2022年山东省威海市中考数学试卷（含解析）

2022年山东省威海市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图所示的几何体是由五个大小相同的小正方体搭成的．其俯视图是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 一个不透明的袋子中装有个红球、个白球和个黄球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出个球，摸到红球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 图是光的反射规律示意图．其中，是入射光线，是反射光线，法线，是入射角，是反射角，图中，光线自点射入，经镜面反射后经过的点是(    )

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

6. 如图，在方格纸中，点，，的坐标分别记为，，若，则点的坐标可能是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 试卷上一个正确的式子被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，二次函数的图象过点，下列结论错误的是(    )

A.
B.
C. 是关于的方程的一个根
D. 点，在二次函数的图象上，当时，
 

9. 过直线外一点作直线的垂线下列尺规作图错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 由个有公共顶点的直角三角形拼成如图所示的图形，若，则图中与位似的三角形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 因式分解： ______ ．
12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
13. 某小组名学生的平均身高为，规定超过的部分记为正数，不足的部分记为负数，他们的身高与平均身高的差值情况记录如下表：

据此判断，号学生的身高为______．

14. 按照如图所示的程序计算，若输出的值是，则输入的值是______．

15. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为若反比例函数的图象经过点，则的值为______．

16. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图，将个数填在三行三列的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
    ．
18. 小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立，两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点测得，，请你依据所测数据求出这段河流的宽度结果精确到．
    参考数据：，，，，，．

19. 某学校开展“家国情诵经典”读书活动．为了解学生的参与程度，从全校学生中随机抽取人进行问卷调查，获取了他们每人平均每天阅读时间的数据分钟．
    将收集的数据分为，，，，五个等级，绘制成如下统计图表尚不完整：
    平均每天阅读时间统计表

请根据图表中的信息，解答下列问题：
求的值；
这组数据的中位数所在的等级是______；
学校拟将平均每天阅读时间不低于分钟的学生评为“阅读达人”予以表扬．若全校学生以人计算，估计受表扬的学生人数．

20. 如图，四边形是的内接四边形，连接，，延长至点．
    若，求证：；
    若，的半径为，求．

21. 某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长，木栅栏长，在与墙垂直的一边留出宽的出入口另选材料建出入门求鸡场面积的最大值．

22. 将两张长为，宽为的矩形纸片如图叠放．
    判断四边形的形状，并说明理由；
    求四边形的面积．
    如图，在矩形和矩形中，，，，求四边形的面积．

23. 探索发现
    在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为点，连接．
    如图，直线交直线于点，连接求证：；
    如图，点为抛物线上一点，过点作轴，垂足为点直线交直线于点，连接求证：；
    归纳概括
    通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照写出你的猜想，并在图上画出草图．
    在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，顶点为点点为该抛物线上一动点不与点，，重合，______．

24. 回顾：用数学的思维思考
    如图，在中，．
    ，是的角平分线．求证：．
    点，分别是边，的中点，连接，求证：．
    从两题中选择一题加以证明
    猜想：用数学的眼光观察
    经过做题反思，小明同学认为：在中，，为边上一动点不与点，重合对于点在边上的任意位置，在另一边上总能找到一个与其对应的点，使得进而提出问题：若点，分别运动到边，的延长线上，与还相等吗？请解决下面的问题：
    如图，在中，，点，分别在边，的延长线上，请添加一个条件不再添加新的字母，使得，并证明．
    探究：用数学的语言表达
    如图，在中，，，为边上任意一点不与点，重合，为边延长线上一点．判断与能否相等．若能，求的取值范围；若不能，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义直接求得结果．
本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形，
故选：．
根据三视图的定义解答即可．
本题主要考查了三视图，熟练掌握从上面看到的图形是俯视图是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：一个不透明的袋子中装有个红球、个白球和个黄球，
从中任意摸出个球，一共有种可能性，其中摸到红球的可能性有种，
从中任意摸出个球，摸到红球的概率是，
故选：．
根据题意可知，从中任意摸出个球，一共有种可能性，其中摸到红球的可能性有种，从而可以计算出相应的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D符合题意；
故选：．
利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方的法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，掌握同底数幂的乘法法则，幂的乘方的法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据直线的性质补全图并作出法线，如下图所示：

根据图形可以看出是反射光线，
故选：．
根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据入射角等于反射角作出判断即可．
本题主要考查直线的性质，垂线的画法，根据直线的性质补全光线是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如下图所示，
，，
，
．
故选：．
由平移得到，横坐标加，纵坐标加；因此要平移得到点，也是横坐标加，纵坐标加，得到点的坐标为．
本题主要考查用坐标来表示平移．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
被墨水遮住部分的代数式是


；
故选：．
根据已知分式得出被墨水遮住部分的代数式是，再根据分式的运算法则进行计算即可；
本题考查了分式的化简，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据图象知，当时，，
故B选项结论正确，不符合题意，
，
，
故A选项结论正确，不符合题意，
根据图象可知是关于的方程的一个根，
故C选项结论正确，不符合题意，
若点，在二次函数的图象上，
当时，，
故D选项结论不正确，符合题意，
故选：．
根据二次函数的图象和性质作出判断即可．
本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：选项A，连接，，，，

，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
，故此选项不符合题意；
选项B，连接，，，，

，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
，故此选项不符合题意；
选项C，无法证明，故此选项符合题意；
选项D，连接，，，，

，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
，故此选项不符合题意；
故选：．
根据作图痕迹结合线段垂直平分线的判定和性质进行分析判断．
本题考查尺规作图，准确识图，掌握线段垂直平分线的判定和性质是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
，
同理，，
，

，
由位似图形的概念可知，与位似，且位似比为，
，
，
故选：．
根据余弦的定义得到，进而得到，根据位似图形的概念得到与位似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质、余弦的定义，正确判断出与位似的三角形是是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可得到答案．
本题考查的是因式分解的知识，掌握因式分解的方法：提公因式、乘法公式、十字相乘法和分组分解法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，代入求解即可．
本题考查一元二次方程根的判别式，牢记：根的判别式为，若一元二次方程有两个不相等的实数根，则；若有两个相等的实数根，则，；若无实数根，则．
 

13.【答案】 

【解析】解：名学生的平均身高为，
，
解得，
故号学生的身高为．
故答案为：．
根据平均数的定义解答即可．
本题考查了算术平均数，掌握平均数的计算公式是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：当时，，
解得．
当时，，
解得，
，舍去．
所以．
故答案为：．
不知的正负，因此需要分类讨论，分别求解．
本题中的字母表示的数没有明确告知正负数时，需要分类讨论，再代入解方程，注意：解必须在条件下才成立．
 

15.【答案】 

【解析】解：作于，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
点的坐标为，点的坐标为．
，，
，，
，
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
作于，利用证明≌，得，，可得点的坐标，从而得出的值．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标的特征等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设右下角方格内的数为，
根据题意可知：，
解得，
．
故答案为：．
直接利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等得出的值，再根据如何一个不等于的数的次幂都等于，即可得出答案．
此题主要考查了有理数的乘方，推理与论证，有理数的加法，正确得出的值是解题关键．
 

17.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
在同一条数轴上表示不等式的解集，如图所示，

原不等式组的解集为． 

【解析】根据解一元一次不等式组的一般步骤，进行计算即可．
本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：过点作，垂足为，

设米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
，
，
，
这段河流的宽度约为米． 

【解析】过点作，垂足为，设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，然后根据米，列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：由题意得；
把个学生平均每天阅读时间从小到大排列，排在中间的两个数均落在等级，
故答案为：；
被抽查的人中，不低于分钟的学生有人，
人，
答：估计受表扬的学生有人．
用乘等级所占百分比即可得出的值；
根据中位数的定义解答即可；
利用样本估计总体即可．
本题考查频数分布表，扇形统计图，解题的关键是掌握“频率频数总数”．
 

20.【答案】证明：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
；
解：连接并延长交于点，连接，

则，
在中，，，
，
，
． 

【解析】根据圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质即可求证；
连接并延长交于点，连接，根据圆周角定理得出，，解直角三角形即可得解．
此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，由题意可得：
，
即，
，
当时，有最大值为，
当时，符合题意，
鸡场的最大面积为． 

【解析】设与墙垂直的一边长为，然后根据矩形面积列函数关系式，从而利用二次函数的性质求其最值．
本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的性质是解题关键．
 

22.【答案】解：四边形是菱形，理由如下：
四边形和四边形是矩形，
，，，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是菱形；
由可知，，
设，则，
在中，，
由勾股定理得：，
解得：，
，
；
设，则，
四边形和四边形是矩形，
，，，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
即，
解得：，
在中，由勾股定理得：，
解得：或不合题意舍去，
，
．
设，则，
四边形和四边形是矩形，
，，，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
即，
解得：，
在中，由勾股定理得：，
解得：或不合题意舍去，
，
． 

【解析】由矩形的性质得，，，则四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质得，即可得出结论；
设，则，在中，由勾股定理得出方程，解得，即可解决问题；
设，则，证四边形是平行四边形，再证∽，得，然后由勾股定理得出方程，得，即可解决问题．
本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】作轴于，直线交直线于，则 

【解析】解：由题意得，
，
，
，
，，
设直线的解析式为：，
，
，
，
当时，，
，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为，
，
，
，
；
设直线的解析式为：，
，
，
，
当时，，
，
设直线的解析式为：，
，
，
，
；
作轴于，直线交直线于，则，理由如下：
设，
设直线的解析式为，
，
，
，
当时，，
，
设直线的解析式为：，
，
，
，
．
将点和点的坐标代入抛物线的解析式，从而求得，的值，从而得出抛物线的解析式，从而得出点和点坐标，进而求得点坐标和的解析式，再求出的解析式，从而得出结论；
方法求得的解析式，进而得出结论；
作轴于，直线交直线于，则，方法同相同可推出结论．
本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数解析式，一次函数图象性质等知识，解决问题的关键是需要有较强的计算能力．
 

24.【答案】证明：，
，
是的角平分线，
，
同理，
，
在和中，
，
≌，
；

，
，
是的中点，
，
同理，
，
在和中，
，
≌，
；

解：添加条件：答案不唯一．
理由：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；

能．
理由：如图中，值上取一点，使得

若，则，反之也成立．
，
，
显然越大，就越大，也越大，
假设，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
设，
，
，，
，
解得或，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
，
与不重合，
． 

【解析】证明≌，推出即可；
证明≌，推出即可；
添加条件：答案不唯一利用全等三角形的性质证明即可；
能．设，假设，利用相似三角形的性质求出的值，即可判断．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．