高中数学讲义微专题78 定值问题学案

www.ks5u.com第78炼 圆锥曲线中的定值问题

一、基础知识：

    所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值。

1、常见定值问题的处理方法：

（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示

（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数。

2、定值问题的处理技巧：

（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向。

（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢

（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算

二、典型例题：

例1：已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，右焦点，双曲线的实轴为，为双曲线上一点（不同于），直线分别于直线交于两点

（1）求双曲线的方程

（2）试判断是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由

解：（1）由可得，且焦点在轴上

所以设双曲线方程为：，则渐近线方程为

   由解得：

双曲线方程为

（2）由（1）可得：，设

设，联立方程解得：

同理：设，联立方程可得：

下面考虑计算的值

在双曲线上   

所以为定值

例2：已知椭圆的离心率为，且过点

（1）求椭圆方程

（2）设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率依次为，且满足，试问：当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由

解：（1）由可得：

椭圆方程为代入可得：

解得：    

椭圆方程为

（2）设，联立方程可得：

消去可得：，整理可得：

依题意可知：

即  ①

由方程可得：

代入①可得：

，整理可得：

可知为定值，与的取值无关

例3：已知椭圆经过点，，动点

（1）求椭圆标准方程

（2）设为椭圆的右焦点，过作的垂线与以为直径的圆交于点，求证：的长为定值，并求出这个定值

解：（1）由可得：

椭圆方程可转化为：，将代入椭圆方程可得：

，解得：

椭圆方程为

（2）由（1）可得：   

思路一：通过圆的性质可得，而（设垂足为），由双垂直可想到射影定理，从而，即可判定为定值

，设与相交于

则解得：

为圆的直径     

由射影定理可得：

思路二：本题也可从坐标入手，设，则只需证明为定值即可，通过条件寻找关系，一方面：，可得；另一方面由点在圆上，可求出圆的方程，从而，展开后即可得到为定值

解：设，则

的中点坐标为，  

以为直径的圆方程为：

代入，可得：

即

例4：已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点，斜率为的直线与椭圆交于两点，为坐标原点

（1）求椭圆的方程

（2）设，延长分别与椭圆交于两点，直线的斜率为，求证：为定值

解：（1），设

由可得：

（2）由（1）可得 ，设

可得：

联立方程

同理，直线与椭圆交点的坐标为

设   ，代入可得：

小炼有话说：本题中注意的变形：可通过直线方程用表示，代入后即可得到关于的表达式

例5：已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点

（1）求椭圆的标准方程

（2）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线的横纵截距分别为，求证：为定值

解：（1）依可知   椭圆方程为代入解得：

椭圆方程为

（2）思路：由（1）可得：，可设，由题意可知为过作圆切线所产生的切点弦，所以,从而可得，所以，由椭圆方程可得，从而为定值

解：由（1）可得：

设    可知是过作圆切线所产生的切点弦

设，由是切点可得：

，代入：，

即 ，同理可知对于，有

因为在圆上

      为直线上的点

因为两点唯一确定一条直线

，即

由截距式可知

在椭圆上

即为定值

小炼有话说：

（1）本题定值是通过整体代入的手段，即抓住最后的特点整体消去所得，所以在处理定值问题时，涉及的变量个数可以多，但是要有一定的条件保证能够消去。

（2）本题求直线方程的过程即为切点弦公式证明的过程，此时抓住两点所在方程“同构”的特点，从而确定直线方程

注：切点弦方程：过圆外一点作圆的切线，切点为，则切点弦的方程为：

例6：如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆，设为椭圆上任意一点。过原点作圆的两条切线，分别交椭圆于

（1）若直线相互垂直，求的方程

（2）若直线斜率存在，并记为，求证：是一个定值

（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由

解：（1）由可得

   ，即

联立方程：或或或

的方程为：

或或

或

（2）思路：可设直线，均与圆相切，可得（其中）化简可得：，可发现均满足此方程，从而为的两根。则，再利用椭圆方程消元即可得到定值

解：设

与相切

化简可得：

对于，同理可得：

为的两根

（3）思路：设，，由第（2）问所得结论，可以考虑通过联立直线与椭圆方程将坐标分别用进行表示，再判断是否为定值

解：当不在坐标轴上时，设

同理可得：

若在坐标轴上（不妨设在轴）上，则

综上所述，为定值

例7：已知椭圆，称圆心在原点，半径为的圆为椭圆的“准圆”，若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为

（1）求椭圆的方程及其“准圆”方程

（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点

① 当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明

② 求证：线段的长为定值

解：（1）依题意可得：，

（2）① 由（1）可得，设切线方程为：

联立方程：消去可得：

整理可得：

解得：

所以

② 设 

则，消去可得：

整理可得：

整理后可得：

同理，对于设切线的斜率为，则有：

     在“准圆”上

所以    为“准圆”的直径

为定值，

例8：已知点在椭圆上，椭圆的左焦点为

（1）求椭圆的方程

（2）直线过点交椭圆于两点，是椭圆经过原点的弦，且，问是否存在正数，使得为定值？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。

解：（1）由左焦点可得，由

，代入可得：解得：

（2）思路：由所求可联想到弦长公式，除了所求变量，直线的另一核心要素为斜率（假设存在），通过可联想到弦长公式，所以分别将直线的方程与椭圆方程联立，进而为关于的表达式，若为常数，则意味着与的取值无关，进而确定的值

 设直线,，联立方程：

设 ，则

所以若是个常数，

也为的形式，即

此时，当直线斜率不存在时，可得符合题意

小炼有话说：本题在判断 的取值也可通过精确的计算得到，通过分式变形化为只有一项含的表达式：

，若的值与无关，则

例9：如图，已知椭圆的离心率为 ，以椭圆的左顶点为圆心作圆，设圆与椭圆交于点源:Z_xx_k.Com]

（1）求椭圆的方程；

（2）求的最小值，并求此时圆的方程 [来源:学§科§网][来源:Z|xx|k.Com]

（3）设点是椭圆上异于的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值．

解（1）圆的圆心

椭圆方程为：

（2）由圆与椭圆关于轴对称可得：关于轴对称

设，则，且有

由可得：

因为在椭圆上（非长轴顶点） 

时，，将代入可得

即，代入到圆方程可得：

（3）思路：依图可知所可翻译为坐标运算即，且 分别为直线与轴的交点，可设出，从而结合和计算出的方程，从而可用进行表示，再根据椭圆方程进行消元即可。

解：设，由可得：

   的方程为：

令，可解得：

同理可解得与轴的交点的横坐标

所以 ①

因为，均在椭圆上

，代入到①可得：

所以，即为定值

例10：如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于和，且满足，其中为常数且，当点恰为椭圆右顶点时，对应的

（1）求椭圆的方程

（2）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由

解：（1）由可得：

若为右顶点，则   ，设

由可得：

代入可得，代入椭圆方程可得：

解得  

椭圆方程为：

（2）解：设

由，可得： ，因为在椭圆上

所以有：，代入并整理可得：

整理②可得：

同理可得：对于，则有

，即为定值