2022中考数学三角形专题——外心题目汇编

这是一份2022中考数学三角形专题——外心题目汇编，共33页。试卷主要包含了下列各命题中，真命题是，下列词语中正确的是，如图，已知，按以下步骤作图，下列命题中，是真命题的是等内容，欢迎下载使用。

初中三角形外心题目汇编-2022.6
一．选择题（共12小题）
1．（2022•岳阳模拟）下列各命题中，真命题是　　
A．两点之间，射线最短
B．不在同一直线上的三个点确定一个圆
C．对角线相等的四边形是矩形
D．三角形的外心是三角形三条高的交点
2．（2022•清苑区一模）已知和有相同的外心，，则的度数是　　
A． B． C．或 D．不能确定
3．（2022•迁安市一模）如图，已知，用尺规按照下面步骤操作：
①作线段的垂直平分线；
②作线段的垂直平分线，交于点；
③以为圆心，长为半径作．
结论：点是的外心；结论
则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是　　

A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对
4．下列词语中正确的是　　
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
C．外心一定在三角形的内部
D．经过平面上四点可以作0个或1个或2个圆
5．（2022•宁波模拟）如图，已知，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，； ②作直线交于点，交于，连结，若，则下列结论中错误的是　　

A． B．
C．点为的外心 D．
6．如图，和都是等边三角形，点是的外心，那么的值为　　

A． B． C． D．
7．（2022•兴隆县一模）根据圆规作图的痕迹，可以用直尺成功找到三角形外心的是　　
A． B．
C． D．
8．（2022•张家口一模）如图，在的正方形网格中，的顶点均在格点上，边，分别与网格线交于点，，连接，交于点，则点为的　　

A．内心 B．外心 C．重心 D．中心
9．（2022•光明区二模）下列命题中，是真命题的是　　
A．三角形的外心是三角形三个内角的角平分线的交点
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是矩形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
10．（2022•邯山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，轴，为的外心．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为　　

A． B． C． D．
11．（2021•丰南区一模）如图，已知点是的外心，连接，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
12．（2022春•开福区校级月考）下列命题为真命题的是　　
A．同旁内角互补
B．三角形的外心是三条内角平分线的交点
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．若甲、乙两组数据中，，，则乙组数据较稳定
二．填空题（共1小题）
13．（2022•南通一模）如图，在中，，点是的外心，连接并延长交边于点，，，则的值为 　　．

三．解答题（共7小题）
14．（2022•江岸区校级开学）在如图的网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题：
（1）在图1中，在线段上作点，使，　　；
（2）在图1中，在线段上作点，使；
（3）在图2中，作出的外心；
（4）在图2中，作出的外接圆的切线．
　　
15．（2022•白云区一模）已知抛物线与轴交于点，两点，，．其顶点的横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设点在抛物线第一象限的图象上，垂足为，轴交直线于点，当面积等于4时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点是抛物线上的一点，点从点运动到达点，交直线于点，延长与线段的延长线交于点，点为，，三点构成的三角形的外心，求点经过的路线长．
16．（2022•花都区一模）已知抛物线与轴交于，两点在的左侧），点．
（1）判断点是否在抛物线上；
（2）直线与抛物线的对称轴交于点，连接，．
①若，求抛物线的解析式；
②将直线沿轴翻折所得直线与抛物线的另一个交点为，是线段上的一点，且．是的外心，设过点，的直线与轴的夹角为．试判断的大小是否发生变化．若不变，请求出的值；若发生变化，请说明理由．
17．（2022•新昌县模拟）在学习三角形高线时，发现三角形三条高线交于一点，我们把这个交点叫做三角形的垂心．课后小明同学继续探究，上网搜索得到了三角形垂心的一条性质，制作了如表格进行探究．
三角形类型
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
垂心的位置
直角顶点
①
在三角形外部
垂心的性质
三角形任意顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍
图形



（1）表格中①处应填：　　；
（2）小明先选择了直角三角形来探究垂心的性质，写出了已知求证，请完成证明．
已知：如图1，是的外接圆，，是的垂心，，垂足为．
求证：．
（3）如图2，是锐角三角形的外接圆，高线与高线交于点，于点，为了证明，小明想把锐角三角形的问题转化为直角三角形，为此他过点作了的直径，请继续小明的思路证明．


18．（2022•新抚区模拟）如图，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）以原点为位似中心，画出三角形，使它与的相似比为；
（2）画出的外接圆，直接写出的外心坐标．

19．如图1，在中，，，点和点分别从点、点同时出发，在线段上以做等速运动，分别到达点、点后停止运动．设运动时间为秒．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）当的外心在其外部时，请直接写出的取值范围．

20．（2022春•诸暨市校级月考）（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出的外心点；
（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆的面积．


初中三角形外心题目汇编-2022.6
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2022•岳阳模拟）下列各命题中，真命题是　　
A．两点之间，射线最短
B．不在同一直线上的三个点确定一个圆
C．对角线相等的四边形是矩形
D．三角形的外心是三角形三条高的交点
【考点】命题与定理
【分析】对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题．
【解答】解：、两点之间，线段最短，原命题是假命题；
、不在同一直线上的三个点确定一个圆，是真命题；
、对角线相等且平分的四边形是矩形，原命题是假命题；
、三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，原命题是假命题；
故选：．
【点评】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．
2．（2022•清苑区一模）已知和有相同的外心，，则的度数是　　
A． B． C．或 D．不能确定
【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【分析】证明和是同一外接圆，分两种情况：当点和 在的异侧和同侧，根据根据圆内接四边形的性质和圆周角的性质即可求得结论．
【解答】解：和有相同的外心，设外心为，则和外接圆的半径都为，
和是同一外接圆，
当点和 在的异侧时，，
，
，
当点和在的同侧时，，
综上所述：的度数是或，
故选：．

【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，能够正确画出图形，分类讨论是解决问题的关键．
3．（2022•迁安市一模）如图，已知，用尺规按照下面步骤操作：
①作线段的垂直平分线；
②作线段的垂直平分线，交于点；
③以为圆心，长为半径作．
结论：点是的外心；结论
则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是　　

A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对
【考点】线段垂直平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心；作图—复杂作图
【分析】根据三角形外心的定义对结论（Ⅰ）进行判断；利用点、有任意性可对结论（Ⅱ）进行判断．
【解答】解：点是和的垂直平分线的交点，
点是的外心，故结论Ⅰ正确；
点，的位置不确定，
和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确．
故选：．
【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心与内心．
4．下列词语中正确的是　　
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
C．外心一定在三角形的内部
D．经过平面上四点可以作0个或1个或2个圆
【考点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；线段垂直平分线的性质；圆周角定理
【分析】根据确定圆的条件以及三角形外心的定义，可以判断、选项；
将三角形按角分类，分别讨论它们的外心位置，对选项作出判断；
对这平面上的四点分共线和不共线讨论，从而判断选项．
【解答】解：．不在同一直线上的三点确定一个圆，故选项错误；
．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故选项正确；
．直角三角形的外心是斜边的中点，不在三角形的内部，故选项错误；
．当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；当四个点共圆时，只能确定一个圆，故选项错误．
故选：．
【点评】此题考查的是三角形的外接圆与外心及圆的相关性质，掌握三角形外心的概念是解决此题的关键．
5．（2022•宁波模拟）如图，已知，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，； ②作直线交于点，交于，连结，若，则下列结论中错误的是　　

A． B．
C．点为的外心 D．
【考点】线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心；作图—复杂作图
【分析】利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，，，则，根据三角形外心的定义可对选项进行判断；根据圆周角定理可对选项进行判断；根据三角形中位线性质可对选项进行判断；由于不能确定，则不能确定，则可对选项的结论进行判断．
【解答】解：由作图得垂直平分，
，，，
，
，所以点为的外心，所以选项的结论正确；
点在为直径的圆上，
，所以选项的结论正确；
，，
为的中位线，
，所以选项的结论正确；
不能确定，
不能确定，所以选项的结论错误．
故选：．
【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和圆周角定理．
6．如图，和都是等边三角形，点是的外心，那么的值为　　

A． B． C． D．
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质
【分析】延长交于点，连接，根据是等边三角形可知，设，则，利用锐角三角函数的定义用表示出的长，再根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：如图，延长交于点，连接，

是等边三角形，点是的外心，
，，，
设，则，
，，
，
和都是等边三角形，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查的是三角形的外心，等边三角形的性质，含角的直角三角形的三边关系；熟知外心相关性质是解题关键．
7．（2022•兴隆县一模）根据圆规作图的痕迹，可以用直尺成功找到三角形外心的是　　
A． B．
C． D．
【考点】三角形的外接圆与外心；作图—复杂作图
【分析】三角形的外心是各边垂直平分线的交点，有差评得即可．
【解答】解：三角形的外心的各边垂直平分线的交点，选项满足条件．
故选：．
【点评】本题考查作图复杂作图，三角形的外心等知识，解题关键是读懂图象信息，理解三角形的外心是各边垂直平分线的交点．
8．（2022•张家口一模）如图，在的正方形网格中，的顶点均在格点上，边，分别与网格线交于点，，连接，交于点，则点为的　　

A．内心 B．外心 C．重心 D．中心
【考点】三角形的重心；三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心
【分析】三角形的重心是三角形三条中线的交点．依据重心的定义进行判断即可．
【解答】解：由图看出，，分别是，的中点，
，都是中线，
点为的重心．
故选．
【点评】本题主要考查了三角形的重心，三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．
9．（2022•光明区二模）下列命题中，是真命题的是　　
A．三角形的外心是三角形三个内角的角平分线的交点
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是矩形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【考点】命题与定理
【分析】利用三角形的外心的定义、平行的判定、矩形的判定方法及平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：、三角形的外心是三角形的三边的垂直平分线的交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
、连接对角线相等的四边形的各边中点所得四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的外心的定义、平行的判定、矩形的判定方法及平行四边形的判定方法，难度不大．
10．（2022•邯山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，轴，为的外心．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为　　

A． B． C． D．
【考点】勾股定理的逆定理；坐标与图形性质；三角形的外接圆与外心
【分析】设，利用直角三角形的外心为斜边的中点，根据线段的中点坐标公式得到，，求出、得到点的坐标为，由于轴，轴，从而得到点坐标．
【解答】解：为的外心，
点为的中点，
设，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
解得，，
点的坐标为，
，轴，
轴，
点坐标为．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心；锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．也考查了坐标与图形性质．
11．（2021•丰南区一模）如图，已知点是的外心，连接，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理
【分析】连接，，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接，，
点是的外心，
，
，，，
，
，
，
故选：．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
12．（2022春•开福区校级月考）下列命题为真命题的是　　
A．同旁内角互补
B．三角形的外心是三条内角平分线的交点
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．若甲、乙两组数据中，，，则乙组数据较稳定
【考点】命题与定理
【分析】根据平行线的性质、三角形的外心的概念、平行公理的推论、方差的性质判断即可．
【解答】解：、两直线平行，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意；
、三角形的内心是三条内角平分线的交点，外心是三边垂直平分线的交点，故本选项命题是假命题，不符合题意；
、平行于同一条直线的两条直线平行，本选项命题是真命题，符合题意；
、若甲、乙两组数据中，，，则甲组数据较稳定，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二．填空题（共1小题）
13．（2022•南通一模）如图，在中，，点是的外心，连接并延长交边于点，，，则的值为 　　．

【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；解直角三角形；圆周角定理
【分析】先作，再根据等腰三角形的性质和三角形外心的定义，可以得到过点，再根据相似三角形的判定与性质、三角形的中位线，可以得到和的关系，然后即可得到，再根据勾股定理可以表示出，最后根据，代入数据计算即可．
【解答】解：作交于点，
，
，
垂直平分，
点是的外心，
经过点，
连接，作交于点，
，，
，
，点为的中点，，，
，
，
设，则，，
，
，
，，，
，
，
故答案为：．

【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
三．解答题（共7小题）
14．（2022•江岸区校级开学）在如图的网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题：
（1）在图1中，在线段上作点，使，　　；
（2）在图1中，在线段上作点，使；
（3）在图2中，作出的外心；
（4）在图2中，作出的外接圆的切线．
　　
【考点】圆的综合题
【分析】（1）利用相似三角形的性质可得点；
（2）在上找点，使得，则，由（1）知，，从而符合要求；
（3）作、垂直平分线，交点即为点；
（4）根据圆的切线的性质，作即可．
【解答】解：（1）如图，点即为所求，，

故答案为：；
（2）如图，在上找点，使得，
则，
由（1）知，，
则有；
（3）如图，作、垂直平分线，交点即为点；

（4）作即可．
【点评】本题是网格作图题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形外心的性质，圆的切线的性质等知识，熟练掌握网格中作垂线和垂直平分线的画法是解题的关键．
15．（2022•白云区一模）已知抛物线与轴交于点，两点，，．其顶点的横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设点在抛物线第一象限的图象上，垂足为，轴交直线于点，当面积等于4时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点是抛物线上的一点，点从点运动到达点，交直线于点，延长与线段的延长线交于点，点为，，三点构成的三角形的外心，求点经过的路线长．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）利用对称性，求得和的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）证明和都为等腰直角三角形，利用等面积法求得，再求得直线的解析式为，设点的坐标，得到点的坐标，然后求解即可；
（3）先求得，推出点的运动路径时的中点绕点逆时针旋转得到的中点之间的弧长，证明四边形为正方形，即可求解．
【解答】解：（1）点，点两点关于直线对称，，
，，
代入得，
，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）如图1所示：
轴，
，
抛物线的解析式为，
顶点，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
设点，则，
，
解得：或（舍，
，．
（3）如图2所示，
是直角三角形，
的外心是斜边的中点，
当点位于点时，△，其外心是斜边的中点，
当点位于点时，得△，其外心是斜边的中点，即的中点，
，，
，
，
由（2）得，，
，
，
，
平分，，
点，，，四点共圆，
点在线段的垂直平分线上，即点在上运动，即点的运动轨迹是一条线段．
，，
四边形为正方形，
此时点在上，且；
当点与点重合时，点与点的距离为1，
即点的运动轨迹长为1．


【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形外接圆的性质，弧长公式，勾股定理，三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题的关键．
16．（2022•花都区一模）已知抛物线与轴交于，两点在的左侧），点．
（1）判断点是否在抛物线上；
（2）直线与抛物线的对称轴交于点，连接，．
①若，求抛物线的解析式；
②将直线沿轴翻折所得直线与抛物线的另一个交点为，是线段上的一点，且．是的外心，设过点，的直线与轴的夹角为．试判断的大小是否发生变化．若不变，请求出的值；若发生变化，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）直接把的坐标代入解析式进行检验即可；
（2）①先求解抛物线与轴的两个交点坐标，再求解的解析式，表示出的坐标，再利用面积公式列方程，解方程即可；
②如图，过作轴于、过作轴于．先求得三角形的外心的坐标，．再求的解析式为．求出，．再利用相似三角形的性质求得的坐标，设为，求出的解析式即可得到答案．
【解答】解：（1）把代入得：
，
点在抛物线上；

（2）①抛物线，令，则，
，
，
解得，，
，，，

设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
抛物线的对称轴为，
，，
，
，
整理得：，解得，（不合题意，舍去），
抛物线的解析式为，
；

②如图，过作轴于、过作轴于．

是的外心，
、分别为、的垂直平分线，为抛物线的对称轴，
为，
直线的解析式为，
，
，
，
设，，，为，
，解得，
为，
，．为的中点，
，，
，解得，
直线的解析式为，
，，即，．
与关于轴对称，
的解析式为．
，解得或，
，．
．
，
，
，
，
．
的纵坐标为．代入．
的横坐标为．
，，即，，
设为，
，解得，
的解析式为，
当时，，
，
．
，
的大小不会发生变化．．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，三角形外接圆的圆心的坐标的确定，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，本题难度较大，对学生的要求高，特别是对计算能力的要求高，细心是解题的关键．
17．（2022•新昌县模拟）在学习三角形高线时，发现三角形三条高线交于一点，我们把这个交点叫做三角形的垂心．课后小明同学继续探究，上网搜索得到了三角形垂心的一条性质，制作了如表格进行探究．
三角形类型
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
垂心的位置
直角顶点
①
在三角形外部
垂心的性质
三角形任意顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍
图形



（1）表格中①处应填：　在三角形内部　；
（2）小明先选择了直角三角形来探究垂心的性质，写出了已知求证，请完成证明．
已知：如图1，是的外接圆，，是的垂心，，垂足为．
求证：．
（3）如图2，是锐角三角形的外接圆，高线与高线交于点，于点，为了证明，小明想把锐角三角形的问题转化为直角三角形，为此他过点作了的直径，请继续小明的思路证明．


【考点】圆的综合题
【分析】（1）根据垂心的性质即可得结论；
（2）如图1，根据垂心的性质得到点是的中点，点是的中点，根据三角形中位线的定理即可得到结论；
（3）如图2，连接，，根据圆周角定理得到，根据平行线的判定定理得到，同理，由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，求得，由（2）可知点是的中点，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在三角形内部，
故答案为：在三角形内部；
（2）如图1，是的外接圆，，
点是的中点，
，
点是的中点，
是的中位线，
，即；
（3）证明：如图2，连接，，
是的直径，
，
，
，
同理，
四边形是平行四边形，
，
由（2）可知点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
．

【点评】本题考查了圆的综合题，圆周角定理，三角形垂心的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
18．（2022•新抚区模拟）如图，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）以原点为位似中心，画出三角形，使它与的相似比为；
（2）画出的外接圆，直接写出的外心坐标．

【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；作图位似变换
【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）线段，的垂直平分线的交点即为的外心．
【解答】解：（1）如图，△即为所求；
（2）如图，即为所求．．

【点评】本题考查作图位似变换，三角形的外接圆等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
19．如图1，在中，，，点和点分别从点、点同时出发，在线段上以做等速运动，分别到达点、点后停止运动．设运动时间为秒．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）当的外心在其外部时，请直接写出的取值范围．

【考点】圆的综合题
【分析】（1）先判断出，即可得出结论；
（2）先判断出，进而求出，即可求出答案；
（3）分两种情况：①，②，利用含30度角的直角三角形的性质求出，，即可求出答案．
【解答】（1）证明：由运动知，，
在和中，
，
；

（2）解：由运动知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；

（3）解：的外心在其外部，
为钝角三角形，
，
或，
①当时，
如图，过点作于，
则，
，
，
，
，
，
即；
当时，过点作，
，
在中，，
，
根据勾股定理得，，
，
，
在中，，
，
，
点到点时停止，
，
，
，
即满足条件的的范围为或．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形的外心，找出分界点是解本题的关键．
20．（2022春•诸暨市校级月考）（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出的外心点；
（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆的面积．

【考点】三角形的外接圆与外心
【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点；
（2）根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）如图所示，点即为所求；
（2）连接，
由勾股定理得：，
外接圆的面积为：．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心的概念、熟记圆的面积公式是解题的关键．
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