2022年天津市中考数学试卷（含解析）

2022年天津市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 计算的结果等于

A.  B.  C.  D.

2. 的值等于

A.  B.  C.  D.

3. 将用科学记数法表示应为

A.  B.  C.  D.

4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是

A.
B.
C.
D.

6. 估计的值在

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

9. 方程的两个根为

A. ， B. ，
C. ， D. ，

10. 如图，的顶点，顶点，分别在第一、四象限，且轴，若，，则点的坐标是

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则下列结论一定正确的是

A.
B.
C.
D.
 

12. 已知抛物线是常数，经过点，有下列结论：
    ；
    当时，随的增大而增大；
    关于的方程有两个不相等的实数根．
    其中，正确结论的个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 计算的结果等于______．
14. 计算的结果等于______．
15. 不透明袋子中装有个球，其中有个绿球、个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率是______．
16. 若一次函数是常数的图象经过第一、二、三象限，则的值可以是______写出一个即可．
17. 如图，已知菱形的边长为，，为的中点，为的中点，与相交于点，则的长等于______．
     

18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，圆上的点，，及的一边上的点，均在格点上．
    Ⅰ线段的长等于______；
    Ⅱ若点，分别在射线，上，满足且请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的不要求证明 ______．

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

19. 解不等式组
    请结合题意填空，完成本题的解答．
    Ⅰ解不等式，得______；
    Ⅱ解不等式，得______；
    Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：
    
    Ⅳ原不等式组的解集为______．
20. 在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图和图．
    
    请根据相关信息，解答下列问题：
    Ⅰ本次接受调查的学生人数为______，图中的值为______；
    Ⅱ求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数．
21. 已知为的直径，，为上一点，连接，．
    Ⅰ如图，若为的中点，求的大小和的长；
    Ⅱ如图，若，为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的长．

22. 如图，某座山的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从地面处测得塔顶的仰角为，测得塔底的仰角为已知通讯塔的高度为，求这座山的高度结果取整数．
    参考数据：，．

23. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
    
    已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓，超市离学生公寓小琪从学生公寓出发，匀速步行了到阅览室；在阅览室停留后，匀速步行了到超市；在超市停留后，匀速骑行了返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离与离开学生公寓的时间之间的对应关系．
    请根据相关信息，解答下列问题：
    Ⅰ填表：

Ⅱ填空：
阅览室到超市的距离为______；
小琪从超市返回学生公寓的速度为______；
当小琪离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为______．
Ⅲ当时，请直接写出关于的函数解析式．

24. 将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上点不与点，重合，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与轴的正半轴相交于点，且，点的对应点落在第一象限．设．
    Ⅰ如图，当时，求的大小和点的坐标；
    Ⅱ如图，若折叠后重合部分为四边形，，分别与边相交于点，，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围；
    Ⅲ若折叠后重合部分的面积为，则的值可以是______请直接写出两个不同的值即可．

25. 已知抛物线是常数，的顶点为，与轴相交于点和点．

Ⅰ若，，
求点的坐标；
直线是常数，与抛物线相交于点，与相交于点，当取得最大值时，求点，的坐标；
Ⅱ若，直线与抛物线相交于点，是轴的正半轴上的动点，是轴的负半轴上的动点，当的最小值为时，求点，的坐标．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：原式
，
故选A．
原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果．
此题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法法则是解本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：的值等于，
故选：．
根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：选项A、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】

【解析】解：从正面看底层是两个正方形，左边是三个正方形，
则立体图形的主视图是中的图形，
故选：．
根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可．
本题考查的是几何体的三视图，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，即在和之间，
故选：．
估算确定出所求数的范围即可．
此题考查了估算无理数的大小，以及算术平方根，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：原式

．
故选：．
按同分母分式的加减法法则计算即可．
本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：点，，都在反比例函数的图象上，
，，．
，
故选：．
根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．
本题考查反比例函数图象点的坐标特征，根据函数解析式求出三个点的横坐标是求解本题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：，
，
或，
，，
故选：．
根据解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：设与轴交于点，
，，，
，
由勾股定理得：，
点的坐标为，
故选：．
根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据坐标与图形性质写出点的坐标．
本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：、，
，
由旋转的性质可知，，
，故本选项结论错误，不符合题意；
B、当为等边三角形时，，除此之外，与不平行，故本选项结论错误，不符合题意；
C、由旋转的性质可知，，，
，，
，
，本选项结论正确，符合题意；
D、只有当点为的中点时，，才有，故本选项结论错误，不符合题意；
故选：．
根据旋转变换的性质、等边三角形的性质、平行线的性质判断即可．
本题考查的是旋转变换、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：抛物线经过点，
，
，
，即，本小题结论正确；
，，
，
对称轴，
当时，随的增大而减小，本小题结论错误；
，
，
对于方程，，
方程有两个不相等的实数根，本小题结论正确；
故选：．
根据抛物线经过点、结合题意判断；根据抛物线的对称性判断；根据一元二次方程根的判别式判断．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：原式

，
故答案为：．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
 

15.【答案】

【解析】解：不透明袋子中装有个球，其中有个绿球、个白球，
从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率是，
故答案为：．
用绿球的个数除以球的总数即可．
此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

16.【答案】

【解析】解：一次函数是常数的图象经过第一、二、三象限，
，
可取，
故答案为：．
根据一次函数的图象可知即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：如图，过点作，交于，过点作，交的延长线于，连接，

四边形是菱形，
，，
，
，
是的中点，，
是的中点，
是的中位线，
，
是的中点，
，
，
，
≌，
，
，
，
中，，
，，
，
是的中点，
是的中位线，
，，
，
中，由勾股定理得：，
．
故答案为：．
如图，过点作，交于，过点作，交的延长线于，连接，先证明是的中位线，得，再证明≌，得，在中计算和的长，再证明是中位线，可得和的长，由勾股定理可得的长，从而得结论．
此题考查的是正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

18.【答案】  连接，与网格线交于点，取格点，连接交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接，延长交于点，则点，即为所求

【解析】解：Ⅰ．
故答案为：；

Ⅱ如图，点，即为所求．

步骤：连接，与网格线交于点，取格点，连接交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接，延长交于点，则点，即为所求．
故答案为：连接，与网格线交于点，取格点，连接交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接，延长交于点，则点，即为所求
Ⅰ利用勾股定理求解即可；
Ⅱ连接，与网格线交于点，取格点，连接交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接，延长交于点，则点，即为所求证明≌，可得结论．
本题考查作图复杂作图，勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】   

【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为，
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：Ⅰ本次接受调查的学生人数为：人，
，即；
故答案为：，；

Ⅱ这组项数数据的平均数是：项；
出现了次，出现的次数最多，
众数是项；
把这些数从小到大排列，中位数是第、个数的平均数，
则中位数是项．
Ⅰ根据项的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，用项的人数除以总人数，即可得出的值；
Ⅱ根据加权平均数的公式可以计算出平均数；根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，中位数：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，即可求出众数与中位数．
本题考查的是条形统计图，平均数，众数，中位数，以及样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，掌握众数、中位数的定义是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

21.【答案】解：Ⅰ为的直径，
，
为的中点，
，
，
；
Ⅱ是的切线，
，
，，
四边形为矩形，
，
在中，，，，
则，
，
，
．

【解析】Ⅰ根据圆周角定理得到，，进而求出，根据余弦的定义求出；
Ⅱ根据切线的性质得到，证明四边形为矩形，根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，根据垂径定理解答即可．
本题考查的切线的性质、垂径定理、矩形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
 

22.【答案】解：设米，
在中，，
米，
米，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
这座山的高度约为米．

【解析】设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】          或

【解析】解：Ⅰ根据题意得：小琪从学生公寓出发，匀速步行了到达离学生公寓的阅览室，
离开学生公寓的时间为，离学生公寓的距离是，
由图象可知：离开学生公寓的时间为，离学生公寓的距离是，
离开学生公寓的时间为，离学生公寓的距离是，
故答案为：，，；
Ⅱ阅览室到超市的距离为，
故答案为：；
小琪从超市返回学生公寓的速度为，
故答案为：；
当小琪从学生公寓出发，离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为；
当小琪从超市出发，离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为，
故答案为：或；
Ⅲ当时，；
当时，；
当时，，
．
Ⅰ观察函数图象即可得答案；
Ⅱ根据阅览室离学生公寓，超市离学生公寓可得答案；
用路程除以时间可得速度；
分两种情况，分别可得小琪离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间；
Ⅲ分段求出函数关系式即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
 

24.【答案】或

【解析】解：Ⅰ如图中，过点作于点．

在中，，
，
由翻折的性质可知，，
，
，，
，
；

Ⅱ如图中，

，
，
，
．
，
，
，
；

Ⅲ如图中，当点与重合时，重叠部分是，过点作于点．

在中，，，
，
，
，
，
观察图象可知当时，重叠部分的面积是定值，
满足条件的的值可以为或答案不唯一．
故答案为：或．
Ⅰ过点作于点解直角三角形求出，即可；
Ⅱ解直角三角形求出，可得结论；
Ⅲ如图中，当点与重合时，重叠部分是，过点作于点判断出当时，重叠部分的面积是定值，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：Ⅰ若，，
则抛物线，
抛物线与轴相交于点，
，解得，
抛物线为，
顶点的坐标为；
当时，，
解得，，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
直线是常数，与抛物线相交于点，与相交于点，
设点，则，
，
当时，取得最大值，
此时，点，则；

Ⅱ抛物线与轴相交于点，
，
又，
，，
抛物线的解析式为．
，
顶点的坐标为，
直线与抛物线相交于点，
点的坐标为，
作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，

得点的坐标为，点的坐标为，
当满足条件的点，落在直线上时，取得最小值，此时，．
延长与直线相交于点，则．
在中，，．
．
解得，舍．
点的坐标为，点的坐标为
直线的解析式为．
点，点

【解析】Ⅰ利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点的坐标；
求出直线的解析式，设点，则，表示出的长，可得关于的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；
Ⅱ由得，，抛物线的解析式为可得顶点的坐标为，点的坐标为，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，得点的坐标为，点的坐标为，当满足条件的点，落在直线上时，取得最小值，此时，延长与直线相交于点，则在中，，由勾股定理可得解得，舍可得点的坐标为，点的坐标为利用待定系数法得直线的解析式为即可得点，的坐标．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，轴对称求最小值问题，勾股定理等，利用待定系数法求出直线解析式是解本题的关键．