2023届高考一轮复习加练必刷题第42练　平面向量的概念及线性运算【解析版】

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考点一 平面向量的概念
1．设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
答案 A
解析 方法一 利用向量加法的平行四边形法则．
在▱ABCD中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(DB,\s\up6(→))|，
从而四边形ABCD为矩形，
即AB⊥AD，故a⊥b.
方法二 ∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2，
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，
∴a·b＝0.∴a⊥b.
2．(2022·成都适应性考试)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相反
B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a|
D．|－λa|≥|λ|a
答案 B
解析 当λ>0时，a与λa的方向相同，A错；a与λ2a的方向相同，B正确；当|λ|<1时，|－λa|<|a|，C错；|－λa|＝|λ||a|，D错．
3.如图所示，在正六边形ABCDEF中，eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))等于( )
A．0 B.eq \(BE,\s\up6(→))
C.eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(CF,\s\up6(→))
答案 D
解析 根据正六边形的性质，
易得，eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))
＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))
＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CF,\s\up6(→)).
考点二 平面向量的线性运算
4.(2022·北京海淀区模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝eq \f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则eq \(DE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))
B.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))
D.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))
答案 A
解析 由题意及图得
eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(DC,\s\up6(→))＋\(CA,\s\up6(→))))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))
＝eq \(DC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)).
5.(2022·泰安模拟)如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝neq \(AN,\s\up6(→))，则m＋n等于( )
A．1 B.eq \f(3,2) C．2 D．3
答案 C
解析 由题意得eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)meq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)neq \(AN,\s\up6(→))，
又O，M，N三点共线，所以eq \f(1,2)m＋eq \f(1,2)n＝1.
即m＋n＝2.
6．(多选)(2022·襄阳质检)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点
B．若eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，则点M在边BC的延长线上
C．若eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(BM,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))，则点M是△ABC的重心
D．若eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq \f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq \f(1,2)
答案 ACD
解析 若eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点，故A正确；
若eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，即有eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，
即eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，
则点M在边CB的延长线上，故B错误；
若eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(BM,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))，
即eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝0，
则点M是△ABC的重心，故C正确；
如图，eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，
且x＋y＝eq \f(1,2)，
可得2eq \(AM,\s\up6(→))＝2xeq \(AB,\s\up6(→))＋2yeq \(AC,\s\up6(→))，
设eq \(AN,\s\up6(→))＝2eq \(AM,\s\up6(→))，
则M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的eq \f(1,2)，故D正确．
考点三 共线定理及其应用
7．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－3a＋6b，eq \(CD,\s\up6(→))＝4a－b，则( )
A．A，B，D三点共线
B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线
D．A，C，D三点共线
答案 A
解析 由题意得eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝a＋5b＝eq \(AB,\s\up6(→))，又eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))有公共点B，所以A，B，D三点共线．
8．(2022·德州模拟)已知eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋teq \(PC,\s\up6(→))，若A，B，C三点共线，则eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|,|\(AC,\s\up6(→))|)为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(2,5) C.eq \f(1,2) D．2
答案 C
解析 ∵eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋teq \(PC,\s\up6(→))，且A，B，C三点共线，
则eq \f(2,3)＋t＝1，
解得t＝eq \f(1,3)，
即eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PC,\s\up6(→))，
即eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(PA,\s\up6(→))－\(PB,\s\up6(→))))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(PC,\s\up6(→))－\(PA,\s\up6(→))))，
即2eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，
即eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|,|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2).
9．(多选)(2022·深圳模拟)设a，b是不共线的两个平面向量， 已知eq \(PQ,\s\up6(→))＝a＋sin α·b，其中α∈(0,2π)，eq \(QR,\s\up6(→))＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(5π,6) C.eq \f(7π,6) D.eq \f(11π,6)
答案 CD
解析 因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2a－b≠0．即eq \(QR,\s\up6(→))≠0，因为P，Q，R三点共线，所以eq \(PQ,\s\up6(→))与eq \(QR,\s\up6(→))共线，所以存在实数λ，使eq \(PQ,\s\up6(→))＝λeq \(QR,\s\up6(→))，所以a＋sin α·b＝2λa－λb，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝2λ，,sin α＝－λ，))解得sin α＝－eq \f(1,2).又α∈(0,2π)，故α的值可为eq \f(7π,6)或eq \f(11π,6).
10．(2022·青岛模拟)已知a，b不共线，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，eq \(OD,\s\up6(→))＝d，eq \(OE,\s\up6(→))＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，若存在实数t使C，D，E三点在一条直线上，则t＝________.
答案 eq \f(6,5)
解析 由题设知，eq \(CD,\s\up6(→))＝d－c＝2b－3a，
eq \(CE,\s\up6(→))＝e－c＝(t－3)a＋tb，
又C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得eq \(CE,\s\up6(→))＝keq \(CD,\s\up6(→))，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，
所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t－3＋3k＝0，,2k－t＝0，))解得t＝eq \f(6,5).
11．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(3EC,\s\up6(→))，F为AE的中点，则eq \(BF,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→)) B.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
C．－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→)) D．－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
答案 C
解析 如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，
所以eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(GD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))－\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(AD,\s\up6(→))))－eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→)).
12．(2022·湖南师大附中月考)如图，在平面四边形ABCD中，已知△ABC的面积是△ACD的面积的3倍．若存在正实数x，y使得eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－3))eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,y)))eq \(AD,\s\up6(→))成立，则eq \f(3,x)＋eq \f(1,y)的值为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
答案 A
解析 如图，连接BD，设AC与BD交于点O，过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F.
若△ACB的面积是△ADC的面积的3倍，则3DF＝BE.
根据相似三角形的性质可知，3eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))，
所以3(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→)).
设eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(λ,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3λ,4)eq \(AD,\s\up6(→)).
因为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－3))eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,y)))eq \(AD,\s\up6(→))，
所以1－eq \f(1,y)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－3))，所以eq \f(3,x)＋eq \f(1,y)＝10.
13．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，给出下列命题：①eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a－b；②eq \(BE,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b；③eq \(CF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b；④eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝0．
其中正确命题的序号为________．
答案 ②③④
解析 eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a－b，故①错；
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b，故②正确；
eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(－a＋b)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，故③正确；
eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝－b－eq \f(1,2)a＋a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)a＝0，故④正确．
所以正确命题的序号为②③④.
14．(2022·杭州模拟)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为矩形ABCD所在平面上一点，满足PB⊥PD，则|eq \(PA,\s\up6(→))|的最大值是________，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|的值是________．
答案 5 5
解析 因为P为矩形ABCD所在平面上一点，且满足PB⊥PD，所以点P的轨迹为以BD为直径的圆(不含点B，D)，如图，
设BD的中点为O，由题意知BD＝5，所以⊙O的半径r＝eq \f(5,2)，由圆的性质可得|eq \(PA,\s\up6(→))|max＝2r＝5，
由矩形的性质可得O也为AC的中点，
所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))|＝|2eq \(PO,\s\up6(→))|＝2r＝5.