1.2常用逻辑用语 北师大版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）

1.2常用逻辑用语北师大版（  2019）高中数学必修第一册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 给出如下四个命题：其中不正确的命题的个数是(    )

若“且”为假命题，则、均为假命题；

命题“若，则”的否命题为“若，则”；

“，”的否定是“，”；

任意“，”为真命题的一个充分不必要条件是．

A.  B.  C.  D.

3. 下列有关命题的说法中错误的是(    )

A. 若为真命题，则，中至少有一个为真命题
B. 命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题
C. 命题“，有且”的否定形式是“，有且”
D. 设，，则“”是“”的充要条件

4. 给出如下四个命题：其中不正确的命题的个数是(    )

若“且”为假命题，则、均为假命题；

命题“若，则”的否命题为“若，则”；

“，”的否定是“，”；

任意“，”为真命题的一个充分不必要条件是．

A.  B.  C.  D.

5. 下列命题为真命题的是(    )

A. 函数与函数是同一函数
B. 设，则“”是“”的必要而不充分条件
C. 函数的最小值为
D. 命题“”的否定是“”

6. 有下面四个判断，其中正确的个数是(    )
   命题：“设、，若，则或”是一个真命题
   若“或”为真命题，则、均为真命题
   命题“、，”的否定是：“、，”

A.  B.  C.  D.

7. 下列命题中正确命题的个数是

对于命题：，使得，则：，均有；

命题“已知，，若，则或”是真命题；

回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为；

是直线与直线互相垂直的充要条件．

A.  B.  C.  D.

8. 直线与圆有两个不同交点的一个必要不充分条件是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 下列说法正确的是(    )

A. 命题：，，则：，．
B. “，”是“”成立的充分不必要条件．
C. “”是“”的必要条件．
D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件．

10. 下列说法正确的是

A. “，”是假命题
B. “，”是真命题
C. 是的充分不必要条件
D. ，，的充要条件是

下列四个命题中，真命题有(    )A. ，
B. “，”的否定是“，”
C. “函数在内”是“在内单调递增”的充要条件
D. 已知在处存在导数，则“”是“是函数的极值点”的必要不充分条件

11. 下列说法正确的是(    )

A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 设，，则“且”是“”的必要不充分条件
D. “”是“关于的方程有实根”的充要条件

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

12. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为          
13. 给出下列四个命题：其中错误命题的序号是________．

“平面向量与的夹角是锐角”的充分必要条件是“”；

函数“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；

命题“，”的否定是“，”

关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．

14. 写出一个使命题“，”成立的充分不必要条件          用的值或范围作答．
15. “”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

16. 设：实数满足，其中，：实数满足若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17. 指出下列各题中，是的充分条件，还是必要条件．

，

，

，．

18. 已知命题：，是假命题．

Ⅰ求实数的取值集合；

Ⅱ设不等式的解集为若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

19. 设是的三边，求方程与有公共根的充要条件．
20. 已知：，：．

若是充分不必要条件，求实数的取值范围；

若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．

21. 已知集合，集合

  若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；

  是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的解法，考查必要不充分条件的概念，属于中档题．
求解不等式得到命题，根据是的必要不充分条件这一条件得到是的真子集，列不等式求解即可．

【解答】

解：，即，
．
因为是的必要不充分条件，
所以是的真子集，
所以．
故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，否命题及命题的否定，复合命题的真假，考查充要条件，属于中档题．
由复合命题的真假分析知错误；由否命题定义可知正确；由全称命题的否定知错误；由充要条件分析知错误．

【解答】

解：为假命题，，中至少有一个假命题，错误；
命题“若则”的否命题为“若，则”，正确；
“，”的否定是“，”，错误；
任意“，”为真命题，即在恒成立，所以，
则任意“，”为真命题的一个充要条件是错误．
不正确的命题的个数为，
故选B．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查命题真假的判断，考查全称命题的否定形式，依题意，逐句判断即可．
【解答】
解：对于选项，若为真命题，
则，中至少有一个为真命题，A正确；
对于选项，“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是若不是幂函数，则的图象经过第四象限，
属于假命题，B正确；
对于选项，因为命题的否定只否定结论，
所以命题“，且”的否定形式是“，且，C错误；
对于选项，当，时，“”是“”的充要条件，D正确．
故选C．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，否命题及命题的否定，复合命题的真假，考查充要条件，属于中档题．
由复合命题的真假分析知错误；由否命题定义可知正确；由全称命题的否定知错误；由充要条件分析知错误．

【解答】

解：为假命题，，中至少有一个假命题，错误；
命题“若则”的否命题为“若，则”，正确；
“，”的否定是“，”，错误；
任意“，”为真命题，即在恒成立，所以，
则任意“，”为真命题的一个充要条件是错误．
不正确的命题的个数为，
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断、全称量词命题的否定、利用基本不等式求最值和函数的基本概念，是中档题．
分析函数定义域判断；利用充分条件、必要条件定义判断；利用对勾函数性质计算判断；利用全称量词命题的否定判断作答．

【解答】

解：对于，的定义域为，的定义域为，不正确；

对于，解不等式得，，有，则“”是“”的必要而不充分条件，B正确；

对于，令，函数在上递增，，因此，不正确；

对于，命题“”的否定是“”，不正确．

6.【答案】 

【解析】

【分析】
写出的逆否命题，判断逆否命题的真假，即可判断的正误．通过复合命题的真假判断的正误；利用全称命题的否定，写出其特称命题判断即可．本题考查命题的否定，四种命题的逆否关系，复合命题真假的判断，基本知识的应用．
【解答】
解：命题：“设、，若，则或”的逆否命题为：“若且，则”是一个真命题，所以是真命题；
若“或”为真命题，一真即真，所以、均为真命题说法不正确；
命题“、，”的否定是：“、，”不满足全称命题的否定是特称命题，所以不正确；
正确命题的个数是个．故选B．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】

主要考查命题的真假判断，涉及到充分必要条件，回归直线、特称命题与全称命题，以及直线垂直的条件．

【解答】

解：对于命题使得

则均有故错误；

命题“已知若不等于，则不等于或不等于”

的逆否命题是：“已知若且则”是真命题，

所以原命题是真命题，故正确；

因为回归直线一定过样本中心点，且回归直线的斜率的估计值为，

所以计算得出

所以这组数据对应的回归直线方程是：故正确；

由于计算得出或所以是直线

与直线互相垂直的充分不必要条件，

故错误．

所以正确命题的个数是个．

故选B．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆相交的等价条件求出的取值范围是解决本题的关键．
求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件求出的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】

解：圆的标准方程为，圆心为，半径，
若直线与圆有两个不同的交点，
则圆心到直线的距离，
即，得，得，
则的一个必要不充分条件是，
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查全称量词命题的否定和充分、必要条件，属于中档题．
利用全称量词命题的否定和充分、必要条件的定义逐个判断即可．

【解答】

解：对于，由命题：，是全称量词命题，则：，，所以正确；

对于，由时一定有，充分性成立，
，如，，推不出，必要性不成立，
因此“”是“”成立的充分不必要条件，所以B正确；

对于，“   ”如，，推不出“”，所以C错误；

对于，方程      有一正一负根设为，等价于，则，即，则“ ”是“关于的方程      有一正一负根”的充要条件，所以D正确．

故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了命题的真假、充分条件和必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
直接利用充分条件和必要条件，命题的真假，判断、、、的结论．

【解答】

解：对于：因为“，”是真命题，所以“，”是假命题，故A正确．
对于：因为函数和函数是单调递增函数，
且由对数函数的性质可得的递增速度比的递增速度快，，，
时，，，
所以可得时，有，
所以“，”是真命题，故B正确．
对于由，
而与互相推不出，
因此“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误．
对于：已知，，则的充要条件是，故D正确．

 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数零点分布判断，全称量词命题的否定，以及导数与函数单调性，极值的关系应用，属于较难题．
根据各命题对应的知识逐个判断即可解出．对于，利用导数判断其单调性，再根据零点存在性定理即可判断；对于，由全称命题的否定是特称命题即可判断；对于，根据函数的单调性与导数的关系即可判断；对于，根据极值存在的条件即可判断；

【解答】

解：对于，设，，
因为，所以在上连续且单调递增，
而，，，

即，使得，即，正确；

对于，“，”的否定是“，”不正确；

对于，在内单调递增等价于函数在内，
“函数在内”是“在内单调递增”的充分条件，不正确；

对于，因为在处存在导数，根据极值点的定义可知，“是函数的极值点”可以推出“”，但是“”不一定可以推出“是函数的极值点”，

比如函数在处有，但是不是函数的极值点，正确．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了充分必要条件的判断，存在量词命题的否定，属于中档题．
项由充分条件和必要条件的定义逐一判断即可；项由存在量词命题的否定是全称量词命题可知．

【解答】

解：对于，例如，满足，但，所以A错误

对于，存在量词命题的否定为全称量词命题，所以B正确

对于，当且，可得，但，满足，但，所以“且”是“”的充分不必要条件，所以不正确

对于，方程有实根，所以D正确．

故选BD．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

根据存在量词命题是假命题进行转化即可 

【解答】

解：  若命题“”是假命题，
则命题“”是真命题，
即判别式，
解得，
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查充分必要条件的判定、存在量词命题的否定及不等式的求解，考查向量的夹角，属于中档题．
结合向量的数量积的概念和充分、必要条件的判定，可得判定错误；根据三角函数的图形与性质，可判定正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定错误；根据二次函数的性质，可判定正确．
【解答】
解：对中，当“”时，平面向量与的夹角是锐角或零角，
所以“平面向量与的夹角是锐角”的必要不充分条件是“”，故错误；
对中：由函数，则，则，
所以函数“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件，故正确；
对中：命题“，”的否定是“，”，故错误；
对中，由不等式的解集为，则满足，解得，
故正确．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查充分必要条件，考查存在量词命题，属于中档题．
求出命题“，”成立的充要条件，写出它的子集或元素即可．

【解答】

解：当时，，不成立；
当时，“，”成立，
只需或，解得，
即命题“，”成立的充要条件为，
故使命题“，”成立的充分不必要条件为的真子集或元素符合条件的命题．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了充分不必要条件，考查集合的包含关系，是一道中档题．
解不等式，问题转化为或，求出的范围即可．

【解答】

解：由，解得：，
由，解得：或，
若“”是“”的充分不必要条件，
即或，
故，解得：，
故答案为：．

17.【答案】解：是的充分不必要条件，即且，
设集合或，，或，则．
所以且，即．
所以实数的取值范围是． 

【解析】本题考查充分条件和必要条件，属于中档题．
由题意知且，设或，，或，则，即可得到的取值范围．
 

18.【答案】

因为，，所以是的必要条件．

因为，，所以是的充分条件．

因为且 ，，所以是的充分条件．

【解析】略
 

19.【答案】解：Ⅰ根据题意可得命题：“，都有不等式，成立”是真命题，
得在恒成立，
得，即．
Ⅱ不等式，
当，即时，解集，
若是的必要不充分条件，则，
，此时．
当即时解集，
若是的必要不充分条件，则成立．
当，即时解集，
若是的必要不充分条件，则成立，
此时．
综上：． 

【解析】本题主要考查了一元二次不等式的解法和充分必要条件在集合中的综合应用．
Ⅰ分离出，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出，求出的范围．
Ⅱ通过对二次不等式对应的两个根大小的讨论，写出集合，“是的必要不充分条件”即，求出的范围．
 

20.【答案】解：设是两个方程的公共根，显然，
由题设知，
，
由、得，，
代入，得，
化简得，
所给的两个方程有公共根的充要条件是．
证明：必要性求上述条件的过程中，实际上已经证明了条件的必要性．
充分性，
方程，
即，它的两个根分别为和；
同理，方程的两根分别为和，
，
方程与有公共根．
综上，方程与有公共根的充要条件是． 

【解析】本题考查的是充要条件的证明，有关充要条件的证明问题，要分两个环节：一是充分性；二是必要性，属于中档题．
根据充分条件和必要条件的定义，先求出方程与有公共根的条件，然后证明充分性即可．
 

21.【答案】解：：由，得，
：由，得，
令集合，，，
是的充分不必要条件，，
，且不能同时取等，
得，解得，
故是充分不必要条件时，取值范围是．
“”是“”的充分条件，
“”是“”的必要条件，
，，解得，
的取值范围是． 

【解析】本题主要考查充分条件和必要条件，一元二次不等式求解，属于中档题．

求出，的等价条件，结合充分不必要条件的定义建立集合关系进行求解即可；
将问题转化为“”是“”的必要条件，得到不等式组，解不等式组即可．

22.【答案】解：根据题意，得．

由题意可知，
由或，

则或，
解得或．

所以实数的取值范围是或

假设存在实数，使得是的必要不充分条件，
所以，即，
则，且等号不能同时成立，此时不等式组无解．

故不存在实数，使得是的必要不充分条件．

【解析】本题考查充分、必要、充要条件与集合的关系．
根据充分不必要条件可得进而求出结果；
假设存在实数满足条件，则即，且等号不能同时成立，进而求出结果．