2022年辽宁省沈阳市中考数学试卷（Word解析版）

2022年辽宁省沈阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 计算，结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图是由个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 下列计算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表：

则该足球队队员年龄的众数是(    )

A. 岁 B. 岁 C. 岁 D. 人

6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，在中，，点、分别是直角边、的中点，连接，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 下列说法正确的是(    )

A. 了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
B. 如果某彩票的中奖概率是，那么一次购买张这种彩票一定会中奖
C. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定
D. “任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是”是必然事件

10. 如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度与河岸垂直，测量得，两点间距离为米，，则河宽的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 因式分解：______．
12. 二元一次方程组的解是______．
13. 化简：______．
14. 如图，边长为的正方形内接于，则的长是______结果保留．

15. 如图，四边形是平行四边形，在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过第一象限点，且▱的面积为，则______．

16. 如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点，分别在边，上，点，的对应点分别为点，，且点在矩形内部，的延长线交边于点，交边于点，，当点为的三等分点时，的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共82分）

17. 计算：．
18. 为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号，，，，分别写在完全相同的张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
    随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“”的概率是______；
    小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“”和“”的概率．
19. 如图，在中，是的角平分线，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，分别交，，于点，，，连接，．
    由作图可知，直线是线段的______．
    求证：四边形是菱形．

20. 某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：综合模型、摄影艺术、音乐鉴赏、劳动实践，随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．
    
    根据以上信息，解答下列问题：
    此次被调查的学生人数为______名；
    直接在答题卡中补全条形统计图；
    求拓展课程劳动实践所对应的扇形的圆心角的度数；
    根据抽样调查结果，请你估计该校名学生中，有多少名学生最喜欢音乐鉴赏拓展课程．
21. 如图，用一根厘米的铁丝制作一个“日”字型框架，铁丝恰好全部用完．
    若所围成的矩形框架的面积为平方厘米，则的长为多少厘米？
    矩形框架面积的最大值为______平方厘米．

22. 如图，四边形内接于，是的直径，，的延长线交于点，延长交于点，．
    求证：是的切线；
    连接，，，的长为______．

23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
    求直线的函数表达式；
    过点作轴于点，将沿射线平移得到的三角形记为，点，，的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为，平移的距离，当点与点重合时停止运动．
    若直线交直线于点，则线段的长为______用含有的代数式表示；
    当时，与的关系式为______；
    当时，的值为______．
     

24. 【特例感知】
    如图，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，线段与的数量关系是______；
    【类比迁移】
    如图，将图中的绕着点顺时针旋转，那么第问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．
    【方法运用】
    如图，若，点是线段外一动点，，连接．
    若将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最大值是______；
    若以为斜边作三点按顺时针排列，，连接，当时，直接写出的值．
     

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，与轴交于点，作直线．
    求抛物线的函数表达式；
    直接写出直线的函数表达式；
    点是直线下方的抛物线上一点，连接交于点，连接，，的面积记为，的面积记为，当时，求点的坐标；
    点为抛物线的顶点，将抛物线图象中轴下方的部分沿轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为，点的对应点为，点的对应点为，将曲线沿轴向下平移个单位长度曲线与直线的公共点中，选两个公共点记作点和点，若四边形是平行四边形，直接写出点的坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据有理数异号相加法则即可处理．
本题主要考查有理数加法，掌握其运算法则是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看，底层有个正方形，上层左边有个正方形，
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识．注意主视图是指从物体的正面看物体．
 

3.【答案】 

【解析】解：，因此选项A不符合题意；
B.，因此选项B 不符合题意；
C.，因此选项C不符合题意；
D.，因此选项D符合题意；
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法以及完全平方公式逐项进行计算即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法以及完全平方公式，掌握幂的乘方与积的乘方的计算方法，同底数幂的除法的计算法则以及完全平方公式的结构特征是正确判断的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：点关于轴的对称点坐标为．
故选：．
根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于轴、轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

5.【答案】 

【解析】解：该足球队队员年龄岁出现的次数最多，故众数为岁．
故选：．
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
本题考查了众数，掌握众数的定义是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：不等式的解集为：，
故选：．
解不等式求得不等式的解集，然后根据数轴上表示出的不等式的解集，再对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，
则，
、分别是边、的中点，
是的中位线，
，
，
故选：．
根据直角三角形的性质求出，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形中位线平行于第三边是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：一次函数中，令，则；令，则，
一次函数的图象经过点和，
一次函数的图象经过一、二、四象限，
故选：．
依据一次函数的图象经过点和，即可得到一次函数的图象经过一、二、四象限．
本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
 

9.【答案】 

【解析】解：了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，是正确的，因此选项A符合题意；
B.如果某彩票的中奖概率是，那么一次购买张这种彩票也不一定会中奖，因此选项B不符合题意；
C.若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定，因此选项C不符合题意；
D.“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是”是不可能事件，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据抽样调查与全面调查的定义，概率以及方差的定义逐项进行判断即可．
本题考查全面调查与抽样调查，方差以及随机事件、不可能事件、必然事件，理解全面调查与抽样调查的方法，方差的意义以及随机事件、不可能事件、必然事件的定义是正确判断的前提．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
在中，米，，
米，
河宽的长度是米，
故选：．
根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
将代入，得，
解得，
将代入，得，
方程组的解为，
故答案为：．
用代入消元法解二元一次方程组即可．
本题考查二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：


，
故答案为：．
先算括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接、．

正方形内接于，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
的长，
故答案为：
连接、，可证，根据勾股定理求出，根据弧长公式求出即可．
本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出的度数和的长是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：作于，如图，

四边形为平行四边形，
轴，
四边形为矩形，
，
，
而，
．
故答案为：．
作于，由四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，利用反比例函数图象得到．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
 

16.【答案】或 

【解析】解：当时，，
将矩形纸片折叠，折痕为，
，，，，，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
过点作于点，则，
设，
则，
，
，
，
，
解得：，
；
当时，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
故答案为：或．
根据点为三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明，得到，证明∽，求出的长，过点作于点，则，设，根据勾股定理列方程求出即可．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，考查了分类讨论的思想，根据勾股定理列方程求解是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先计算开方运算、特殊三角函数值、负整数指数幂的运算及绝对值的运算，再合并即可．
此题考查的是实数的运算，负整数指数幂的运算，特殊三角形函数值，掌握其运算法则是解决此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由题意得，
随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“”的概率是．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是“”和“”的结果有种，
小明随机抽取两张卡片，两张卡片上的数字是“”和“”的概率为．
根据概率公式求解即可．
画树状图，表示出所有等可能的结果数，以及两张卡片上的数字是“”和“”的结果数，再结合概率公式即可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
 

19.【答案】垂直平分线 

【解析】解：根据作法可知：是线段的垂直平分线；
故答案为：垂直平分线；

证明：是的垂直平分线，
，，
，
平分，
，
，
，
同理，
四边形是平行四边形，
，
四边形为菱形．
根据作法得到是线段的垂直平分线；
根据垂直平分线的性质则，，进而得出，同理，于是可判断四边形是平行四边形，加上，则可判断四边形为菱形．
本题考查了作图基本作图以及菱形的判定方法，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：此次被调查的学生人数为：名，
故答案为：；
选择的学生有：名，
补全的条形统计图如图所示；

，
即拓展课程劳动实践所对应的扇形的圆心角的度数是；
名，
答：估计该校名学生中，有名学生最喜欢音乐鉴赏拓展课程．
根据选择的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数；
根据条形统计图中的数据，即可计算出选择的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
用乘以劳动实践所占比例可得答案；
用样本估计总体即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、频数率分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】 

【解析】解：设框架的长为，则宽为，
，
解得或，
或，
的长为厘米或厘米；
由知，框架的长为，则宽为，
，即，
，
要使框架的面积最大，则，此时，最大为平方厘米．
故答案为：．
设框架的长为，则宽为，根据面积公式列出二元一次方程，解之即可；
在的基础上，列出二次函数，再利用二次函数的性质可得出结论．
此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．
 

22.【答案】 

【解析】证明：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是圆的切线；
连接并延长交于点，连接，

是的直径，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
根据圆内接四边形对角互补以及平角定义可得，然后根据已知可得，从而可得，即可解答；
连接并延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】  或 

【解析】解：将点，的坐标代入直线，
，
解得．
直线的函数表达式为：；
由知直线的函数表达式为：，
令，则，
，
，，
；
如图，过点作于点，
，
，
，
∽，
：：：：：：，
，
，，
，，，
，
直线的解析式为：，
．

故答案为：
当点落在直线上时，有，
解得，
当时，点未到直线，
此时；
故答案为：．
分情况讨论，
当时，由可知，；
令，解得舍或舍；
当时，如图，设线段与直线交于点，
，
，
；

，
令；
整理得，，
解得或舍；
当时，如图，

，不符合题意；
当时，如图，
此时，
，，
，
令，解得舍或．
故答案为：或．
将点，的坐标代入直线解析式，求解即可；
过点作，易得∽，可用表达和的长度，进而可表达点，的坐标，由点的坐标可得出直线的解析式，代入可得点的坐标；
根据题意可知，当时，点未到直线上，利用三角形面积公式可得出本题结果；
分情况讨论，分别求出当时，当时，当时，当时，与的关系式，分别令，建立方程，求出即可．
本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等知识，根据的运动，进行正确的分类讨论是解题关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：理由如下：
如图，和是等腰直角三角形，，
，，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：；
仍然成立．
证明：如图，，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
过点作，使，连接，，，，
和都是等腰直角三角形，
，，，
，，
∽，
，
，
，，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当在的延长线上时，的值最大，最大值为，
故答案为：；
如图，在上方作，过点作于点，连接、、，过点作于点，
，，
∽，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
在中，，
．
证明≌，即可得出结论；
利用旋转性质可证得，再证明≌，即可得出结论；
过点作，使，连接，，，，先证得∽，得出，即点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当在的延长线上时，的值最大，最大值为；
如图，在上方作，过点作于点，连接、、，过点作于点，可证得∽，得出，再求出、，即可求得．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，综合性较强，难度较大，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：抛物线经过点和点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
由得，
当时，，
解得：，，
，
设直线的函数表达式为，则，
解得：，
直线的函数表达式为；
设点，，过点作轴于点，过点作轴于点，如图，
，即，
，
，
轴，轴，
，
∽，
，
，，
，，
，，
，
点在直线上，
，
解得：，，
或；
，
顶点坐标为，
当时，，即点，
点，，
向上翻折部分的图象解析式为，
向上翻折部分平移后的函数解析式为，平移后抛物线剩下部分的解析式为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
同理直线的解析式为，
，
设点的坐标为，
点，，
点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，
四边形是平行四边形，
点，
当点，均在向上翻折部分平移后的图象上时，
则，
解得：不符合题意，舍去，
当点在向上翻折部分平移后的图象上，点在平移后抛物线剩下部分的图象上时，
则，
解得：或不合题意，舍去，
当点在平移后抛物线剩下部分的图象上，点在向上翻折部分平移后的图象上时，
则，
解得：或不合题意，舍去，
综上所述，点的坐标为 

【解析】运用待定系数法即可求得抛物线解析式和直线的解析式；
设点，，过点作轴于点，过点作轴于点，如图，根据三角形面积关系可得，由，可得∽，得出，可求得，代入直线的解析式即可求得点的坐标；
根据题意可得：点，，向上翻折部分的图象解析式为，向上翻折部分平移后的函数解析式为，平移后抛物线剩下部分的解析式为，利用待定系数法可得：直线的解析式为，直线的解析式为，由四边形是平行四边形，分类讨论即可．
本题主要是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形面积，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，抛物线的平移、翻折变换等，利用数形结合思想解答是解题的关键．