平滑连接，且A与C的连线在水平方向，O、A、B、C在同一竖直面内，OA与AB垂直，。分三次分别从O、A、C三点无初速度释放视为质点的小球1、2、3，忽略空气阻力，重力加速度为g，求： （1）小球1、2、3第一次到达B点的时间t1、t2、t3之比； （2）移走小球1和小球2，释放小球3，从释放小球3到小球3第2022次经过B点经历的时间。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）小球1做自由落体运动 小球2在斜面上匀变速直线运动 小球3类似于单摆的运动 得到 （，均可） （2）小球3每次在AB斜面上上升的时间与下滑的时间相同 联立得
人教版新教材 物理选择性必修第一册 第二章《机械振动》 2.4 单摆 精选练习 夯实基础 1．（2022·全国·高二专题练习）（多选）关于单摆，下列说法正确的是（ ） A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置 B．摆球经过平衡位置时，所受的合力不为零 C．摆球受到的回复力是它所受的合力 D．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对于平衡位置的位移大小成正比 【答案】AB 【解析】A．回复力是使摆球回到平衡位置的力，其方向总是指向平衡位置，A正确； B．摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，有向心力，合力不为零，方向指向悬点，B正确； C．摆球所受的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球所受的合力，C错误； D．摆角很小时，摆球所受回复力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比，而不是合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比，D错误。故选AB。 2．（2022·江苏淮安·高二期末）探究单摆摆长与周期的关系的实验中，已选用摆长约为的单摆，下列操作更合乎实验要求且误差最小的是（，）（ ） A．振幅取，从平衡位置处开始计时 B．振幅取，从最大位置处开始计时 C．振幅取，从平衡位置处开始计时 D．振幅取，从最大位置处开始计时 【答案】A 【解析】探究单摆摆长与周期的关系的实验中，要求最大摆角应小于5°，即最大振幅约为 故振幅取较合适。摆球通过平衡位置时，速度最大，计时误差最小，故应从平衡位置处开始计时。故选A。 3．（2022·全国·高二专题练习）（多选）一个单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是（ ） A．t1时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小 B．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大 C．t2时刻摆球速度最大，但加速度不为零 D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大 【答案】ACD 【解析】AB．t1时刻和t3时刻摆球离平衡位置的位移最大，此时摆球的速度为零，悬线对摆球的拉力最小，故A正确，B错误； CD．t2时刻和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，则位移最大，悬线对摆球的拉力最大，加速度向上，故CD正确。故选ACD。 4．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）（多选）图甲中O点为单摆的固定悬点，现将摆球拉至A点，此时细线处于张紧状态。由静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，α小于5°且大小未知，同时由连接到计算机的力传感器得到了摆线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，如图乙所示（图中所标字母以及重力加速度g均为已知量）。不计空气阻力。根据题中（包括图中）所给的信息，下列说法中正确的是（ ） A．该单摆的周期为2t0 B．该单摆的摆长为 C．可以求出摆球质量 D．不可以求出单摆的最大速度 【答案】ABC 【解析】A．小球在一个周期内两次经过最低点，根据该规律可知该单摆的周期为，故A正确； B．根据单摆周期公式 求得，故B正确； CD．当摆球在最高点时，沿绳方向根据平衡条件 在最低点，根据牛顿第二定律 由最高点到最低点过程，根据动能定理 联立解得 同时，根据以上也可以求出最大速度v，故C正确，D错误；故选ABC。 5．（2022·山东潍坊·高二期末）电场强度大小为E、方向竖直向上的匀强电场中，一长度为L的绝缘细线，一端固定于O点，另一端拴一质量为m、带电量为+q的小球（可质为质点），小球静止在图中A点，细线绷紧。现将小球拉至B点（），由静止释放。已知重力加速度为g。则小球做简谐运动的过程中（ ） A．机械能守恒 B．回复力等于重力、电场力和细线拉力的合力 C．周期为 D．周期为 【答案】D 【解析】A．小球做简谐运动过程中，电场力做功，所以机械能不守恒，故A错误； B．回复力等于重力和电场力的合力沿轨迹切线方向的分力，故B错误； CD．小球的等效重力加速度为 根据单摆的周期公式可得小球做简谐运动的周期为 故C错误，D正确。故选D。 6．（2022·全国·高二专题练习）关于单摆，下列说法中正确的是（ ） A．摆球运动的回复力是它受到的合力 B．摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置 C．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的 D．摆球经过平衡位置时，加速度为零 【答案】C 【解析】A．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球所受的合力。故A错误； B．摆球在运动过程中，回复力产生的加速度的方向始终指向平衡位置，而向心加速度指向悬点，合成后，方向在变化，故B错误； C．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，受力情况相同，加速度是不变的，故C正确； D．摆球经过平衡位置时，加速度不为零，是向心加速度，故D错误。 故选C。 7．（2021·四川·西昌市第二中学高二期中）如图所示为同一地点的两个单摆甲、乙的振动图像，下列说法正确的是（ ） A．甲、乙两单摆的振幅相等 B．甲摆的摆长比乙摆的大 C．甲摆的机械能比乙摆的大 D．在t＝0.5s时有正向最大加速度的是乙摆 【答案】D 【解析】A．从题图上可以看出甲摆振幅大，A错误； B．由题图知两摆周期相等，根据单摆周期公式，可知两单摆摆长相等，B错误； C．因两摆球质量关系不明确，无法比较它们的机械能的大小，C错误； D．t＝0.5s时，乙摆球在负的最大位移处，故有正向最大加速度，D正确。 故选D。 8．（2022·江苏南通·高二期末）如图所示，表面光滑的固定圆弧轨道，最低点为P，弧长远小于R，现将可视为质点的两个小球从A、B点同时由静止释放，弧长AP大于BP，则（ ） A．两球在P点相遇 B．两球在P点右侧相遇 C．两球在P点左侧相遇 D．以上情况均有可能 【答案】A 【解析】由于弧长远小于R，所以两球的运动都可以看作是单摆，由单摆的等时性可知，两球从释放到最低点的时间都等于单摆周期（单摆周期公式）的四分之一，摆长相等，L=R，所以两球会同时到达P点，故BCD错误，A正确。 故选A。 9．（2021·江苏南通·高二期中）小华利用频闪照相的方法研究单摆的运动过程，从摆球离开左侧最高点A时开始，每隔相同时间曝光一次，得到了一张记录摆球从A位置由静止运动到右侧最高点B的照片，如图所示，其中摆球运动到最低点C时，摆线在点被一钉子挡住。对照片进行分析可知（ ） A．摆球经过C点前后瞬间角速度大小不变 B．摆球经过C点前后瞬间绳中拉力大小不变 C．摆球在C点附近相邻位置的间隔大，说明在C点附近相邻位置间的运动时间长 D．若已知左侧摆长OA的长度，则可以求出右侧摆长的长度 【答案】D 【解析】A．摆球经过C点前后线速度不变，但半径发生了变化，根据 可知角速度发生了变化，故A错误； B．根据 可得绳上拉力 摆球经过C点前后运动半径改变，则绳中拉力改变，故B错误； C．频闪照相时，摆球在C点附近相邻位置的间隔大可说明C点附近的线速度大，在相邻两个位置间运动的时间是相同的，故C错误； D．由题图可计算摆球在不同摆长状态下对应的周期，根据，若已知左侧摆长，则可计算右侧摆长，故D正确。 故选D。 10．（2022·山西·晋城市第一中学校高二阶段练习）如图所示，摆长为L的单摆上端固定在天花板上的O点，在O点正下方相距l处的P点有一固定的细铁钉。将小球向右拉开一个约2°的小角度后由静止释放，使小球来回摆动。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，规定向右为正方向，则小球在开始的一个周期内的x-t关系图线如图所示。以下关于l与L的关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图像可知，单摆在钉子右边振动的周期为T1=8s；在钉子左边振动的周期为T2=4s；根据 可得 解得 故选D。 提升训练 11．（2022·福建·模拟预测）将一单摆a悬挂在力传感器的下面，让单摆小角度摆动，图甲记录了力传感器示数F随时间t的变化关系，随后将这个单摆和其他两个单摆拴在同一张紧的水平绳上（c的摆长和a的摆长相等，b的摆长明显长于a的摆长），并让a先摆动起来。则单摆a的摆长为___________，单摆c的摆动周期___________（填“大于”“小于”或“等于”）单摆b的摆动周期。 【答案】 等于 【解析】[1]对单摆a受力分析可知，摆球经过最低点时拉力最大，摆球经过最高点时拉力最小，所以单摆a振动的周期为，由单摆周期公式 得单摆a的摆长为 [2]单摆均做受迫振动，振动的周期均等于单摆a的固有周期。 12．（2022·全国·高二专题练习）正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时30 s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1 m，当地重力加速度g取π2（m/s2）；根据以上数据可得小球运动的周期T＝________ s；房顶到窗上沿的高度h＝________ m。 【答案】 3.0 3.0 【解析】[1]从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时30s，故周期为: [2]本题单摆为复合摆，当摆长为L时，小摆周期为 当摆长为时，大摆周期为 故单摆周期为 联立解得 13．（2022·湖南·高二期末）如图所示，用两不可伸长的轻绳悬挂一个小球，两绳长度均为L、两绳之间的夹角已知，小球的半径为r，当小球垂直于纸面做简谐运动时，其周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】单摆的周期公式为 公式中的l指质点到悬点（等效悬点）的距离，此题中单摆的摆长为，带入公式可得 故ABC错误，D正确。 故选D。 14．（2022·浙江嘉兴·高二期末）某研究性学习小组以秋千的摆动规律为研究课题。如图甲所示为研究所用的“模拟秋千”，秋千上固定了一只玩具兔。实验中测量了拴秋千的四根绳子长度的平均值l，并利用手机传感器记录了秋千摆动频率f。改变绳长，测出“多组f随l变化的数据，并描点绘图得如图乙所示的f-l图像。该研究小组通过分析图乙中的信息（ ） A．可得出f与秋千摆角无关 B．可得出f与摆和玩具兔的总质量无关 C．可得出摆动过程中最大速度与秋千摆角有关 D．可尝试进一步绘制f与图像以探究f与l的定量关系 【答案】D 【解析】A．通过分析图乙中的信息，没有f与秋千摆角的信息，则不可以得出f与秋千摆角无关，故A错误； B．通过分析图乙中的信息，没有f与摆和玩具兔的总质量的信息，则不可以得出f与摆和玩具兔的总质量无关，故B错误； C．通过分析图乙中的信息，没有最大速度与秋千摆角的信息，则不可以得出摆动过程中最大速度与秋千摆角有关，故C错误； D．通过分析图乙中的信息，秋千摆动频率与绳子长度的平均值可能存在反比关系，则可以尝试进一步绘制、、图像，以探究f与l的定量关系，故D正确。 故选D。 15．（2022·湖北武汉·高三期末）如图所示，倾角为的斜面上的B点固定一光滑圆弧槽（对应的圆心角小于），其圆心在B点正上方的O点，另外，光滑斜面和的下端亦在上，让可视为质点的小球分别无初速出发，从A点到达B的时间为，从O点到达C的时间为，从O点到达D的时间为。比较这三段时间，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由单摆运动的等时性可知从A点到达B的时间 由于OD垂直于MN，则点D同样位于AB所构成的圆上，分析可知OD与竖直方向夹角为倾角，则OD段为 解得 同理利用等时圆分析可知小于，故A正确，BCD错误。故选A。 16．（2022·全国·高三专题练习）（多选）某实验小组在研究单摆时改进了实验方案，将一力传感器连接到计算机上。图甲中O点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至A点，此时细线处于张紧状态。由静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，其中B点为最低位置，∠AOB＝∠COB＝α，α小于5°且大小未知，同时由计算机得到了摆线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，如图乙所示（图中所标字母均为已知量），且图中t＝0时刻为摆球从A点开始运动的时刻。已知摆长为l，重力加速度为g。根据题中（包括图中）所给的信息，下列说法正确的是（ ） A．该单摆的周期为t2 B．可求出摆球的质量 C．不能求出摆球在最低点B时的速度大小 D．若在地球的两极做该实验，则测得单摆的周期最大 E．若增加摆球的质量，单摆的周期不变 【答案】ABE 【解析】A．由题图乙可知单摆的周期为 T＝t2 A正确； BC．在B点拉力F有最大值，根据牛顿第二定律 在A、C两点拉力F有最小值，即有 Fmin＝mg cos α 由A点到B点根据机械能守恒定律有 mgl（1－cos α）＝mv2 由此可求得摆球的质量 在B点时的速度 C错误，B正确； D．地球的两极重力加速度最大，若在地球的两极做该实验，单摆周期为 T＝2π 所以测得单摆的周期最小，D错误； E．根据单摆周期公式可知，单摆的周期与摆球质量无关，E正确。故选ABE。 17．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）一个周期的理想单摆叫秒摆。如果将此单摆的摆长变为，那么单摆的周期变为多少？如果不改变摆长，将这个单摆拿到月球上，已知月球上自由落体的加速度为，那么此单摆在月球上1分钟能做多少次全振动呢？已知地球表面重力加速度。 【答案】1s，12次 【解析】根据单摆周期公式 可得 当 时 在月球上，根据 可得 则 一分钟全振动的次数 18．（2022·江苏·南京市第一中学高二开学考试）两个摆长不同的单摆1、2同轴水平悬挂，两单摆摆动平面相互平行，振动图像如图（a）。t=0时把单摆1的摆球向左、单摆2的摆球向右拉至摆角相同处，如图（b）。求： （1）两单摆摆长之比； （2）通过计算判断同时释放两摆球，两摆球是否可以同时摆到最左端？如果可以请计算所经历的时间；如果不可以请说明理由。 【答案】（1）；（2）不可以；理由见解析 【解析】（1）由图（a）可知，两单摆的周期之比 由可得两单摆摆长之比 （2）同时释放两摆球，假设两摆球可以同时摆到最左端，运动时间为t，则 ， 两式相等，则 即 上式中m、n不可能同时为整数，由此可以判断假设不成立，即两摆球不可以同时摆到最左端。 19．（2021·山东·无高二阶段练习）电影中，质量为60kg的特工从楼顶出发，欲到达距离楼顶L=22.5m处的房间。如图所示，他通过手轮沿一条竖直悬垂的滑索从静止开始下滑。下滑时他可调节对手轮的压力，从获得足够的阻力以控制下滑加速度。开始时他放松手轮，自由下落1s；然后他调节手轮，匀速下落了12.5m；然后他再调节手轮，匀减速下滑，当滑到该房间的窗户A处时，速度恰好为0。此时他用脚踏蹬开窗户，自己向墙外侧反弹了 0.9m，然后进入窗内。（不计空气阻力；放松手轮时，不计手轮与滑索间的摩擦；不考虑特工的身高影响。g=10m/s2）求：从开始下落到进入窗内，特工所用的时间。（此小题结果保留1位小数） 【答案】8.0s 【解析】自由下落时间为 匀速下落 减速下落 单摆周期T 所以摆动过程 故全程 20．（2021·湖南·高二阶段练习）如图所示，光滑圆弧槽BC半径为R，O、B分别为光滑圆弧槽的圆心和最低点，OB连线在竖直方向，光滑斜面AB与光滑圆弧槽BC平滑连接，且A与C的连线在水平方向，O、A、B、C在同一竖直面内，OA与AB垂直，。分三次分别从O、A、C三点无初速度释放视为质点的小球1、2、3，忽略空气阻力，重力加速度为g，求： （1）小球1、2、3第一次到达B点的时间t1、t2、t3之比； （2）移走小球1和小球2，释放小球3，从释放小球3到小球3第2022次经过B点经历的时间。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）小球1做自由落体运动 小球2在斜面上匀变速直线运动 小球3类似于单摆的运动 得到 （，均可） （2）小球3每次在AB斜面上上升的时间与下滑的时间相同 联立得
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