人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册期中测试卷（较易）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册期中测试卷

考试范围：第一.二章；考试时间：120分钟；总分150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 给出下列命题：若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直；若直线的方向向量，平面的法向量，则；若平面，的法向量分别为，，则；若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则其中真命题的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 设，向量且，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是．(    )

A.  B.  C.  D.

6. 圆和圆交于，两点，则的垂直平分线的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 在平面直角坐标系中，下列四个结论中，正确的个数为(    )

每一条直线都有点斜式和斜截式方程；              

倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；

方程与方程可表示一条直线；

直线过点，倾斜角为，则其方程为

A.  B.  C.  D.

8. 过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 已知直线，则下列结论正确的是(    )

A. 直线的倾斜角是
B. 若直线，则
C. 点到直线的距离是
D. 过与直线平行的直线方程是

10. 多选圆和圆的交点为，，则(    )

A. 公共弦所在直线的方程为
B. 线段垂直平分线的方程为
C. 公共弦的长为
D. 两圆圆心距

11. 下列命题中，正确的有(    )

A. ，分别是平面，的法向量，若，则
B. ，分别是平面，的法向量，若，则
C. 是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则
D. 是平面的法向量，是直线的方向向量，若，，则与平面所成角为

12. 以下命题正确的是(    )

A. 若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，则的充要条件是
B. 若，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
C. 已知，，若与垂直，则
D. 已知的顶点坐标分别为，，，则边上的高的长为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 直线的方向向量是，平面的法向量，若直线平面，则__________．
14. 已知点是平行四边形所在平面外一点，若，，对于结论：；；是平面的法向量；其中正确的说法的序号是_________
15. 过点且与圆相切的直线方程为________．
16. 填空直线：截圆的弦为，当取最小值时的值为__________．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知顶点，边上的高为且垂足为．

 求边上中线所在的直线方程；

 求点的坐标．

18. 已知的三个顶点的坐标为，，．

求边上过点的高所在直线的方程；

若直线与平行，且在轴上的截距比在轴上的截距大，求直线与两条坐标轴围成的三角形的周长．

19. 顶点，边上的高为且垂足为．

 求边上中线所在的直线方程；

 求点的坐标．

20. 已知空间向量，，．

若，求；

若，求的值．

21. 已知，，且，求，的值；

已知，，若与为坐标原点的夹角为，求的值．

22. 已知向量，．

当与平行时，求实数的值；

当与垂直时，求实数的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的坐标运算，利用直线的方向向量，平面的法向量判断线线，线面以及面面的关系，属于基础题．
应用平面向量的坐标运算结合题中各说法逐一计算论证，判断真假，即可得到结果．

【解答】

解：，，
，，直线与垂直，故正确；
，，
，，或，故错误；
，，
，不成立，故错误；
点，，，
，向量是平面的法向量，
，即，则，故正确．
综上，以上真命题的序号是．
故本题选C．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量垂直和平行，空间向量的模，属于基础题．
由题可得，，进而得出．

【解答】

解：因为，
则，，
解得，，
所以，
则，
．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的夹角公式，涉及模长的求解，属于基础题．
由向量坐标可得向量的数量积和向量的模长，代入夹角公式计算可得．

【解答】

解：设，所成的角为，
则，．
故选B．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量点的坐标，向量数量积的概念．
根据平面内内一点坐标，求出四个选项中所给点形成的向量，利用与垂直，数量积为，可得到正确答案．

【解答】

解：由题意可知符合条件的点应满足，
：，
，故不在平面内，
同理可得：
：，，故在平面内，
：，，故不在平面内，
：，，故不在平面内．
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆的一般式和标准式的转换，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系的应用，圆中最值问题．属于基础题．
首先把圆的一般式转换为标准式，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，进一步确定直线和圆的位置关系，再根据圆中最值问题的解法求出结果．

【解答】

解：把圆化为标准式，所以圆心为，半径为；
则圆心到直线的距离，所以直线和圆相离．
所以圆上的动点到直线的距离的最大值为，
圆上的动点到直线的距离的最小值为．
即的取值范围是：．
故选B．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查圆与圆的位置关系及判定，两圆相交弦的有关综合问题，属于基础题．
两圆的圆心分别为，，由平面几何知识知的垂直平分线就是连心线，连心线的斜率为，即可得到答案．

【解答】

解：圆，则，圆心为，
圆，则，圆心为，
由平面几何知识知的垂直平分线就是连心线，
连心线的斜率为，
连心线方程为，整理得，
故的垂直平分线的方程为．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线方程的性质，属于基础题．
根据直线方程的性质，逐一分析即可得到答案．

【解答】

解：对于，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错误；
对于，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，故正确；
对于，方程与方程不表示同一直线，故错误；
对于，直线过点，倾斜角为，则其方程为，故正确．
故本题选B．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆的切线、两直线垂直的判断和两平行直线之间的距离，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
先求出和直线的方程，然后利用两平行直线间的距离公式即可求解．

【解答】

解：由已知，切线斜率存在且不为，
因为为圆上一点，则有
而，
．

所以直线
直线即
与的距离为．
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了直线的倾斜角与斜率，两条直线垂直和平行的判定，点到直线距离公式，直线方程的求法，考了基本的运用能力，属于基础题．
根据直线的斜率，可得直线的倾斜角是 ，即可判断；根据直线的斜率，可得，即可判断；运用点到直线距离公式即可判断；根据直线斜率以及点，运用点斜式写出直线方程即可判断．
【解答】
解：由题意，直线：的斜率，
则直线的倾斜角是，故A错误；
直线：的斜率，
且，则，故B正确；
点到直线的距离，故C正确；
易知过与直线平行的直线的斜率为，
即所求直线方程为，
即，故D正确．
故选BCD．  

10.【答案】 

【解析】【解析】将两圆的方程相减即得到公共弦所在直线的方程为，故A正确把圆化为标准方程得，圆心，半径，把圆化为标准方程得，圆心，半径，线段的垂直平分线即为圆心与圆心两点连线所在的直线，方程为，故B正确圆心到公共弦所在直线的距离，故公共弦的长为 ，故C错误两圆圆心距，故D正确故选ABD．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查用向量法来解决面面平行，面面垂直、线面平行等问题，考查线面角，属于基础题．
解题的关键是掌握平面法向量的应用，根据平面的法向量与平面的关系依次判断即可得答案．
【解答】
解：、因为，分别是两个不同平面，的法向量，所以    ，正确，
B、分别是平面的法向量，若，则，所以，正确；
C、是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则方向向量与法向量垂直，直线平面或直线平面，错误．
D、是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则与平面所成角为，错误．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了空间向量的线性运算，空间向量垂直，空间向量夹角的坐标表示，考查分析推理能力，属于较难题．
举出反例可判断由空间向量的线性运算转化条件为，即可判断由空间向量垂直的坐标表示可判断由空间向量夹角的坐标表示可得，再由即可判断．

【解答】

解：对于，若直线，则成立，故不是的必要条件，故A错误；

对于，若，则，

所以，则，，，四点共面，故B正确；

对于，由题意可得，，

若与垂直，
则，解得 ，故C正确；

对于，由题意，，
则，，

，
所以，

所以边上的高，故D正确．
故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用向量解决线面平行问题，属于基础题．
因为直线与平面平行，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，即有，计算即可．

【解答】

解：线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，
故解得．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题是一道关于空间向量的平行与垂直的题目，解题的关键是要明确向量平行与垂直时对应坐标的关系，属较易题．
首先根据向量的坐标运算计算，，再结合垂直的判定可判断，然后结合法向量的定义可判断；接下来求得的坐标表示，然后结合平行的知识判断．
【解答】
解：，
，，，
且平面，
所以是平面的法向量，故正确；
，与不平行，故是错误的，
综上可知，正确的结论有．  

15.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题主要考查了圆的切线方程和点到直线的距离公式以及直线的斜率等知识点，属于基础题．
根据题意分斜率存在和不存在两种情况分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程．
【解答】
解：当，时，，所以点在圆外，
由标准方程可知，圆心为，半径为，
当所求切线斜率不存在时，方程为，
圆心到该直线的距离为和半径相等，所以是所求切线；
当所求切线斜率存在时，设斜率为，则切线方程为，
即，圆心到直线的距离，解得，所以切线方程为，
综上所述，切线方程为或；
故答案为或．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了直线的倾斜角与斜率，两点间的距离公式，圆的标准方程，点与圆的位置关系及判定和直线与圆的位置关系及判定，属于基础题．
利用圆的标准方程得所给圆的圆心的坐标和半径，再由直线过定点，结合点与圆的位置关系得点在圆内，再利用直线与圆的位置关系得点到直线的距离等于，即时，直线与圆的相交弦的长最小，最后利用两点距离公式和过两点直线的斜率，计算得结论．
【解答】
解：由得，
因此所给圆的圆心为，半径为．
又因为直线过定点，而点在圆内，
所以点到直线的距离等于，即时，直线与圆的相交弦的长最小，
而，
因此的最小值为，
此时．
故答案为．  

17.【答案】 
 ． 

【解析】

【分析】
本题考查直线方程的确定、中点坐标公式斜率公式以及两条直线的垂直以及交点，属于基础题．
结合题设先由中点坐标公式求得，的中点的坐标，然后由直线的两点式方程可得所在的直线方程；
先由斜率公式求得直线的斜率，然后结合直线的垂直关系确定边上的高的斜率，再由直线的点斜式确定直线，的方程，最后联立直线，解方程可得结果．
【解答】
解：因为顶点，
所以，的中点为，
故边上中线所在的直线方程为
即；
由题，
所以边上的高为所在直线的斜率为，
故所在直线方程为即；
所在直线方程为即．
又边上的高为且垂足为，
所以点的坐标满足解得．
故点的坐标为  

18.【答案】解：，
边上的高所在直线的斜率为， 
又直线过点， 
所求直线的方程为：，即．
设直线的方程为：，即，
，，解得：，
直线的方程为：，
直线过点，三角形斜边长为，
直线与坐标轴围成的直角三角形的周长为． 

【解析】本题综合考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、相互平行的直线斜率之间的关系、直线的方程、两点之间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式即可得出；
设直线的方程为：，即，利用斜率计算公式可得，再利用相互平行的直线斜率相等的性质可得，解得即可．
 

19.【答案】解：因为顶点，
所以，的中点为，
故边上中线所在的直线方程为
即；
由题，
所以边上的高为所在直线的斜率为，
故所在直线方程为即；
所在直线方程为即．
又边上的高为且垂足为，
所以点的坐标满足解得．
故点的坐标为 

【解析】本题考查直线方程的确定、中点坐标公式斜率公式以及两条直线的垂直以及交点，属于基础题．
结合题设先由中点坐标公式求得，的中点的坐标，然后由直线的两点式方程可得所在的直线方程；
先由斜率公式求得直线的斜率，然后结合直线的垂直关系确定边上的高的斜率，再由直线的点斜式确定直线，的方程，最后联立直线，解方程可得结果．
 

20.【答案】解：，
，
解得：，
，
故．
，
，
解得：，
，
，，
． 

【解析】本题考查空间向量的线性运算，考查空间向量的坐标运算，考查求空间向量的模长及数量积，属于基础题．
由得，解出，从而求得的坐标，根据模长公式求解即可；
由得，解出，从而求得的坐标，再计算，的坐标，根据空间向量数量积的坐标运算公式计算即可．
 

21.【答案】解：，
，
且，
，且，
解得，；

解：，，

，

可得，解得．

【解析】本题考查空间向量的加减法运算，考查空间向量共线的性质，属于基础题．
由题求出，根据，即可得解和的值；

由题得到，，根据空间向量的夹角公式即可得解的值．

22.【答案】解：由已知得，

．

由与平行，

得，

解得．

由已知得，．

由与垂直，

得，

解得．

【解析】本题考查了空间向量的平行与垂直的运算，属于基础题．
先求得与的坐标，再根据两个向量平行的条件，求值；
先求得与的坐标，再根据两个向量垂直的条件，求值．