高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换测试题，共6页。

1．下列各式与tan 78°相等的是( D )
A．± eq \r(\f(1－cs 156°,1＋cs 156°))
B． eq \f(sin 78°,1＋cs 78°)
C． eq \f(sin 78°,1－cs 78°)
D． eq \f(1－cs 156°,sin 156°)
【解析】 tan 78°＝ eq \f(sin 78°,cs 78°) ＝ eq \f(2sin278°,2sin78°cs 78°) ＝ eq \f(1－cs 156°,sin 156°) .

2．若函数f(x)＝sin22x－ eq \f(1,2) ，则f(x)是( B )
A．周期为 eq \f(π,2) 的奇函数
B．周期为 eq \f(π,2) 的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为π的偶函数
【解析】f(x)＝sin22x－ eq \f(1,2) ＝ eq \f(1－cs4x,2) － eq \f(1,2) ＝－ eq \f(1,2) cs 4x，所以函数f(x)是周期为 eq \f(π,2) 的偶函数．
3．函数y＝ eq \f(sin x,1＋cs x) 的最小正周期等于( C )
A． eq \f(π,2) B．π
C．2π D．3π
【解析】 由y＝ eq \f(2sin \f(x,2)cs \f(x,2),2cs2\f(x,2)) ＝tan eq \f(x,2) ，
得最小正周期T＝ eq \f(π,\f(1,2)) ＝2π.
4． eq \f(cs 20°,cs 35°\r(1－sin 20°)) ＝( C )
A．1 B．2
C． eq \r(2) D． eq \r(3)
【解析】 原式＝ eq \f(cs210°－sin210°,cs35°（cs 10°－sin 10°）) ＝ eq \f(cs 10°＋sin 10°,cs 35°) ＝ eq \f(\r(2)cs 35°,cs 35°) ＝ eq \r(2) .
5．若0A．2 eq \r(2) B．－2 eq \r(2)
C．0 D．2
【解析】 因为06．设a＝ eq \f(1,2) cs 6°－ eq \f(\r(3),2) sin 6°，b＝2sin 13°cs 13°，c＝ eq \r(\f(1－cs 50°,2)) ，则有( C )
A．bC．a【解析】 a＝sin 30°cs 6°－cs 30°sin 6°＝sin (30°－6°)＝sin 24°，b＝2sin 13°cs 13°＝sin 26°，c＝sin 25°.因为y＝sin x在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0°，90°)) 上单调递增，所以a二、填空题
7．若cs 22°＝a，sin 11°＝__ eq \r(\f(1－a,2)) __，cs 11°＝__ eq \r(\f(1＋a,2)) __.
【解析】 cs 11°＝ eq \r(\f(1＋cs 22°,2)) ＝ eq \r(\f(1＋a,2)) ，
sin 11°＝ eq \r(\f(1－cs 22°,2)) ＝ eq \r(\f(1－a,2)) .
8．化简： eq \r(2＋2cs 4) ＋2 eq \r(1－sin 4) ＝__2sin__2－4cs__2__．
【解析】 eq \r(2＋2cs 4) ＋2 eq \r(1－sin 4) ＝2|cs 2|＋2|sin 2－cs 2|.因为 eq \f(π,2) <2< eq \f(3π,4) ，所以cs 2<0，sin 2>cs 2，
所以 eq \r(2＋2cs 4) ＋2 eq \r(1－sin 4) ＝2sin 2－4cs 2.
9．计算：tan 20°＋4sin 20°＝__ eq \r(3) __.
【解析】 tan 20°＋4sin 20°＝ eq \f(sin 20°,cs 20°) ＋4sin 20°
＝ eq \f(sin 20°＋4sin 20°cs 20°,cs 20°) ＝ eq \f(sin 20°＋2sin 40°,cs 20°) ＝
eq \f(sin 20°＋2cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(30°＋20°)),cs 20°) ＝ eq \f(sin 20°＋\r(3)cs 20°－sin 20°,cs 20°) ＝ eq \r(3) .
10．化简： eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cs 2α)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)<α<2π)) ＝__－cs__ eq \f(α,2) __.
【解析】 因为 eq \f(3π,2) <α<2π，所以 eq \f(3π,4) < eq \f(α,2) <π.
原式＝ eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1＋cs 2α,2))) ＝ eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)|cs α|) ＝ eq \r(\f(1＋cs α,2)) ＝ eq \r(cs2\f(α,2)) ＝－cs eq \f(α,2) .
11．函数y＝cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12))) ＋sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12))) －1的最小正周期为__π__，在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) 上单调递__增__(填“增”或“减”).
【解析】y＝cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12))) ＋sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12))) －1
＝ eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))),2) ＋ eq \f(1－cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))),2) －1
＝ eq \f(\f(\r(3),2)cs 2x＋\f(1,2)sin 2x－\f(\r(3),2)cs 2x＋\f(1,2)sin 2x,2)
＝ eq \f(1,2) sin 2x，所以T＝ eq \f(2π,2) ＝π.
由2kπ－ eq \f(π,2) ≤2x≤2kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，
得kπ－ eq \f(π,4) ≤x≤kπ＋ eq \f(π,4) ，k∈Z，
所以函数在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) 上单调递增．
三、解答题
12．已知tan θ＝ eq \f(1,3) ，求 eq \f(2cs2\f(θ,2)－sinθ－1,\r(2)sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))) 的值．
解： eq \f(2cs2\f(θ,2)－sinθ－1,\r(2)sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))) ＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(θ,2)－1))－sinθ,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θcs \f(π,4)＋cs θsin \f(π,4)))) ＝
eq \f(cs θ－sin θ,sin θ＋cs θ) ＝ eq \f(1－tan θ,tan θ＋1) .因为tan θ＝ eq \f(1,3) ，故原式＝ eq \f(1－\f(1,3),\f(1,3)＋1) ＝ eq \f(1,2) .
[B级 素养养成与评价]
13． eq \a\vs4\al(【多选题】) 下列各式中，值为 eq \f(1,2) 的是( ACD )
A． eq \f(tan 22.5°,1－tan222.5°)
B．tan15°cs215°
C． eq \f(\r(3),3) cs2 eq \f(π,12) － eq \f(\r(3),3) sin2 eq \f(π,12)
D． eq \r(\f(1－cs60°,2))
【解析】 A符合，原式＝ eq \f(1,2) × eq \f(2tan 22.5°,1－tan222.5°) ＝ eq \f(1,2) tan45°＝ eq \f(1,2) ；B不符合，原式＝sin 15°·cs 15°＝ eq \f(1,2) sin 30°＝ eq \f(1,4) ；C符合，原式＝ eq \f(\r(3),3) cs eq \f(π,6) ＝ eq \f(1,2) ；D符合，原式＝sin 30°＝ eq \f(1,2) .故选ACD.
14．已知sin θ＋cs θ＝ eq \f(1,5) ，且 eq \f(π,2) ≤θ≤π，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π－\f(θ,2))) ＝__ eq \f(2\r(5),5) __．
【解析】 因为 eq \f(π,2) ≤θ≤π，所以sin θ≥0，cs θ≤0，
且 eq \f(π,4) ≤ eq \f(θ,2) ≤ eq \f(π,2) .又sin θ＋cs θ＝ eq \f(1,5) ①，所以 (sin θ＋cs θ)2＝ eq \f(1,25) ，
所以2sin θcs θ＝－ eq \f(24,25) ，所以(cs θ－sin θ)2＝1－2sin θcs θ＝ eq \f(49,25) ，所以cs θ－sin θ＝－ eq \f(7,5) ②，联立①②，解得sin θ＝ eq \f(4,5) ，cs θ＝－ eq \f(3,5) ，所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π－\f(θ,2))) ＝sin eq \f(θ,2) ＝ eq \r(\f(1－cs θ,2)) ＝ eq \f(2\r(5),5) .
15．求证： eq \f(sin （α＋β）sin （α－β）,sin2αcs2β) ＝1－ eq \f(tan2β,tan2α) .
证明：证法一：因为sinα≠0，cs β≠0，所以tan α≠0.
左边＝
eq \f(（sin αcs β＋cs αsin β）（sin αcs β－cs αsin β）,sin2αcs2β) ＝
eq \f(sin2αcs2β－cs2αsin2β,sin2αcs2β) ＝1－ eq \f(cs2αsin2β,sin2αcs2β) ＝1－ eq \f(tan2β,tan2α) ＝右边．
所以原等式成立．
证法二：因为tanα≠0，cs β≠0，所以sin α≠0，
右边＝1－ eq \f(cs2αsin2β,sin2αcs2β) ＝ eq \f(sin2αcs2β－cs2αsin2β,sin2αcs2β)
＝ eq \f(（sinαcs β＋cs αsin β）（sin αcs β－cs αsin β）,sin2αcs2β)
＝ eq \f(sin（α＋β）sin （α－β）,sin2αcs2β) ＝左边．
所以原等式成立．
16．已知函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) ＋2cs2x－1.
(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的集合；
(2)若α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) ，且f(α)＝ eq \f(4,5) ，求cs2α的值．
解：(1)f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) ＋2cs2x－1
＝sin2x cs eq \f(π,6) －cs 2x sin eq \f(π,6) ＋cs 2x
＝ eq \f(\r(3),2) sin 2x＋ eq \f(1,2) cs 2x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) .
所以当2x＋ eq \f(π,6) ＝2kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，即x＝kπ＋ eq \f(π,6) ，k∈Z时，f(x)max＝1，相应x的取值集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝kπ＋\f(π,6)，k∈Z)))) .
(2)由(1)知f(α)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6))) ＝ eq \f(4,5) .由 eq \f(π,4) <α< eq \f(π,2) ，
得 eq \f(2π,3) <2α＋ eq \f(π,6) < eq \f(7π,6) ，所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6))) ＝－ eq \f(3,5) ，
因此cs 2α＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6)))－\f(π,6)))
＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6))) cs eq \f(π,6) ＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6))) sin eq \f(π,6)
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))) × eq \f(\r(3),2) ＋ eq \f(4,5) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(－3\r(3)＋4,10) ，