2022届福建省福州市高中毕业班5月质量检测数学试卷

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第 I 卷
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A = {2.3.4}，B = {1，3，4，5}，全集U = AUB，则CUA =
A.{2} B.{1，5}C.{2，3，4}D.{1，3，4，5}
2.设复数z满足（1 - i）z = 3 + i，则复平面内与z对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知向量a，b为单位向量，且a⊥b，则b·（4a - 3b） =
A. - 3B.3 C. - 5 D.5
4.某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图）.已知噪音的声波曲线y = Asin（ax + ）（其中 A > 0， a > 0，0≤φ< 2π）的振幅为1， 周期为π，初相为 π 2 ，则用来降噪的声波曲线的解析式为
A. y = sin2xB.y = cs2xC.y = -sin2xD.y = - cs2x
5.已知函数f（x）= csπx x2+1 ，以下结论中错误的是
A.f（x）是偶函数 B.f（x）有无数个零点
C.f（x）的最小值为 - 1 2 D.f（x）的最大值为1
6.在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线
AB = 2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则
A.AE = CF，AC与EF是共面直线B.AE≠CF，AC与EF是共面直线
C.AE = CF，AC与EF是异面直线D.AE≠CF，AC与EF是异面直线
7.定义在R上的函数f（x）满足f（2 - x） = 2 - f（x），若f（x）的图象关于直线x = 3对称，则下列选项中一定成立的是
A.f（- 3） = 1B. f（0） = 0C.f（3） = 2D. f（5） = - 1
8.已知数列{an}，{bn}的通项分别为an = 2n，bn = 2n + 1.现将{an}和{bn}中所有的项，按从小到大的顺序排成数列{cn}，则满足c1 + c2 + c3 + … + cn > 20cn+1的n的最小值为
A.21 B.38 C.43 D.44
二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若 - 1 < a < b < 0，则
A. 1 a > 1 b B.a2 + b2 > 2ab
C. a + b > 2 D.a + 1 a > b + 1 b
10.某质量指标的测量结果服从正态分布N（80，2），则在一次测量中
A.该质量指标大于80的概率为0.5
B.越大，该质量指标落在（70，90）的概率越大
C.该质量指标小于60与大于100的概率相等
D.该质量指标落在（75，90）与落在（80，95）的概率相等
11.已知抛物线y2 = 2px（p > 0）的准线为l，点M在抛物线上，以M为圆心的圆与l相切于点N，点A（5，0）与抛物线的焦点F不重合，且|MN| = |MA|，∠NMA = 120°，则
A.圆M的半径是4
B.圆M与直线y = -1相切
C.抛物线上的点P到点A的距离的最小值为4
D.抛物线上的点P到点A，F的距离之和的最小值为4
12.一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫、6只白猫.把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫.猫争先恐后地往外钻.如果10只猫都钻出了笼子，事件Ak表示“第k只出笼的猫是黑猫”，k = 1，2，…，10，则
A.P（A1A2）= 2 3 B.P（A1 + A2）= 2 3
C.P（A2|A1）= 1 3 D.P（A10|A2）= 1 3
第Ⅱ卷
三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13.已知2sin（a - π 3 ） = csα，则tanα = _________ .
14.双曲线 x2 a2 − y2 b2 = 1（a > 0，b > 0）的一条渐近线为y = 2x，则它的离心率是 _____ .
15.某地在20年间经济高质量增长，GDP的值P（单位:亿元）与时间t（单位:年）之间的关系为P（t）= P（1 + 10%）t，其中P为t = 0时的P值.假定P = 2，那么在t = 10时，GDP 增长的速度大约是 _______ . （单位:亿元/年，精确到0.01亿元/年）注:1.110 ≈ 2.59，当x取很小的正数时，ln（1 + x）≈ x .
16.已知正方体ABCD - ABCD的棱长为，以A1为球心，半径为2的球面与底面ABCD的交线的长度为 _________ .
四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①a2 = 2a1；②数列{lnan}是等差数列；③数列{Sn + a1}是等比数列;.
注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
18.（12分）
某种疾病可分为A，B两种类型.为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某
地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患A型疾病的人数占男性患者的 5 6 ，女性患A型疾病的人数占女性患者的 1 3 .
（1）若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病类型’与”性别’有关“的结论，求被调查的男性患者至少有多少人?
（2）某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为m（m > 0）元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为p（0 < p < 1），如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期.若p = 2 3 ，试验人数为1000人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用.


19.（12分）
如图1，在△ABC中，∠C = 90°，BC =，AC = 3，E是AB的中点，D在AC上，DE⊥AB.沿着DE将△ADE折起，得到几何体A - BCDE，如图2.
（1）证明:平面ABE⊥平面BCDE；
（2）若二面角A - DE - B的大小为60°，求直线AD与平面ABC所成角的正弦值.
20.（12分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinC = 2sinAsinB，点D在边AB上，且CD⊥AB.
（1）证明:CD = 1 2 c:
（2）若a2 + b2 = ab，求∠ACB.
21.（12分）
在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线x = 2的距离和点P到点C（1,0）的距离的比为，记点P的轨迹为T.
（1）求T的方程;
（2）若不经过点C的直线l与T交于M，N两点，且∠OCM = ∠xCN，求△CMN面积的最大值.
22.（12分）
设函数 f（x）= xex-1 + a，曲线y = f（x）在x = -1处的切线与y轴交于点（0，e - 1 e2 ）.
（1）求a;
（2）若当x∈[ - 2，+）时，f（x）≥b（x - 1），记符合条件的b的最大整数值、最小整数值分别为 M ， m，求 M + m.
注: e = 2.71828…为自然对数的底数.