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山东省青岛市市北区、李沧区2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷+解析（试卷+解析+解析）
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这是一份山东省青岛市市北区、李沧区2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷+解析（试卷+解析+解析），共22页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省青岛市市北区、李沧区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共8道小题，每小题3分）
1．实数a与b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）
A．a﹣2＞b﹣2 B．﹣2a＞﹣2b C．a﹣b＜0 D．ac＞bc
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下面的计算过程中，开始出现错误的步骤是（ ）
①
＝②
＝③
＝1④
A．① B．② C．③ D．④
4．△ABC的顶点分别位于格点，建立如图所示平面直角坐标系，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°，再向下平移2个单位长度，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣7，0）
5．如果平行四边形的一边长是10，那么这个平行四边形的两条对角线的长度可以是（ ）
A．4和6 B．6和8 C．20和30 D．8和12
6．下列分解因式正确的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x+1）2
B．y（x+1）+y2（x+1）2＝y（x+1）（xy+y）
C．x2﹣x+2＝x（x﹣1）+2
D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
7．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，已知直线y＝mx过点A（﹣2，﹣4），过点A的直线y＝nx+b交x轴于点B（﹣4，0），则关于x的不等式组nx+b≤mx＜0的解集为（ ）
A．x≤﹣2 B．﹣4＜x≤﹣2 C．x≥﹣2 D．﹣2≤x＜0
二.填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．若一个正多边形的每一个外角都等于相邻内角的，则这个多边形的内角和为 度．
10．如图所示，△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为 ．
11．若分式方程有增根，则a＝ ．
12．如图，在ABC中，DE垂直平分BC交AB于点E，若BD＝5，△ABC的周长为31，则△ACE的周长为 ．
13．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起的三块正多边形木板顶点重合，且各边完全吻合，其中两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数是 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6．∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），以点A、B、C和点D为顶点构造平行四边形，则点D的坐标是 ．
16．如图，图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到第2个图形（图②），再连接图②中间小三角形三边的中点得到第3个图形（图③），…，依此规律进行下去，则第n（n＞1）个图形中有平行四边形 个．
三.作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.）
17．已知：如图，∠MON及边ON上一点A．
求作：在∠MON内部的点P，使得PA⊥ON，且点P到∠MON两边的距离相等．
四.解答题（本题共有7道小题，满分68分）
18．分解因式：
（1）﹣2a3b2+8a2b2﹣8ab2；
（2）（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．
19．计算题：
（1）解不等式组：；
（2）化简：（+）÷（﹣）；
（3）解方程：＝1﹣．
20．如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．
求证：（1）OC＝OD，
（2）OE是线段CD的垂直平分线．
21．某厂原计划在规定时间内生产通讯设备60台，由于改进了操作技术，每天生产的台数 比原计划多50%，结果提前两天完成任务，求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台．
22．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．
（1）求证：BE＝DF；
（2）线段AF与CE有什么关系？请证明你的结论．
23．某体育用品商店购进A、B两种不同品牌的足球，购进A品牌足球的总费用为2000元，购买B品牌足球的总费用为1400元，已知购买A品牌足球的数量比B品牌的数量多20个，且B品牌足球的购进单价是A品牌单价的1.4倍．
（1）求A，B两种品牌足球的购进单价各是多少元；
（2）若计划用不超过4500元的资金再次购进A，B两种品牌的足球共80个，已知A，B两种品牌足球的进价不变，若A品牌足球每个的售价为60元，而B品牌足球每个售价为88元，问：如何购进两种品牌的足球，才能使卖完这批足球后的利润最大，最大利润是多少？
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠BAD＝45°，BC＝8，DC＝6，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，设运动的时间为t（秒）
（1）0＜t≤8时，是否存在某一时刻t，使得△ABP与△ABQ面积之比为2：3？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由；
（2）当t为何值时，点P在∠ABC的角平分线上？请说明理由；
（3）设AQ中点为E，连接BD，与PQ相交于点F，若EF是△APQ的中位线，求此时点E到PQ的距离．
参考答案
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．实数a与b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）
A．a﹣2＞b﹣2 B．﹣2a＞﹣2b C．a﹣b＜0 D．ac＞bc
解：如图所示：b＜0＜a．
A、由不等式a＞b的两边同时减去2，得到a﹣2＞b﹣2，故符合题意．
B、由不等式a＞b的两边同时乘以﹣2，得到﹣2a＜﹣2b，故不符合题意．
C、由不等式a＞b的两边同时减去b，得到a﹣b＞0，故不符合题意．
D、当c＝0时，不等式ac＞bc不成立，故不符合题意．
故选：A．
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3．下面的计算过程中，开始出现错误的步骤是（ ）
①
＝②
＝③
＝1④
A．① B．② C．③ D．④
解：①
＝②
＝③
∴出现错误的步骤是②，
去括号时，括号前面是负号，去括号后，括号里的各项负号都应变为相反的符号，
故选：B．
4．△ABC的顶点分别位于格点，建立如图所示平面直角坐标系，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°，再向下平移2个单位长度，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣7，0）
解：观察图象可知点A′（﹣1，﹣2）．
故选：B．
5．如果平行四边形的一边长是10，那么这个平行四边形的两条对角线的长度可以是（ ）
A．4和6 B．6和8 C．20和30 D．8和12
解：如图，设两条对角线的长度是x，y，即三角形的另两边是x，y，
那么得到不等式组，
解得，
所以符合条件的对角线只有20和30它的两条对角线的长度可以是20和30．
故选：C．
6．下列分解因式正确的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x+1）2
B．y（x+1）+y2（x+1）2＝y（x+1）（xy+y）
C．x2﹣x+2＝x（x﹣1）+2
D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
解：A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，因此选项A 不符合题意；
B．y（x+1）+y2（x+1）2＝y（x+1）（1+xy+y），因此选项B不符合题意；
C．没有将x2﹣x+2写成几个因式积的形式，不是因式分解，因此选项C不符合题意；
D．根据平方差公式有x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），因此选项D符合题意；
故选：D．
7．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：过D作DG⊥AC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DG＝DE＝2，
∵AB＝6，AC＝4，
∴S△ABC＝AC•BF＝S△ABD+S△ACD＝AB•DE+AC•DG，
∴×4•BF＝×6×2+×4×2，
∴BF＝5，
故选：C．
8．如图，已知直线y＝mx过点A（﹣2，﹣4），过点A的直线y＝nx+b交x轴于点B（﹣4，0），则关于x的不等式组nx+b≤mx＜0的解集为（ ）
A．x≤﹣2 B．﹣4＜x≤﹣2 C．x≥﹣2 D．﹣2≤x＜0
解：由图象可知，当﹣2≤x＜0时，直线y＝nx+b在直线y＝mx下方，且都在x轴下方，
∴当﹣2≤x＜0时，nx+b≤mx＜0，
故选：D．
二.填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．若一个正多边形的每一个外角都等于相邻内角的，则这个多边形的内角和为 900 度．
解：设正多边形的外角是x，则相邻的内角是x，
根据题意得：x+x＝180°，
解得x＝．
则正多边形的边数是：360°÷＝7，
则这个多边形的内角和为：（7﹣2）×180°＝900°，
故答案为：900．
10．如图所示，△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为 17° ．
解：∵∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，
∴∠B'AC'＝33°，∠BAB'＝50°，
∴∠B′AC的度数＝50°﹣33°＝17°．
故答案为：17°．
11．若分式方程有增根，则a＝ 1 ．
解：方程两边都乘以x﹣2得，1﹣x＝﹣a﹣2（x﹣2），
整理得，a＝﹣x+3，
∵分式方程有增根，
∴x﹣2＝0，解得x＝2，
∴a＝﹣2+3＝1．
故答案为1．
12．如图，在ABC中，DE垂直平分BC交AB于点E，若BD＝5，△ABC的周长为31，则△ACE的周长为 21 ．
解：∵DE是BC的垂直平分线，BD＝5，
∴EB＝EC，BC＝2BD＝10，
∵△ABC的周长为31，
∴AB+AC+BC＝31，
∴AB+AC＝21，
∴△ACE的周长＝AC+AE+EC＝AC+AE+EB＝AB+AC＝21，
故答案为：21．
13．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起的三块正多边形木板顶点重合，且各边完全吻合，其中两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数是 12 ．
解：正四边形每个内角度数为360°÷4＝90°，
正六边形每个内角度数为180﹣360°÷6＝120°，
∴第三块正多边形的每个内角度数为360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴第三块正多边形的边数为360°÷（180°﹣150°）＝12，
故答案为：12．
14．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6．∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离为 2 ．
解：∵将△ABC沿射线BC的方向平移，
∴∠B＝∠A'B'C'＝60°，AB＝A'B'＝4
∵将△A'B'C'绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，
∴A'B'＝A'C＝4，且∠A'B'C'＝60°，
∴△A'B'C是等边三角形，
∴B'C＝A'B'＝4，
∴BB'＝BC﹣B'C＝2
故答案为2
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），以点A、B、C和点D为顶点构造平行四边形，则点D的坐标是 （7，3）或（﹣3，3）或（3，﹣3） ．
解：分三种情况：如图所示：
①BC为对角线时，点D的坐标是（7，3）；
②OC为对角线时，点D的坐标是（﹣3，3）；
③OB为对角线时，点D的坐标是（3，﹣3）；
故答案为：（7，3）或（﹣3，3）或（3，﹣3）．
16．如图，图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到第2个图形（图②），再连接图②中间小三角形三边的中点得到第3个图形（图③），…，依此规律进行下去，则第n（n＞1）个图形中有平行四边形 3n﹣3 个．
解：分别数出图①、图②、图③中的平行四边形的个数，
图①中平行四边形的个数为0＝3×（1﹣1）；
图②中平行四边形的个数为3＝3×（2﹣1）；
图③中平行四边形的个数为6＝3×（3﹣1）；
…
可以发现，第几个图形中平行四边形的个数就是3与n﹣1的乘积．
按照这个规律，第n个图形中共有平行四边形的个数为3n﹣3．
故答案为；3n﹣3
三.作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.）
17．已知：如图，∠MON及边ON上一点A．
求作：在∠MON内部的点P，使得PA⊥ON，且点P到∠MON两边的距离相等．
解：如图所示，点P即为所求．
四.解答题（本题共有7道小题，满分68分）
18．分解因式：
（1）﹣2a3b2+8a2b2﹣8ab2；
（2）（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．
解：（1）﹣2a3b2+8a2b2﹣8ab2
＝﹣2ab2（a2﹣4a+4）
＝﹣2ab2（a﹣2）2；
（2）（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9
＝（x2﹣1）2﹣6（x2﹣1）+9
＝（x2﹣1﹣3）2
＝（x2﹣4）2
＝（x﹣2）2（x+2）2．
19．计算题：
（1）解不等式组：；
（2）化简：（+）÷（﹣）；
（3）解方程：＝1﹣．
解：（1），
解不等式①得，x≥﹣2，
解不等式②得，x＜2，
把两个不等式的解集在同一个数轴表示为：
所以不等式组的解集为：﹣2≤x＜2；
（2）原式＝÷
＝×
＝；
（3）原方程可变为：＝1+，
移项得，﹣＝1，
即＝1，
去分母得，1﹣x＝x﹣3，
解得，x＝2，
检验：把x＝2代入（x﹣3）＝1≠0，
所以x＝2是原方程的根，
因此原方程的根为x＝2．
20．如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．
求证：（1）OC＝OD，
（2）OE是线段CD的垂直平分线．
【解答】证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴DE＝CE，OE＝OE，
在Rt△ODE与Rt△OCE中，，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），
∴OC＝OD；
（2）∵△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线．
21．某厂原计划在规定时间内生产通讯设备60台，由于改进了操作技术，每天生产的台数 比原计划多50%，结果提前两天完成任务，求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台．
解：设改进操作技术前每天生产通讯设备x台，
由题意得，＝+2，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意，
则1.5x＝15．
答：改进操作技术后每天生产通讯设备15台．
22．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．
（1）求证：BE＝DF；
（2）线段AF与CE有什么关系？请证明你的结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠5＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEB＝∠4，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF；
（2）AE＝CF且AF∥CE，理由如下：
由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵∠1＝∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
23．某体育用品商店购进A、B两种不同品牌的足球，购进A品牌足球的总费用为2000元，购买B品牌足球的总费用为1400元，已知购买A品牌足球的数量比B品牌的数量多20个，且B品牌足球的购进单价是A品牌单价的1.4倍．
（1）求A，B两种品牌足球的购进单价各是多少元；
（2）若计划用不超过4500元的资金再次购进A，B两种品牌的足球共80个，已知A，B两种品牌足球的进价不变，若A品牌足球每个的售价为60元，而B品牌足球每个售价为88元，问：如何购进两种品牌的足球，才能使卖完这批足球后的利润最大，最大利润是多少？
解：（1）设A单价x元，则B单价1.4x元，
﹣＝20，
∴x＝50，
经检验x＝50是原分式方程的根，
∴1.4x＝1.4×50＝70，
∴购买A种品牌足球的单价为50元，购买B种品牌足球的单价为70元；
（2）设A品牌足球买a个，则B品牌足球买（80﹣a）个，利润为W，
∴50a+70（80﹣a）≤4500，
解得：a≥55，
W＝a（60﹣50）+（88﹣70）（80﹣a），
∴W＝﹣8a+1440，
∴W随a的增大而减小，
∴a＝55时，W有最大值，W＝﹣8×55+1440＝1000，
此时B为80﹣55＝25．
即购进A品牌足球55个，购进B品牌足球25个，才能使卖完这批足球后的利润最大，最大利润是1000元．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠BAD＝45°，BC＝8，DC＝6，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，设运动的时间为t（秒）
（1）0＜t≤8时，是否存在某一时刻t，使得△ABP与△ABQ面积之比为2：3？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由；
（2）当t为何值时，点P在∠ABC的角平分线上？请说明理由；
（3）设AQ中点为E，连接BD，与PQ相交于点F，若EF是△APQ的中位线，求此时点E到PQ的距离．
解：（1）由题意得：过点B作BH⊥AD于点H，则：四边形BCDH为矩形，
∴HD＝BC＝8，BH＝CD＝6，
∵∠BAD＝45°，
∴AH＝BH＝6，AB＝6，
∴AD＝AH+HD＝14，
①点P在点A右侧时，AP＝14﹣2t，BQ＝8﹣t，
∵S△ABP：S△ABQ＝2：3，S△ABQ＝，S△ABP＝，
∴，
解得：t1＝，
此时，AP＝1，
②当点P在点A左侧时，AP＝2t﹣14，
由①知AP＝1，
∴2t﹣14＝1，
∴t2＝，
综上所述：t1＝，t2＝．
（2） 过点P作PM⊥AB于点M，
∵点P在∠ABC的角平分线上，
∴PM＝CD＝6，
由（1）得，S△ABP＝，AB＝6，
∴S△ABP＝，
∴＝，
∴PM＝7﹣t，
∴7﹣t＝6，
解得：t＝7﹣3．
（3）∵EF是△APQ的中位线，点E是AQ的中点，
∴点F是PQ的中点，
∴PF＝FQ，
∵AD∥BC，
∴∠FPD＝∠FQB，
又∵∠DFP＝∠BFQ，
∴△FPD≌△FQB（ASA），
∴PD＝BQ，
∴2t＝8﹣t，
解得：t＝，
∴PD＝，CQ＝，AP＝，
作QN⊥AD于点N，设点E到PQ的距离为h，
∴PN＝，
∴PQ＝，
∵点E为AQ的中点，
∴S△EPQ＝S△APQ＝，
∴，
解得：h＝．
2020-2021学年山东省青岛市市北区、李沧区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共8道小题，每小题3分）
1．实数a与b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）
A．a﹣2＞b﹣2 B．﹣2a＞﹣2b C．a﹣b＜0 D．ac＞bc
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下面的计算过程中，开始出现错误的步骤是（ ）
①
＝②
＝③
＝1④
A．① B．② C．③ D．④
4．△ABC的顶点分别位于格点，建立如图所示平面直角坐标系，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°，再向下平移2个单位长度，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣7，0）
5．如果平行四边形的一边长是10，那么这个平行四边形的两条对角线的长度可以是（ ）
A．4和6 B．6和8 C．20和30 D．8和12
6．下列分解因式正确的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x+1）2
B．y（x+1）+y2（x+1）2＝y（x+1）（xy+y）
C．x2﹣x+2＝x（x﹣1）+2
D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
7．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，已知直线y＝mx过点A（﹣2，﹣4），过点A的直线y＝nx+b交x轴于点B（﹣4，0），则关于x的不等式组nx+b≤mx＜0的解集为（ ）
A．x≤﹣2 B．﹣4＜x≤﹣2 C．x≥﹣2 D．﹣2≤x＜0
二.填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．若一个正多边形的每一个外角都等于相邻内角的，则这个多边形的内角和为 度．
10．如图所示，△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为 ．
11．若分式方程有增根，则a＝ ．
12．如图，在ABC中，DE垂直平分BC交AB于点E，若BD＝5，△ABC的周长为31，则△ACE的周长为 ．
13．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起的三块正多边形木板顶点重合，且各边完全吻合，其中两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数是 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6．∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），以点A、B、C和点D为顶点构造平行四边形，则点D的坐标是 ．
16．如图，图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到第2个图形（图②），再连接图②中间小三角形三边的中点得到第3个图形（图③），…，依此规律进行下去，则第n（n＞1）个图形中有平行四边形 个．
三.作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.）
17．已知：如图，∠MON及边ON上一点A．
求作：在∠MON内部的点P，使得PA⊥ON，且点P到∠MON两边的距离相等．
四.解答题（本题共有7道小题，满分68分）
18．分解因式：
（1）﹣2a3b2+8a2b2﹣8ab2；
（2）（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．
19．计算题：
（1）解不等式组：；
（2）化简：（+）÷（﹣）；
（3）解方程：＝1﹣．
20．如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．
求证：（1）OC＝OD，
（2）OE是线段CD的垂直平分线．
21．某厂原计划在规定时间内生产通讯设备60台，由于改进了操作技术，每天生产的台数 比原计划多50%，结果提前两天完成任务，求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台．
22．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．
（1）求证：BE＝DF；
（2）线段AF与CE有什么关系？请证明你的结论．
23．某体育用品商店购进A、B两种不同品牌的足球，购进A品牌足球的总费用为2000元，购买B品牌足球的总费用为1400元，已知购买A品牌足球的数量比B品牌的数量多20个，且B品牌足球的购进单价是A品牌单价的1.4倍．
（1）求A，B两种品牌足球的购进单价各是多少元；
（2）若计划用不超过4500元的资金再次购进A，B两种品牌的足球共80个，已知A，B两种品牌足球的进价不变，若A品牌足球每个的售价为60元，而B品牌足球每个售价为88元，问：如何购进两种品牌的足球，才能使卖完这批足球后的利润最大，最大利润是多少？
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠BAD＝45°，BC＝8，DC＝6，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，设运动的时间为t（秒）
（1）0＜t≤8时，是否存在某一时刻t，使得△ABP与△ABQ面积之比为2：3？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由；
（2）当t为何值时，点P在∠ABC的角平分线上？请说明理由；
（3）设AQ中点为E，连接BD，与PQ相交于点F，若EF是△APQ的中位线，求此时点E到PQ的距离．
参考答案
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．实数a与b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）
A．a﹣2＞b﹣2 B．﹣2a＞﹣2b C．a﹣b＜0 D．ac＞bc
解：如图所示：b＜0＜a．
A、由不等式a＞b的两边同时减去2，得到a﹣2＞b﹣2，故符合题意．
B、由不等式a＞b的两边同时乘以﹣2，得到﹣2a＜﹣2b，故不符合题意．
C、由不等式a＞b的两边同时减去b，得到a﹣b＞0，故不符合题意．
D、当c＝0时，不等式ac＞bc不成立，故不符合题意．
故选：A．
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3．下面的计算过程中，开始出现错误的步骤是（ ）
①
＝②
＝③
＝1④
A．① B．② C．③ D．④
解：①
＝②
＝③
∴出现错误的步骤是②，
去括号时，括号前面是负号，去括号后，括号里的各项负号都应变为相反的符号，
故选：B．
4．△ABC的顶点分别位于格点，建立如图所示平面直角坐标系，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°，再向下平移2个单位长度，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣7，0）
解：观察图象可知点A′（﹣1，﹣2）．
故选：B．
5．如果平行四边形的一边长是10，那么这个平行四边形的两条对角线的长度可以是（ ）
A．4和6 B．6和8 C．20和30 D．8和12
解：如图，设两条对角线的长度是x，y，即三角形的另两边是x，y，
那么得到不等式组，
解得，
所以符合条件的对角线只有20和30它的两条对角线的长度可以是20和30．
故选：C．
6．下列分解因式正确的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x+1）2
B．y（x+1）+y2（x+1）2＝y（x+1）（xy+y）
C．x2﹣x+2＝x（x﹣1）+2
D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
解：A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，因此选项A 不符合题意；
B．y（x+1）+y2（x+1）2＝y（x+1）（1+xy+y），因此选项B不符合题意；
C．没有将x2﹣x+2写成几个因式积的形式，不是因式分解，因此选项C不符合题意；
D．根据平方差公式有x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），因此选项D符合题意；
故选：D．
7．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：过D作DG⊥AC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DG＝DE＝2，
∵AB＝6，AC＝4，
∴S△ABC＝AC•BF＝S△ABD+S△ACD＝AB•DE+AC•DG，
∴×4•BF＝×6×2+×4×2，
∴BF＝5，
故选：C．
8．如图，已知直线y＝mx过点A（﹣2，﹣4），过点A的直线y＝nx+b交x轴于点B（﹣4，0），则关于x的不等式组nx+b≤mx＜0的解集为（ ）
A．x≤﹣2 B．﹣4＜x≤﹣2 C．x≥﹣2 D．﹣2≤x＜0
解：由图象可知，当﹣2≤x＜0时，直线y＝nx+b在直线y＝mx下方，且都在x轴下方，
∴当﹣2≤x＜0时，nx+b≤mx＜0，
故选：D．
二.填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．若一个正多边形的每一个外角都等于相邻内角的，则这个多边形的内角和为 900 度．
解：设正多边形的外角是x，则相邻的内角是x，
根据题意得：x+x＝180°，
解得x＝．
则正多边形的边数是：360°÷＝7，
则这个多边形的内角和为：（7﹣2）×180°＝900°，
故答案为：900．
10．如图所示，△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为 17° ．
解：∵∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，
∴∠B'AC'＝33°，∠BAB'＝50°，
∴∠B′AC的度数＝50°﹣33°＝17°．
故答案为：17°．
11．若分式方程有增根，则a＝ 1 ．
解：方程两边都乘以x﹣2得，1﹣x＝﹣a﹣2（x﹣2），
整理得，a＝﹣x+3，
∵分式方程有增根，
∴x﹣2＝0，解得x＝2，
∴a＝﹣2+3＝1．
故答案为1．
12．如图，在ABC中，DE垂直平分BC交AB于点E，若BD＝5，△ABC的周长为31，则△ACE的周长为 21 ．
解：∵DE是BC的垂直平分线，BD＝5，
∴EB＝EC，BC＝2BD＝10，
∵△ABC的周长为31，
∴AB+AC+BC＝31，
∴AB+AC＝21，
∴△ACE的周长＝AC+AE+EC＝AC+AE+EB＝AB+AC＝21，
故答案为：21．
13．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起的三块正多边形木板顶点重合，且各边完全吻合，其中两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数是 12 ．
解：正四边形每个内角度数为360°÷4＝90°，
正六边形每个内角度数为180﹣360°÷6＝120°，
∴第三块正多边形的每个内角度数为360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴第三块正多边形的边数为360°÷（180°﹣150°）＝12，
故答案为：12．
14．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6．∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离为 2 ．
解：∵将△ABC沿射线BC的方向平移，
∴∠B＝∠A'B'C'＝60°，AB＝A'B'＝4
∵将△A'B'C'绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，
∴A'B'＝A'C＝4，且∠A'B'C'＝60°，
∴△A'B'C是等边三角形，
∴B'C＝A'B'＝4，
∴BB'＝BC﹣B'C＝2
故答案为2
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），以点A、B、C和点D为顶点构造平行四边形，则点D的坐标是 （7，3）或（﹣3，3）或（3，﹣3） ．
解：分三种情况：如图所示：
①BC为对角线时，点D的坐标是（7，3）；
②OC为对角线时，点D的坐标是（﹣3，3）；
③OB为对角线时，点D的坐标是（3，﹣3）；
故答案为：（7，3）或（﹣3，3）或（3，﹣3）．
16．如图，图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到第2个图形（图②），再连接图②中间小三角形三边的中点得到第3个图形（图③），…，依此规律进行下去，则第n（n＞1）个图形中有平行四边形 3n﹣3 个．
解：分别数出图①、图②、图③中的平行四边形的个数，
图①中平行四边形的个数为0＝3×（1﹣1）；
图②中平行四边形的个数为3＝3×（2﹣1）；
图③中平行四边形的个数为6＝3×（3﹣1）；
…
可以发现，第几个图形中平行四边形的个数就是3与n﹣1的乘积．
按照这个规律，第n个图形中共有平行四边形的个数为3n﹣3．
故答案为；3n﹣3
三.作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.）
17．已知：如图，∠MON及边ON上一点A．
求作：在∠MON内部的点P，使得PA⊥ON，且点P到∠MON两边的距离相等．
解：如图所示，点P即为所求．
四.解答题（本题共有7道小题，满分68分）
18．分解因式：
（1）﹣2a3b2+8a2b2﹣8ab2；
（2）（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．
解：（1）﹣2a3b2+8a2b2﹣8ab2
＝﹣2ab2（a2﹣4a+4）
＝﹣2ab2（a﹣2）2；
（2）（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9
＝（x2﹣1）2﹣6（x2﹣1）+9
＝（x2﹣1﹣3）2
＝（x2﹣4）2
＝（x﹣2）2（x+2）2．
19．计算题：
（1）解不等式组：；
（2）化简：（+）÷（﹣）；
（3）解方程：＝1﹣．
解：（1），
解不等式①得，x≥﹣2，
解不等式②得，x＜2，
把两个不等式的解集在同一个数轴表示为：
所以不等式组的解集为：﹣2≤x＜2；
（2）原式＝÷
＝×
＝；
（3）原方程可变为：＝1+，
移项得，﹣＝1，
即＝1，
去分母得，1﹣x＝x﹣3，
解得，x＝2，
检验：把x＝2代入（x﹣3）＝1≠0，
所以x＝2是原方程的根，
因此原方程的根为x＝2．
20．如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．
求证：（1）OC＝OD，
（2）OE是线段CD的垂直平分线．
【解答】证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴DE＝CE，OE＝OE，
在Rt△ODE与Rt△OCE中，，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），
∴OC＝OD；
（2）∵△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线．
21．某厂原计划在规定时间内生产通讯设备60台，由于改进了操作技术，每天生产的台数 比原计划多50%，结果提前两天完成任务，求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台．
解：设改进操作技术前每天生产通讯设备x台，
由题意得，＝+2，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意，
则1.5x＝15．
答：改进操作技术后每天生产通讯设备15台．
22．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．
（1）求证：BE＝DF；
（2）线段AF与CE有什么关系？请证明你的结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠5＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEB＝∠4，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF；
（2）AE＝CF且AF∥CE，理由如下：
由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵∠1＝∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
23．某体育用品商店购进A、B两种不同品牌的足球，购进A品牌足球的总费用为2000元，购买B品牌足球的总费用为1400元，已知购买A品牌足球的数量比B品牌的数量多20个，且B品牌足球的购进单价是A品牌单价的1.4倍．
（1）求A，B两种品牌足球的购进单价各是多少元；
（2）若计划用不超过4500元的资金再次购进A，B两种品牌的足球共80个，已知A，B两种品牌足球的进价不变，若A品牌足球每个的售价为60元，而B品牌足球每个售价为88元，问：如何购进两种品牌的足球，才能使卖完这批足球后的利润最大，最大利润是多少？
解：（1）设A单价x元，则B单价1.4x元，
﹣＝20，
∴x＝50，
经检验x＝50是原分式方程的根，
∴1.4x＝1.4×50＝70，
∴购买A种品牌足球的单价为50元，购买B种品牌足球的单价为70元；
（2）设A品牌足球买a个，则B品牌足球买（80﹣a）个，利润为W，
∴50a+70（80﹣a）≤4500，
解得：a≥55，
W＝a（60﹣50）+（88﹣70）（80﹣a），
∴W＝﹣8a+1440，
∴W随a的增大而减小，
∴a＝55时，W有最大值，W＝﹣8×55+1440＝1000，
此时B为80﹣55＝25．
即购进A品牌足球55个，购进B品牌足球25个，才能使卖完这批足球后的利润最大，最大利润是1000元．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠BAD＝45°，BC＝8，DC＝6，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，设运动的时间为t（秒）
（1）0＜t≤8时，是否存在某一时刻t，使得△ABP与△ABQ面积之比为2：3？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由；
（2）当t为何值时，点P在∠ABC的角平分线上？请说明理由；
（3）设AQ中点为E，连接BD，与PQ相交于点F，若EF是△APQ的中位线，求此时点E到PQ的距离．
解：（1）由题意得：过点B作BH⊥AD于点H，则：四边形BCDH为矩形，
∴HD＝BC＝8，BH＝CD＝6，
∵∠BAD＝45°，
∴AH＝BH＝6，AB＝6，
∴AD＝AH+HD＝14，
①点P在点A右侧时，AP＝14﹣2t，BQ＝8﹣t，
∵S△ABP：S△ABQ＝2：3，S△ABQ＝，S△ABP＝，
∴，
解得：t1＝，
此时，AP＝1，
②当点P在点A左侧时，AP＝2t﹣14，
由①知AP＝1，
∴2t﹣14＝1，
∴t2＝，
综上所述：t1＝，t2＝．
（2） 过点P作PM⊥AB于点M，
∵点P在∠ABC的角平分线上，
∴PM＝CD＝6，
由（1）得，S△ABP＝，AB＝6，
∴S△ABP＝，
∴＝，
∴PM＝7﹣t，
∴7﹣t＝6，
解得：t＝7﹣3．
（3）∵EF是△APQ的中位线，点E是AQ的中点，
∴点F是PQ的中点，
∴PF＝FQ，
∵AD∥BC，
∴∠FPD＝∠FQB，
又∵∠DFP＝∠BFQ，
∴△FPD≌△FQB（ASA），
∴PD＝BQ，
∴2t＝8﹣t，
解得：t＝，
∴PD＝，CQ＝，AP＝，
作QN⊥AD于点N，设点E到PQ的距离为h，
∴PN＝，
∴PQ＝，
∵点E为AQ的中点，
∴S△EPQ＝S△APQ＝，
∴，
解得：h＝．
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