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新教材高一数学必修第二册暑假作业第03练《平面向量的基本定理及坐标表示》（2份打包，解析版+原卷版）
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【知识梳理】
知识点一 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点的知识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||csθ叫做与的数量积，记做
即：＝||||csθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由csθ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||csθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||csθ的积．
知识点二 平面向量的基本定理
【知识点的知识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
知识点三 平面向量的正交分解及坐标表示
【知识点的知识】
1、平面向量的正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2、平面向量的坐标表示：
若、为平面直角坐标系中与x轴、y轴同向的单位向量，则对于平面内任一向量，有且仅有一对实数x，y，使得＝x+y，使得＝x+y，我们把（x，y）称为的坐标．表达式为＝x+y＝（x，y）
知识点四 平面向量的坐标运算
【知识点的知识】
平面向量除了可以用有向线段表示外，还可以用坐标表示，一般表示为＝（x，y），意思为以原点为起点，以（x，y）为终点的向量，它的模为d＝．若＝（m，n），则+＝（x+m，y+n），则﹣＝（x﹣m，y﹣n）；•＝（xm，ny），λ＝（λx，λy）．
【典型例题分析】
例：已知平面向量满足：，，且，则向量的坐标为 （4，2）或（﹣4，﹣2） ．
解：根据题意，设＝（x，y），若，有＝0，则﹣x+2y＝0，①，
若，x2+y2＝20，②，联立①②，可得，
解可得或，则＝（4，2）或（﹣4，﹣2）；故答案为（4，2）或（﹣4，﹣2）．
这个题就是考察了向量的坐标运算，具体的可以先设＝（x，y），根据题意，由，可得﹣x+2y＝0，①，由，可得x2+y2＝20，②，联立①②两式，解可得x、y的值，即可得的坐标．这也是常用的一种方法．
知识点五 平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的知识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设＝（x1，y1），＝（x2，y2），则∥（≠）⇔x1y2﹣x2y1＝0．
一．选择题（共12小题）
1．已知点，，向量，则向量
A．B．C．D．
2．已知向量，则等于
A．B．C．D．
3．已知向量，，若，则实数
A．1B．C．D．
4．已知向量，，且，那么实数的值是
A．B．C．D．1
5．已知向量，，．若，则
A．B．C．D．
6．已知，，若，则等于
A．4B．C．D．2
7．已知向量、满足，，则
A．1B．3C．5D．7
8．已知，满足，，，则
A．B．C．D．
9．平面向量与的夹角为，，，则等于
A．B．C．4D．12
10．已知向量，，且与的夹角，则
A．B．C．D．
11．在中，角，，所对的边分别为，，，，，是内切圆的圆心，若，则的值为
A．B．C．D．
12．在正方形中，为的中点，为的中点，则
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题）
13．已知，则的取值范围是 ．
14．已知向量，，则 ．
15．已知，是两个单位向量，设，且满足，若，则 ．
16．已知平面向量，若与反向共线，则实数的值为 ．
17．已知向量，，若，则实数 ．
18．已知，若、，则点坐标为 ．
19．已知平面向量满足，与的夹角为，记，则的取值范围为
A．B．C．，D．
20．已知平面向量，，与不共线），满足，，设，则的取值范围为
A．B．C．，D．，
21．在中，，，，若点为边所在直线上的一个动点，则的最小值为
A．B．C．D．
22．如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是
A．B．C．D．
二．填空题（共2小题）
23．已知平面向量，，且，．若平面向量满足，则的最大值 ．
24．已知夹角为的向量，满足，，若，，则的最小值为
25．已知是单位向量，向量，满足，，且，设，当时，则 ．
26．已知正方形的边长为2，对角线，相交于点，动点满足，若，其中，．则的最大值为 ．
27．已知，，，，若关于的方程有三个不相等实根，则实数的取值范围为 ．
【知识梳理】
知识点一 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点的知识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||csθ叫做与的数量积，记做
即：＝||||csθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由csθ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||csθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||csθ的积．
知识点二 平面向量的基本定理
【知识点的知识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
知识点三 平面向量的正交分解及坐标表示
【知识点的知识】
1、平面向量的正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2、平面向量的坐标表示：
若、为平面直角坐标系中与x轴、y轴同向的单位向量，则对于平面内任一向量，有且仅有一对实数x，y，使得＝x+y，使得＝x+y，我们把（x，y）称为的坐标．表达式为＝x+y＝（x，y）
知识点四 平面向量的坐标运算
【知识点的知识】
平面向量除了可以用有向线段表示外，还可以用坐标表示，一般表示为＝（x，y），意思为以原点为起点，以（x，y）为终点的向量，它的模为d＝．若＝（m，n），则+＝（x+m，y+n），则﹣＝（x﹣m，y﹣n）；•＝（xm，ny），λ＝（λx，λy）．
【典型例题分析】
例：已知平面向量满足：，，且，则向量的坐标为 （4，2）或（﹣4，﹣2） ．
解：根据题意，设＝（x，y），若，有＝0，则﹣x+2y＝0，①，
若，x2+y2＝20，②，联立①②，可得，
解可得或，则＝（4，2）或（﹣4，﹣2）；故答案为（4，2）或（﹣4，﹣2）．
这个题就是考察了向量的坐标运算，具体的可以先设＝（x，y），根据题意，由，可得﹣x+2y＝0，①，由，可得x2+y2＝20，②，联立①②两式，解可得x、y的值，即可得的坐标．这也是常用的一种方法．
知识点五 平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的知识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设＝（x1，y1），＝（x2，y2），则∥（≠）⇔x1y2﹣x2y1＝0．
一．选择题（共12小题）
1．已知点，，向量，则向量
A．B．C．D．
2．已知向量，则等于
A．B．C．D．
3．已知向量，，若，则实数
A．1B．C．D．
4．已知向量，，且，那么实数的值是
A．B．C．D．1
5．已知向量，，．若，则
A．B．C．D．
6．已知，，若，则等于
A．4B．C．D．2
7．已知向量、满足，，则
A．1B．3C．5D．7
8．已知，满足，，，则
A．B．C．D．
9．平面向量与的夹角为，，，则等于
A．B．C．4D．12
10．已知向量，，且与的夹角，则
A．B．C．D．
11．在中，角，，所对的边分别为，，，，，是内切圆的圆心，若，则的值为
A．B．C．D．
12．在正方形中，为的中点，为的中点，则
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题）
13．已知，则的取值范围是 ．
14．已知向量，，则 ．
15．已知，是两个单位向量，设，且满足，若，则 ．
16．已知平面向量，若与反向共线，则实数的值为 ．
17．已知向量，，若，则实数 ．
18．已知，若、，则点坐标为 ．
19．已知平面向量满足，与的夹角为，记，则的取值范围为
A．B．C．，D．
20．已知平面向量，，与不共线），满足，，设，则的取值范围为
A．B．C．，D．，
21．在中，，，，若点为边所在直线上的一个动点，则的最小值为
A．B．C．D．
22．如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是
A．B．C．D．
二．填空题（共2小题）
23．已知平面向量，，且，．若平面向量满足，则的最大值 ．
24．已知夹角为的向量，满足，，若，，则的最小值为
25．已知是单位向量，向量，满足，，且，设，当时，则 ．
26．已知正方形的边长为2，对角线，相交于点，动点满足，若，其中，．则的最大值为 ．
27．已知，，，，若关于的方程有三个不相等实根，则实数的取值范围为 ．
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