新教材高一数学必修第二册暑假作业第14练《概率》（2份打包，解析版+原卷版）

第14练  概率

【知识梳理】

知识点一 随机事件

【知识点的认识】

1．定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．（或“偶然性事件”）

2．特点：

（1）随机事件可以在相同的条件下重复进行；

（2）每个试验的可能结果不止一个，并且能事先预测试验的所有可能结果；

（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．

3．注意：

（1）随机事件发生与否，事先是不能确定的；

（2）必然事件发生的机会是1；不可能事件发生的机会是0；随机事件发生的机会在0﹣1之间，0和1可以取到．

（3）要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件，要从定义出发．

知识点二 概率及其性质

【概率的意义】

    概率是对未发生（或将要发生的）事件的一种推测．这是讨论概率的前提，概率越大，表示未来发生的可能性也就越大．比方说明天下雨的概率为0.9，那么明天下雨的可能性就很大了，但并不表示明天一定会下雨；如果说明天下雨的概率为0.1，那么表示明天下雨的可能性比较小，但不表示明天不下雨．这里我们可以看出概率表示的是将来某事件是否要发生的可能性的判断．

【概率的基本性质】

（1）概率的取值范围：[0，1]．（2）必然事件的概率为1．（3）不可能事件的概率为0．

（4）互斥事件的概率的加法公式：

如果事件A，B互斥时，P（A+B）＝P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）．

如果事件A，B对立事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B）＝1．

注意事项：

①特别的，若事件B与事件A互为对立事件，则A∪B为必然事件，P（A∪B）＝1．在由加法公式得到P（A）＝1﹣P（B）②若某事件发生当且仅当事情A发生或B发生，则称此事件为事件A与B的并事件，记作（A∪B）③若某事件发生当且仅当事件A发生且B发生，则称此事件为事件A与B的交事件，记作（A∩B）

④若C∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件D与事件A互为对立事件，其含义是：事件F与事件E在任何一次实验中有且仅有一个发生．

知识点三 互斥事件与对立事件

【知识点的认识】

1．互斥事件

（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．

如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥．

（2）互斥事件的概率公式：

在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：

          P（A+B）＝P（A）+P（B）

注：上式使用前提是事件A与B互斥．

推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：

          P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）

2．对立事件

（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做．

注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；

②在一次试验中，事件A与只发生其中之一，并且必然发生其中之一．

（2）对立事件的概率公式：

          P（）＝1﹣P（A）

3．互斥事件与对立事件的区别和联系

互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．

知识点四 互斥事件的概率加法公式

【知识点的知识】

互斥事件的概率加法公式：

在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：

       P（A+B）＝P（A）+P（B）

注：上式使用前提是事件A与B互斥．

推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：

       P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）

知识点五 古典概型及其概率计算公式

【考点归纳】

1．定义：如果一个试验具有下列特征：

（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；

（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．

则称这种随机试验的概率模型为古典概型．

*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．

2．古典概率的计算公式

如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；

如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝．

知识点六 列举法计算基本事件数及事件发生的概率

【知识点的知识】

1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝．

等可能条件下概率的特征：

（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的； （2）每一个结果出现的可能性相等．

2、概率的计算方法：

（1）列举法（列表或画树状图），

（2）公式法；列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．

列表法

（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．（2）列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．

树状图法

（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．

（2）运用树状图法求概率的条件

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．

知识点七 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式

【知识点的认识】

1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．

2．相互独立事件同时发生的概率公式：

      将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：

            P（A•B）＝P（A）•P（B）

推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：

            P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An）

3．区分

互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：

（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；

（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．

知识点八 概率及其性质

【概率的意义】

    概率是对未发生（或将要发生的）事件的一种推测．这是讨论概率的前提，概率越大，表示未来发生的可能性也就越大．比方说明天下雨的概率为0.9，那么明天下雨的可能性就很大了，但并不表示明天一定会下雨；如果说明天下雨的概率为0.1，那么表示明天下雨的可能性比较小，但不表示明天不下雨．这里我们可以看出概率表示的是将来某事件是否要发生的可能性的判断．

【概率的基本性质】

（1）概率的取值范围：[0，1]．

（2）必然事件的概率为1．

（3）不可能事件的概率为0．

（4）互斥事件的概率的加法公式：

如果事件A，B互斥时，P（A+B）＝P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）．

如果事件A，B对立事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B）＝1．

注意事项：

①特别的，若事件B与事件A互为对立事件，则A∪B为必然事件，P（A∪B）＝1．在由加法公式得到P（A）＝1﹣P（B）

②若某事件发生当且仅当事情A发生或B发生，则称此事件为事件A与B的并事件，记作（A∪B）

③若某事件发生当且仅当事件A发生且B发生，则称此事件为事件A与B的交事件，记作（A∩B）

④若C∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件D与事件A互为对立事件，其含义是：事件F与事件E在任何一次实验中有且仅有一个发生．

一．选择题（共10小题）

1．齐国的大将田忌很喜欢赛马，他与齐威王进行赛马比赛，他们都各有上、中、下等马各一匹，每次各出一匹马比一场，比赛完三场（每个人的三匹马都出场一次）后至少赢两场的获胜．已知同等次的马，齐威王的要强于田忌的，但是不同等次的马，都是上等强于中等，中等强于下等，如果两人随机出马，比赛结束田忌获胜的概率为　　

A． B． C． D．

2．足球训练中点球射门是队员练习的必修课，经统计，某足球队员踢向球门左侧时进球的概率为，踢向球门右侧时进球的概率为．若该球员进行点球射门时踢向球门左、右两侧的概率分别为、，则该球员点球射门进球的概率为　　

A． B． C． D．

3．纸箱里有编号为1到9的9个大小相同的球，从中不放回地随机取9次，每次取1个球，则编号为偶数的球被连续抽取出来的概率为　　

A． B． C． D．

4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学来讲解本题的解答思路，则下列各组事件中，互斥且对立的事件是　　

A．“恰有1名男生”与“恰有2名男生” 

B．“至少有1名男生”与“全是男生” 

C．“至少有1名男生”与“全是女生” 

D．“至少有一名男生”与“至少有一名女生”

5．将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现奇数点”，事件为“第二次出现偶数点”，则有　　

A．（A）（B） B．与互斥 

C． D．与相互独立

6．甲、乙、丙、丁四人做相传球的游戏，第一次由甲传给其他三人中的一人，第二由拿到球的人再传给其他三人中的一人，这样的传球共进行了4次，则第四次球传回甲的概率是　　

A． B． C． D．

7．在5件工艺品中，其中合格品2件，不合格品3件，从中任取2件，若事件的概率为，则事件可以是　　

A．至多有1件合格品 B．恰有1件合格品 

C．至少1件合格品 D．都不是合格品

8．某校高一共有20个班，编号为01，02，，20，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一（1）班被抽到的可能性为，高一（2）班被抽到的可能性为，则　　

A． B． C． D．

9．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为　　

A． B． C． D．

10．某同学参加学校数学考试，数学考试分为选填题和解答题两部分，选填题及格的概率为，两部分都及格概率为，则在选填题及格的条件下解答题及格的概率为　　

A． B． C． D．

二．多选题（共4小题）

11．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的，，，则下列选项正确的有　　

A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06 

B．任取一个零件是次品的概率为0.053 

C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 

D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为

12．从装有2个白球和3个红球的袋子中任取2个球，则　　

A．“都是红球”与“都是白球”是互斥事件 

B．“至少有一个红球”与“都是白球”是对立事件 

C．“恰有一个白球”与“恰有一个红球”是互斥事件 

D．“至少有一个红球”与“至少有一个白球”是互斥事件

13．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率不是的事件为　　

A．恰有1只是坏的 B．4只全是好的 

C．恰有2只是好的 D．至多2只是坏的

14．设靶子上的环数取这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，设事件 “中靶”，事件 “击中环数大于5”，事件 “击中环数大于1且小于6”，事件 “击中环数大于0且小于6”，则下列关系错误的是　　

A．与互斥 B．与互为对立 C．与互斥 D．与互为对立

三．填空题（共4小题）

15．元宵节是我国的传统节日，又称上元节、元夕或灯节．赏花灯是元宵节的传统民俗活动．今年元宵节期间，某单位购买了宫灯、兽头灯、花卉灯三种类型的花灯，其中宫灯4个，兽头灯5个，花卉灯1个．现从中随机抽取4个花灯，则三种花灯各至少被抽取一个的概率为 　　．

16．端午节即将来临，王老师家锅中煮有红枣馅粽子5个，蛋黄馅粽子3个，豆沙馅粽子4个，这三种粽子的外部特征完全相同．从中任意取出4个粽子，则每种粽子都至少取到1个的概率为 　　．

17．某校派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到、、三个街道进行打扫活动，每个街道至少有1个小组去，至多有两个小组去，则甲、乙两个小组去同一个街道的概率为 　　．

18．有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为，第2台车床加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知两台车床加工的零件数分别占总数的，，则任取一个零件是次品的概率为 　　．

一．选择题（共2小题）

19．已知样本空间为，为一个基本事件．对于任意事件，定义（A），给出下列结论：

①，；

②对任意事件，（A）；

③如果，那么（A）（B）；

④（A）．

其中，正确结论的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

20．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件表示“小于5的偶数点出现”，事件表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件或事件至少有一个发生的概率为　　

A． B． C． D．

二．填空题（共2小题）

21．甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：

（1）累计负两场者被淘汰；

（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；

（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；

（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．

经抽签甲、乙首先比赛，丙首轮轮空．设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为 　　．

22．抛挪一枚硬币，每次正面出现得1分，反面出现得2分，则恰好得到10分的概率是 　　．

三．解答题（共1小题）

23．某偏远县政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展种植产业，根据当地土壤情况，挑选了两种农作物，，鼓励每户选择其中一种种植．为了解当地农户对两种农作物的选择种植情况，从该县的甲村和乙村分别抽取了500户进行问卷调查，所得数据如下：所有农户对选择种植农作物，相互独立．

（1）分别估计甲、乙两村选择种植农作物的概率；

（2）以样本频率为概率，从甲、乙两村各随机抽取2户，求至少有2户选择种植农作物的概率；

（3）经调研，农作物的亩产量为800斤、900斤、1000斤的概率分别为，，，甲、乙两村各有一农户种植了一亩农作物，求这两个农户中，甲村农户种植农作物的亩产量高于乙村的概率．

一．填空题（共2小题）

24．若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是 　　．

25．一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数和大于，则算过关．游戏者可以随意挑战某一关．若直接挑战第三关，则通关的概率为 　　，若直接挑战第四关，则不能通关的率为 　　．

二．解答题（共2小题）

26．根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：

其中，．每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，1，2，，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多．

（1）若，求，并根据全概率公式，求（B）；

（2）为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等）．

①若希望增大，如何调控的值？

②是否存在的值使得，请说明理由．

4．为了解某校今年高一年级女生的身体素质状况，从该校高一年级女生中抽取了一部分学生进行“掷铅球”的项目测试，成绩低于5米为不合格，成绩在5至7米（含5米不含7米）的为及格，成绩在7米至11米（含7米和11米，假定该校高一女生掷铅球均不超过11米）为优秀．把获得的所有数据，分成，，，，，，，，，五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在9米到11米之间．

（1）求实数的值及参加“掷铅球”项目测试的人数；

（2）若从此次测试成绩最好和最差的两组中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生自不同组的概率．