专题17+二次函数与一元二次方程、不等式-暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

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专题17 二次函数与一元二次方程、不等式
【知识点梳理】
知识点一　一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．
知识点二　二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.
知识点三　一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．
知识点四 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.




二次函数
（）的图象




有两相异实根

有两相等实根

无实根








知识点诠释：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.
知识点五　利用不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选取合适的字母表示题中的未知数；
(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案．
知识点六 一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立

(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
知识点七 简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”

【题型归纳目录】
题型一：解不含参数的一元二次不等式
题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
题型三：含有参数的一元二次不等式的解法
题型四：一次分式不等式的解法
题型五：实际问题中的一元二次不等式问题
题型六：不等式的恒成立问题





【典型例题】
题型一：解不含参数的一元二次不等式
1．（2022·新疆喀什·高一期末）“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解法可得或，结合充分不必要条件的定义即可得出结果.
【详解】
由题意知，
，解得或，
又或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．（2022·浙江·高一阶段练习）不等式的解集是（       ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接解一元二次不等式即可得答案.
【详解】
解：原式化为，即，故不等式的解集为.
故选:D
3．（2022·安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）不等式的解集为（       ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
将式子变形再因式分解，即可求出不等式的解集；
【详解】
解：依题意可得，故，解得或，
所以不等式的解集为或
故选：B．
4．（2022·湖南·高一课时练习）下面四个不等式中解集为空集的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出各选项中不等式的解，可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，解不等式得，A不满足条件；
对于B选项，由得，该不等式的解集为，B不满足条件；
对于C选项，由可得，解得或，C不满足条件；
对于D选项，因为，故不等式的解集为空集，D满足条件.
故选：D.
5．（2022·新疆喀什·高一期末）解下列不等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)或
(2)
【解析】
(1)
(1)因为，
所以方程有两个不等实根x1＝－1，x2＝－3.
所以原不等式的解集为或.
(2)
(2)因为，
所以方程 有两个相等实根x1＝x2＝
所以原不等式的解集为.
6．（2022·湖南·高一课时练习）解下列一元二次不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)或
【解析】
【分析】
依据二次不等式解法程序去求解即可.
(1)
二次方程有二重根，
则不等式的解集为
(2)
二次方程有二根，
则不等式的解集为
(3)
不等式可化为
由可知，二次方程无根，
则不等式的解集为
故不等式的解集为
(4)
不等式可化为
二次方程有二根，
则不等式的解集为
故不等式的解集为
(5)
不等式可化为
二次方程有二根，
则不等式的解集为
故不等式的解集为
(6)
不等式可化为
二次方程有二根，
则不等式的解集为或
故不等式的解集为或
7．（2022·湖南·高一课时练习）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)或
(6)或
【解析】
【分析】
根据一元二次函数、方程、不等式的关系，依次分析即得解
(1)
由题意，
令，故
解得：
不等式解集为
(2)
由题意，
对应的二次函数开口向上，且
故恒成立，解集为
(3)
由题意，
对应的二次函数开口向上，
故恒成立，故不等式的解集为
(4)
由题意，
故
故不等式的解集为
(5)
由题意，
令，故
故不等式的解为或
即不等式的解集为或
(6)
由题意，
令
解得或
故不等式的解集为或

题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
1．（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）已知不等式的解集为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系直接求解即可.
【详解】
由不等式的解集知：和是方程的两根，.
故选：A.
2．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（        ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为
【答案】B
【解析】
【分析】
根据解集形式确定选项A错误；化不等式为即可判断选项B正确；设，则，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.
【详解】
解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；
由题得，所以为.所以选项B正确；
设，则，所以选项C错误；
不等式为，所以选项D错误.
故选：B
3．（2022·贵州毕节·高一期末）已知不等式的解集为，则a，b的值是（       ）
A．， B．， C．6，3 D．3，6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解集特点，再结合韦达定理建立关于的方程，解出方程即可
【详解】
由题意知得：和是方程的两个根
可得：，，即，
解得：，
故选：B
4．（2022·河南开封·高一期末）关于的不等式的解集为，且，则（       ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式与解集之间的关系可得、，结合
计算即可.
【详解】
由不等式的解集为，
得，不等式对应的一元二次方程为，
方程的解为，由韦达定理，得，，
因为，所以，
即，整理，得.
故选：A
5．（2022·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高一期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ）
A． B．{或} C． D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的解集求出，代入不等式中，化简求出不等式的解集．
【详解】
解：因为不等式的解集为，
的两根为，2，且，即，，解得，，
则不等式可化为，解得，则不等式的解集为．
故选：A.
6．（2022·云南昆明·高一期中）若关于x的不等式的解集为，则ab的值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．－1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系列出满足的条件，解得答案.
【详解】
由题意知，解得，
故选：A．
（多选题）7．（2022·浙江金华第一中学高一期末）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（       ）
A．
B．的解集为
C．
D．的解集为
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可.
【详解】
因为关于的不等式的解集为或，
所以且方程的两个根为，，
即.
因此选项A正确；
因为，，所以由，因此选项B不正确；
由可知：，因此选项C不正确；
因为，所以由，
解得：，因此选项D正确，
故选：AD
8．（2022·湖南·高一课时练习）已知一元二次不等式的解集为或，求不等式的解集．
【答案】或．
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解集为或，得到 ，代入不等式求解.
【详解】
因为一元二次不等式的解集为或，
所以 ，
所以不等式为，
即，即，
解得或，
所以不等式的解集是 或．
9．（2022·湖南·高一课时练习）若不等式的解集是，求不等式的解集．
【答案】.
【解析】
【分析】
根据不等式的解集求得的值，把不等式化为，结合不等式的解法，即可求解.
【详解】
由题意，不等式的解集是，
可得和是一元二次方程的两个实数根，
所以，解得，，
所以不等式化为，即，
解得，
∴不等式的解集为．

题型三：含有参数的一元二次不等式的解法
（多选题）1．（2022·江西上饶·高一期末）下列关于不等式的解集讨论正确的是（       ）
A．当时，的解集为
B．当时，的解集为
C．当时，的解集为
D．无论a取何值时，的解集均不为空集
【答案】CD
【解析】
【分析】
由一元二次不等式的解法逐一判断可得选项.
【详解】
解：对于A，当时，原不等式为，解得，故A不正确；
对于B，当时，原不等式为，解得或，故B不正确；
对于C，当时，原不等式为，解得或，故C正确；
对于D，由二次函数，开口向上，所以无论a取何值时，不等式均有解，故D正确；
故选：CD.
2．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）解关于x的不等式
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
原不等式可化为然后分，和三种情况求解不等式
【详解】
解：关于x的不等式
可化为
（1）当时，，解得．
（2）当，所以
所以方程的两根为-1和，
当，即时，不等式的解集为或}，
当，即时，不等式的解集为．
当，即时，不等式的解集为或}，．
（3）当时，
因为方程的两根为—1和，
又因为，所以．
即不等式的解集是，
综上所述：当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或}，
3．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知关于x的不等式的解集为．
(1)写出a和b满足的关系；
(2)解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）化简，结合不等式的解集即可判断，得到即可得到a和b满足的关系.
（2）可用或对不等式进行等价转化，化简计算即可求出不等式的解集.
(1)
解：因为，所以，
因为不等式的解集为，所以，且，解得．
(2)
由（1）得
则不等式等价为，
即，即．
因为，所以不等式的解为．
即所求不等式的解集为．（说明：解集也可以用a表示）
4．（2022·北京市第五中学高一阶段练习）请回答下列问题：
(1)若关于的不等式的解集为或，求，的值.
(2)求关于的不等式的解集.
【答案】(1)、
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可得和为方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）不等式为，即，讨论，，，，，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．
(1)
解：因为关于的不等式的解集为或，所以和为方程的两根，所以，解得；
(2)
解：不等式，即，即，
当时，原不等式解集为；
当时，方程的根为，，
①当时，，原不等式的解集为或；
②当时，，原不等式的解集为；
③当时，，原不等式的解集为；
④当时，，原不等式的解集为．
5．（2022·甘肃省武威第一中学高一开学考试）解关于x的不等式：.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
求出对应方程的根，讨论方程的根的大小即可得出答案.
【详解】
解：即，
则对应方程的根为，
①当或时，原不等式的解集为，
②当或时，原不等式的解集为，
③当时，原不等式的解集为.
6．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）求关于x的不等式的解集，其中a是常数；
【答案】当时，不等式的解集为；当或者时，不等式的解集为 ；当或者时，不等式的解集为．
【解析】
【分析】
首先求出不等式所对应的一元二次方程的根，再对两根的大小情况分类讨论，分别求出不等式的解集；
【详解】
解：因为，所对应的方程有两个根、；
若，即，解得或，当时原不等式即为，解得；当时原不等式即为，解得；
若，即，解得，此时不等式，解得，即不等式的解集为；
若，即，解得或，此时不等式，解得，即不等式的解集为；
综上可得：当或时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为；
7．（2022·河北唐山·高一期末）已知关于x的不等式：．
(1)当时，解此不等式；
(2)当时，解此不等式．
【答案】(1)或
(2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为
【解析】
【分析】
（1）利用一元二次不等式的解法解出即可；
（2）不等式可变形为(x－3)(x－)＜0，然后分a＝、0＜a＜、a＞三种情况讨论即可.
(1)
当a＝－2时，不等式－2x2＋5x＋3＜0
整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－或x＞3，
当a＝－2时，原不等式解集为{x|x＜－或x＞3}．
(2)
当a＞0时，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0
整理得：(x－3)(x－)＜0，                                               
当a＝时，＝3，此时不等式无解；                           
当0＜a＜时，＞3，解得3＜x＜；                    
当a＞时，＜3，解得＜x＜3；                                 
综上：当a＝时，解集为Æ；
当0＜a＜时，解集为{x|3＜x＜}；
当a＞时，解集为{x|＜x＜3}.
8．（2022·湖南·益阳市箴言中学高一开学考试）已知恒成立．
(1)求的取值范围；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）分、两种情况讨论，在时，直接验证即可，在时，由已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；
（2）将所求不等式变形为，对与的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集.
(1)
解：因为恒成立．
①当时，恒成立，合乎题意；
②当时，则，解得.
综上所述，.
(2)
解：由得.
①当时，即当时，原不等式的解集为；
②当时，即当时，原不等式的解集为；
③当时，即当时，原不等式的解集为.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
9．（2022·广东茂名·高一期末）解关于的不等式.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
不等式等价于，再分，和三种情况讨论解不等式.
【详解】
原不等式可化为，即，
①当，即时，；
②当，即时，原不等式的解集为；
③当，即时，.
综上知：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时原不等式的解集为.
10．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知关于的x不等式．
(1)若此不等式的解集为，求实数a的值；
(2)若，解这个关于的不等式；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）利用不等式解集与方程之间的关系可求得实数的值；
（2）对实数的取值进行分类讨论，解不等式即可得解.
(1)
的解集为，
可得为方程的两根，          
可得，即；
(2)
当时，原不等式即为，解得，解集为；
当时，原不等式化为，
①若，可得，解集为；
②若即，可得解集为；
③若即，可得解集为；

题型四：一次分式不等式的解法
（多选题）1．（2022·河北衡水·高三阶段练习）若p：，则p成立的一个充分不必要条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
解不等式得命题的等价条件，然后根据充分不必要条件的定义判断．
【详解】
由p：得且，解得或，故选项C，D是命题p的充分不必要条件，
故选：CD．
2．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）不等式的解集是_________
【答案】或
【解析】
【分析】
将该不等式等价转化为整式不等式，利用数轴标根法可得结果.
【详解】
不等式等价于，
利用数轴标根法解得或，
即不等式的解集是或，
故答案为：或.
3．（2022·四川·树德中学高一竞赛）不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据分式不等式的解法即可得解.
【详解】
解：由，得，
则，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
4．（2022·安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）若集合，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出集合A和集合B的补集，再求两集合的交集即可
【详解】
依题意，，，
则，
故．
故答案为：
5．（2022·黑龙江·大庆中学高二期中）不等式的解集为__________．
【答案】{x|x≥1或x＜﹣2}
【解析】
【分析】
利用移项，通分，转化整式不等式求解即可．
【详解】
由得，即，
解得：x≥1或x＜﹣2，
所以原不等式的解集为{x|x≥1或x＜﹣2}．
故答案为：{x|x≥1或x＜﹣2}．
6．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）不等式的解集为__________.
【答案】或
【解析】
【分析】
利用移项，通分，转化为二次不等式即可求解．
【详解】
原不等式可化为，
即，
解得或，
故不等式的解集为或．
故答案为：或．
7．（2022·上海市进才中学高三期中）不等式的解集为______．
【答案】或
【解析】
【分析】
将分式不等式变形转化为二次不等式求解即可.
【详解】
，
解得不等式解集为或
故答案为：或.
8．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一开学考试）若不等式的解集为，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由三个二次的关系求，根据分式不等式的解法求不等式的解集.
【详解】
∵不等式的解集为
∴，是方程的两根，
∴   ，
∴ 可化为
∴
∴不等式的解集为，
故答案为：.
9．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）解不等式：
(1)
(2)
【答案】(1)或；
(2).
【解析】
【分析】
（1）将二次项系数化为正数，然后因式分解，进而求得答案；
（2）将分式不等式转化为一元二次不等式，进而求出答案.
(1)
由题意，，所以原不等式的解集为{或}.
(2)
原不等式可化为，则原不等式的解集为．

题型五：实际问题中的一元二次不等式问题
1．（2022·湖南·高一课时练习）某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为
A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
【答案】C
【解析】
设销售价定为每件元,利润为,根据题意可得利润的函数解析式.由题意可得关于的一元二次不等式,解不等式即可求得每件销售价的范围.
【详解】
设销售价定为每件元,利润为
则
依题意,得
即,解得
所以每件销售价应定为12元到16元之间
故选:C
【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次不等式的关系,一元二次不等式的解法,属于基础题.
2．（2022·全国·高一课时练习）甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则x的最小值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据题意，由求解.
【详解】
要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则，
整理得，又，
所以，
解得．
故x的最小值是3．
故答案为：3
3．（2022·湖南·高一课时练习）某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高元（为正整数），则租出的床位会相应减少张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？
【答案】每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）
【解析】
【分析】
由题意可知该旅店某晚的收入为y元，可知，解不等式可求解.
【详解】
设该旅店某晚的收入为y元，则

由题意，则
即，即，
解得：，且
所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）
4．（2022·湖南·高一课时练习）一家汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创收价值（元）之间有如下关系式：．若这家制造厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内生产的摩托车数量应满足什么条件？
【答案】.
【解析】
【分析】
根据已知列出一元二次不等式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.
【详解】
由题意可得：，
解得：.
5．（2022·湖南·高一课时练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速分别有如下关系式：，．问：甲、乙两辆汽车是否有超速现象？
【答案】甲种车型没有超速现象, 乙种车型有超速现象.
【解析】
【分析】
根据题意，得到一元二次不等式，结合解一元二次方程的方法进行求解即可.
【详解】
因为甲种车型的刹车距离与车速的关系式：，
所以由题意可得：，或舍去，即，当时，，
显然甲种车型没有超速现象；
因为乙种车型的刹车距离与车速的关系式：，
所以由题意可得：，或舍去，即，因此乙种车型有超速现象.
6．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二期中）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米．

(1)若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．
【答案】(1)15米
(2)864平方米
【解析】
【分析】
（1）根据“矩形草坪的长比宽至少多5米”列不等式，解不等式来求得草坪宽的最大值.
（2）求得绿化面积的表达式，利用基本不等式求得最小值.
(1)
设草坪的宽为x米，长为y米，由面积为300平方米，得，
∵矩形草坪的长比宽至少多5米，∴，
∴，解得，
又，∴，
草坪宽的最大值为15米．
(2)
记整个绿化面积为S平方米，由题意可得
，
当且仅当时，等号成立，
∴整个绿化面积的最小值为864平方米．
7．（2022·贵州黔东南·高一期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：m3）与天数的关系是，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警．
(1)求的值；
(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)汛期的第9天会有危险，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据条件可建立方程，解出即可；
（2）设第天发生危险，由题意得 ，解出此不等式，然后可得答案.
(1)
由题意得： ，
即
(2)
由（1）得
设第天发生危险，由题意得 ，即，得．
所以汛期的第9天会有危险
8．（2022·湖北十堰·高一期中）某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.

(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
【答案】(1)10米
(2)平方米
【解析】
【分析】
（1）设草坪的宽为米，长为米，则由题意，列出关于的不等式，求解即可；（2）求出整个绿化面的长为米，宽为米，然后由面积公式以及基本不等式求解最值即可．
(1)
设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得，
因为矩形草坪的长比宽至少多10米，
所以，又，
所以，解得，
所以宽的最大值为10米；
(2)
记整个绿化面积为S平方米，由题意得，
，当且仅当米时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为平方米
9．（2022·江苏·南京市第二十九中学高一期中）1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.
(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？
(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.
【答案】(1)40
(2)该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元.
【解析】
【分析】
（1）设出未知数，列不等式进行求解；（2）根据题意，得到关于的关系式，，利用基本不等式进行求解
(1)
设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米

解得：
所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米
(2)

整理得：
除以得：
由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，所以该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元/平方米.
10．（2022·云南·玉溪市江川区第二中学高一期中）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
【答案】每件定价最多为元．
【解析】
【分析】
设每件定价为元，依题可知原收入为万元，现收入为万元，即可列出不等式解出．
【详解】
设每件定价为元，依题意得，整理得
，解得：．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元．

题型六：不等式的恒成立问题
1．（2022·河北廊坊·高一期末）关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k满足（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
只需要满足条件即可.
【详解】
由题意，解得.
故选：C.
2．（2022·云南丽江·高一期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
讨论k＝0和两种情况，并结合判别式法即可求得答案.
【详解】
当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当时，若不等式恒成立，则，于是.
故选：B．
3．（2022·广东·华南师大附中高一阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
当时不等式恒成立，当时，根据一元二次不等式恒成立列出不等式组
，解不等式组即可.
【详解】
当时，不等式可化为，显然成立；
当时，要满足关于的不等式对任意恒成立，
只需，解得.
综上，的取值范围是.
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习（文））命题，，若p是真命题，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据特称命题的真假关系，转化为能成立问题，从而转化为最值问题进行求解即可得答案．
【详解】
命题，使为真命题，
即，使成立，即能成立
设，则，当且仅当，即时，取等号，即，，
故的取值范围是．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查存在量词的命题的应用，根据条件利用参数分离法进行转化，结合基本不等式求最值是解决本题的关键，属于中档题．
5．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
分和两种情况，结合二次函数的图像与性质，求解即可.
【详解】
当时，不等式为，满足题意；
当，需满足，解得，
综上可得，的取值范围为，
故答案为：.
6．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）若不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
分和两种情况分析求解即可
【详解】
当时，不等式为满足题意；
当时，需满足，
解得
综上可得，a的取值范围为，
故答案为：
7．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））命题 p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立.若命题p为真，求a的范围___________________.
【答案】
【解析】
【分析】
当时，对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立，
当时，此时，是二次函数，根据二次函数的图像性质即可求解
【详解】
当时，对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立，
当时，此时，是二次函数，此时，等价于，计算得，
综上，
故答案为：
8．（2022·湖南·高一课时练习）设二次函数．
（1）若方程有实根，则实数的取值范围是______；
（2）若不等式的解集为，则实数的取值范围是______；
（3）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是______．
【答案】     或.         
【解析】
【分析】
根据方程的解或不等式的解的情况结合判别式可得相应的结果.
【详解】
对于（1），因为方程有实根，故，解得或.
对于（2），因为不等式的解集为，故，解得.
对于（3），不等式的解集为R，故，故.
9．（2022·全国·高三专题练习）设，，，对任意满足的实数，都有，则的最大可能值为__.
【答案】3
【解析】
【分析】
可先通过赋值，判断，再令，结合二次函数最值，可得所求最大值.
【详解】
任意满足的实数，都有，
若，则，
可取，，可得，即恒成立，
由于，可得最大取2，
可得，
即有的最大可能值为3.
故答案为：3.
10．（2022·全国·高三专题练习）若存在实数，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
分类讨论，时，使得不等式成立，时结合二次函数的性质可得．
【详解】
时，若，则不等式为，不等式成立，满足题意，
时，在在使得不等式成立，则，∴．
综上，．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式有解问题，可结合二次函数性质求解，本题也可按二次项系数的正负分类：分，，三类分别求解．
11．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知函数．
(1)求关于x的不等式的解集；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出对应方程的根，再根据根的大小进行讨论，即可得解；
（2）对任意的，恒成立，即恒成立，结合基本不等式求出的最小值即可得解.
(1)
解：由已知易得即为：，
令可得与，
所以，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
(2)
解：由可得，
由，得，
所以可得，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以的取值范围是.