初中数学人教版七年级下册第九章 不等式与不等式组综合与测试综合训练题

方程（组）与不等式组的综合应用

一、二元一次方程（组）的应用

对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解题容易，列方程组解应用题有以下几个步骤：

（1）选定几个未知数；

（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；

（3）解方程组，得到方程组的解；

（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解。

二、一元一次不等式（组）的应用

列不等式（组）解应用题的步骤大体与列方程（组）解应用题相同，应紧紧抓住“至多”、“至少”、“不大于”、“不小于”、“不超过”、“大于”、“小于”等关键词。注意分析题目中的不等关系，能准确分析题意，列出不等关系式，然后根据不等式（组）的解法求解。

根据题目所给信息，运用不等式知识建立数学模型，再对可能出现的各种情况进行分类讨论从而获解，这是本节内容的一种常见题型，应注意加强自我练习，以增强对数学知识的应用能力。

三、利用不等式（组）解决方案选择问题

方案选择问题就是根据要求提供或寻求到多种解决问题的方案，并考虑到实施中的经济因素，选择最佳（可行）方案，主要方法为建立方程模型、不等式（组）模型、函数模型、概率模型以解决问题。

建立不等式（组）模型解决方案选择问题，即通过不等式（组）对代数式进行比较，以确定最佳方案，获取最大收益，考查对数学的应用能力，考查的热点是与实际生活密切相关的不等式（组）应用题。

这类问题，首先要认真分析题意，即读懂题目，然后建立数学模型，即用列不等式（组）的方法求解，解决这类问题的关键是正确地设未知数，找出不等关系，从不等式（组）的解集中寻求正确的、符合题意的答案。

例题1  若不等式组的解集是－1＜x＜6，则a＝________，b＝________。

解析：先用含有a、b的代数式表示出不等式组的解集，再根据不等式组的解集是－1＜x＜6，列出关于a、b二元一次方程组，解之即可。

答案：解不等式组，得<x<2a－b，又

∴解得

故答案为4，2。

点拨：已知不等式组的解集求字母（或有关字母代数式）的值，一般先求出已知不等式（组）的解集，再结合给定的解集，得出等量关系或者不等关系。

例题2  “二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输。“益安”车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石。

（1）求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？

（2）随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出。

解析：（1）根据“‘益安’车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石”分别得出等式组成方程组，求出即可；

（2）利用“‘益安’车队需要一次运输沙石165吨以上”得出不等式，求出购买方案即可。

答案：解：（1）设“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有x辆、y辆，

根据题意得：，

解之得：。

∴“益安”车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆；

（2）设载重量为8吨的卡车增加了z辆，则载重量为10吨的卡车增加了辆。

依题意得：8（5＋z）＋10（7＋6－z）＞165，

解之得：z＜

∵z≥0且为整数，

∴z＝0，1，2；

∴6－z＝6，5，4。

∴车队共有3种购车方案：

①载重量为8吨的卡车不购买，10吨的卡车购买6辆；

②载重量为8吨的卡车购买1辆，10吨的卡车购买5辆；

③载重量为8吨的卡车购买2辆，10吨的卡车购买4辆。

点拨：此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，根据已知得出正确的不等式关系是解题关键。

例题3  某绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：

说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等。

（1）求A、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？

（2）某种植户准备租20亩地用来种植A、B两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户所有租地方案。

解析：（1）根据甲、乙两种植户的总收入分别是12500元、16500元，找出两个相等关系，分别得出等式组成方程组，求出即可；

（2）根据“总收入不低于63000元”、“种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积”这两个不等关系，列出不等式组，解之求出种植A（或B）类蔬菜的面积的取值范围；再根据“两类蔬菜的种植面积均为整数”，确定该种植户所有租地方案。

答案：解：（1）设A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元，y元。由题意，得

解得：

答：A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元，3500元。

（2）设用来种植A类蔬菜的面积a亩，则用来种植B类蔬菜的面积为（20－a）亩。由题意，

得解得10＜a≤14。

∵a取整数为：11、12、13、14。

∴租地方案为：

点拨：（1）以图表、信息的形式出现的实际问题，常用方程和不等式的方法解决。解决问题的关键要分析图表、信息，找出相等关系和不等关系，达到求解的目的。

（2）利用不等式组进行方案设计，首先要通过审题设未知数，列出不等式（组）并解不等式（组），然后通过所设未知数的实际意义或具体限制，求出各种方案，进而得到解决问题的最优方案。

近年来，考查“新定义”的题型在各地的中考中屡见不鲜，而这类问题有时就需要建立不等式模型，通过列一元一次不等式（组）来解决。

例题  设A是由2×4个整数组成的2行4列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”。

（1）数表A如表1所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表；（写出一种方法即可）

表1

（2）数表A如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的值。

表2

解析：（1）根据某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”，先改变表1的第4列，再改变第2行即可；

（2）根据每一列所有数之和分别为2，0，－2，0，每一行所有数之和分别为－1，1，然后分别根据如果操作第三列或第一行，每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出答案。

答案：（1）根据题意得：

改变第4列

改变第2行

（2）∵每一列所有数之和分别为2，0，－2，0，每一行所有数之和分别为－1，1，

则：①如果操作第三列，

则第一行之和为2a－1，第二行之和为5－2a，

，

解得：，

又∵a为整数，

∴a＝1或a＝2，

②如果操作第一行，

则每一列之和分别为2－2a，2－2a2，2a－2，2a2，

解得a＝1，

此时2－2a2＝0，2a2＝2，

综上可知：a＝1。

点拨：此题考查了一元一次不等式组的应用，关键是读懂题意，根据题目中的操作要求，列出不等式组，注意a为整数。

（答题时间：45分钟）

一、选择题

1. 不等式组的最小整数解是（     ） 

A. －1      B. 0 　    C. 2       D. 3

2. 地球正面临第六次生物大灭绝，据科学家预测，到2050年，目前的四分之一到一半的物种将会灭绝或濒临灭绝，2012年底，长江江豚数量仅剩约1000头，其数量年平均下降的百分率在13%~15%范围内，由此预测，2013年底剩下江豚的数量可能为（　　）头。

A. 970   B. 860   C. 750   D. 720

3. 在芦山地震抢险时，太平镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够90人，那么预定每组分配的人数是（　　）

A. 10人   B. 11人   C. 12人   D. 13人

4. 关于x，y的方程组的解满足x≤y，则p的取值范围是 （　　）

A. p≥        B. p≤         C. p≥－      D. p≤－

二、填空题

5. 已知x＝3是方程－2＝x－1的解，那么不等式（2－）x＜的解集是      。

6. 对于整数a，b，c，d，定义，已知，则b＋d的值为_________。

7. 一个两位数，它的十位数字比个位数字小2，如果这个数大于20且小于40，那么此数为_______。

8. 若点M（3a－9，1－a）是第三象限的整数点，则M点的坐标为______。

三、解答题

9. 为了保护环境，某造纸厂决定购买20台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格、日处理污水量如下表：

经预算，该造纸厂购买设备的资金不能高于410万元。

（1）该造纸厂有几种购买方案；

（2）若造纸厂每日排出的污水量大于8060吨而小于8172吨，为了节约资金，该厂应选择哪种购买方案?

10. 某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个。已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本。

（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；

（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？

﹡11. 为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元。

今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两种设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过84万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于1300吨污水。

（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？

（2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；

（3）若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用＝设备购买费＋各种维护费和电费）

**12. 某公司欲租赁甲、乙两种设备，用来生产A产品80件、B产品100件。已知甲种设备每天租赁费为400元，每天满负荷可生产A产品12件和B产品10件；乙种设备每天租赁费为300元，每天满负荷可生产A产品7件和B产品10件。

（1）若在租赁期间甲、乙两种设备每天均满负荷生产，则需租赁甲、乙两种设备各多少天恰好完成生产任务？

（2）若甲种设备最多只能租赁5天，乙种设备最多只能租赁7天，该公司为确保完成生产任务，决定租赁这两种设备合计10天（两种设备的租赁天数均为整数），问该公司共有哪几种租赁方案可供选择？所需租赁费最少是多少？

一、选择题

1. A  解析：解不等式组的解集为，其中的最小整数为－1。故选A。

2. B  解析：∵2012年年底，长江江豚数量仅剩约1000头，其数量年平均下降的百分率在13%~15%范围内，∴2013年年底剩下江豚的数量可能为1000×（1－13%）－100×（1－15%），即850~870之间，∴2013年年底剩下江豚的数量可能为860头，故选B。

3. C  解析：设预定每组分配x人，根据题意得：，

解得：11＜x＜12，∵x为整数，∴x＝12。故选C。

4. A  解析：②－①得2（x－y）＝5－2p。∵x≤y，∴5－2p≤0。∴。故选A。

二、填空题

5. x＜  解析：先将x＝3代入方程，可解得a＝－5，再将a＝－5代入不等式，解不等式得出结果。

6. ±3  解析：由定义得，而b，d都是整数，。

7. 24或35  解析：设十位上的数为x，根据“这个数大于20且小于40”，列出不等式组，求出x的取值范围；再根据x为正整数，求出x的值，就可以求出这个两位数。

8. （－3，－1）  解析：根据点M在第三象限列不等式组，求出解集后再根据它的坐标为整数求解。

三、解答题

9. 解：（1）设购买A型设备x台，B型设备（20－x）台。

24x＋20（20－x）≤410。x≤2.5，∴x＝0，1，2。

三种方案：

方案一：A：0台；B：20台；

方案二：A：1台；B：19台；

方案三：A：2台；B：18台。

（2）依题意，得8060＜480x＋400（20－x）＜8172。

0.75＜x＜2.15，x＝1，2。

当x＝1时，购买资金为404万元；当x＝2时，购买资金为408万元。

答：为节约资金，应购买A型设备1台，B型设备19台。

10. 解：（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30－x）个。

由题意，得，

解这个不等式组，得18≤x≤20。

由于x只能取整数，∴x的取值是18，19，20。

当x＝18时，30－x＝12；当x＝19时，30－x＝11；当x＝20时，30－x＝10。

故有三种组建方案：

方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；

方案二，中型图书角19个，小型图书角11个；

方案三，中型图书角20个，小型图书角10个。

（2）方案一的费用是：860×18＋570×12＝22320（元）；

方案二的费用是：860×19＋570×11＝22610（元）；

方案三的费用是：860×20＋570×10＝22900（元）。

故方案一费用最低，最低费用是22320元。

11. 解：（1）设一台甲型设备的价格是x万元，

由题意，得3x＋2×75%x＝54，解得x＝12.

∵12×75%＝9，

∴一台甲型设备的价格是12万元，一台乙型设备的价格是9万元。

（2）设二期工程中，购买甲型设备a台，

由题意有解得≤a≤4.

由题意知a为正整数，∴a＝1，2，3，4。

∴所有购买方案有四种，分别为方案一：甲型1台，乙型7台；方案二：甲型2台，乙型6台；方案三：甲型3台，乙型5台；方案四：甲型4台，乙型4台。

（3）设二期工程10年用于治理污水的总费用为W万元，则

W＝12a＋9（8－a）＋1×10a＋1.5×10（8－a），

化简得W＝－2a＋192。

∵W随a的增大而减小，∴当a＝4时，W最小（逐一验算也可）。

∴按方案四：甲型购买4台，乙型购买4台的总费用最少。

12. 解：（1）设需租赁甲、乙两种设备分别为x、y天。

则依题意得

解得

答：需租赁甲种设备2天、乙种设备8天。

（2）设租赁甲种设备天、乙种设备（10－）天，总费用为元。

依题意得

∴3≤≤5。

∵为整数，

∴＝3、4、5。

方法一：共有三种方案。

方案（1）甲3天、乙7天，总费用400×3＋300×7＝3300；

方案（2）甲4天、乙6天，总费用400×4＋300×6＝3400；

方案（3）甲5天、乙5天，总费用400×5＋300×5＝3500。

∵3300<3400<3500       ∴方案（1）最省，最省费用为3300元。

方法二：＝400＋300（10－）＝100＋3000

∵100＞0，

∴随的增大而增大。

∴当＝3时，＝100×3＋3000＝3300。

答：共有3种租赁方案：①甲3天、乙7天；②甲4天、乙6天；③甲5天、乙5天.最少租赁费用3300元。