专题05：勾股定理的逆定理-2021-2022学年下学期八年级数学期末复习备考一本通（人教版&全国通用）

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专题05：勾股定理的逆定理
1．OC为∠AOB的平分线，M为OB上一点，P为OC上一点，如果OM=3，PM=2， OP=，那么点Р到射线OA的距离为（       ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】根据勾股定理的逆定理，角平分线的性质即可解答.
【详解】解：根据题意作图如下：

△OMP中，OP2=13，OM2=9，PM2=4，
∵OP2=OM2+PM2，
∴PM⊥OB，
由角平分线的性质可得：点P到射线OA的距离等于点P到射线OB的距离，
∴点Р到射线OA的距离为2，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）；掌握其性质是解题关键．
2．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　）
A．4，3， B．6，8，10 C．8，15，16 D．7，24，25
【答案】C
【解析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A.32＋（）2＝42，故此选项中的三条线段能构成直角三角形；
B.62＋82＝102，故此选项中的三条线段能构成直角三角形；
C.82＋152≠162，故此选项中的三条线段不能构成直角三角形；
D.72＋242＝252，故此选项中的三条线段能构成直角三角形；
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
3．已知a，b，c为△ABC的三边长，且a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】将多项式进行因式分解后，根据勾股定理逆定理及等腰三角形的判定即可确定三角形形状．．
【详解】解：原式＝(a2﹣b2)(a2+b2)+c2(b2﹣a2)＝(a2﹣b2)(a2+b2﹣c2)＝0，
当a2﹣b2＝0时
此时△ABC是等腰三角形，
当a2+b2﹣c2＝0，
此时△ABC是直角三角形
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，掌握这两个知识点的熟练应用，根据(a2﹣b2)(a2+b2﹣c2)＝0得a-b=0，或c2-a2-b2=0是解题关键．
4．已知的三个内角分别为、、，三边分别为a，b，c，下列条件不能判定是直角三角形的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据直角三角形的定义，三角形内角和定理，只要证明有一个角等于即可得该三角形是直角三角形；三边满足勾股定理的逆定理的三角形是直角三角形．
【详解】解：A. ，假设，则，解得：，即：，，，不能判定是直角三角形，符合题意；
B. ，∵，∴，能判定是直角三角形，不符合题意；
C. ，化简后得：，即：，可以判定是直角三角形，不符合题意；
D. ，∵，∴可以判断是直角三角形，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查直角三角形的判定，可以利用直角三角形的定义，三角形内角和定理，勾股定理的逆定理；关键是证明三角形中有一个角等于，即可判定为直角三角形．
5．有五根小木棒，其长度分别为7，15，24，25，现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可．
【详解】解：∵72=49，242=576，202=400，152=225，252=625，
∴72+242=252，152+202≠242，152+202=252，
∴A错误，B错误，C错误，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方．
6．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长，且a2＋b2＋c2＋200＝12a＋16b＋20c，则△ABC三条角平分线的交点到一条边的距离为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】先配方求a，b，c的值，再证明 如图，为的三条角平分线的交点，过作垂足分别为 则 再利用等面积法可得答案.
【详解】解：∵a2+b2+c2+200=12a+16b+20c．
∴a2-12a+36+b2-16b+64+c2-20c+100=0．
∴（a-6）2+（b-8）2+（c-10）2=0．
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0．
∴a=6，b=8，c=10．


如图，为的三条角平分线的交点，过作
垂足分别为 则

而
又

．
故选：B．
【点评】本题考查完全平方式的应用，非负数的性质，角平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，解题关键是正确配方求出a，b，c的值并判断三角形是直角三角形．
7．已知的三边分别为a、b、c，且，则的面积为（       ）
A．30 B．60 C．65 D．无法计算
【答案】A
【解析】根据算术平方根、绝对值、偶次方的非负性求出a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【详解】∵的三边分别为a、b、c，且
∴
∴
∴
∴△ABC是直角三角形，且边c的对角∠C=90°，
∴
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根、绝对值、偶次方的非负性，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识点，能求出a、b、c的值是解此题的关键．
8．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　）

A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】首先由勾股定理得AB，AC，BC的三边长，从而有AB2+AC2＝BC2，得∠BAC＝90°，再根据S△ABC，代入计算即可．
【详解】解：由勾股定理得：AB，AC，BC，
∵AB2+AC2＝25，BC2＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴S△ABC，
∴，
∴AD＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC＝90°是解题的关键．
9．若一个三角形的三边长为5，12，13，则最长边上的高为（   ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】C
【解析】首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算出斜边上的高即可．
【详解】解：∵，
∴该三角形是直角三角形，最长边是斜边13，
设该边上的高为h，由三角形的面积得：
        
解得：h
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，以及直角三角形的面积计算，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
10．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（   ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】根据折叠前后角相等可知△ABE≌△C'ED，利用勾股定理可求出．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠C=∠A=90°
由折叠的性质可得：C'D=CD=AB；∠C'=∠C=∠A
在△ABE与△C'ED中

∴△ABE≌△C'ED（AAS）
∴DE=BE
设DE=BE=x，则AE=8-x，AB=4，在直角三角形ABE中，


解得x=5
故选C．
【点评】本题考查勾股定理在折叠问题中的应用，找到合适的直角三角形构建等量关系是本题关键．
11．已知△ABC的三边a，b，c满足，则ABC的的面积为（     ）
A．12 B．6 C．15 D．10
【答案】B
【解析】三个非负数的和为0，则它们都为0．根据此性质可得a、b、c的值，由勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形，从而可求得△ABC的面积．
【详解】∵，，，且
∴，，
∴b-4=0，2c-6=0，3a-15=0
即b=4，c=3，a=5
∵
∴由勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形，且a是斜边
∴
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根、绝对值、平方的非负性，勾股定理的逆定理，三角形面积的计算等知识，关键是非负性的应用．
12．如图，在中，在同一平面内，分别以、、为边向形外作等边、等边、等边，若，且，，则（   ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分别求出等边三角形ABE和BCF的面积，根据求出AC的长，再根据勾股定理逆定理判断△是直角三角形，再根据面积公式求结论即可．
【详解】解：如图1，

在等边三角形中，当边长为2a时，高为，用此结论可得：
∵为等边三角形，
∴高为
∴
∵为等边三角形，
∴高为
∴
∴
即：
解得：
在△中，
∴△是直角三角形，
∴
故选：C．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形面积公式等知识，AC=5是解答此题的关键．
13．如图，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，以AB为直径的半圆过点C，再分别以BC、AC为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为______．

【答案】30
【解析】根据勾股定理的逆定理可得出△ABC是直角三角形，再根据面积的和差关系可求阴影部分的面积．
【详解】解：∵52+122＝169＝132，
∴△ABC是直角三角形，
S阴影＝π（）2+π（）2﹣[π（）2﹣×5×12]＝30．
故答案为：30．
【点评】考查了勾股定理的逆定理，观察图形的特点，用各面积相加减，可得出阴影部分的面积．
14．已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足，则这个三角形的形状是_______．
【答案】直角三角形
【解析】根据绝对值、完全平方数和算数平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得：，
∵，
∴三角形为直角三角形．
故答案为直角三角形．
【点评】本题主要考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理，运用非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键．
15．如图，在中，，，，把折叠，使AB落在直线AC上，则重叠部分（阴影部分）的面积是______．

【答案】9
【解析】由勾股定理的逆定理即可判断△ABC是直角三角形，由折叠的性质可得CE=4，用勾股定理可求出CD的长度，从而可得答案．
【详解】解：∵AC=6，BC=8，
∴AC2+BC2=62+82=100，
∵AB=10，
∴AB2=100，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
∵把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，
∴AE=AB=10，BD=ED，
∵AC=6，
∴EC=AE-AC=4， 设CD=x，则DE=BD=8-x，
在Rt△ECD中，CE2+CD2=DE2，
∴42+x2=（8-x）2， 解得x=3，
∴CD=3，
∴重叠部分（阴影部分）的面积S=AC•CD=×6×3=9，
故答案是：9．
【点评】本题考查勾股定理及逆定理的应用，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理列方程．
16．已知在中，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则的最小值是_________．

【答案】##
【解析】先根据勾股定理的逆定理可得，再作点关于的对称点，连接，然后根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，线段的值最小，最小值为，最后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】解：在中，，
，
是直角三角形，且，
如图，作点关于的对称点，连接，

，
，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，最小，最小值为，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，
又，
，
解得，
即的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的逆定理是解题关键．
17．在正方形中,点在边上，点在线段上，且则_______度，四边形的面积_________.

【答案】     ，    
【解析】（1）将已知长度的三条线段通过旋转放到同一个三角形中，利用勾股定理即可求解；
（2）过点A作于点G，在直角三角形BGA中求出AB长，算出正方形ABCD的面积、三角形APB和三角形APD的面积，作差即得四边形的面积
【详解】解：（1）将绕点A旋转后得到，连接

绕点A旋转后得到




根据勾股定理得



（2）过点A作于点G

由（1）知，即为等腰直角三角形，


根据勾股定理得



故答案为(1). ，       (2).
【点评】本题考查了旋转的性质及勾股定理和逆定理，利用旋转作出辅助线是解题的关键.
18．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有_____________ (填序号)
①△BPQ是等边三角形   ②△PCQ是直角三角形     ③∠APB=150°   ④∠APC=135°

【答案】①②③
【解析】【详解】解：∵△ABC是等边三角形，

∵△BQC≌△BPA，
∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，

∴△BPQ是等边三角形，①正确.
∴PQ=BP=4，


即△PQC是直角三角形，②正确.
∵△BPQ是等边三角形，

∵△BQC≌△BPA，
∴∠APB=∠BQC，
③正确.



即④错误.
故答案为①②③.
19．在△ABC中，已知三角形的三边长，求这个三角形的面积．

(1)如图1，已知AC＝5，BC＝12，AB＝13，则△ABC的面积是______；
(2)如图2，已知BC＝10，AB＝AC＝13，求△ABC的面积；
(3)如图3，已知AC＝8，BC＝10，AB＝12，求△ABC的面积．
【答案】(1)30
(2)60
(3)15
【解析】（1）根据勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，再求面积即可；
（2）作AD⊥BC于D，由等腰三角形三线合一的性质及勾股定理求出AD的长度，再根据面积公式计算即可；
（3）作CD⊥AB于D，先由勾股定理计算出CD的长度，再根据面积公式计算即可．
(1)
∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴△ABC的面积＝AC×BC＝×5×12＝30；
故答案为：30；
(2)
作AD⊥BC于D，如图2所示：

∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝BC＝5，
∴AD＝＝＝12，
∴△ABC的面积＝BC×AD＝×10×12＝60；
(3)
作CD⊥AB于D，如图3所示：

由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，即82﹣AD2＝102﹣（12﹣AD）2，
解得：AD＝，
∴CD＝＝，
∴△ABC的面积＝AB×CD＝×12×＝15．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．如图，已知CD＝4，AD＝3，∠ADC＝90°，BC＝12，AB＝13．

(1)求AC的长．
(2)求图中阴影部分图形的面积．
【答案】(1)AC＝5
(2)24
【解析】（1）由勾股定理直接计算即可；
（2）先通过勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，再计算面积即可．
(1)
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，
由勾股定理，得：AC＝＝＝5；
∴AC的长为5．
(2)
∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴图中阴影部分图形的面积＝S△ABC﹣S△ACD＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握知识点并能够正确区分它们的应用是解题的关键．
21．如图，某小区有一块形状为四边形ABCD的空地，开发商计划沿对角线AC将空地分成两个三角形区域，并将△ABC区域设为电瓶车充电站，△ACD区域设为垃圾分类台，并量得AB=40米，BC=30米，米，∠D=90°．求电瓶车充电站（△ABC区域）的面积．

【答案】电瓶车充电站（△ABC区域）的面积为600平方米
【解析】根据勾股定理求出AC的长度，再求出AB2+BC2的值，再根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，最后根据三角形的面积公式求出答案即可．
【详解】解：∵∠D=90°
∴△ABC是直角三角形
∴
又∵米
∴米
又∵米．米
∴，
∴△ABC为直角三角形，且∠B=90°，
∴（平方米）．
即电瓶车充电站（△ABC区域）的面积为600平方米．
【点评】本题考查了三角形的面积，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，证明△ABC是直角三角形是解此题的关键．
22．阜宁市民广场要对如图所示的一块空地进行草坪绿化，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，绿化草坪价格150元/米．求这块地草坪绿化的价钱．

【答案】3600元
【解析】用勾股定理计算AC的长，再用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再用三角形面积公式计算凹四边形ABCD的面积，最后计算这块地草坪绿化的价钱．
【详解】解：连接AC，，
∵，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴，
（元）．
答：这块地草坪绿化的价钱为3600元．


【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，三角形面积公式，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练运用三角形面积公式，熟练计算绿地造价．
23．如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即）．

(1)若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
(2)请你判断C岛在A港的什么方向 ，并说明理由．
【答案】(1)3h
(2)C岛在A港的北偏西40°方向．
【解析】（1）理由勾股定理分别求得BD=80km，AC=75km，然后求出需要的时间；
（2）理由勾股定理的逆定理得到∠BAC=90°，得出结果．
(1)
解：在直角△ABD中，∠ADB=90°，
∴BD= (km)，
在直角△ACD中，∠ADC=90°，DC=BC-BD=45km，
∴AC=(km)，
轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为75÷25=3(h)，
故轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．
(2)
C岛在A港的北偏西40°方向；
理由：
∵752+1002=1252，
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴∠NAC=180°-∠BAC-∠BAS=40°，
∴C岛在A港的北偏西40°方向．
【点评】本题考查利用勾股定理和逆定理解决实际问题，解决问题的关键是构造直角三角形．
24．如图，四边形中，，，，．


(1)求的度数；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)

【解析】（1）连接BD，由一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判定△ABD为等边三角形，然后由勾股定理逆定理判定△BCD为直角三角形，即可求出∠ADC；
（2）分别计算等边三角形面积和直角三角形面积求和即可.
(1)
（1）连接BD，


∵∠A=60°，AB=AD，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AD=AB=2，
∴BD2+CD2=22+32=4+9=13，BC2==13，
∴BD2+CD2=13=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°+60°=150°．
(2)
作DE⊥AB于E，则∠DEB=90°，
∴BE=1，，
∴S四边形ABCD=S△DBC+S△ABD=×2×3+×2×=．
【点评】本题考查等边三角形的判定，直角三角形的判定，熟记判定定理是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，的各顶点分别为、、

(1)在平面直角坐标系中作，使与关于y轴对称；
(2)连接，，请判定的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析；△ABC’是等腰直角三角形，理由见解析
【解析】（1）找出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB、BC’、AC’，再利用勾股定理逆定理判断出三角形是等腰直角三角形．
(1)
解：所作如图所示

(2)
△ABC’如图所示，△ABC’是等腰直角三角形，

理由如下：
∵AB2=12+32=10,C’B2=12+32=10
∴AB=C’B=
∵AC’2=22+42=20
∴AB2+C’B2=AC’2，且∠ABC’＝90°
∴△ABC’是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，勾股定理和勾股定理逆定理，补充成网格结构并准确确定出对应点的位置是解题的关键．
26．如图，五边形ABCDE是某学校的一块空地，校方计划沿AC、AD修两条小路，并在△ACD内种植某种草皮，经测量，△ABC和△ADE恰好为两个等腰直角三角形，且∠B＝∠E＝90°，米，米，CD＝30米．求种植草皮部分（△ACD）的面积．

【答案】600平方米
【解析】△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，分别利用勾股定理求出AC与AD的长，由勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形，即可求出种植草皮部分（△ACD）的面积．
【详解】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠B＝∠E＝90°，
∴米，米，
∴米，米．
∵CD＝30米，
∵
∴．
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴（平方米）．
即种植草皮部分（△ACD）的面积为600平方米．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理的内容，会熟练应用是解题的关键．