高考数学一轮复习考点规范练30等比数列及其前n项和含解析新人教A版文

考点规范练30　等比数列及其前n项和

基础巩固

1.已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=(　　)

A.2 B.1 C. D.

答案:C

解析:∵a3a5=4(a4-1),∴=4(a4-1),解得a4=2.

又a4=a1q3,且a1=,∴q=2.∴a2=a1q=.

2.在正项等比数列{an}中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为(　　)

A. B.9 C.±9 D.35

答案:B

解析:∵a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,

∴a2·a48=3.

又a1·a49=a2·a48==3,a25>0,

∴a1·a2·a25·a48·a49==9.故选B.

3.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起 ,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(　　)

A.f B.f C.f D.f

答案:D

解析:由题意知,这十三个单音的频率构成首项为f,公比为的等比数列,

则第八个单音的频率为()7f=f.

4.(2020全国Ⅰ,文10)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=(　　)

A.12 B.24

C.30 D.32

答案:D

解析:设等比数列{an}的公比为q,因为a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以q(a1+a2+a3)=2,解得q=2.所以a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32.

5.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=(　　)

A.n(n+1) B.n(n-1)

C. D.

答案:A

解析:∵a2,a4,a8成等比数列,

∴=a2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.

∴Sn=na1+d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).

故选A.

6.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=　　　　　.

答案:

解析:设等比数列{an}的公比为q.

S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=,

即q2+q+=0.解得q=-.

故S4=.

7.设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=　　　　　,S5=　　　　　. 

答案:1　121

解析:由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,

所以a1=1,a2=3.

再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2),

得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2).

又因为a2=3a1,

所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列.

所以S5==121.

8.已知数列{an}是等差数列,a2,a4,a8成等比数列,则该等比数列的公比为　　　　　. 

答案:1或2

解析:设{an}的公差为d.

∵a2,a4,a8成等比数列,∴=a2a8,

∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),

即d2=a1d,∴d=0或d=a1.

当d=0时,a2=a4,公比为1;

当d=a1时,a2=2d,a4=4d,公比为2.

故等比数列的公比为1或2.

9.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=.

(1)求b1,b2,b3;

(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;

(3)求{an}的通项公式.

解:(1)由条件可得an+1=an.

将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.

将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.

从而b1=1,b2=2,b3=4.

(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.

由条件可得,即bn+1=2bn,又b1=1,

所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.

(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1.

10.已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求{bn}的前n项和.

解:(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.

所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.

(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=,

因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列.

记{bn}的前n项和为Sn,

则Sn=.

11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4(a3+1),3a3=5a4,数列{bn}是等比数列,且b1b2=b3,2b1=a5.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.

解:(1)设等差数列{an}的公差为d.

∵S4=4(a3+1),3a3=5a4,

∴解得

∴an=11-2n.

设数列{bn}的公比为q.

∵b1b2=b3,2b1=a5,∴解得

∴bn=.

(2)由(1)知,Sn=10n-n2.

由an=11-2n≤0可知n≥5.5,

即a1>0,a2>0,…,a5>0,a6<0,a7<0,…,an<0.

故当n≤5时,Tn=Sn=10n-n2;

当n≥6时,Tn=2S5-Sn=n2-10n+50.

于是Tn=

能力提升

12.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

答案:D

解析:∵a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,∴a+b=p,ab=q.

∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.

又a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,

∴①或②.

解①得解②得

∴p=a+b=5,q=1×4=4.∴p+q=9.故选D.

13.如图,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形的腰上再连接正方形,……如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某“勾股树”含有1 023个正方形,且其最大的正方形的边长为,则其最小的正方形的边长为　　　　　. 

答案:

解析:由题意,得各正方形的边长构成以为首项,为公比的等比数列.已知共得到1023个正方形,则1+2+…+2n-1=1023,解得n=10,故最小的正方形的边长为.

14.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为　　　　　. 

答案:64

解析:设{an}的公比为q.

由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,

两式相除得,解得q=,a1=8,

所以a1a2…an=8n·,

抛物线f(n)=-n2+n的对称轴为n=-=3.5,

又n∈N*,所以当n=3或n=4时,a1a2…an取最大值为=26=64.

15.已知等比数列{an}与等差数列{bn},a1=b1=1,a1≠a2,a1,a2,b3成等差数列,b1,a2,b4成等比数列.

(1)求{an},{bn}的通项公式;

(2)设Sn,Tn分别是数列{an},{bn}的前n项和,若Sn+Tn>100,求n的最小值.

解:(1)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,

则解得(舍)或

故an=2n-1,bn=n.

(2)由(1)易知Sn==2n-1,Tn=.

由Sn+Tn>100,得2n+>101.

∵是单调递增数列,且26+=85<101,27+=156>101,∴n的最小值为7.

高考预测

16.已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).

(1)求证:{an+1+2an}是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

答案:(1)证明∵an+1=an+6an-1(n≥2),

∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2).

又a1=5,a2=5,∴a2+2a1=15,

∴an+2an-1≠0(n≥2),∴=3(n≥2),

∴数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列.

(2)解由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,

则an+1=-2an+5×3n,∴an+1-3n+1=-2(an-3n).

又a1-3=2,∴an-3n≠0,

∴{an-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.

∴an-3n=2×(-2)n-1,

即an=2×(-2)n-1+3n=3n-(-2)n.