专题18 集合的基本运算（补集与集合的综合应该运算）（教师版含解析）-2022年初升高数学衔接讲义（第1套）

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专题18 集合的基本运算(补集与集合的综合应该运算)
学习目标

1.在具体情境中，了解全集的含义
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.
3.体会图形对理解抽象概念的作用
知识精讲


高中必备知识点1：全集

文字
语言
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集


高中必备知识点2：补集

文字语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA
符号语言
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
图形语言

[知识点拨]　(1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．
(2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示．


典例剖析


高中必会题型1：补集的运算

1．设全集，，，求的值
【答案】或.
因为，所以，，解得或，
当时，，，满足，符合题意；
当时，，，满足，符合题意；
所以或.
2．已知全集，如果，则这样的实数 是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由.
【答案】存在，是或.
∵，∴ 且，即，解得，
当时，，是中的元素，不符合题意；当时，；当时，.∴这样的实数存在，是或.
3．已知全集，，，且，，，求集合，．
【答案】，
因为，所以且，
因为，所以且，
因为，所以，
因此有，.
4．设集合，.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值集合.
【答案】(1)；(2).
(1)由得：，解得：；
(2)①若，解得：或，
当时，，满足题意，
当时，，满足题意，
②若，解得：或，
当时，，，满足题意，
当时，，，满足题意，
综上所述，实数的取值集合为：.
5．已知集合，集合，．
(1)若，求实数m的值；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)2；(2)，或．
(1)因为，
所以，所以，所以；
(2)，或，由已知可得，所以或，所以或，
故实数m的取值范围为，或．

高中必会题型2：集合的交并、补集的综合运算

1．已知U={x∈R|1 (1)A∪B；
(2)(UA)∪(UB).
【答案】(1)A∪B={x|2≤x≤7}；(2)(UA)∪(UB)={x|1 (1)因为A={x|2≤x<5}，B={x|3≤x≤7}，
所以A∪B={x|2≤x≤7}.
(2)因为U={x|1 所以UA={x|1 所以(UA)∪(UB)={x|1 2．已知集合，或，．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)求．
【答案】(1)(2)
(1)因为，或，
所以
(2)由或，知，
所以.
3．已知全集.集合,.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)；(2)
解：(1)因为全集.集合,.
所以
(2)因为，所以，所以
4．已知全集，集合，集合，
(1)求，；
(2)求，.
【答案】(1)；(2)，.
(1)因为，，，
所以，；
(2)因为，，，
所以，，
所以.
5．已知全集，集合．
(Ⅰ)求和；
(Ⅱ)求．
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)或
(Ⅰ),，
,
(Ⅱ)，，
或

高中必会题型3：与补集有关的求参数问题

1．已知集合U={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A={﹣1，0，1}，B={1，2}，则∁U(A∪B)=___________.
【答案】{﹣2，3}
解：∵U={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A={﹣1，0，1}，B={1，2}，
∴A∪B={﹣1，0，1，2}，∁U(A∪B)={﹣2，3}.
故答案为：{﹣2，3}.
2．已知集合，，则＝_____．
【答案】
∵，，
∴，∴．
故答案为：．
3．已知集合，，，则______．
【答案】
由题意，而，所以．
故答案为：.
4．已知全集，，，则=_______
【答案】.
因为全集， ，
所以，
又因为，
所以，
故答案为：.
5．已知全集，定义，若，，则___________.
【答案】
由题意可知，，
所以.
故答案为：
对点精练

1．设集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5}，全集U=A∪B，则集合U(A∩B)=( )
A．{1，2，3，5} B．{1，2，3}
C．{1，2，5} D．{1，2，3，4，5}
【答案】C
因为A={1，2，3，4}，B={3，4，5}，
所以全集U=A∪B={1，2，3，4，5}，A∩B={3，4}，
所以U(A∩B)={1，2，5}.
故选：C.
2．已知集合M＝{x∈R|x2﹣2x＝0}，U＝{2，1，0}，则(　　)
A．{0} B．{1，2} C．{1} D．{1，0，2}
【答案】C
解：集合M＝{x∈R|x2﹣2x＝0}＝{0，2}，U＝{2，1，0}，
则．
故选：C．
3．设全集，集合，，则等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
由题得，
，
.
故选：A
4．已知全集为实数集，集合，，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
,
或，
.
故选：C.
5．已知全集，集合，，则( ).
A． B． C． D．
【答案】C
,
,
.
故选：C.
6．设U=R，N={x|2 A．1 C．1 【答案】D
因为UN是UM的真子集，所以M是N的真子集，
所以a1≥2且a+1≤2，等号不同时成立，解得1≤a≤1.
故选：D
7．已知，若，则实数的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
因为，
所以或，
因为，所以.
故实数的取值范围为
故选：C
8．设全集，已知集合或，集合，若，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】C
因为全集，集合或，
所以，
又因为，
.
故选：C
9．已知集合，，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
集合或，
集合或，
则ð，ð或
故选：A.
10．设U是全集，是U的三个子集，则阴影部分所示的集合为( )

A． B．
C． D．
【答案】B
由图象可知：阴影部分对应的集合的元素x∉S，∴x∈，且x∈M∩P，因此x∈()∩(M∩P)．
故选：B．
11．已知全集U=R,集合M={x|-1≤x≤3},则∁UM=(　　)
A．{x|-1 C．{x|x<-1或x>3} D．{x|x≤-1或x≥3}
【答案】C
由题意，全集，集合，所以或，
故选C.
12．设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若(∁R M)⊇(∁R N)，则k的取值范围是(　　)
A．k≤2 B．k≥－1
C．k>－1 D．k≥2
【答案】D
【解析】
由 可知 ，则 的取值范围为.故选D.
13．已知集合U＝R，A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x﹣a＜0}，若满足，则实数a的取值范围为__.
【答案】a≤﹣1
求出∁UA，再利用集合的包含关系即可求解.
因为A＝{x|﹣1≤x≤1}，所以∁UA＝{x|x＞1或x＜﹣1}，
B＝{x|x﹣a＜0}＝{x|x＜a}
若B⊆∁UA，则a≤﹣1.
故答案为：a≤﹣1.
14．设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩∁UN＝{2，4}，则N＝________．
【答案】
【解析】
M∪N 元素去掉M∩∁UN 元素得N＝{1，3，5}
15．设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∩B)＝________.
【答案】{1，4，5}
因为集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}
所以A∩B＝{2，3}，
所以∁U(A∩B)＝{1，4，5}．
故答案为{1，4，5}.
16．已知全集为R，集合M＝{x∈R|−2＜x＜2}，P＝{x|x≥a}，并且，则实数a的取值范围是________．
【答案】a≥2
【解析】
由题意得M＝{x|−2＜x＜2}，＝{x|x＜a}．∵M⊆，∴由数轴知a≥2.

17．已知集合U={x∈Z|-2 【答案】A∩B={1，4，8}，U(A∪B)={2，5，7，9}，A∩(UB)={0，3}，B∪(UA)={-1，1，2，4，5，6，7，8，9}.
集合U={x∈Z|-2 所以A∩B={1，4，8}，A∪B={-1，0，1，3，4，6，8}，
所以U(A∪B)={2，5，7，9}，
又UB={0，2，3，5，7，9}，
UA={-1，2，5，6，7，9}，
所以A∩(UB)={0，3}，
B∪(UA)={-1，1，2，4，5，6，7，8，9}.
18．已知全集，集合，，.
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)或，(2)
解：(1)因为全集，，所以或，
因为
所以或，
(2)因为，，
所以，
当集合时，成立，则，解得，
当集合时，则
，解得，
综上，的取值范围
19．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1 求：
(1)A∩B；
(2)∁U(A∪B)；
(3)A∩(∁UB).
【答案】(1)；(2)或；(3).
(1)因为A＝{x|－1 所以A∩B＝{x|－1 ＝{x|0 (2)A∪B＝{x|－1 ＝{x|－1 ∁U(A∪B)＝{x|x≤－1或x>3}.
(3)A∩(∁UB)＝{x|－13或x≤0}
＝{x|－1 20．已知集合A={x|x2-x-2=0}，B={x|x2+mx+m-1=0}.
(1)当m=1时，求(∁RB)∩A;
(2)若(∁RA)∩B=⌀，求实数m的取值.
【答案】(1)(∁RB)∩A={2}；(2)m的取值为2或-1.
解方程x2-x-2=0，即(x+1)(x-2)=0，解得x=-1，或x=2.故A={-1，2}.
(1)当m=1时，方程x2+mx+m-1=0为x2+x=0，解得x=-1，或x=0.
故B={-1，0}，∁RB={x|x≠-1，且x≠0}.
所以(∁RB)∩A={2}.
(2)由(∁RA)∩B=⌀可知，B⊆A.
方程x2+mx+m-1=0的判别式Δ=m2-4×1×(m-1)=(m-2)2≥0.
①当Δ=0，即m=2时，方程x2+mx+m-1=0为x2+2x+1=0，解得x=-1，故B={-1}.
此时满足B⊆A.
②当Δ>0，即m≠2时，方程x2+mx+m-1=0有两个不同的解，故集合B中有两个元素.
又因为B⊆A，且A={-1，2}，所以A=B.
故-1，2为方程x2+mx+m-1=0的两个解，
由根与系数之间的关系可得
解得m=-1.综上，m的取值为2或-1.
21．全集，对集合A、B定义，定义.若集合，求.
【答案】或
解：因为，
所以或，或，
所以，
，
所以或
22．已知集合或，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)当取使不等式恒成立的的最小值时，求.
【答案】(1)或；(2).
(1)或，，
，，
若，则，解得或，
所以的取值范围为或；
(2)由得恒成立，
则，解得，所以的最小值为，
当时，或
，