2022届重庆市育才中学高三上学期一诊模拟（二）数学试题含解析

2022届重庆市育才中学高三上学期一诊模拟（二）数学试题

一、单选题

1．设集合，，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】把分式不等式转化为等价不等式组，求出集合，即可求出.

【详解】不等式等价于，解得.

.

.

故选：.

【点睛】本题考查解分式不等式和集合的运算，属于基础题.

2．若点在角的终边上，则的值为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】【详解】试题分析：因为，所以，故选D．

【解析】任意角的三角函数值．

3．某校学生的男女人数之比为2：3，按照男女比例通过分层随机抽样的方法抽到一个样本，样本中男生每天运动时间的平均值为100分钟、女生为80分钟．结合此数据，估计该校全体学生每天运动时间的平均值为（       ）

A．98分钟 B．88分钟 C．90分钟 D．85分钟

【答案】B

【分析】根据样本中男女的均值，应用平均值的求法求该校全体学生每天平均运动时间.

【详解】由题设，若该校男生人数为，则女生人数为，

∴该校全体学生每天运动时间的平均值为分钟.

故选：B.

4．2021年寒假，重庆一中书院“云”课堂为了解决孩子们在平时学习中的困惑、遗漏等，各个学科为了孩子们量身定制了各重点章节的微课．其中高三年级数学学科安排了，，三位老师录制“数列”、“三角函数”、“立体几何”、“概率统计”、“解析几何”、“函数与导数”，每位老师录制两章节，其中老师不录制“函数与导数”，老师不录制“三角函数”，则安排录制微课的情况一共有（       ）

A．30种 B．36种 C．42种 D．48种

【答案】C

【分析】分两类讨论，即老师录制三角函数与另一门微课和老师不录制三角函数，然后分别求解即可．

【详解】①老师录制三角函数与另一门微课，则老师有种录课方法，

老师有种录课方法，老师有种录课方法，

则共有种，

②老师不录制三角函数，则老师有种录课方法，

老师有种录课方法，老师有种录课方法，

则共有种，

综上，共有种方法，

故选：C．

5．已知等差数列前n项和为，且，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题设及等差数列前n项和公式可得，求的数量关系，进而求即可.

【详解】设等差数列的公差为，

由题设，，可得，

∴.

故选：D.

6．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离（如图），其中为雷达天线架设高度，为探测目标高度，R为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km，故R远大于，．假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离412km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（       ）

（参考数据：）

A．6400m B．8100m C．9100m D．10000m

【答案】C

【分析】根据题意，列出关于的方程，然后求解即可.

【详解】根据题意知，，

由

因为R远大于，

∴

，

解得.

∴舰载预警机的巡航高度至少约为9100m.

故选：C

7．已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意有可得坐标，进而求得的中点坐标，代入双曲线方程得到参数的齐次方程，即可求离心率.

【详解】依题意知，若双曲线焦点为，，

∴，则△的高为，即，

∴，代入双曲线方程：，整理得：，

∵，

∴，整理得，得，

∵，

∴．

故选：D．

【点睛】关键点点睛：利用双曲线、等边三角形、中点的性质求点坐标，由点在双曲线上可得双曲线参数的齐次方程.

8．已知函数，若函数与有相同的最小值，则的最大值为（       ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】首先利用导数求解函数的单调性，再根据函数值域与定义域的关系即可得出结论.

【详解】根据题意，求导可得，，

∵（ ），

∴在上单调递增，

又∵当时，

∴当时，，即函数在上单调递减，

当时，，即函数在上单调递增，

故有，即得，

所以根据题意，若使，需使的值域中包含，

即得，

故的最大值为2.

故选：B.

【点睛】求函数最值和值域的常用方法：

（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；

（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；

（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；

（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；

（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.

二、多选题

9．已知，则下列叙述中正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．“”是“”的充分不必要条件

D．命题“，”的否定是“，”

【答案】BC

【解析】利用赋值法可判断选项A；去绝对值后可判断选项B；根据充分条件和必要条件的可判断C；根据含有一个命题的否定可判断D.

【详解】对A，当，时， 不成立，故A错误；

对B，因为，即，所以，所以，故B正确；

对C，当时，，所以，故充分性成立；

当，即或，故不一定成立，故必要性不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；

对D，命题“，”的否定是“，”，故D错误.

故选：BC

10．已知函数（其中，，）的部分图像，则下列结论正确的是（       ）

A．函数的图像关于直线对称

B．函数的图像关于点对称

C．将函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，则为奇函数

D．函数在区间上单调递增

【答案】ACD

【解析】根据函数图象求得解析式，再根据三角函数图象性质及伸缩平移变换分别判断各个选项.

【详解】由图象得函数最小值为，故，

，故，，

故函数，

又函数过点，

故，解得，

又，即，

故，

对称轴：，解得，当时，，故A选项正确；

对称中心：，解得，对称中心为，故B选项错误；

函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，为奇函数，故C选项正确；

的单调递增区间：，解得，又，故D选项正确；

故选：ACD.

11．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则下列结论正确的是（       ）

A．直线DB1与平面AEF垂直

B．直线A1G与平面AEF平行

C．平面AEF截正方体所得的截面面积为

D．三棱锥A1−AEF的体积等于

【答案】BD

【分析】对于A，B，利用空间向量判断，对于C，由题意可得截面为梯形，利用梯形面积公式求解即可，对于D，利用空间向量求出到平面的距离，然后利用体积公式求解即可

【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，

所以，，所以，所以与不垂直，所以直线DB1与平面AEF不垂直，所以A错误，

对于B，设平面的法向量为，则

，令，则，

因为，所以，所以，因为A1G在平面AEF外，所以直线A1G与平面AEF平行，所以B正确，

对于C，由题意可得截面为梯形，则，梯形的高为，所以截面的面积为，所以C错误，

对于D，因为平面的法向量为，，所以到平面的距离为，因为，所以，因为，所以，所以，所以三棱锥A1−AEF的体积为，所以D正确，

故选：BD

12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.

【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时

第2次得到数列1,4,3,5,2，此时

第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时

第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时

第次得到数列1，，2 此时

所以，故A项正确；

结合A项中列出的数列可得：

用等比数列求和可得

则

又

所以 ，故B项正确；

由B项分析可知

即，故C项错误.

，故D项正确.

故选：ABD.

【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.

三、填空题

13．已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数______．

【答案】

【分析】应用复数的除法化简，再根据其为纯虚数可得，即可求参数.

【详解】由题设，为纯虚数，

∴，可得.

故答案为：.

14．某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则方差______．

【答案】

【分析】根据某人共有三发子弹可得，2，3，然后求得其相应概率，再由期望公式求、，最后根据求值.

【详解】由题意知：，2，3，

，，，

∴的分布列为：

∴，，

∴.

故答案为：.

15．已知，则_____________．

【答案】180

【分析】将改写成，利用二项式的展开式的通项公式即可求出结果.

【详解】因为，

其展开式的通项公式为，

令，则，

故答案为为：180.

16．在长方体，底面是边长为4的正方形，侧棱（），点是的中点，点是侧面内的动点（包括四条边的点），且满足，则四棱锥的体积的最大值是______．

【答案】

【分析】利用长方体的几何性质确定和均为直角三角形，然后表示出，得到，以所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出点的轨迹方程，由此得到点到平面的最大距离，最后由锥体的体积公式求解即可．

【详解】在长方体中，因为平面，平面，

所以和均为直角三角形，

所以，，

又，

所以，即，

以所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，

则，，设，

根据，则有，

化简整理可得，（其中，，

则当时，，

所以点到平面的最大距离为，

又四边形的面积为，

所以四棱锥的体积的最大值为．

故答案为：．

四、解答题

17．2021年秋，某市突发新冠疫情，随后经过各方的不懈努力，疫情得到全面控制，全市开始有序复工复产复学．该市某校高三年级为做好复学准备，对本年级的所有学生进行了问卷调查，其中一项为调查学生作业中的错题数量，为方便统计，现将调查结果分成了5组：、、、、[50，60]，并得到如下频率分布直方图：

(1)请根据以上信息，求的值，并求这组数据的中位数（结果保留两位小数）；

(2)为做进一步的了解，需从每组中抽取若干人进行电话专访．已知错题数在和的学生中利用分层抽样的方式共抽取了5人，再从5人中随机抽取3人进行电话专访，错题数在的回答3个问题，错题数在的回答5个问题，各个问题均不相同．用表示抽取的3名学生回答问题的总个数，求的概率．

【答案】(1)，中位数为38.33；

(2).

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1，即可求得；再根据中位数的求解方法，计算面积之和为时对应的值，即可求得中位数；

（2）根据题意求得时，对应的抽取情况，利用古典概型的概率计算公式即可求得结果.

(1)

根据频率分布直方图可得，解得，

因为，

所以中位数位于之间，设中位数为，

则，

解得，故中位数为38.33；

(2)

因为[50,60）和频率比为，按照分层抽样抽取5人，

则中抽2人，中抽3人；

因为从5人中随机抽取3人进行问卷调查，错题数在的回答5道题，错题数的回答3道题，

回答题目总个数为13个，则从的2人中抽2人，从的3人中抽1人，

设的人为，设的3人为,则所有的抽取情况有如下种：

其中满足题意的有如下种：

则时的概率．

18．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足

（1）求的值；

（2）若点D为边的中点，，求的值．

【答案】（1）4；（2）．

【分析】（1）由，带入余弦定理整理可得，所以，带入即可得解；

（2）作边上的高，垂足为E，因为，所．

又，所以，因为点D为边的中点且，所以，再根据勾股定理即可得解.

【详解】（1）因为，

所以，

即．

又，

所以．

（2）如图，作边上的高，垂足为E，

因为，所以．

又，所以．

因为点D为边的中点，，所以．

在直角三角形中，，所以．

在直角三角形中，，所以．

19．已知数列满足．

（1）求；

（2）求数列的前n项和；

（3）已知是公比q大于1的等比数列，且，，设，若是递减数列，求实数的取值范围

【答案】（1）（2）（3）．

【分析】（1）利用项和转换可得，即得；

（2），裂项求和法可得解；

（3）代入，可得．，转化是递减数列为恒成立，化简可得，恒成立，又是递减数列，即得解.

【详解】（1）由题意，数列的前n项和．

当时，有，所以．

当时，

．

所以，当时，．

又符合时与n的关系式，所以．

（2），

．

（3）由，得．又，所以．

所以．．

因为是递减数列，所以，

即．化简得．

所以，恒成立．

又是递减数列，

所以的最大项为．

所以，即实数的取值范围是．

【点睛】本题考查了数列综合，考查了项和转换、裂项求和、数列的单调性等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.

20．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，且．

（1）求证：平面；

（2）设二面角为．若，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）要证明平面，关键在于在平面中找到一条直线平行于，已知，连接，可以根据相似证明线线平行，进而得出线面平行；

（2）要求直线与平面所成角的正弦值，先求点到平面的距离，再求的长，进而可得正弦值.

【详解】（1）证明：连接，交于，

因为，，所以，，

因为，所以∽，

，所以，

因为平面，平面，所以平面.

（2）解：取中点，连接、，

因为为正三角形，所以，，

因为为直角梯形，，，，

所以四边形为矩形，所以，

因为，所以平面，所以平面平面，

因为，所以平面，

所以，，

所以，设，

由余弦定理得，

于是，

整理得，解得或（舍去），

取中点，连接，

因为，所以，

又因为平面平面，所以平面，

即线段的长为点到平面的距离，

因为，平面，平面，

所以平面，

所以的长也是点到平面的距离，

而，，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：

①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；

②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.

21．已知椭圆：（）的左、右焦点分别是，，点，若的内切圆的半径与外接圆的半径比是1：2．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知，过作斜率互为相反数的两直线、分别与椭圆交于、两点（，两点位于轴下方），求三角形的面积取得最大值时的直线的方程．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）设△的内切圆的半径为，根据，推出，设△的外接圆的半径为，在△中，由正弦定理可得，进而可得，解得，，进而可得答案．

（2）设，，，，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得，，由直线与斜率互为相反数，推出，化简可得，点到直线的距离，弦长，进而可得，，利用函数的思想求出面积最大时，的值，即可得出答案．

【详解】（1）设△的内切圆的半径为，

所以，

又，

所以，

设△的外接圆的半径为，

在△中，，

所以，

所以，

因为，即，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，即，

所以，

所以椭圆的方程为．

（2）由题知直线的斜率存在，设为，

设直线的方程为，

联立，得，

所以△

，

设，，，，

所以，，

因为直线与斜率互为相反数，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以或，

当时，直线的方程为，

此时直线过点，不合题意，

所以，直线的方程为，即，

点到直线的距离，

所以

，

所以

，，

令，

，

令，解得或，

所以或，

又因为，

所以在上单调递增，

在，上单调递减，在上单调递增，

在，上单调递减，

当时，，

当时，，

所以当时，最大，最大，

所以直线的方程为．

22．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，求函数在上的零点个数.

【答案】（1）答案见解析；（2）2个.

【分析】（1）求导得到，再对分类讨论得到函数的单调性；

（2）由题得，再对分三种情况讨论得解.

【详解】（1），其定义域为，

①当时，因为，所以在上单调递增，

②当时，令得，令得

所以在上单调递减，上单调递增，

综上所述：

当时，在上单调递增；

当时，在单调递减，单调递增，

（2）已知得，

则

①当时，因为

所以在单调递减，

所以，

所以在上无零点；

②当时，因为单调递增，且，，

所以存在，使

当时，，

当时，

所以在递减递增，且，所以，

又因为

所以

所以在上存在一个零点，

所以在上有两个零点；

③当时，，

所以在单调递增

因为，所以在上无零点；

综上所述，在上的零点个数为个.

【点睛】方法点睛：函数的零点问题常见的解法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接研究函数的图象得解）；（3）方程+图象法（令得到，再研究函数图象性质即得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.