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初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数习题ppt课件
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这是一份初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数习题ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了答案显示，见习题，答案C，解3≤m≤6，答案B，－4≤m≤－2，答案150，πm2，第22章二次函数，二次函数自变量等内容，欢迎下载使用。
1．【2020·长沙】“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸时间t(单位：分钟)近似满足的函数关系为：p＝at2＋bt＋c(a≠0，a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟
【点拨】将图象中的三个点的坐标(3，0.8)，(4，0.9)，(5，0.6)代入p＝at2＋bt＋c中，可得函数关系式为p＝－0.2t2＋1.5t－1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为函数图象顶点的横坐标即可求出结论．
2．【2020·武汉】某公司分别在A，B两城生产同一种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y＝ax2＋bx.当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1 000.B城生产产品的每件成本为70万元． (1)求a，b的值．
(2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件．
解：由(1)得：y＝x2＋30x，设A，B两城生产这批产品的总成本的和为w万元，则w＝x2＋30x＋70(100－x)＝x2－40x＋7 000，＝(x－20)2＋6 600，由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，此时100－20＝80.答：A城生产20件，B城生产80件；
(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示)．
解：当0＜m≤2时，A，B两城总运费的和的最小值为(20m＋90)万元；当m＞2时，A，B两城总运费的和的最小值为(10m＋110)万元．
3．【2020·贵阳】2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟)的变化情况，数据如下表：(表中9～15表示9＜x≤15)
(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式．
(2)如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
②当9＜x≤15时，w＝810－40x，w随x的增大而减小，∴210≤w＜450，∴排队人数最多时有490人．要全部考生都完成体温检测，则810－40x＝0，解得x＝20.25，答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟．
(3)在(2)的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
4．【2020·滨州】某水果商店销售一种进价为每千克40元的优质水果，若售价为每千克50元，则一个月可售出500千克；若售价在每千克50元的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． (1)当售价为每千克55元时，每月销售水果多少千克？
解：当售价为每千克55元时，每月销售水果为500－10×(55－50)＝450(千克)．
(2)当月利润为8 750元时，每千克水果售价为多少元？
解：设每千克水果售价为x元，由题意可得8 750＝(x－40)[500－10(x－50)]，解得x1＝65，x2＝75，答：每千克水果售价为65元或75元．
(3)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
解：设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由题意可得y＝(m－40)[500－10(m－50)]＝－10(m－70)2＋9 000，∴当m＝70时，y有最大值为9 000，答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大．
5．【2020·黔东南州】黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元． (1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
(2)设甲商品的销售单价为x(单位：元/件)，在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y(单位：件)与销售单价x之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如表：
请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．
(3)在(2)的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x(元/件)定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
解：由题意得w＝(－2x＋40)(x－10)＝－2(x－15)2＋50(11≤x≤19)．∴当x＝15时，w取得最大值50.即当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．
6．【2020·黄冈】网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2 000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/千克，每日销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足关系式：y＝－100x＋5 000.经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/千克．当每日销售量不低于4 000千克时，每千克成本价格将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为W(元)． (1)请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式．
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
当10＜x≤30时，W＝－100x2＋5 600x－32 000＝－100(x－28)2＋46 400，∴当x＝28时，W有最大值为46 400.∵46 400＞18 000，∴当销售单价定为28元/千克时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46 400元．
(3)当W≥40 000时，网络平台将向板栗公司收取a元/千克(a＜4)的相关费用，若此时日获利的最大值为42 100元，求a的值．
解：∵40 000＞18 000，∴10＜x≤30，∴W＝－100x2＋5 600x－32 000，当W＝40 000时，40 000＝－100x2＋5 600x－32 000，解得x1＝20，x2＝36.∴当20≤x≤36时，W≥40 000.又∵10＜x≤30，∴20≤x≤30.
7．【2020·鄂州】一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
(1)求y与x的函数关系式(不求自变量的取值范围)．
(2)在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少？
设这一周的利润为w元，根据题意得，w＝(x－3)y＝(x－3)(－500x＋12 000)＝－500x2＋13 500x－36 000＝－500(x－13.5)2＋55 125.∵－500＜0，∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大．∵3≤x≤12，∴当x＝12时，w取最大值，为－500×(12－13.5)2＋55 125＝54 000.答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54 000元，售价为12元/件．
(3)抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元(1≤m≤6)，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
8．【2020·丹东】某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求出y与x之间的函数解析式(不需要求自变量x的取值范围)．
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24 000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
解：(x－50)(－20x＋2 600)＝24 000，解得x1＝70，x2＝110.∵尽量给客户实惠，∴这种衬衫每件的售价定为70元．
(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w(元)，那么每件的售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
9．【2020·辽阳】超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤15，且x为整数)，当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶． (1)求y与x之间的函数解析式；
(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
解：根据题意，得w＝(x－10)(－5x＋150)＝－5(x－20)2＋500，∴当x＜20时，w随x的增大而增大．∵10≤x≤15且x为整数，∴当x＝15时，w有最大值．最大值为－5×(15－20)2＋500＝375.答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为375元．
10．【2020·潍坊】因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y(桶)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数表达式；
(2)每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元(利润＝销售价－进价)?
解：设药店每天获得的利润为W元，由题意得W＝(x－50)(－2x＋220)＝－2(x－80)2＋1 800.∵－2＜0，∴当x＝80时，W有最大值，最大值是1 800.答：每桶消毒液的销售价定为80元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是1 800元．
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数目标三 实物抛物线的最值
1．【2020·绵阳】如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )
(1)求该抛物线对应的函数解析式，并计 算出拱顶D到地面OA的距离．
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
3．【2020·青岛】某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m. (1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2＋m(k≠0)表示．求该抛物线的函数解析式．
(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少(每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成 本＋一扇窗户FGMN的成本)?
(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？
4．【2020·台州】用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图①)． 科学原理：如图②，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位：cm)，如果在离水面竖直距离为h(单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离) s(单位：cm)与h的关系为 s2＝4h(H－h)．
应用思考：现用高度为20 cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离为h cm处开一个小孔．(1)写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
解：∵s2＝4h(H－h)，∴当H＝20时，s2＝4h(20－h)＝－4(h－10)2＋400.∴当h＝10时，s2有最大值400.∴s有最大值20.∴当h为10时，射程s有最大值，最大射程是20 cm.
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式．
解：要使两孔射出水的射程相同，则有：4a(20－a)＝4b(20－b)，∴20a－a2＝20b－b2，即(a－b)(a＋b－20)＝0.∴a－b＝0或a＋b－20＝0，∴a＝b或a＋b＝20.
(3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16 cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
5．一名运动员在距篮下4 m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐．如图所示，已知篮筐中心到地面的距离为3.05 m，该运动员身高1.9 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，则球出手时，运动员跳离地面的 高度为________m.
6．在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图)，若这个男生出手处A点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)． (1)求这个二次函数的解析式；
(2)该男生把铅球推出去多远(保留根号)?
7．【2020·绍兴】如图①，排球场长为18 m，宽为9 m，网高为2.24 m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9 m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88 m，即BA＝2.88 m，这时水平距离OB＝7 m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图②. (1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)．并判断这次发球能否过网？是否出界？ 说明理由．
解：如图，过点P作底线的平行线PQ，过点O作边线的平行线OQ，两线交于点Q，连接PO.
22.3 实际问题与二次函数目标一 几何图形的最大面积
1．【2020·山西】竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( ) A．23.5 m B．22.5 m C．21.5 m D．20.5 m
2．【2020·南京】小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第x min时，小丽、小明离B地的距离分别为y1 m，y2 m．y1与x之间的函数解析式是y1＝－180x＋2 250，y2与x之间的函数解析式是y2＝－10x2－100x＋2 000. (1)小丽出发时，小明离A地的距离为________m.
(2)小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
解：设小丽出发第x min时，两人相距s m，则s＝(－180x＋2 250)－(－10x2－100x＋2 000)＝10x2－80x＋250＝10(x－4)2＋90，∴当x＝4时，s取得最小值，此时s＝90.答：小丽出发第4 min时，两人相距最近，最近距离是90 m.
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s 的速度移动．已知P，Q分别从A，B同时出发，求△PBQ的面积S(mm2)关于出发时间t(s)的函数解析式，并求出t为何值时，△PBQ的面积最大？ 最大值是多少？
(2)计算x等于多少时，两个三角尺重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
5．【2020·日照】如图，某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100 m的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计)． (1)若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，∴ME＝BE.∵四块矩形花圃的面积相等，∴S矩形AMND＝2S矩形MEFN，∴AM＝2ME.∴AE＝3BE.
(2)在(1)的条件下，设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
6．【2020·河北】用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比，当x＝3时，W＝3. (1)求W与x的函数关系式．
(2)如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗)．设薄板的厚度为x厘米，Q＝W厚－W薄． ①求Q与x的函数关系式；
②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：(1)及(2)中的①不必写x的取值范围]
7．【2020·无锡】有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元． (1)当x＝5时，求种植总成本；
(2)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，求三种花卉的最低种植总成本．
22．3 实际问题与二次函数
第二十二章 二次函数
第1课时 利用二次函数求几何图形面积的最值问题
1．二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值为( )A．2 B．4 C．－4 D．16
3．【2018·黄冈】当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( )A．－1 B．2 C．0或2 D．－1或2
4．二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是________________．
*5．若二次函数y＝x2＋ax＋5的图象关于直线x＝－2对称，且当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是______________．
【点拨】根据对称轴求出a，再根据二次函数的增减性和最值解答．
6．已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为( )A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2 D．不确定
7．用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为( )A．20 B．40 C．100 D．120
8．【2018·沈阳】如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开，已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝________m时，矩形土地ABCD的面积最大．
*9.【中考·金华】在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB＋BC＝10 m，拴住小狗的10 m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S m2.
(1)如图①，若BC＝4 m，则S＝____________；
(2)如图②，现考虑在(1)中矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一等边三角形CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为________．
10．【2018·福建】如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
(1)若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
解：设AB＝m米，则AD＝BC＝(100－2m)米，根据题意得m(100－2m)＝450，解得m1＝5，m2＝45，当m＝5时，100－2m＝90＞20，不合题意，舍去；当m＝45时，100－2m＝10，答：AD的长为10米．
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值．
11．【中考·包头】某广告公司设计一个周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2 000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
解：∵矩形的一边长为x米，周长为16米，∴其邻边长为(8－x)米，∴S＝x(8－x)＝－x2＋8x，其中0＜x<8；
(2)设计费能达到24 000元吗？为什么？
解：能，理由如下：若设计费能达到24 000元，则当设计费为24 000元时，面积为24 000÷2 000＝12(平方米)，即－x2＋8x＝12，解得x＝2或x＝6，∴设计费能达到24 000元．
(3)当x是多少时，设计费最多？最多是多少元？
解：∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，∴当x＝4时，S最大＝16，∴当x＝4时，矩形的面积最大，为16平方米，设计费最多，最多是32 000元．
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s 的速度移动．已知P，Q分别从A，B同时出发，求△PBQ的面积S(mm2)关于出发时间t(s)的函数解析式，并求出t为何值时，△PBQ的面积最大？最大值是多少？
13．【2018·巴彦淖尔】工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)(1)请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求当长方体底面面积为32平方分米时，裁掉的正方形边长是多少？
解：如图所示．设裁掉的正方形的边长为x分米，由题意可得(12－2x)(8－2x)＝32，即x2－10x＋16＝0，解得x＝2或x＝8(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2分米．
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍(长大于宽)，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元？
解：设总费用为y元，则y＝2(12－2x)(8－2x)＋0.5×[2x(12－2x)＋2x(8－2x)]＝4x2－60x＋192＝4(x－7.5)2－33，又∵12－2x≤5(8－2x)，∴x≤3.5，∵a＝4＞0，∴当x＜7.5时，y随x的增大而减小，∴当x＝3.5时，y取得最小值，最小值为31.答：裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元．
22.3 实际问题与二次函数第1课时 用二次函数求最值问题
(1)数量关系 (2)函数解析式
1．一般地，当a>0(或a<0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是________(或最高)点，即当x＝________时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有__________(或最大)值____________．
2．(2019·温州)已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )A．有最大值－1，有最小值－2B．有最大值0，有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1D．有最大值7，有最小值－2
*3.(中考·舟山)二次函数y＝－(x－1)2＋5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m＋n的值为( )
【点拨】根据题意“m≤x≤n，且mn＜0”得m＜0，n＞0，画出二次函数y＝－(x－1)2＋5的图象，如图，应分以下几种情况讨论：
如图①，当0＜n＜1时，即在对称轴左侧，x＝n时，y有最大值2n，2n＝－(n－1)2＋5，解得n1＝－2，n2＝2，均不在取值范围内，不合题意．
4．利用二次函数求图形面积的最值时，先构建二次函数模型，利用图形的相关性质及相等关系求出__________的解析式，并写出________的取值范围，再利用二次函数的性质求出图形面积的最值．
(1)在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积．
(2)计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值，最大值是多少？
6．实际问题中求最值的一般步骤：(1)分析问题中的________________；(2)列出______________；(3)根据函数解析式的最值情况，结合实际，解决问题．
7．(2020·宿迁)某超市经销一种商品，每千克成本为50元．经试销发现，该种商品每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：
(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数解析式．
(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
解：由题意得(x－50)(－2x＋180)＝600，整理，得x2－140x＋4 800＝0，解得x1＝60，x2＝80.答：该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
解：设当天的销售利润为w元，则w＝(x－50)(－2x＋180)＝－2(x－70)2＋800.∵－2＜0，∴当x＝70时，w最大值＝800.答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
8．(中考·天津)已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)．(1)当b＝2，c＝－3时，求二次函数的最小值；
解：当b＝2，c＝－3时，二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.∴当x＝－1时，二次函数取得最小值－4.
解：当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2＋bx＋5.由题意得x2＋bx＋5＝1有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－16＝0，解得b1＝4，b2＝－4.∴二次函数的解析式为y＝x2＋4x＋5或y＝x2－4x＋5.
(2)当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
(3)当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
9．(2020·辽阳)超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤15，且x为整数)，当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．(1)求y与x之间的函数关系式；
解：根据题意，得w＝(x－10)(－5x＋150)＝－5(x－20)2＋500.∵a＝－5＜0，∴抛物线开口向下，w有最大值．∴当x＜20时，w随着x的增大而增大．∵10≤x≤15且x为整数，∴当x＝15时，w有最大值，w最大值＝－5×(15－20)2＋500＝375.答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是375元．
10．(2020·青岛)某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m.(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2＋m(k≠0)表示，求该抛物线的函数解析式．
(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2 m，求每个B型活动板房的成本是多少(每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN的成本)．
第2课时 利用二次函数求实际中最值问题
2．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13 min时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；当提出概念30 min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为( )A．y＝－(x－13)2＋59.9 B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8 D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43
3．某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，假设每个降价x(元)，每天销售y(个)，每天获得利润W(元)．(1)写出y与x的函数关系式：____________；
(2)求出W与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)．
解：W＝(300＋20x)(60－40－x)＝－20x2＋100x＋6 000.
4．某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，所获营业额y(元)与旅行团人数x(人)满足关系式y＝－x2＋100x＋28 400，要使所获营业额最大，则此旅行团应有( )A．30人 B．40人 C．50人 D．55人
5．【2018·兰州】某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月(按30天计算)，这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天(1≤x≤30且x为整数)的销售量为y件．
(1)直接写出y与x的函数关系式．
(2)设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少元？
解：根据题意得w＝(145－x－80－5)(2x＋40)＝－2x2＋80x＋2 400＝－2(x－20)2＋3 200，∵－2＜0，∴函数有最大值，∴当x＝20时，w有最大值，为3 200，∴第20天的利润最大，最大利润是3 200元．
6．【2018·毕节】某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，当销售单价为44元时，日销售量为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)设该护肤品的日销售利润为W(元)，当销售单价为多少时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
【点拨】本题易将销售额当销售利润，错得W＝x(－2x＋160)．
解：由题意得，W与x的函数关系式为W＝(x－40)(－2x＋160)＝－2x2＋240x－6 400＝－2(x－60)2＋800，当x＝60时，W最大，是800，所以当销售单价为60元时，日销售利润最大，最大日销售利润是800元．
7．【2019·通辽】当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本．书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数关系式及自变量的取值范围；
解：根据题意，得y＝250－10(x－25)＝－10x＋500(30≤x≤38)．
(2)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a(0＜a≤6)元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得的最大利润为1 960元，求a的值．
解：设每天扣除捐赠后可获得利润w元，则w＝(x－20－a)(－10x＋500)＝－10x2＋(10a＋700)x－500a－10 000(30≤x≤38)．
已知按物价部门规定，销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．(1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围．
解：q＝－x＋14，其中2≤x≤10.
(2)当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；
②求厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格x的函数关系式．
(3)在(2)的条件下，当x为______元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低于24(百元)，并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为______元/千克．
9．【2019·云南】某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/kg，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)的函数关系如图所示．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)求这一天销售西瓜获得的利润W(元)的最大值．
22.3 实际问题与二次函数第2课时 用二次函数求实际中的应用问题
(1)y＝－3x2＋330x－8 568(2)55；507
1．把实际问题转化为二次函数问题，其实质是利用题中存在的公式、隐含的规律等________关系列函数解析式，并写出符合实际意义的自变量的取值范围．
2．在一幅长60 cm、宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果整幅挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽度为x cm，那么y关于 x的函数解析式是( )A．y＝(60＋2x)(40＋2x)B．y＝(60＋x)(40＋x)C．y＝(60＋2x)(40＋x)D．y＝(60＋x)(40＋2x)
3．某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知这种服装每天销售量t(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)可以看成是一次函数关系：t＝－3x＋204.(1)商场卖这种服装每天的销售利润y(单位：元)与每件的销售价x(单位：元)之间的函数解析式为______________________；(2)商场要想每天获得最大销售利润，每件的销售价定为________元最合适，最大利润是________元．
y＝－3x2＋330x－8 568
4．便民商店销售一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(单位：元)与每件销售价x(单位：元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1 558，由于某种原因，每件销售价x(单位：元)满足15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是( )A．20元 B．1 508元C．1 550元 D．1 558元
5．(中考·贺州)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，若使利润最大，则每件商品的售价应为________元．
6．(2020·黄冈)网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2 000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足关系式：y＝－100x＋5 000.经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg.当每日销售量不低于4 000 kg时，每千克成本将降低1元．设板栗公司销售该板栗的日获利为w(元)．
(1)请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式．
当10＜x≤30时，w＝－100x2＋5 600x－32 000＝－100(x－28)2＋46 400，∵a＝－100＜0，抛物线的对称轴为直线x＝28，∴当x＝28时，w取最大值46 400.46 400＞18 000.答：当销售单价定为28元/kg时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46 400元．
(3)当w≥40 000时，网络平台将向板栗公司收取a元/kg(a＜4)的相关费用，若此时日获利的最大值为42 100元，求a的值．
解：∵40 000＞18 000，∴10＜x≤30.∴w＝－100x2＋5 600x－32 000.当w＝40 000时，40 000＝－100x2＋5 600x－32 000，解得x1＝20，x2＝36.∴当20≤x≤36时，w≥40 000.又∵10＜x≤30，∴20≤x≤30.此时，日获利w＝(x－6－a)(－100x＋5 000)－2 000＝－100x2＋(5 600＋100a)x－32 000－5 000a.
7．(2020·滨州)某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
解：500－10×(55－50)＝450(千克)．答：每月销售水果450千克．
解：设每千克水果售价为x元．由题意可得8 750＝(x－40)[500－10(x－50)]，解得x1＝65，x2＝75.答：每千克水果售价为65元或75元．
解：设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元．由题意可得y＝(m－40)[500－10(m－50)]＝－10(m－70)2＋9 000，∴当m＝70时，y有最大值9 000.答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大．
8．(2020·武汉)某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y＝ax2＋bx.当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1 000.B城生产产品的每件成本为70万元．(1)求a，b的值．
解：由(1)得y＝x2＋30x.设A，B两城生产这批产品的总成本为w万元，则w＝x2＋30x＋70(100－x)＝x2－40x＋7 000＝(x－20)2＋6 600.由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6 600，此时100－20＝80.答：A城生产20件，B城生产80件．
(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含m的式子表示)．
整理得P＝(m－2)n＋130.根据一次函数的性质分以下两种情况：①当0＜m≤2，10≤n≤20时，P随n的增大而减小，则n＝20时，P取最小值，最小值为20(m－2)＋130＝20m＋90；②当m＞2，10≤n≤20时，P随n的增大而增大，则n＝10时，P取最小值，最小值为10(m－2)＋130＝10m＋110.
9．(2020·甘孜州)某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx＋b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件；当售价定为70元/件时，每周销售10件．(1)求k，b的值；
(2)求销售该商品每周的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
解：∵w＝(x－40)y＝(x－40)(－x＋80)＝－(x－60)2＋400，∴当x＝60时，w取得最大值400.答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元．
10．(2020·鄂州)一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少．
∵－500＜0，∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大．∵3≤x≤12，∴当x＝12时，w取得最大值，为－500×(12－13.5)2＋55 125＝54 000.答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54 000元，售价为12元/件．
(3)当该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元(1≤m≤6)，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
∵－500＜0，∴当x≤13.5＋0.5m时，w随x的增大而增大．∵捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，∴15≤13.5＋0.5m，解得m≥3.∵1≤m≤6，∴3≤m≤6.
解：m的取值范围是3≤m≤6.
第3课时 利用建立坐标系解“抛物线”型问题
4．【2019·襄阳】如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h＝20t－5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为________s.
5．【2019·临沂】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．给出下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3 s后，速度越来越快；③小球抛出3 s时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.其中正确的是( )A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
6．【2018·北京】跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )A．10 m B．15 m C．20 m D．22.5 m
(1)求该抛物线对应的函数解析式，并计算出拱顶D到地面OA的距离．
8．【2018·衢州】某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式．
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
9．【2018·滨州】如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少？
解：当y＝15时，15＝－5x2＋20x，解得x1＝1，x2＝3，答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s.
(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
解：当y＝0时，0＝－5x2＋20x，解得x1＝0，x2＝4.4－0＝4(s)，答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s.
(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
解：y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20，∴当x＝2时，y取得最大值，y最大＝20.答：在飞行过程中，小球飞行高度第2 s时最大，最大高度是20 m.
22.3 实际问题与二次函数第3课时 用二次函数求实际中“抛物线”型的最值问题
平面直角坐标系；坐标原点；y轴
1．在解决形状是抛物线(抛物线形状的拱桥、物体的运动路线等)的实际问题时，通常需要建立适当的________________．为方便解决问题，通常以抛物线的顶点为____________，以抛物线的对称轴为________建立平面直角坐标系．
2．如图，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25 m，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的水平距离为1 m处达到距离地面最大高度2.25 m，试建立适当的平面直角坐标系并求出与该抛物线形水流对应的二次函数解析式．(1)以抛物线形水流顶点为坐标原点建立平面直角坐标系的函数解析式为____________；
(2)从抛物线形水流顶点向地面作垂线，得到垂足，以该垂足为坐标原点建立平面直角坐标系的函数解析式为________________；
(3)以点A为坐标原点建立平面直角坐标系的函数解析式为______________________________________．
y＝－(x－1)2＋2.25(或y＝－x2＋2x＋1.25)
*3.(2020·绵阳)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同(如图)．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米．若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )
5．(2020·山西)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( )A．23.5 m B．22.5 mC．21.5 m D．20.5 m
6．(中考·临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m.其中正确结论的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4
*7.(中考·巴中)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )
(1)求该抛物线对应的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；
解：令y＝0，即－x2＋2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.∴10÷2＝5(个)．∴最多可以连续绘制5个这样的“抛物线”形图案．
(2)若该墙的长度为10 m，则最多可以连续绘制几个这样的“抛物线”形图案？
9．(2020·绍兴)如图①，排球场长为18 m，宽为9 m，网高为2.24 m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9 m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88 m，即BA＝2.88 m，这时水平距离OB＝7 m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图②所示．
(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．
解：如图，过点P作底线的平行线PQ，过点O作边线的平行线OQ，两线交于点Q，连接PO.易知∠PQO＝90°.在Rt△OPQ中，OQ＝18－1＝17(m)．
10．(2020·台州)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观如图①.科学原理：如图②，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位：cm)，如果在离水面竖直距离为h(单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位：cm)与h的关系为s2＝4h(H－h)．
应用思考：现用高度为20 cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔．(1)写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b(单位：cm)，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式．
解：要使两孔射出水的射程相同，则有4a(20－a)＝4b(20－b)，∴20a－a2＝20b－b2，即(a－b)(a＋b－20)＝0.∴a－b＝0或a＋b－20＝0.∴a＝b或a＋b＝20.
1．【2020·长沙】“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸时间t(单位：分钟)近似满足的函数关系为：p＝at2＋bt＋c(a≠0，a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟
【点拨】将图象中的三个点的坐标(3，0.8)，(4，0.9)，(5，0.6)代入p＝at2＋bt＋c中，可得函数关系式为p＝－0.2t2＋1.5t－1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为函数图象顶点的横坐标即可求出结论．
2．【2020·武汉】某公司分别在A，B两城生产同一种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y＝ax2＋bx.当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1 000.B城生产产品的每件成本为70万元． (1)求a，b的值．
(2)当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件．
解：由(1)得：y＝x2＋30x，设A，B两城生产这批产品的总成本的和为w万元，则w＝x2＋30x＋70(100－x)＝x2－40x＋7 000，＝(x－20)2＋6 600，由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，此时100－20＝80.答：A城生产20件，B城生产80件；
(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含有m的式子表示)．
解：当0＜m≤2时，A，B两城总运费的和的最小值为(20m＋90)万元；当m＞2时，A，B两城总运费的和的最小值为(10m＋110)万元．
3．【2020·贵阳】2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟)的变化情况，数据如下表：(表中9～15表示9＜x≤15)
(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式．
(2)如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
②当9＜x≤15时，w＝810－40x，w随x的增大而减小，∴210≤w＜450，∴排队人数最多时有490人．要全部考生都完成体温检测，则810－40x＝0，解得x＝20.25，答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟．
(3)在(2)的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
4．【2020·滨州】某水果商店销售一种进价为每千克40元的优质水果，若售价为每千克50元，则一个月可售出500千克；若售价在每千克50元的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． (1)当售价为每千克55元时，每月销售水果多少千克？
解：当售价为每千克55元时，每月销售水果为500－10×(55－50)＝450(千克)．
(2)当月利润为8 750元时，每千克水果售价为多少元？
解：设每千克水果售价为x元，由题意可得8 750＝(x－40)[500－10(x－50)]，解得x1＝65，x2＝75，答：每千克水果售价为65元或75元．
(3)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
解：设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由题意可得y＝(m－40)[500－10(m－50)]＝－10(m－70)2＋9 000，∴当m＝70时，y有最大值为9 000，答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大．
5．【2020·黔东南州】黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元． (1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
(2)设甲商品的销售单价为x(单位：元/件)，在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y(单位：件)与销售单价x之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如表：
请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．
(3)在(2)的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x(元/件)定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
解：由题意得w＝(－2x＋40)(x－10)＝－2(x－15)2＋50(11≤x≤19)．∴当x＝15时，w取得最大值50.即当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．
6．【2020·黄冈】网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2 000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/千克，每日销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足关系式：y＝－100x＋5 000.经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/千克．当每日销售量不低于4 000千克时，每千克成本价格将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为W(元)． (1)请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式．
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
当10＜x≤30时，W＝－100x2＋5 600x－32 000＝－100(x－28)2＋46 400，∴当x＝28时，W有最大值为46 400.∵46 400＞18 000，∴当销售单价定为28元/千克时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46 400元．
(3)当W≥40 000时，网络平台将向板栗公司收取a元/千克(a＜4)的相关费用，若此时日获利的最大值为42 100元，求a的值．
解：∵40 000＞18 000，∴10＜x≤30，∴W＝－100x2＋5 600x－32 000，当W＝40 000时，40 000＝－100x2＋5 600x－32 000，解得x1＝20，x2＝36.∴当20≤x≤36时，W≥40 000.又∵10＜x≤30，∴20≤x≤30.
7．【2020·鄂州】一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
(1)求y与x的函数关系式(不求自变量的取值范围)．
(2)在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少？
设这一周的利润为w元，根据题意得，w＝(x－3)y＝(x－3)(－500x＋12 000)＝－500x2＋13 500x－36 000＝－500(x－13.5)2＋55 125.∵－500＜0，∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大．∵3≤x≤12，∴当x＝12时，w取最大值，为－500×(12－13.5)2＋55 125＝54 000.答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54 000元，售价为12元/件．
(3)抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元(1≤m≤6)，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
8．【2020·丹东】某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求出y与x之间的函数解析式(不需要求自变量x的取值范围)．
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24 000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
解：(x－50)(－20x＋2 600)＝24 000，解得x1＝70，x2＝110.∵尽量给客户实惠，∴这种衬衫每件的售价定为70元．
(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w(元)，那么每件的售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
9．【2020·辽阳】超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤15，且x为整数)，当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶． (1)求y与x之间的函数解析式；
(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
解：根据题意，得w＝(x－10)(－5x＋150)＝－5(x－20)2＋500，∴当x＜20时，w随x的增大而增大．∵10≤x≤15且x为整数，∴当x＝15时，w有最大值．最大值为－5×(15－20)2＋500＝375.答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为375元．
10．【2020·潍坊】因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y(桶)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数表达式；
(2)每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元(利润＝销售价－进价)?
解：设药店每天获得的利润为W元，由题意得W＝(x－50)(－2x＋220)＝－2(x－80)2＋1 800.∵－2＜0，∴当x＝80时，W有最大值，最大值是1 800.答：每桶消毒液的销售价定为80元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是1 800元．
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数目标三 实物抛物线的最值
1．【2020·绵阳】如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )
(1)求该抛物线对应的函数解析式，并计 算出拱顶D到地面OA的距离．
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
3．【2020·青岛】某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m. (1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2＋m(k≠0)表示．求该抛物线的函数解析式．
(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少(每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成 本＋一扇窗户FGMN的成本)?
(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？
4．【2020·台州】用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图①)． 科学原理：如图②，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位：cm)，如果在离水面竖直距离为h(单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离) s(单位：cm)与h的关系为 s2＝4h(H－h)．
应用思考：现用高度为20 cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离为h cm处开一个小孔．(1)写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
解：∵s2＝4h(H－h)，∴当H＝20时，s2＝4h(20－h)＝－4(h－10)2＋400.∴当h＝10时，s2有最大值400.∴s有最大值20.∴当h为10时，射程s有最大值，最大射程是20 cm.
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式．
解：要使两孔射出水的射程相同，则有：4a(20－a)＝4b(20－b)，∴20a－a2＝20b－b2，即(a－b)(a＋b－20)＝0.∴a－b＝0或a＋b－20＝0，∴a＝b或a＋b＝20.
(3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16 cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
5．一名运动员在距篮下4 m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐．如图所示，已知篮筐中心到地面的距离为3.05 m，该运动员身高1.9 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，则球出手时，运动员跳离地面的 高度为________m.
6．在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图)，若这个男生出手处A点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)． (1)求这个二次函数的解析式；
(2)该男生把铅球推出去多远(保留根号)?
7．【2020·绍兴】如图①，排球场长为18 m，宽为9 m，网高为2.24 m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9 m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88 m，即BA＝2.88 m，这时水平距离OB＝7 m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图②. (1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)．并判断这次发球能否过网？是否出界？ 说明理由．
解：如图，过点P作底线的平行线PQ，过点O作边线的平行线OQ，两线交于点Q，连接PO.
22.3 实际问题与二次函数目标一 几何图形的最大面积
1．【2020·山西】竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( ) A．23.5 m B．22.5 m C．21.5 m D．20.5 m
2．【2020·南京】小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第x min时，小丽、小明离B地的距离分别为y1 m，y2 m．y1与x之间的函数解析式是y1＝－180x＋2 250，y2与x之间的函数解析式是y2＝－10x2－100x＋2 000. (1)小丽出发时，小明离A地的距离为________m.
(2)小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
解：设小丽出发第x min时，两人相距s m，则s＝(－180x＋2 250)－(－10x2－100x＋2 000)＝10x2－80x＋250＝10(x－4)2＋90，∴当x＝4时，s取得最小值，此时s＝90.答：小丽出发第4 min时，两人相距最近，最近距离是90 m.
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s 的速度移动．已知P，Q分别从A，B同时出发，求△PBQ的面积S(mm2)关于出发时间t(s)的函数解析式，并求出t为何值时，△PBQ的面积最大？ 最大值是多少？
(2)计算x等于多少时，两个三角尺重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
5．【2020·日照】如图，某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100 m的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计)． (1)若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，∴ME＝BE.∵四块矩形花圃的面积相等，∴S矩形AMND＝2S矩形MEFN，∴AM＝2ME.∴AE＝3BE.
(2)在(1)的条件下，设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
6．【2020·河北】用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比，当x＝3时，W＝3. (1)求W与x的函数关系式．
(2)如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗)．设薄板的厚度为x厘米，Q＝W厚－W薄． ①求Q与x的函数关系式；
②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：(1)及(2)中的①不必写x的取值范围]
7．【2020·无锡】有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元． (1)当x＝5时，求种植总成本；
(2)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，求三种花卉的最低种植总成本．
22．3 实际问题与二次函数
第二十二章 二次函数
第1课时 利用二次函数求几何图形面积的最值问题
1．二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值为( )A．2 B．4 C．－4 D．16
3．【2018·黄冈】当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( )A．－1 B．2 C．0或2 D．－1或2
4．二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是________________．
*5．若二次函数y＝x2＋ax＋5的图象关于直线x＝－2对称，且当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是______________．
【点拨】根据对称轴求出a，再根据二次函数的增减性和最值解答．
6．已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为( )A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2 D．不确定
7．用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为( )A．20 B．40 C．100 D．120
8．【2018·沈阳】如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开，已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝________m时，矩形土地ABCD的面积最大．
*9.【中考·金华】在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB＋BC＝10 m，拴住小狗的10 m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S m2.
(1)如图①，若BC＝4 m，则S＝____________；
(2)如图②，现考虑在(1)中矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一等边三角形CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为________．
10．【2018·福建】如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
(1)若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
解：设AB＝m米，则AD＝BC＝(100－2m)米，根据题意得m(100－2m)＝450，解得m1＝5，m2＝45，当m＝5时，100－2m＝90＞20，不合题意，舍去；当m＝45时，100－2m＝10，答：AD的长为10米．
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值．
11．【中考·包头】某广告公司设计一个周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2 000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
解：∵矩形的一边长为x米，周长为16米，∴其邻边长为(8－x)米，∴S＝x(8－x)＝－x2＋8x，其中0＜x<8；
(2)设计费能达到24 000元吗？为什么？
解：能，理由如下：若设计费能达到24 000元，则当设计费为24 000元时，面积为24 000÷2 000＝12(平方米)，即－x2＋8x＝12，解得x＝2或x＝6，∴设计费能达到24 000元．
(3)当x是多少时，设计费最多？最多是多少元？
解：∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，∴当x＝4时，S最大＝16，∴当x＝4时，矩形的面积最大，为16平方米，设计费最多，最多是32 000元．
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s 的速度移动．已知P，Q分别从A，B同时出发，求△PBQ的面积S(mm2)关于出发时间t(s)的函数解析式，并求出t为何值时，△PBQ的面积最大？最大值是多少？
13．【2018·巴彦淖尔】工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)(1)请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求当长方体底面面积为32平方分米时，裁掉的正方形边长是多少？
解：如图所示．设裁掉的正方形的边长为x分米，由题意可得(12－2x)(8－2x)＝32，即x2－10x＋16＝0，解得x＝2或x＝8(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2分米．
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍(长大于宽)，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元？
解：设总费用为y元，则y＝2(12－2x)(8－2x)＋0.5×[2x(12－2x)＋2x(8－2x)]＝4x2－60x＋192＝4(x－7.5)2－33，又∵12－2x≤5(8－2x)，∴x≤3.5，∵a＝4＞0，∴当x＜7.5时，y随x的增大而减小，∴当x＝3.5时，y取得最小值，最小值为31.答：裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元．
22.3 实际问题与二次函数第1课时 用二次函数求最值问题
(1)数量关系 (2)函数解析式
1．一般地，当a>0(或a<0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是________(或最高)点，即当x＝________时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有__________(或最大)值____________．
2．(2019·温州)已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )A．有最大值－1，有最小值－2B．有最大值0，有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1D．有最大值7，有最小值－2
*3.(中考·舟山)二次函数y＝－(x－1)2＋5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m＋n的值为( )
【点拨】根据题意“m≤x≤n，且mn＜0”得m＜0，n＞0，画出二次函数y＝－(x－1)2＋5的图象，如图，应分以下几种情况讨论：
如图①，当0＜n＜1时，即在对称轴左侧，x＝n时，y有最大值2n，2n＝－(n－1)2＋5，解得n1＝－2，n2＝2，均不在取值范围内，不合题意．
4．利用二次函数求图形面积的最值时，先构建二次函数模型，利用图形的相关性质及相等关系求出__________的解析式，并写出________的取值范围，再利用二次函数的性质求出图形面积的最值．
(1)在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积．
(2)计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值，最大值是多少？
6．实际问题中求最值的一般步骤：(1)分析问题中的________________；(2)列出______________；(3)根据函数解析式的最值情况，结合实际，解决问题．
7．(2020·宿迁)某超市经销一种商品，每千克成本为50元．经试销发现，该种商品每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：
(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数解析式．
(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
解：由题意得(x－50)(－2x＋180)＝600，整理，得x2－140x＋4 800＝0，解得x1＝60，x2＝80.答：该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
解：设当天的销售利润为w元，则w＝(x－50)(－2x＋180)＝－2(x－70)2＋800.∵－2＜0，∴当x＝70时，w最大值＝800.答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
8．(中考·天津)已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)．(1)当b＝2，c＝－3时，求二次函数的最小值；
解：当b＝2，c＝－3时，二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.∴当x＝－1时，二次函数取得最小值－4.
解：当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2＋bx＋5.由题意得x2＋bx＋5＝1有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－16＝0，解得b1＝4，b2＝－4.∴二次函数的解析式为y＝x2＋4x＋5或y＝x2－4x＋5.
(2)当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
(3)当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
9．(2020·辽阳)超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤15，且x为整数)，当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．(1)求y与x之间的函数关系式；
解：根据题意，得w＝(x－10)(－5x＋150)＝－5(x－20)2＋500.∵a＝－5＜0，∴抛物线开口向下，w有最大值．∴当x＜20时，w随着x的增大而增大．∵10≤x≤15且x为整数，∴当x＝15时，w有最大值，w最大值＝－5×(15－20)2＋500＝375.答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是375元．
10．(2020·青岛)某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m.(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2＋m(k≠0)表示，求该抛物线的函数解析式．
(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2 m，求每个B型活动板房的成本是多少(每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN的成本)．
第2课时 利用二次函数求实际中最值问题
2．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13 min时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；当提出概念30 min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为( )A．y＝－(x－13)2＋59.9 B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8 D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43
3．某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，假设每个降价x(元)，每天销售y(个)，每天获得利润W(元)．(1)写出y与x的函数关系式：____________；
(2)求出W与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)．
解：W＝(300＋20x)(60－40－x)＝－20x2＋100x＋6 000.
4．某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，所获营业额y(元)与旅行团人数x(人)满足关系式y＝－x2＋100x＋28 400，要使所获营业额最大，则此旅行团应有( )A．30人 B．40人 C．50人 D．55人
5．【2018·兰州】某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月(按30天计算)，这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天(1≤x≤30且x为整数)的销售量为y件．
(1)直接写出y与x的函数关系式．
(2)设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少元？
解：根据题意得w＝(145－x－80－5)(2x＋40)＝－2x2＋80x＋2 400＝－2(x－20)2＋3 200，∵－2＜0，∴函数有最大值，∴当x＝20时，w有最大值，为3 200，∴第20天的利润最大，最大利润是3 200元．
6．【2018·毕节】某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，当销售单价为44元时，日销售量为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)设该护肤品的日销售利润为W(元)，当销售单价为多少时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
【点拨】本题易将销售额当销售利润，错得W＝x(－2x＋160)．
解：由题意得，W与x的函数关系式为W＝(x－40)(－2x＋160)＝－2x2＋240x－6 400＝－2(x－60)2＋800，当x＝60时，W最大，是800，所以当销售单价为60元时，日销售利润最大，最大日销售利润是800元．
7．【2019·通辽】当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本．书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数关系式及自变量的取值范围；
解：根据题意，得y＝250－10(x－25)＝－10x＋500(30≤x≤38)．
(2)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a(0＜a≤6)元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得的最大利润为1 960元，求a的值．
解：设每天扣除捐赠后可获得利润w元，则w＝(x－20－a)(－10x＋500)＝－10x2＋(10a＋700)x－500a－10 000(30≤x≤38)．
已知按物价部门规定，销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．(1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围．
解：q＝－x＋14，其中2≤x≤10.
(2)当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；
②求厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格x的函数关系式．
(3)在(2)的条件下，当x为______元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低于24(百元)，并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为______元/千克．
9．【2019·云南】某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/kg，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)的函数关系如图所示．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)求这一天销售西瓜获得的利润W(元)的最大值．
22.3 实际问题与二次函数第2课时 用二次函数求实际中的应用问题
(1)y＝－3x2＋330x－8 568(2)55；507
1．把实际问题转化为二次函数问题，其实质是利用题中存在的公式、隐含的规律等________关系列函数解析式，并写出符合实际意义的自变量的取值范围．
2．在一幅长60 cm、宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果整幅挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽度为x cm，那么y关于 x的函数解析式是( )A．y＝(60＋2x)(40＋2x)B．y＝(60＋x)(40＋x)C．y＝(60＋2x)(40＋x)D．y＝(60＋x)(40＋2x)
3．某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知这种服装每天销售量t(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)可以看成是一次函数关系：t＝－3x＋204.(1)商场卖这种服装每天的销售利润y(单位：元)与每件的销售价x(单位：元)之间的函数解析式为______________________；(2)商场要想每天获得最大销售利润，每件的销售价定为________元最合适，最大利润是________元．
y＝－3x2＋330x－8 568
4．便民商店销售一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(单位：元)与每件销售价x(单位：元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1 558，由于某种原因，每件销售价x(单位：元)满足15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是( )A．20元 B．1 508元C．1 550元 D．1 558元
5．(中考·贺州)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，若使利润最大，则每件商品的售价应为________元．
6．(2020·黄冈)网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2 000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足关系式：y＝－100x＋5 000.经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg.当每日销售量不低于4 000 kg时，每千克成本将降低1元．设板栗公司销售该板栗的日获利为w(元)．
(1)请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式．
当10＜x≤30时，w＝－100x2＋5 600x－32 000＝－100(x－28)2＋46 400，∵a＝－100＜0，抛物线的对称轴为直线x＝28，∴当x＝28时，w取最大值46 400.46 400＞18 000.答：当销售单价定为28元/kg时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46 400元．
(3)当w≥40 000时，网络平台将向板栗公司收取a元/kg(a＜4)的相关费用，若此时日获利的最大值为42 100元，求a的值．
解：∵40 000＞18 000，∴10＜x≤30.∴w＝－100x2＋5 600x－32 000.当w＝40 000时，40 000＝－100x2＋5 600x－32 000，解得x1＝20，x2＝36.∴当20≤x≤36时，w≥40 000.又∵10＜x≤30，∴20≤x≤30.此时，日获利w＝(x－6－a)(－100x＋5 000)－2 000＝－100x2＋(5 600＋100a)x－32 000－5 000a.
7．(2020·滨州)某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
解：500－10×(55－50)＝450(千克)．答：每月销售水果450千克．
解：设每千克水果售价为x元．由题意可得8 750＝(x－40)[500－10(x－50)]，解得x1＝65，x2＝75.答：每千克水果售价为65元或75元．
解：设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元．由题意可得y＝(m－40)[500－10(m－50)]＝－10(m－70)2＋9 000，∴当m＝70时，y有最大值9 000.答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大．
8．(2020·武汉)某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y＝ax2＋bx.当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1 000.B城生产产品的每件成本为70万元．(1)求a，b的值．
解：由(1)得y＝x2＋30x.设A，B两城生产这批产品的总成本为w万元，则w＝x2＋30x＋70(100－x)＝x2－40x＋7 000＝(x－20)2＋6 600.由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6 600，此时100－20＝80.答：A城生产20件，B城生产80件．
(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值(用含m的式子表示)．
整理得P＝(m－2)n＋130.根据一次函数的性质分以下两种情况：①当0＜m≤2，10≤n≤20时，P随n的增大而减小，则n＝20时，P取最小值，最小值为20(m－2)＋130＝20m＋90；②当m＞2，10≤n≤20时，P随n的增大而增大，则n＝10时，P取最小值，最小值为10(m－2)＋130＝10m＋110.
9．(2020·甘孜州)某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx＋b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件；当售价定为70元/件时，每周销售10件．(1)求k，b的值；
(2)求销售该商品每周的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
解：∵w＝(x－40)y＝(x－40)(－x＋80)＝－(x－60)2＋400，∴当x＝60时，w取得最大值400.答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元．
10．(2020·鄂州)一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少．
∵－500＜0，∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大．∵3≤x≤12，∴当x＝12时，w取得最大值，为－500×(12－13.5)2＋55 125＝54 000.答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54 000元，售价为12元/件．
(3)当该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元(1≤m≤6)，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
∵－500＜0，∴当x≤13.5＋0.5m时，w随x的增大而增大．∵捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，∴15≤13.5＋0.5m，解得m≥3.∵1≤m≤6，∴3≤m≤6.
解：m的取值范围是3≤m≤6.
第3课时 利用建立坐标系解“抛物线”型问题
4．【2019·襄阳】如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h＝20t－5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为________s.
5．【2019·临沂】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．给出下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3 s后，速度越来越快；③小球抛出3 s时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.其中正确的是( )A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
6．【2018·北京】跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )A．10 m B．15 m C．20 m D．22.5 m
(1)求该抛物线对应的函数解析式，并计算出拱顶D到地面OA的距离．
8．【2018·衢州】某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式．
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
9．【2018·滨州】如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少？
解：当y＝15时，15＝－5x2＋20x，解得x1＝1，x2＝3，答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s.
(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
解：当y＝0时，0＝－5x2＋20x，解得x1＝0，x2＝4.4－0＝4(s)，答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s.
(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
解：y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20，∴当x＝2时，y取得最大值，y最大＝20.答：在飞行过程中，小球飞行高度第2 s时最大，最大高度是20 m.
22.3 实际问题与二次函数第3课时 用二次函数求实际中“抛物线”型的最值问题
平面直角坐标系；坐标原点；y轴
1．在解决形状是抛物线(抛物线形状的拱桥、物体的运动路线等)的实际问题时，通常需要建立适当的________________．为方便解决问题，通常以抛物线的顶点为____________，以抛物线的对称轴为________建立平面直角坐标系．
2．如图，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25 m，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的水平距离为1 m处达到距离地面最大高度2.25 m，试建立适当的平面直角坐标系并求出与该抛物线形水流对应的二次函数解析式．(1)以抛物线形水流顶点为坐标原点建立平面直角坐标系的函数解析式为____________；
(2)从抛物线形水流顶点向地面作垂线，得到垂足，以该垂足为坐标原点建立平面直角坐标系的函数解析式为________________；
(3)以点A为坐标原点建立平面直角坐标系的函数解析式为______________________________________．
y＝－(x－1)2＋2.25(或y＝－x2＋2x＋1.25)
*3.(2020·绵阳)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同(如图)．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米．若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )
5．(2020·山西)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( )A．23.5 m B．22.5 mC．21.5 m D．20.5 m
6．(中考·临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m.其中正确结论的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4
*7.(中考·巴中)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )
(1)求该抛物线对应的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；
解：令y＝0，即－x2＋2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.∴10÷2＝5(个)．∴最多可以连续绘制5个这样的“抛物线”形图案．
(2)若该墙的长度为10 m，则最多可以连续绘制几个这样的“抛物线”形图案？
9．(2020·绍兴)如图①，排球场长为18 m，宽为9 m，网高为2.24 m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9 m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88 m，即BA＝2.88 m，这时水平距离OB＝7 m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图②所示．
(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．
解：如图，过点P作底线的平行线PQ，过点O作边线的平行线OQ，两线交于点Q，连接PO.易知∠PQO＝90°.在Rt△OPQ中，OQ＝18－1＝17(m)．
10．(2020·台州)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观如图①.科学原理：如图②，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位：cm)，如果在离水面竖直距离为h(单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位：cm)与h的关系为s2＝4h(H－h)．
应用思考：现用高度为20 cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔．(1)写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b(单位：cm)，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式．
解：要使两孔射出水的射程相同，则有4a(20－a)＝4b(20－b)，∴20a－a2＝20b－b2，即(a－b)(a＋b－20)＝0.∴a－b＝0或a＋b－20＝0.∴a＝b或a＋b＝20.
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