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专题15等式性质与不等式性质-暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）
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这是一份专题15等式性质与不等式性质-暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019），文件包含专题15等式性质与不等式性质解析版docx、专题15等式性质与不等式性质原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
专题15 等式性质与不等式性质
【知识点梳理】
知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立.
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，.
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、
①；
②；
③.
对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立.
知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.
知识点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
(1)对称性：
(2)传递性：
(3)可加性：(c∈R)
(4)可乘性：a>b，
运算性质有：
(1)可加法则：
(2)可乘法则：
(3)可乘方性：
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.
知识点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.
①；
②；
③.
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.
①；
②；
③.
中间量法：
若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.
【题型归纳目录】
题型一：用不等式(组)表示不等关系
题型二：作差法、作商法比较两数(式)的大小
题型三：利用不等式的性质判断命题真假
题型四：利用不等式的性质证明不等式
题型五：利用不等式的性质比较大小
题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
【典型例题】
题型一：用不等式(组)表示不等关系
1．（2022·江苏·高一）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．a + b + c ≤M B．a +b +c >M C．a + b + c ≥M D．a + b+ c
【解析】
【分析】
根据长、宽、高的和不超过Mcm可直接得到关系式.
【详解】
长、宽、高之和不超过Mcm，
.
故选：A.
2．（2022·天津河北·高一期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
根据长、宽、高的和不超过可直接得到关系式.
【详解】
长、宽、高之和不超过，.
故选：.
3．（2022·贵州毕节·高一阶段练习）某学生月考数学成绩 x不低于100分，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用题设条件即得.
【详解】
数学成绩不低于100分表示为，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分表示为，即.
故选：D.
4．（2022·全国·高一课时练习）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元､70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，，，考虑，， ， 四种情况，计算得到答案.
【详解】
设软件片，磁盘盒，，则，，.
当 时，满足条件；当时， 满足条件；
当 时，满足条件；当 时，满足条件；
故共有7种方案.
故选：C.
5．（2022·江苏淮安·高一期中）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案 为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由不等关系求解即可.
【详解】
经过年之后，方案的投入为，故经过年之后，方案的投入不大于方案的投入，即
故选：D
6．（2022·河南·范县第一中学高一阶段练习）完成一项装修工程，请木工每人需付工资800元，请瓦工每人需付工资700元，现工人工资预算为20000元，设请木工人，瓦工人，则，满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定条件直接列出不等式即可判断作答.
【详解】
因请木工每人需付工资800元，木工人，则需付木工工资元，
因请瓦工每人需付工资700元，瓦工人，则需付瓦工工资元，
于是得完成这项装修工程，共需付工资()元，而工人工资预算为20000元，
因此有：800x+700y≤20000，即8x+7y≤200，
所以，满足的关系式是：.
故选：D
7．（2022·全国·高一课时练习）某校在冬季长跑活动中，要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过元，已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为元、元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能小于．设获得一等奖的学生有人，获得二等奖的学生有人，则满足的不等关系为______．
【答案】.
【解析】
【分析】
根据已知可直接得到不等式组，化简即可得到结果.
【详解】
由题意得：，化简得：.
故答案为：
8．（2022·上海·上外附中高一期中）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组：______．
【答案】
【解析】
【分析】
由第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板可得．
【详解】
解：依题意，知第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板，所以
故答案为：
9．（2022·全国·高一课时练习）请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）．
【答案】
【解析】
【分析】
克糖水中有克糖，若再添克糖，浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即得．
【详解】
克糖水中有克糖，
糖水的浓度为：；
克糖水中有克糖，若再添克糖，
则糖水的浓度为，
又糖水变甜了，说明浓度变大了，
，，，，.
故答案为：，
10．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为，则女学生人数的最小值为___________；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设男学生、女学生、教师的人数分别为、、，可得出，当时，讨论的取值，结合不等式的性质可求得的最小值；当的值未知时，讨论的取值，结合不等关系可求得的最小值.
【详解】
设男学生、女学生、教师的人数分别为、、，则.
若，则，可得，则，当时，取最小值，
即男学生人数为，则女学生人数的最小值为；
若的值未知，当时，则，不满足题意，
当时，则，不合乎题意，
当时，则，此时，，则，合乎题意.
故当男学生人数未知，则该小组人数的最小值为.
故答案为：；.
题型二：作差法、作商法比较两数(式)的大小
1．（2022·江苏·高一）如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
举例判断A，B，D错误，再证明C正确.
【详解】
由已知可取，则
，A错，
，B错，
，，D错，
因为，所以
所以，故，C对，
故选：C.
2．（2022·江苏·高一）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案.
【详解】
，
因为，所以，
又，所以，即.
故选：B
3．（2022·全国·高一专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
【答案】C
【解析】
【分析】
应用作商法比较的大小关系即可.
【详解】
由题设，易知x，y＞0，又，
∴x＜y.
故选：C.
4．（2022·江苏·高一）若，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
利用作差法判断大小即可
【详解】
因为
，
所以，
故选：B
（多选题）5．（2022·江苏·高一）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用作差法对四个选项一一比较，即可得到正确答案.
【详解】
对于A：因为，所以.
所以，所以.故A错误；
对于B、C：
因为，所以.
所以，所以.故B正确，C错误；
对于D：因为，
所以，所以.故 D正确.
故选：BD
（多选题）6．（2022·江苏镇江·高一期末）对于实数，，，正确的命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则， D．若，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可.
【详解】
对选项A，因为，所以，，
所以，故A正确；
对选项B，，，所以，
因为，所以，即，故B正确；
对选项C，令，，满足，不满足，.
对选项D，因为，，
所以，故D正确.
故选：ABD
7．（2022·江苏·高一）已知 ， ，则 _______ ．（填“>”或“<”）
【答案】<
【解析】
【分析】
作差判断正负即可比较.
【详解】
因为，所以.
故答案为：<.
8．（2022·江苏·高一）（1）比较与的大小；
（2）已知，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求差法进行大小比较即可；
（2）求差法去证明即可解决.
【详解】
（1）由，
可得．
（2），
∵，∴，，，
∴，∴．
9．（2022·全国·高一课前预习）已知：、， 且，比较的大小.
【答案】
【解析】
【分析】
两指数式比较大小，由指数式采用作商法，经讨论和1比较大小.
【详解】
∵、 ，∴，
作商： （*）
(1)若a>b>0， 则，a-b>0， ， 此时成立；
(2)若b>a>0， 则， a-b<0，， 此时成立.
综上，总成立.
10．（2022·黑龙江·哈师大附中高一阶段练习）已知，试比较与的大小.
【答案】
【解析】
【分析】
利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可.
【详解】
，
，.
两数作商
，
.
题型三：利用不等式的性质判断命题真假
1．（2022·江苏·高一）若，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则<
【答案】C
【解析】
【分析】
对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断
【详解】
对于A，若，则，所以A错误，
对于B，若，则，所以B错误，
对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确，
对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误，
故选：C
2．（2022·四川省峨眉第二中学校高一期中（理））若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质判断．
【详解】
，A错，B错；
即，C错；
，D正确．
故选：D．
3．（2022·江苏·高一）如果，那么下面不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质依次判断即可.
【详解】
若，则，故A错误；若，，则，故B错误；若，则，故C正确；若，则，故D错误.
故选：C.
4．（2022·广东·普宁市华侨中学高一期中）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质对选项逐一分析
【详解】
对于A，，故A正确
B，C，D均不成立，可举反例，取，
故选：A
5．（2022·江苏·高一）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若a，b，，则下列用不等号表示的真命题是（ ）
A．且，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质逐一判断即可.
【详解】
对于A，当，不等式不成立，故错误；
对于B，取，，故错误；
对于C，因为，所以，即，两边同时除以得，故正确；
对于D，当，不等式不成立，故错误.
故选：C.
6．（2022·广东珠海·高一期末）对于任意实数，给定下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
利用特殊值判断A、B、D，根据不等式的性质证明C；
【详解】
解：对于A：当时，若则，故A错误；
对于B：若，，，，满足，则，，不成立，故B错误；
对于C：若，则，所以，故C正确；
对于D：若，满足，但是，故D错误；
故选：C
（多选题）7．（2022·江苏·高一）已知，，满足，且，则下列选项一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
分析的符号，由不等式的基本性质对选项逐一判断
【详解】
，且，可得
对于A，，故，A正确
对于B，，故，B正确
对于C，的符号不确定，无法比较，故C错误
对于D，，故，D正确
故选：ABD
（多选题）8．（2022·江苏南通·高一期末）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据不等式的性质或反例可得正确的选项.
【详解】
因为，故，故A错误，
而，故，故B正确.
又，故即，故D正确.
取，此时，但，故C错误.
故选：BD.
（多选题）9．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期末）若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a+c>b+c B．ac2≥bc2
C． D．(a+b)(a-b)>0
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，逐一判断作答.
【详解】
对于A，因a，b，c∈R，a>b，则a+c>b+c，A正确；
对于B，因c2≥0，a>b，则ac2≥bc2，B正确；
对于C，当c=0时，，C不正确；
对于D，当a=1，b=-1，满足a>b，但(a+b)(a-b)=0，D不正确．
故选：AB
10．（2022·江苏·高一）对于实数a，b，c判断以下命题的真假
（1）若， 则；( )
（2）若，则；( )
（3）若， 则；( )
（4）若， 则；( )
（5）若，则．( )
【答案】 假命题 真命题 真命题 真命题 真命题
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质和实数的性质，逐个推理运算，即可求解.
【详解】
（1）中，因为的符号不定，所以无法判定和的大小，故原命题为假命题；
（2）中，因为， 所以， 可得，故原命题为真命题；
（3）中，因为，所以，又因为，所以，
综合可得，故原命题为真命题．
（4）中，根据实数的性质，两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题．
（5）中，因为且，所以且，
所以且，可得，
又因为，所以，故原命题为真命题．
题型四：利用不等式的性质证明不等式
1．（2022·湖南·高一课时练习）证明不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）利用不等式的性质可证得结论；
（2）由，知，利用，即可证得结论；
(1)
，两边同乘以，则
又，两边同乘以，则
即
(2)
，两边同乘以，得；
两边同乘以，得，所以
又，则，又，则，
即
2．（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）可知，而，即可得证；
（2）可知，而，即可得证；
(1)
证明： ，
，
又，
；
(2)
证明：，
，
又，
．
3．（2022·全国·高一）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）与作差，判断差的正负即可得出结论；
（2）结合不等式的性质分析即可证出结论.
【详解】
（1）由题意，
，
所以．
（2）证明：因为，所以，即，
而，所以，则．得证．
4．（2022·全国·高一单元测试）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；
（2）已知c>a>b>0，求证：；
（3）观察以下运算：
1×5＋3×6>1×6＋3×5，
1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.
①若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明；
②若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由).
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①成立，证明见解析；②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3
【解析】
【分析】
（1）（2）根据不等式的基本性质即可得证；
（3）①根据已知条件结合不等式的性质即可得出结论；
②，根据已知条件直接写出结论即可.
【详解】
证明：（1）因为，所以，
又，即，
所以，所以，即≤；
（2）因为，所以，，
所以，
所以；
（3）解：①成立，证明如下：
∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，
又a1≤a2，b1≤b2，∴(a1－a2)(b1－b2)≥0，即a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1；
②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3
5．（2022·江苏·高一课时练习）已知，求证：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【解析】
【分析】
（1）结合幂函数的单调性，即得证
（2）由，结合不等式的性质，即得证
【详解】
（1）由幂函数在单调递增，
且，故，即得证；
（2）由（1），
由不等式的性质，
又
由不等式的性质，
综上：，即得证
6．（2022·江苏·高一课时练习）证明下面的结论：
（1）如果，，且，那么；
（2）如果，，那么；
（3）如果，，那么；
（4）如果，，，那么.
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
本题考查的是不等式的证明，先对原式进行转换，再利用不等式的性质进行证明即可.
【详解】
（1） ， ，则有；
（2） ， ，则有；
（3） ， ， ；
，，；
那么；
（4）由（3）可得，且，那么.
7．（2022·江苏·高一课时练习）已知，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
利不等式的性质证明即可
【详解】
因为，
所以，，
所以
8．（2022·新疆·阜康市第一中学高一阶段练习）（1）比较与的大小
（2）已知求证：
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用作差法即可得出答案；
（2）利用不等式的性质即可证明结论.
【详解】
（1）解：，
所以；
（2）因为，，
所以，
所以，即.
9．（2022·福建·永安市第三中学高中校高一阶段练习）（1）求证：；
（2）求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用作差法即证；
（2）利用作差法即证.
【详解】
（1）∵，
∴；
（2）∵
，
当且仅当时等号成立，
∴
10．（2022·湖北·武汉市育才高级中学高一阶段练习）（1）若，，求证：；
（2），，，求证：
【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用作差法证明即可，
（2）利用不等式的性质证明即可
【详解】
（1）因为，，
所以
，
所以
（2）因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
即
11．（2022·全国·高一专题练习）若，，，求证：
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
先根据不等式性质判断的大小关系，然后结合不等式性质可判断的大小关系，由此即可证明的大小关系.
【详解】
证明：，．
又，．
则，即．
又，．
题型五：利用不等式的性质比较大小
1．（2022·山西吕梁·高一开学考试）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】
因为，所以，故A错误；
因为，所以，所以，故B正确；
因为，所以不成立，故C错误；
，因为，所以，即，所以成立，故D错误.
故选：B
2．（2022·北京·高一期末）若，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
举反例可判断ABD，由不等式的性质可得，可判断C
【详解】
选项A，令，，不成立，A错误；
选项B，令，，不成立，B错误；
选项C，由，，可得 ，故，C正确；
选项D，令，，不成立，D错误.
故选：C
3．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用不等式的性质可判断ABD，取特殊值可判断C选项.
【详解】
选项A：因为，所以，
所以，故A错误；
选项B：因为，则，
所以，即，
又，所以不等式
两侧同时乘以，则，故B错误；
选项C：当时，此时，
，，
，故C错误；
选项D：因为，所以，
则 ，故D正确.
故选：D.
（多选题）4．（2022·河北保定·高一期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
A选项可以举出反例，BCD可以利用不等式的基本性质推导出.
【详解】
，，满足条件，故A错误；，故B正确；由得，故C正确；由有，故D正确．
故选：BCD
（多选题）5．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
分别由不等式的同加同乘性质可得，注意选项B中为0的情况.
【详解】
选项A：，在不等式两边同除以得，A正确；
选项B：当时，，B错误；
选项C：同向不等式相加，不等号方向不变，C正确；
选项D：，，两边同除以得，，D正确.
故选：ACD.
（多选题）6．（2022·广东揭阳·高一期末）已知，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用不等式的性质逐项分析即得.
【详解】
∵，
∴，故A正确；
取，则，故B错误；
由可知，，
∴，，故C错误，D正确。.
故选：AD.
（多选题）7．（2022·辽宁丹东·高一期末）如果a，b，c，，那么（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据举例说明即可判断选项A、C，根据不等式的基本性质即可判断选项B、D.
【详解】
A：令，满足，但，故A错误；
B：因为，所以，故B正确；
C：令，，
满足，，但，故C错误；
D：因为，，由不等式的性质，得，故D正确.
故选：BD
8．（2022·湖南·高一课时练习）如果，则有（用“>”或“<”填空）：
（1）______； （2）______．
（3）______； （4）______1．
【答案】 > > > <
【解析】
【分析】
根据不等式的性质求解.
【详解】
（1）由可得；
（2），，，即；
（3），，；
（4），，即.
故答案为：>；>；>；<.
9．（2022·湖南·高一课时练习）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．
(1)如果，那么；
(2)若，，则；
(3)若，则；
(4)若，，则．
【答案】(1)成立，理由见解析；
(2)成立，理由见解析；
(3)不成立，理由见解析；
(4)不成立，理由见解析；
【解析】
【分析】
由不等式的性质判断（1）（2）成立，取特殊值判断（3）（4）不成立.
(1)
，
，
，
故成立.
(2)
，,
,
即.
(3)
取时，满足，但是不成立.
(4)
取，满足，，但是不成立.
10．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是( )
A． B．
C．且 D．
【答案】A
【解析】
【详解】
对于选项A，∵，∴，又，∴成立，故A选项正确；
对于选项B，当，时，结论明显错误；
对于选项C，当时，，所以结论错误；
对于选项D，当时，，所以结论错误．
11．（2022·全国·高一课时练习）若，则___________．填“>”“<”或“=”）
【答案】<
【解析】
【详解】
∵，
∴，又
∴
∴<
故答案为：<
题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
1．（2022·江苏·高一）已知，，则的取值范围是
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式的性质即可求解.
【详解】
解：因为，，
所以，，
所以，
2．（2022·江苏·高一）已知，则的取值范围为
【答案】
【解析】
【分析】
由不等式的性质求解
【详解】
，
故，，得
3．（2022·吉林延边·高一期末）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求的范围，再根据不等式的性质，求的范围.
【详解】
因为，所以，
由，得.
故选：A.
（多选题）4．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据x，y的范围及基本不等关系，对选项一一分析即可.
【详解】
对于A，，即，故A正确；
对于B，，则，即，故B错误；
对于C，，即，故C正确；
对于D，由题知，则，故D错误；
故选：AC
5．（2022·全国·高一）已知，，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质可得答案.
【详解】
因为，，则，
所以，即的取值范围是．
6．（2022·全国·高一）若实数，满足，，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
由可得，然后相加便可得到的取值范围．
【详解】
因为，所以，又因为，
所以，即．
到，容易错解为．
7．（2022·全国·高一）已知，则的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由，可得,再将同乘可得答案.
【详解】
因为，所以，
所以，.
将不等式,同乘以,
则，即.
故答案为.
【点睛】
本题考查了不等式的性质,考查了学生的推理能力,属于基础题.
8．（2022·江苏·高一）设，，求，，的范围.
【答案】，，
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可.
【详解】
∵，，
∴，，，，
∴，，
∴.
故，，．
9．（2022·江苏·高一）已知，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出的取值范围，结合即可求解.
【详解】
，，
两式相加得，
又，
，
．
10．（2022·江苏·高一）（1）试比较与的大小
（2）已知，求，的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）；.
【解析】
【分析】
（1）作差法证明；（2）利用不等式的性质直接计算可得.
【详解】
（1）因为
所以.
（2）因为，所以，
所以；
因为，所以，
所以，所以.
专题15 等式性质与不等式性质
【知识点梳理】
知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立.
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，.
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、
①；
②；
③.
对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立.
知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.
知识点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
(1)对称性：
(2)传递性：
(3)可加性：(c∈R)
(4)可乘性：a>b，
运算性质有：
(1)可加法则：
(2)可乘法则：
(3)可乘方性：
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.
知识点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.
①；
②；
③.
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.
①；
②；
③.
中间量法：
若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.
【题型归纳目录】
题型一：用不等式(组)表示不等关系
题型二：作差法、作商法比较两数(式)的大小
题型三：利用不等式的性质判断命题真假
题型四：利用不等式的性质证明不等式
题型五：利用不等式的性质比较大小
题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
【典型例题】
题型一：用不等式(组)表示不等关系
1．（2022·江苏·高一）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．a + b + c ≤M B．a +b +c >M C．a + b + c ≥M D．a + b+ c
【解析】
【分析】
根据长、宽、高的和不超过Mcm可直接得到关系式.
【详解】
长、宽、高之和不超过Mcm，
.
故选：A.
2．（2022·天津河北·高一期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
根据长、宽、高的和不超过可直接得到关系式.
【详解】
长、宽、高之和不超过，.
故选：.
3．（2022·贵州毕节·高一阶段练习）某学生月考数学成绩 x不低于100分，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用题设条件即得.
【详解】
数学成绩不低于100分表示为，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分表示为，即.
故选：D.
4．（2022·全国·高一课时练习）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元､70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，，，考虑，， ， 四种情况，计算得到答案.
【详解】
设软件片，磁盘盒，，则，，.
当 时，满足条件；当时， 满足条件；
当 时，满足条件；当 时，满足条件；
故共有7种方案.
故选：C.
5．（2022·江苏淮安·高一期中）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案 为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由不等关系求解即可.
【详解】
经过年之后，方案的投入为，故经过年之后，方案的投入不大于方案的投入，即
故选：D
6．（2022·河南·范县第一中学高一阶段练习）完成一项装修工程，请木工每人需付工资800元，请瓦工每人需付工资700元，现工人工资预算为20000元，设请木工人，瓦工人，则，满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定条件直接列出不等式即可判断作答.
【详解】
因请木工每人需付工资800元，木工人，则需付木工工资元，
因请瓦工每人需付工资700元，瓦工人，则需付瓦工工资元，
于是得完成这项装修工程，共需付工资()元，而工人工资预算为20000元，
因此有：800x+700y≤20000，即8x+7y≤200，
所以，满足的关系式是：.
故选：D
7．（2022·全国·高一课时练习）某校在冬季长跑活动中，要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过元，已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为元、元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能小于．设获得一等奖的学生有人，获得二等奖的学生有人，则满足的不等关系为______．
【答案】.
【解析】
【分析】
根据已知可直接得到不等式组，化简即可得到结果.
【详解】
由题意得：，化简得：.
故答案为：
8．（2022·上海·上外附中高一期中）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组：______．
【答案】
【解析】
【分析】
由第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板可得．
【详解】
解：依题意，知第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板，所以
故答案为：
9．（2022·全国·高一课时练习）请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）．
【答案】
【解析】
【分析】
克糖水中有克糖，若再添克糖，浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即得．
【详解】
克糖水中有克糖，
糖水的浓度为：；
克糖水中有克糖，若再添克糖，
则糖水的浓度为，
又糖水变甜了，说明浓度变大了，
，，，，.
故答案为：，
10．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为，则女学生人数的最小值为___________；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设男学生、女学生、教师的人数分别为、、，可得出，当时，讨论的取值，结合不等式的性质可求得的最小值；当的值未知时，讨论的取值，结合不等关系可求得的最小值.
【详解】
设男学生、女学生、教师的人数分别为、、，则.
若，则，可得，则，当时，取最小值，
即男学生人数为，则女学生人数的最小值为；
若的值未知，当时，则，不满足题意，
当时，则，不合乎题意，
当时，则，此时，，则，合乎题意.
故当男学生人数未知，则该小组人数的最小值为.
故答案为：；.
题型二：作差法、作商法比较两数(式)的大小
1．（2022·江苏·高一）如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
举例判断A，B，D错误，再证明C正确.
【详解】
由已知可取，则
，A错，
，B错，
，，D错，
因为，所以
所以，故，C对，
故选：C.
2．（2022·江苏·高一）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案.
【详解】
，
因为，所以，
又，所以，即.
故选：B
3．（2022·全国·高一专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
【答案】C
【解析】
【分析】
应用作商法比较的大小关系即可.
【详解】
由题设，易知x，y＞0，又，
∴x＜y.
故选：C.
4．（2022·江苏·高一）若，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
利用作差法判断大小即可
【详解】
因为
，
所以，
故选：B
（多选题）5．（2022·江苏·高一）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用作差法对四个选项一一比较，即可得到正确答案.
【详解】
对于A：因为，所以.
所以，所以.故A错误；
对于B、C：
因为，所以.
所以，所以.故B正确，C错误；
对于D：因为，
所以，所以.故 D正确.
故选：BD
（多选题）6．（2022·江苏镇江·高一期末）对于实数，，，正确的命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则， D．若，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可.
【详解】
对选项A，因为，所以，，
所以，故A正确；
对选项B，，，所以，
因为，所以，即，故B正确；
对选项C，令，，满足，不满足，.
对选项D，因为，，
所以，故D正确.
故选：ABD
7．（2022·江苏·高一）已知 ， ，则 _______ ．（填“>”或“<”）
【答案】<
【解析】
【分析】
作差判断正负即可比较.
【详解】
因为，所以.
故答案为：<.
8．（2022·江苏·高一）（1）比较与的大小；
（2）已知，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求差法进行大小比较即可；
（2）求差法去证明即可解决.
【详解】
（1）由，
可得．
（2），
∵，∴，，，
∴，∴．
9．（2022·全国·高一课前预习）已知：、， 且，比较的大小.
【答案】
【解析】
【分析】
两指数式比较大小，由指数式采用作商法，经讨论和1比较大小.
【详解】
∵、 ，∴，
作商： （*）
(1)若a>b>0， 则，a-b>0， ， 此时成立；
(2)若b>a>0， 则， a-b<0，， 此时成立.
综上，总成立.
10．（2022·黑龙江·哈师大附中高一阶段练习）已知，试比较与的大小.
【答案】
【解析】
【分析】
利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可.
【详解】
，
，.
两数作商
，
.
题型三：利用不等式的性质判断命题真假
1．（2022·江苏·高一）若，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则<
【答案】C
【解析】
【分析】
对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断
【详解】
对于A，若，则，所以A错误，
对于B，若，则，所以B错误，
对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确，
对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误，
故选：C
2．（2022·四川省峨眉第二中学校高一期中（理））若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质判断．
【详解】
，A错，B错；
即，C错；
，D正确．
故选：D．
3．（2022·江苏·高一）如果，那么下面不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质依次判断即可.
【详解】
若，则，故A错误；若，，则，故B错误；若，则，故C正确；若，则，故D错误.
故选：C.
4．（2022·广东·普宁市华侨中学高一期中）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质对选项逐一分析
【详解】
对于A，，故A正确
B，C，D均不成立，可举反例，取，
故选：A
5．（2022·江苏·高一）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若a，b，，则下列用不等号表示的真命题是（ ）
A．且，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质逐一判断即可.
【详解】
对于A，当，不等式不成立，故错误；
对于B，取，，故错误；
对于C，因为，所以，即，两边同时除以得，故正确；
对于D，当，不等式不成立，故错误.
故选：C.
6．（2022·广东珠海·高一期末）对于任意实数，给定下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
利用特殊值判断A、B、D，根据不等式的性质证明C；
【详解】
解：对于A：当时，若则，故A错误；
对于B：若，，，，满足，则，，不成立，故B错误；
对于C：若，则，所以，故C正确；
对于D：若，满足，但是，故D错误；
故选：C
（多选题）7．（2022·江苏·高一）已知，，满足，且，则下列选项一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
分析的符号，由不等式的基本性质对选项逐一判断
【详解】
，且，可得
对于A，，故，A正确
对于B，，故，B正确
对于C，的符号不确定，无法比较，故C错误
对于D，，故，D正确
故选：ABD
（多选题）8．（2022·江苏南通·高一期末）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据不等式的性质或反例可得正确的选项.
【详解】
因为，故，故A错误，
而，故，故B正确.
又，故即，故D正确.
取，此时，但，故C错误.
故选：BD.
（多选题）9．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期末）若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a+c>b+c B．ac2≥bc2
C． D．(a+b)(a-b)>0
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，逐一判断作答.
【详解】
对于A，因a，b，c∈R，a>b，则a+c>b+c，A正确；
对于B，因c2≥0，a>b，则ac2≥bc2，B正确；
对于C，当c=0时，，C不正确；
对于D，当a=1，b=-1，满足a>b，但(a+b)(a-b)=0，D不正确．
故选：AB
10．（2022·江苏·高一）对于实数a，b，c判断以下命题的真假
（1）若， 则；( )
（2）若，则；( )
（3）若， 则；( )
（4）若， 则；( )
（5）若，则．( )
【答案】 假命题 真命题 真命题 真命题 真命题
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质和实数的性质，逐个推理运算，即可求解.
【详解】
（1）中，因为的符号不定，所以无法判定和的大小，故原命题为假命题；
（2）中，因为， 所以， 可得，故原命题为真命题；
（3）中，因为，所以，又因为，所以，
综合可得，故原命题为真命题．
（4）中，根据实数的性质，两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题．
（5）中，因为且，所以且，
所以且，可得，
又因为，所以，故原命题为真命题．
题型四：利用不等式的性质证明不等式
1．（2022·湖南·高一课时练习）证明不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）利用不等式的性质可证得结论；
（2）由，知，利用，即可证得结论；
(1)
，两边同乘以，则
又，两边同乘以，则
即
(2)
，两边同乘以，得；
两边同乘以，得，所以
又，则，又，则，
即
2．（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）可知，而，即可得证；
（2）可知，而，即可得证；
(1)
证明： ，
，
又，
；
(2)
证明：，
，
又，
．
3．（2022·全国·高一）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）与作差，判断差的正负即可得出结论；
（2）结合不等式的性质分析即可证出结论.
【详解】
（1）由题意，
，
所以．
（2）证明：因为，所以，即，
而，所以，则．得证．
4．（2022·全国·高一单元测试）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；
（2）已知c>a>b>0，求证：；
（3）观察以下运算：
1×5＋3×6>1×6＋3×5，
1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.
①若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明；
②若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由).
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①成立，证明见解析；②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3
【解析】
【分析】
（1）（2）根据不等式的基本性质即可得证；
（3）①根据已知条件结合不等式的性质即可得出结论；
②，根据已知条件直接写出结论即可.
【详解】
证明：（1）因为，所以，
又，即，
所以，所以，即≤；
（2）因为，所以，，
所以，
所以；
（3）解：①成立，证明如下：
∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，
又a1≤a2，b1≤b2，∴(a1－a2)(b1－b2)≥0，即a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1；
②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3
5．（2022·江苏·高一课时练习）已知，求证：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【解析】
【分析】
（1）结合幂函数的单调性，即得证
（2）由，结合不等式的性质，即得证
【详解】
（1）由幂函数在单调递增，
且，故，即得证；
（2）由（1），
由不等式的性质，
又
由不等式的性质，
综上：，即得证
6．（2022·江苏·高一课时练习）证明下面的结论：
（1）如果，，且，那么；
（2）如果，，那么；
（3）如果，，那么；
（4）如果，，，那么.
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
本题考查的是不等式的证明，先对原式进行转换，再利用不等式的性质进行证明即可.
【详解】
（1） ， ，则有；
（2） ， ，则有；
（3） ， ， ；
，，；
那么；
（4）由（3）可得，且，那么.
7．（2022·江苏·高一课时练习）已知，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
利不等式的性质证明即可
【详解】
因为，
所以，，
所以
8．（2022·新疆·阜康市第一中学高一阶段练习）（1）比较与的大小
（2）已知求证：
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用作差法即可得出答案；
（2）利用不等式的性质即可证明结论.
【详解】
（1）解：，
所以；
（2）因为，，
所以，
所以，即.
9．（2022·福建·永安市第三中学高中校高一阶段练习）（1）求证：；
（2）求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用作差法即证；
（2）利用作差法即证.
【详解】
（1）∵，
∴；
（2）∵
，
当且仅当时等号成立，
∴
10．（2022·湖北·武汉市育才高级中学高一阶段练习）（1）若，，求证：；
（2），，，求证：
【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用作差法证明即可，
（2）利用不等式的性质证明即可
【详解】
（1）因为，，
所以
，
所以
（2）因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
即
11．（2022·全国·高一专题练习）若，，，求证：
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
先根据不等式性质判断的大小关系，然后结合不等式性质可判断的大小关系，由此即可证明的大小关系.
【详解】
证明：，．
又，．
则，即．
又，．
题型五：利用不等式的性质比较大小
1．（2022·山西吕梁·高一开学考试）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】
因为，所以，故A错误；
因为，所以，所以，故B正确；
因为，所以不成立，故C错误；
，因为，所以，即，所以成立，故D错误.
故选：B
2．（2022·北京·高一期末）若，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
举反例可判断ABD，由不等式的性质可得，可判断C
【详解】
选项A，令，，不成立，A错误；
选项B，令，，不成立，B错误；
选项C，由，，可得 ，故，C正确；
选项D，令，，不成立，D错误.
故选：C
3．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用不等式的性质可判断ABD，取特殊值可判断C选项.
【详解】
选项A：因为，所以，
所以，故A错误；
选项B：因为，则，
所以，即，
又，所以不等式
两侧同时乘以，则，故B错误；
选项C：当时，此时，
，，
，故C错误；
选项D：因为，所以，
则 ，故D正确.
故选：D.
（多选题）4．（2022·河北保定·高一期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
A选项可以举出反例，BCD可以利用不等式的基本性质推导出.
【详解】
，，满足条件，故A错误；，故B正确；由得，故C正确；由有，故D正确．
故选：BCD
（多选题）5．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
分别由不等式的同加同乘性质可得，注意选项B中为0的情况.
【详解】
选项A：，在不等式两边同除以得，A正确；
选项B：当时，，B错误；
选项C：同向不等式相加，不等号方向不变，C正确；
选项D：，，两边同除以得，，D正确.
故选：ACD.
（多选题）6．（2022·广东揭阳·高一期末）已知，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用不等式的性质逐项分析即得.
【详解】
∵，
∴，故A正确；
取，则，故B错误；
由可知，，
∴，，故C错误，D正确。.
故选：AD.
（多选题）7．（2022·辽宁丹东·高一期末）如果a，b，c，，那么（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据举例说明即可判断选项A、C，根据不等式的基本性质即可判断选项B、D.
【详解】
A：令，满足，但，故A错误；
B：因为，所以，故B正确；
C：令，，
满足，，但，故C错误；
D：因为，，由不等式的性质，得，故D正确.
故选：BD
8．（2022·湖南·高一课时练习）如果，则有（用“>”或“<”填空）：
（1）______； （2）______．
（3）______； （4）______1．
【答案】 > > > <
【解析】
【分析】
根据不等式的性质求解.
【详解】
（1）由可得；
（2），，，即；
（3），，；
（4），，即.
故答案为：>；>；>；<.
9．（2022·湖南·高一课时练习）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．
(1)如果，那么；
(2)若，，则；
(3)若，则；
(4)若，，则．
【答案】(1)成立，理由见解析；
(2)成立，理由见解析；
(3)不成立，理由见解析；
(4)不成立，理由见解析；
【解析】
【分析】
由不等式的性质判断（1）（2）成立，取特殊值判断（3）（4）不成立.
(1)
，
，
，
故成立.
(2)
，,
,
即.
(3)
取时，满足，但是不成立.
(4)
取，满足，，但是不成立.
10．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是( )
A． B．
C．且 D．
【答案】A
【解析】
【详解】
对于选项A，∵，∴，又，∴成立，故A选项正确；
对于选项B，当，时，结论明显错误；
对于选项C，当时，，所以结论错误；
对于选项D，当时，，所以结论错误．
11．（2022·全国·高一课时练习）若，则___________．填“>”“<”或“=”）
【答案】<
【解析】
【详解】
∵，
∴，又
∴
∴<
故答案为：<
题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
1．（2022·江苏·高一）已知，，则的取值范围是
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式的性质即可求解.
【详解】
解：因为，，
所以，，
所以，
2．（2022·江苏·高一）已知，则的取值范围为
【答案】
【解析】
【分析】
由不等式的性质求解
【详解】
，
故，，得
3．（2022·吉林延边·高一期末）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求的范围，再根据不等式的性质，求的范围.
【详解】
因为，所以，
由，得.
故选：A.
（多选题）4．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据x，y的范围及基本不等关系，对选项一一分析即可.
【详解】
对于A，，即，故A正确；
对于B，，则，即，故B错误；
对于C，，即，故C正确；
对于D，由题知，则，故D错误；
故选：AC
5．（2022·全国·高一）已知，，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质可得答案.
【详解】
因为，，则，
所以，即的取值范围是．
6．（2022·全国·高一）若实数，满足，，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
由可得，然后相加便可得到的取值范围．
【详解】
因为，所以，又因为，
所以，即．
到，容易错解为．
7．（2022·全国·高一）已知，则的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由，可得,再将同乘可得答案.
【详解】
因为，所以，
所以，.
将不等式,同乘以,
则，即.
故答案为.
【点睛】
本题考查了不等式的性质,考查了学生的推理能力,属于基础题.
8．（2022·江苏·高一）设，，求，，的范围.
【答案】，，
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可.
【详解】
∵，，
∴，，，，
∴，，
∴.
故，，．
9．（2022·江苏·高一）已知，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出的取值范围，结合即可求解.
【详解】
，，
两式相加得，
又，
，
．
10．（2022·江苏·高一）（1）试比较与的大小
（2）已知，求，的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）；.
【解析】
【分析】
（1）作差法证明；（2）利用不等式的性质直接计算可得.
【详解】
（1）因为
所以.
（2）因为，所以，
所以；
因为，所以，
所以，所以.
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