青岛版初中数学九年级上册期末测试卷（较易）（含答案解析）

青岛版初中数学九年级上册期末测试卷

考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，若点坐标为，点坐标为，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

2. 如图所示的两个三角形相似，则与的度数分别为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3. 下列说法正确的是(    )

A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 相似三角形的面积的比等于相似比
C. 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行

4. 如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为，则夹角的正弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图是一斜坡的横截面，某人沿斜坡从出发，走了米到达处，此时在铅垂方向上上升了米，那么该斜坡的坡度是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

7. 已知的半径为，直线与相交，则圆心到直线的距离的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，是直径，，是圆上的点，若，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，是的直径，，在圆上，，的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 已知直角三角形的两直角边分别是一元二次方程的根，则三角形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知，那么的值是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

12. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是(    )

A. 且 B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，因疫情防控工作的需要，在学校大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高米，学生身高米，当学生准备进入识别区域时，在点处测得摄像头的仰角为，当学生刚好离开识别区域时，在点处测得摄像头的仰角为，则体温监测有效识别区域的长是______米，结果精确到米．

14. 已知点、、、分别在矩形的边，，，上，，交于点，，．
    
    如图，矩形由个全等的正方形组成，则______；
    如图，矩形由个全等的正方形组成，则______用的代数式表示．
15. 如图，、为的两条弦，若，，则的半径为______．

16. 某种树木的主干长出根枝干，每个枝干又长出根小分支，若主干、枝干和小分支总数共根，则主干长出枝干的根数为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，正方形网格中，每个小正方形的边长为．
    以点为位似中心，在第三象限画出，使与位似，
    且位似比为：；
    画出将线段绕点顺时针旋转所得的线段，并求出点旋转到点所经过的路径长．

18. 如图，已知，请用尺规作图法在边上求作一点，使得∽保留作图痕迹，不写作法

19. 阅读下列材料：
    在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
    证明：如图，过点作于点，则：
    在中，
    在中，
    
    
    根据上面的材料解决下列问题：
    如图，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；
    为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．结果保留根号．参考数据：，
     

20. 计算：；
    下面是小华同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
    
    第一步
    第二步
    第三步
    第四步
    任务一：填空：以上化简步骤中，第二步是进行分式的约分，约分的依据是______．
    第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
    任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果______．
21. 已知为钝角三角形，其中，有下列条件：
    ；；；；
    你认为从中至少选择______个条件，可以求出边的长；
    你选择的条件是______直接填写序号，并写出求的解答过程．
22. 如图，内接于，过点作的切线，交延长线于点，于点，交于点．
    求证；
    若，，求的长．

23. 如图：中，，点为上一点，以点为圆心，以为半径，作交于点，边与相切于点过点作交延长线于点．
    求证：；
    若，，求的半径．

24. 利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，阅读下列两则材料：
    材料一：已知，求、的值．
    解：，
    ，
    ，
    ，
    ，
    ．
    材料二：探索代数式与是否存在最大值或最小值？
    ，，．
    代数式有最小值；
    ，，．
    代数式有最大值．
    学习方法并完成下列问题：
    代数式的最小值为______；
    如图，在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，设长方形垂直于围墙的一边长度为米，则花圃的最大面积是多少？
    已知的三条边的长度分别为，，，且，且为正整数，求周长的最小值．

25. 新冠病毒肆虐全球，我国的疫情很快得到了控制，并且研发出安全性、有效性均非常高的疫苗．年七月，国家发布通知，岁未成年人也可接种新冠疫苗．随着全国各地疫苗需求量的急剧增加，经调查发现，北京生物制药厂现有条生产线最大产能是万支天，若每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少万支天，现该厂要保证每天生产疫苗万支，在既增加产能同时又要节省投入的条件下生产线越多，投入越大，应该增加几条生产线？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意可知：线段与线段是位似图形，
点坐标为，点坐标为，
线段与线段的位似比为：，
，
，
故选：．
根据题意得到线段与线段是位似图形，求出线段与线段的位似比，根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换，根据点、的坐标求出位似比是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：两个三角形相似，
，，
故选：．
根据相似三角形对应角相等解答即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不合题意；
B.相似三角形的面积的比等于相似比的平方，故此选项不合题意；
C.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，故此选项符合题意；
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用矩形的判定方法、相似三角形的性质、方差的意义、平行公理及推论分别分析得出答案．
此题主要考查了矩形的判定方法、相似三角形的性质、方差的意义、平行公理及推论，正确掌握相关性质与方法是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，设与交于点，过点作，连接，

，
，
设小正方形的边长为，
根据勾股定理可得，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
夹角的正弦值为．
故选：．
如图，设与交于点，过点作，连接，可得，设小正方形的边长为，然后根据勾股定理及逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解．
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，根据题意作适当辅助线构造出直角三角形是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是熟练掌握特殊角的三角函数值根据特殊角的三角函数值直接可得结果．
【解答】
解：
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：过点作地面于再做于，
由题意得，，，
由勾股定理得，，
该斜坡的坡度为：，
故选：．
根据题意画出图形，根据勾股定理求出，根据坡度的概念解答．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度平均价的概念是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：的半径为，直线与相交，
圆心到直线的距离的取值范围是，
故选：．
根据直线和相交，即可判断．
本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住直线和相交直线和相切直线和相离．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
是直径，
，
，
故选：．
根据圆周角定理可得，，然后再利用三角形内角和计算即可．
此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

9.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
．
故选：．
由是的直径，可求得，又由圆周角定理可得，继而求得答案．
此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
所以，，
所以三角形的面积．
故选：．
先利用因式分解法解方程得到直角三角形的两直角边，然后利用三角形面积公式计算．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

11.【答案】 

【解析】解：设，原式化为：，
解得，，
，
，
故选：．
设，原式化为：，解一元二次方程求得的值，从而求得．
本题考查了换元法解一元二次方程，用换元法解一些复杂的方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，方程化为，解得；
当时，根据题意得，
解得且，
综上所述，的取值范围为．
故选：．
讨论：当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，，时有实数解，此时且，然后综合两种情况得到的取值范围．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得米，
米，
米，
在中，，
，
解得，
在中，，
，
解得，
米，
米．
故答案为：．
由题意得米，米，在中，，，解得，在中，，，解得，则可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
 

14.【答案】   

【解析】解：如图、，过点作于，过点作于，

，
，
又，
∽，
，
图，，
，
图，，
．
故答案为：；．
过点作于，过点作于，利用相似三角形对应边成比例求解即可；
过点作于，过点作于，利用相似三角形对应边成比例求解即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变化的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点，难点在于作辅助线构造成相似三角形．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接并延长交于点，连接，

是的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
即的半径为．
故答案为：．
构造直径，由和证明，得到，根据勾股定理求出直径即可得到答案．
本题考查了圆周角和勾股定理等有关知识，解题的关键是“根据直径所对的圆周角是直角”构造直角三角形．
 

16.【答案】 

【解析】解：依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
故答案为：．
根据主干、枝干和小分支总数共根，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，为所作；

如图，为所作，
，
点旋转到点所经过的路径长 

【解析】把、、点的横纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点，从而得到，然后利用弧长公式计算点旋转到点所经过的路径长．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

18.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作即可．
本题考查作图相似变换，将所求问题转化为作是解题的关键．
 

19.【答案】证明：如图，过点作于点，
在中，，
在中，，
，
；
解：如图，过点作于点，
，，
，
在中，，
又，
即，
，
 

【解析】根据题目提供的方法进行证明即可；
根据的结论，直接进行计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
 

20.【答案】分式的基本性质  三  通分时漏掉了分母  

【解析】解：原式

；
任务一：约分的依据是分式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质；
第三步开始出现错误，错误的原因是通分时漏掉了分母，
故答案为：三，通分时漏掉了分母；
任务二：原式

．
故答案为：．
根据绝对值，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂计算即可；
任务一：根据约分的依据是分式的基本性质即可得出答案；
第三步开始出现错误，错误的原因是通分时漏掉了分母；
任务二：接着计算出正确答案即可．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，分式的混合运算，掌握，是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：根据解直角三角形的条件可知，至少选择个条件，可以求出边的长，
故答案为：；
选择，，理由如下：
过点作于点，如图所示：

设，
，
，
，
根据勾股定理，得，
解得或不合题意，舍去，
，，
，
根据勾股定理，得，
．
故答案为：．
根据解直角三角形的条件即可确定；
选择，过点作于点，根据的值以及勾股定理可得和的长，再根据勾股定理求出的长，进一步即可求出的长．
本题考查了解直角三角形，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，即，
解得：，
． 

【解析】连接，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据等角的余角相等证明结论；
根据正弦的定义得到，进而得到，根据三角形中位线定理得到，，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，如图，
边与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：设的半径为，则，，
，
，
，，
，
∽，
：：，
即：：，
解得，
即的半径为． 

【解析】连接，如图，根据切线的性质得，再证明得到，接着利用得到，然后证明，从而得到结论；
设的半径为，则，，，，，再证明∽，利用相似比得到：：，然后利用比例性质求出即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
 

24.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
设花圃的面积为平方米，根据题意，
得


，
，
，
当时，，
花圃的最大面积为平方米；
，
，
，
，，
，
为正整数，
最小为，
周长的最小值为．
将代数式配方即可；
设花圃的面积为平方米，根据题意得配方成，即可求出最大面积；
根据配方法可得和的值，再根据三角形的三边关系即可求出的最小值，进一步求周长最小值即可．
本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
 

25.【答案】解：设应该增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万支天，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要节省投入，
．
答：应该增加条生产线． 

【解析】设应该增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万支天，根据要保证每天生产疫苗万支，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要节省投入，即可得出应该增加条生产线．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．