2021-2022学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期期中数学试题 （解析版）

2021-2022学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．用数学归纳法证明，则从到时左边添加的项是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据式子的结构特征，求出当时，等式的左边，再求出 时，等式的左边，比较可得所求．

【详解】当时，等式的左边为，

当 时，等式的左边为，

故从“到”，左边所要添加的项是．

故选：D．

【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从到项的变化．

2．设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由，可得，解得或，根据等比数列的单调性的判定方法，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解，得到答案.

【详解】设等比数列的公比为，则，可得，解得或，

此时数列不一定是递增数列；

若数列为递增数列，可得或，

所以“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式与单调性，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记等比数列的单调性的判定方法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

3．设数列，下列判断一定正确的是

A．若，则为等比数列

B．若，则为等比数列

C．若，则为等比数列

D．若，则为等比数列

【答案】C

【详解】分析：根据等比数列的定义和判定方法逐一判断各选项.

详解：

选项A，由若，得，，，即后一项与前一项的比不一定为常数，故A错误.

选项B，当时，满足，但数列不是等比数列，故B错误.

选项C，，则，，所以，则数列为2为公比的等比数列，故C正确.

选项D，当时，满足，但数列不是等比数列，故D错误.

故选C.

点睛：证明或判断等比数列的方法

（1）定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；

（2）等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列；

（3）通项公式法　 (均是不为0的常数，)⇔是等比数列．

（4）特值法：若是选择题、填空题可以用特值法进行判断，特别注意的判断．

4．在以单循环的象棋比赛中（即每两个人之间比赛场），一盘棋中胜者得1分，负者得0分，若平局则各得0.5分.若已知比赛人数至少有17人，而最终得分不多于5分的人有11个，那么得8.5分的人有（       ）个

A．6 B．5 C．2 D．0

【答案】D

【分析】根据题意求出比赛的场次，由每局产生1分可知，所有比赛共产生的分数为136分，将最终得分不多于5分的人有11个人的分数除去后，把剩下的分数分给余下的6人，即可得出结论.

【详解】根据题意，至少要举行场比赛，

因为每局比赛产生1分，所以至少产生136分，

因为最终得分不多于5分的人有11个，那么这11人最多有55分，

所以最少有分需要被剩下的6人分配，

得分最多者全胜可得16分，其次是15分，14分，13分，12分，

5人得分70分，那最后一人最少也要得11分，

不可能得8.5分，

所以得8.5分的人有0个，

故选：D.

二、填空题

5．现有位教师要带个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级配一位教师带队，则不同的带队方案的种数为______（结果用数值表示）.

【答案】

【分析】根据排列数的知识可直接得到结果.

【详解】将位教师安排给个班级可得不同的带队方案有：种.

故答案为：.

6．曲线在点处切线的斜率为______.

【答案】0.5

【分析】由题设得，求出点处的导数，即可得出结果.

【详解】∵，

∴，

∴在点处切线的斜率为．

故答案为：

7．已知展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之和为72，则______.

【答案】3

【分析】根据展开式中，系数和与二项式系数和的求法，可以得出方程，进而可解出的值.

【详解】解：令，则各项系数的和为：，二项式系数为：，由题意可知：，，解得：，故.

故答案为：3

8．函数的单调递增区间为______．

【答案】

【分析】求出函数的导数，由导数大于0，结合指数函数的单调性，解不等式即可得到所求增区间．

【详解】函数f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex﹣1，

由f′（x）＞0，即ex﹣1＞0，ex＞1＝e0，

解得x＞0，

故答案为（0，+∞）．

【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间，考查运算能力，属于基础题．

9．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有__________种．

【答案】10

【分析】分类讨论：选择两门理科学科，一门文科学科；选择三门理科学科，即可得出结论．

【详解】选择两门理科学科，一门文科学科，有种；选择三门理科学科，有1种，

故共有10种．

故答案为10．

【点睛】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．

10．有6本互不相同的书，其中语文书2本、数学书2本、英文书2本，若将这些书排成一排放在书架上，则数学书排在一起的种数为______.

【答案】240

【分析】可采用捆绑法进行排列.

【详解】将两本数学书“绑”在一起看成一本书和其余4本书全排列共种排法，2本数学书之间有=2种排法，故总共有120×2=240种排法.

故答案为：240.

11．曲线在点处的切线方程为______.

【答案】

【分析】求出函数在处的导数值，利用导数的几何意义即可作答.

【详解】由求导得：，

当时，，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

故答案为：.

12．已知函数，若，则______.

【答案】－1

【分析】根据题意，由导数的定义可得，计算即可得出结果.

【详解】根据题意，由导数的定义可得

，

.

故答案为：－1.

13．对于任意正整数，定义“的双阶乘”如下：对于是偶数时，；对于是奇数时，.现有如下四个命题：①；②；③的个位数是；④的个位数是.正确的命题序号为______.

【答案】①②③④

【分析】根据的双阶乘的定义可直接验证知①正确；将展开式各项提出之后，即可知②正确；由展开式中含因数因数可知③正确；结合的个位数可推导得④正确.

【详解】对于①，，①正确；

对于②，，②正确；

对于③，的展开式中含因数，其个位数为，③正确；

对于④，，

的个位数与的个位数相同，个位数为；

又，的个位数与相同，个位数为，④正确.

故答案为：①②③④.

14．设是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为______.

【答案】

【分析】令，利用导数可得出单调性，即可解出不等式.

【详解】令，

则当时，，所以在单调递减，

因为是定义在R上的奇函数，所以是偶函数，在单调递增，

则，

由可得，

当时，，即，解得，

当时，，即，解得，

综上，不等式的解集为.

故答案为：.

三、解答题

15．已知等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列.

(1)求公差的值；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等比数列定义可得，利用表示出已知的等量关系，解方程组即可求得结果；

（2）利用等差数列求和公式可直接得到结果.

【详解】(1)成等比数列，，

由得：，解得：，

公差.

(2)由（1）得：.

16．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1) 求的值；

(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大

【答案】(1)因为时，所以；

(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：；

，令得函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，

所以当时函数取得最大值

答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.

【详解】(1)利用销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．把x=5,y=11代入,解关于a的方程即可求a..

(2)在（1）的基础上，列出利润关于x的函数关系式，

利润=销售量（销售单价－成品单价），然后利用导数求其最值即可.

17．设函数，其中.

(1)当时，讨论在其定义域上的单调性并说明理由；

(2)当时，求的最值及取得最值时的x的值.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）求出函数的导数后讨论其符号，从而可得函数的单调区间.

（2）就、分类讨论后可得其最值.

【详解】(1)当时，，

 ，

当或时，；当时，，

故的增区间为，减区间为，.

(2)当时，，

若，则任意，总有，

故在为增函数，故，，

若，因为在上为减函数，

且，，

故在有且只有一个零点，

且当，，当时，，

故在上为增函数，在为减函数，

故此时

而，故，

所以

.

而.

综上，当时，当时，，当时，，

当时，当时，，

当时，.

当时，当时，，

当时，.

【点睛】思路点睛：利用导数探求函数的最值时，如果导数的零点不容易求得，则可利用虚设零点的方法来求函数的最值，其中可利用零点满足的方程化简最值.

18．在等差数列和等比数列中，，，是数列前n项和.

(1)求；

(2)若，求证：“数列的所有项都在数列中”的充要条件为“b为正偶数”；

(3)是否存在正实数b，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中？若存在，求出一个可能的b的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)存在，（答案不唯一）

【分析】（1）依题意可求出公比，利用等比数列前n项和公式可求出结果；

（2）分别写出等差数列和等比数列的通项公式，利用二项式定理将的通项公式展开，进而可证明结论成立；

（3）存在时只要找一个，首先不能为整数，下面我们只要写两数列的通项公式，让，取特殊值求出，如取，可得，此时在数列中，由于，此时，会发现数列任意一项都不等于，因此命题得证，(如取其它的又可得到另外的值)．

【详解】(1)由题意可知，等比数列的公比，

所以当时，，，

当时，，

综上所述 ；

(2)必要性：

由题意可知，等差数列的公差为，

所以，

显然，均在数列中，

当时，

，

若使得数列的所有项都在数列中，

那么需为正整数，

所以当b为正偶数，

充分性：

当b为正偶数时，显然，均在数列中，

当时，

，

因为b为正偶数，所以为正整数，

所以数列的所有项都在数列中，

综上所述，“数列的所有项都在数列中”的充要条件为“b为正偶数”；

(3)由题意，因为均在数列中，

所以数列中至少存在一项在数列中，

另一项不在数列中，

由得，

取，时，得，

即，因为b为正实数，所以，

解得．此时，

当时，，，

若，则有，即，

显然对任意，，

综上，取．

(此问答案不唯一)