专题06二次函数的简单应用（教师版含解析）-2022年初升高数学衔接讲义（第1套）

专题06二次函数的简单应用

二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征(开口方向、顶点坐标、对称轴、最值)等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.

高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.

问题1  在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．

在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．

【典型例题】

如图，抛物线经过两点，顶点为D．

 求a和b的值；

将抛物线沿y轴方向上下平移，使顶点D落在x轴上．

求平移后所得图象的函数解析式；

若将平移后的抛物线，再沿x轴方向左右平移得到新抛物线，若时，新抛物线对应的函数有最小值2，求平移的方向和单位长度．

【变式训练】

已知抛物线，把它向上平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若是直角三角形，那么原抛物线应向上平移几个单位？

【能力提升】

已知抛物线y＝x(x﹣2)+2．

(1)用配方法把这个抛物线的表达式化成y＝a(x+m)2+k的形式，并写出它的项点坐标；

(2)将抛物线y＝x(x﹣2)+2上下平移，使顶点移到x轴上，求新抛物线的表达式．

【典型例题】

如图，抛物线y=ax²-2x+c(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A，B，C三点，已知点(-2,0)，C(0,-8)，点D是抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)如图，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EB直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；

【变式训练】

已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,-2),且与y轴交于(0,).

(1)求函数的解析式;

(2)若点(p,m)和点(q,n)都在该抛物线上,若p>q>5,判断m和n的大小.

【能力提升】

已知抛物线经过点(1，-2)．

(1)求的值；

(2)若点A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．

【典型例题】

函数，则的值是___．

【变式训练】

已知函数，若，则_________．

【能力提升】

函数__________．

1．如图，菱形的对角线与相交于点，，，点在上运动．过点作交于，交于点，将沿翻折得到，若，与重叠部分的面积为，下列图象能正确反映与的函数关系的是(    )

A． B．

C． D．

2．如图，在中，是边上的中线，将沿射线方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为，设与重叠部分的面积为，平移运动的时间为，当点与点重合时，停止运动，则下列图象能反映与之间函数关系的是(    )

A． B．

C． D．

3．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=10，一个三角形的直角顶点E是边AB上的一动点，一直角边过点D，另一直角边与BC交于F，若AE=x，BF=y，则y关于x的函数关系的图象大致为(　　)

​​​​​​​

A． B．

C． D．

4．一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高是，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是(    )

A． B． C． D．

5．如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是( )

A． B．

C． D．

6．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为(　　)m．

A．3 B．6 C．8 D．9

7．已知二次函数的图象与轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，顶点C，点C关于轴的对称点为D点，若四边形为正方形，则的值为(    )

A． B． C． D．

8．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为(　　)

A．米 B．8米 C．10米 D．2米

9．已知中，，正方形中，和在同一直线上，将向右平移，则和正方形重叠部分的面积y与点B移动的距离x之间的函数图象大致是(    )

A． B． C． D．

10．如图，正方形的边长为a，点E在边上运动(不与点A，B重合)，，点F在射线上，且，与相交于点G，连接、、、则下列结论：

①；②的周长为；③；④的面积的最大值是；⑤当时，G是线段的中点．其中正确结论的个数是(　　)

A．2 B．3 C．4 D．5

11．飞机着陆后滑行的距离(单位：)关于滑行的时间(单位：)的函数解析式是，飞机着陆后滑行______米才能停下来．

12．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围城一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若a=30米，则矩形菜园ABCD面积的最大值为__________．

13．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于 A、B两点，P是以点C(0，3)为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是_____．

14．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于____________．

15．如图，将矩形置于平面直角坐标系中，点О是坐标原点，点A的坐标是，点C在x轴上，点在边BC上，将沿AD折叠，得到，若抛物线(且a为常数)的顶点落在的内部(不含边界)，则a的取值范围是__________．

16．如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y＝x2(x＞0)上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有____个．

17．某游乐园有一圆形喷水池(如图)，中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动1.5米至点B(其余条件均不变)，若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M的距离增加了_____米．

18．如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A(-2，0)点B(1，0)，抛物线y=x2-4x+m与正方形有两个交点时，则m的取值范围是_______．

19．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度(单位：m)与水平距离(单位：m)之间的关系是．则他将铅球推出的距离是__________m．

20．竖直上抛物体时，物休离地而的高度与运运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时高地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为___m．

21．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度(单位：)与飞行时间(单位：)之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题：

(1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？

(2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？

22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，动点和点在轴上方抛物线上，点在点的右侧，轴．分别过点，点作轴于点，轴于点．

(1)求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的顶点的坐标；

(2)设点的横坐标为，四边形的周长为，求的最大值；

(3)在(2)的条件下，连接，，、点在轴下方抛物线上，点到的距离记为，点到的距离记为，当，

①直接写出点的坐标；

②将沿射线平移，平移后的三角形记为，在平移过程中，当三边所在直线最后一次经过点时，直接写出平移的距离．

23．天府新区某商场开业后要经营一种新上市的文具进价为10元/件．试营销阶段发现：当销售单价是13元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设该商场销售这种文具每天的销售量为y件，销售单价为x元/件．

(1)写出y与x之间的函数关系式；

(2)设商场每天的销售利润为w(元)，若每天销售量不少于150件，求商场每天的最大利润．

24．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．已知点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，连接．

(1)求这个抛物线的表达式．

(2)点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值．

(3)①点在平面内，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点的坐标；

②在①的条件下，点在抛物线对称轴上，当时，求出满足条件的所有点的坐标．

25．某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量(万件)与售价(元/件)的函数关系式为

(1)当售价为60元/件时，年销售量为________万件；

(2)当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？

(3)若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出的取值范围．

26．某商场销售每件进货价为40元的一种商品，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量(件)与每件的售价(元)满足一次函数关系．

(1)商场每月想从这种商品销售中获利36000元，该如何给这种商品定价？

(2)市场监管局规定，该商品的每件售价不得高于60元，请问售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

27．某书店销售一本畅销的小说，每本进价为20元．根据以往经验，当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本．

(1)请求出书店销售该小说每天的销售量y(本)与销售单价x元)之间的函数关系式；

(2)书店决定每销售1本该小说，就捐赠2元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则每本该小说售价为多少元？最大利润是多少？

28．某蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1日起的50天内，第天上市的该种蔬菜每千克的市场售价为元，是关于的一次函数，其中部分对应数据如下表；第天上市的该种蔬菜每千克的种植成本为元，与满足关系．

(1)求市场售价关于的函数表达式，并写出的取值范围；

(2)若市场售价减去种植成本为利润，自5月1日起的50天内，第几天上市的该种蔬菜每千克的利润最大，最大利润是多少？

29．某地区在2020年开展脱贫攻坚的工作中大力种植有机蔬菜．某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图(1)所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图(2)所示(其中图(1)的图象是直线，图(2)的图象是抛物线)．

(1)求每千克蔬菜销售单价与销售月份之间的关系式；

(2)判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求出最大收益；

(3)求出一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？

30．今年甲、乙两个果园的红心猕猴桃喜获丰收，已知甲果园的总产量为27吨，乙果园的总产量13吨，某果业公司租用、两种型号的保鲜货车去果园运输猕猴桃，甲果园需要型保鲜货车满载猕猴桃运输6趟，同时需要型保鲜货车满载猕猴桃运输5趟才能刚好运输完：乙果园需型保鲜货车满载猕猴桃运输2趟，同时需要型保鲜货车满载猕猴桃运输3趟刚好运输完．

(1)求、两种保鲜货车满载猕猴桃运输一趟分别是多少吨？

(2)果业公司收购该批猕猴桃的单价为0.8万元/吨，目前公司可以0.9万元/吨的价格售出，如果保鲜冷藏储存起来，旺市再销售以便获取最大利润，由于失水和腐烂，水果重量每天减少0.5吨，且每天需支付各种费用0.08万元/吨，而每天的价格会持续上涨0.1万元/吨、如果公司计划把该批猕猴桃最多保鲜冷藏储存20天，那么储存多少天后出售这批猕猴桃所获得的利润最大？最大利润是多少万元？