新高考数学二轮专题《导数》第22讲 导数解答题之端点效应问题（2份打包，解析版+原卷版）

第22讲 导数解答题之端点效应问题

1．设函数

（Ⅰ）证明：的导数；

（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．

【解析】解：（Ⅰ）的导数．

由于，故．

（当且仅当时，等号成立）．

（Ⅱ）令，则，

（ⅰ）若，当时，，

故在上为增函数，

所以，时，，即．

（ⅱ）若，方程的正根为，

此时，若，则，故在该区间为减函数．

所以，时，，即，与题设相矛盾．

综上，满足条件的的取值范围是，．

2．（理已知函数．

求证：；

如果对任何，都有，求的取值范围．

【解析】解：（Ⅰ）令，．

，定义域为；

在递增，；

在，递增．

从而可得结论．

（Ⅱ）  ①当时，对，由（Ⅰ）的证明知．

②当时，，不合题意．

③当时，今．

则．

取．则．

易知当时，，

递增，即，不合题意．

综上知：，．

3．设函数．

（Ⅰ）当时，判断函数的零点的个数，并且说明理由；

（Ⅱ）若对所有，都有，求正数的取值范围．

【解析】解：（Ⅰ）当时，的定义域是求导，得

所以，在上为减函数，在上为增函数，（e）．

又（1），根据在上为减函数，

则在上恰有一个零点；

又，则（e），

所以在上恰有一个零点，

再根据在上为增函数，在上恰有一个零点．

综上所述，函数的零点的个数为2．

（Ⅱ）令，

求导，再令，

则

（ⅰ）若，当时，，

故在，上为减函数，

所以当时，（1），即，

则在，上为减函数，

所以当时，（1），即成立；

（ⅱ）若，方程的解为，

则当时，，

故在上为增函数，

所以当时，（1），即，

则在上为增函数，

所以当时，（1），即成立，此时不合题意．

综上，满足条件的正数的取值范围是，．

4．设函数．

（1）求的单调区间；

（2）若对所有的，均有成立，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）由得，的增区间为，减区间为．

（2）令．“不等式在时恒成立” “在时恒成立．”．

当时，，为减函数．

当，时，，为增函数．

“在时恒成立” “”，即，即，即．

故的取值范围是，．

5．设函数．

（Ⅰ）求函数在点， 处的切线方程；

（Ⅱ）求的极小值；

（Ⅲ）若对所有的，都有成立，求实数的取值范围．

【解析】解：（Ⅰ）的定义域为，又，

，切点为，所求切线方程为．（2分）

（Ⅱ）设，得，得；，得，得；，得，得；

则．（6分）

（Ⅲ）令，

则．

令，得，得；，

得，得；，得，得；

（1）当时，，，

对所有时，都有，于是恒成立，

在，上是增函数．

又，于是对所有，都有成立．

故当时，对所有的，都有成立．

（2）当时，，，

对所有，都有恒成立，

在上是减函数．

又，于是对所有，都有．

故当时，只有对仅有的，都有．

即当时，不是对所有的，都有．

综合（1），（2）可知实数的取值范围，．（12分）

6．已知函数的最小值为0，其中．

（1）求的值；

（2）若对任意的，，有成立，求实数的最小值．

【解析】解：（1），

令，可得，

令，；为增函数；

，，为减函数；

时，函数取得极小值也是最小值，

函数的最小值为0，

，得；

（2）当时，取，有（1），故不合题意；

当时，令，即，

求导函数可得，

令，可得，，

当时，，，在上恒成立，在，上单调递减，

，

对任意的，，有成立；

当时，，

在上，为增函数；

在，上，为减函数；

因此存在使得，

可得，即，与题矛盾；

综上：时，对任意的，，有成立，

实数的最小值为：；

7．设函数，，．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）设，求的取值范围．

【解析】解：（Ⅰ）求导函数，可得，，，，；

当时，恒成立，单调递减；当 时，恒成立，单调递增；

当时，由得，

当，时，，，单调递增

当，时，，，单调递减

当，时，，，单调递增；

（Ⅱ）由得，，．

令，则

当时，，当时，

，，即，

当时，有

①当时，，，所以；

②当时，

综上，．

8．已知函数．

（1）当求曲线在，（1）处的切线方程；

（2）若时，，求的取值范围．

【解析】解：（1）当时，，

，，

（1），又（1），

曲线在，（1）处的切线方程为：

，即．

（2）令，

则，

当时，恒成立，

即在上单调递增，（1），

①当时，（1），故（a）在上单调递增，且（1），此时符合题意；

②当时，由（1）及在上单调递增，知，

使得，即，不符合题意，

综上，的取值范围是，．

9．已知函数．

（1）若是函数的极值点，求的值；

（2）令，若对任意，有恒成立，求的取值范围；

（3）设，为实数，且，求证：．

【解析】解：（1）因为，

所以，

令（2），所以，

检验：当时，，

所以．

（2）因为，因为，

由，得，

令，则，

令，则，

所以在，上单调递增，①

故（e），

所以，故在，上单调递增，

（e）．

所以．

（3）证明：当时，，

所以在，单调递增，

所以当时，（1），即，

因为，所以，所以，

即，所以，

由①知，在，上单调递增，

所以当时，（1），即，

因为，所以．

即，所以，

综上，．

10．已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）定义域为，．

（ⅰ）当时，对，，函数的单调递增区间是，

（ⅱ）当时，时，；当，时，，

所以的单调递增区间是，单调递减区间是，．

（2）函数．

（ⅰ）当时，由重要不等式知，

，

在，上递增，

所以恒成立，符合题意．

（ⅱ）当时，因为，，故，

在，上递增．

又，存在，使得，

从而函数在上递减，在，上递增，

又，不恒成立，不满足题意．

综上（ⅰ），（ⅱ）知实数的取值范围是，．

11．已知函数（其中，是自然对数的底数）．

（Ⅰ）若关于的方程有唯一实根，求的值；

（Ⅱ）若过原点作曲线的切线与直线垂直，证明：；

（Ⅲ）设，当时，恒成立，求实数的取值范围．

【解析】解：（Ⅰ），

，

设，则，

时，在递增，在，递减，

则，

有唯一实根，

且；

故，；

（Ⅱ）证明：过原点所作曲线的切线与直线垂直，

切线的斜率为，方程是，

设与的切点为，，

，

，且，

令，则，

在递减，在递增，

若，，（1），

，，

而在，递减，

，

若，在递增，且（e），则，

（舍，

综上：；

（Ⅲ），

，，

①时，在，递增，

，

在，递增，恒成立，符合题意，

②时，在，递增，，

则存在，使得，

在递减，在，递增，

又时，，

不恒成立，不合题意，

综上，所求实数的范围是，．

12．已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）过原点分别作曲线与的切线、，已知两切线的斜率互为倒数，证明：或；

（3）设，当时，，求实数的取值范围．

【解析】（1）解：依题意，函数的定义域为，对求导，得．

①若，对一切有，函数的单调递增区间是．

②若，当时，；当，时，．

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，．

（2）解：设切线的方程为，切点为，，则，，

所以，，则．

由题意知，切线的斜率为，的方程为．

设与曲线的切点为，，则，

所以，．

又因为，消去和后，整理得．

令，则，

在上单调递减，在上单调递增．

若，因为，（1），所以，，

而在，上单调递减，所以．

若，因为在上单调递增，且（e），则，

所以（舍去）．

综上可知，

（3）证明：，．

①当时，因为，所以，

在，上递增，恒成立，符合题意．

②当时，因为，

所以在，上递增，且，则存在，使得．

所以在上递减，在，上递增，

又，所以不恒成立，不合题意．

综合①②可知，所求实数的取值范围是，．