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2022年中考数学压轴题突破专题08 函数与几何综合问题
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这是一份2022年中考数学压轴题突破专题08 函数与几何综合问题，共90页。
2022年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）
专题8 函数与几何综合问题
【真题再现】
1．（2021·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上．
（1）①如图，在点、、中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_______；
（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；
（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．
2．（2021·江苏无锡·中考真题）已知四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，设．
（1）如图1，若点E在线段上运动，交于点P，交于点Q，连结，
①当时，求线段的长；
②在中，设边上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
（2）设过的中点且垂直于的直线被等腰直角三角形截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．
3．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点．
（1）k＝ ；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标： ．
4．（2021·江苏泰州·中考真题）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．
（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．你选择的条件是 （只填序号）．
5．（2021·江苏常州·中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．
①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．
①当时，__________；当时，________；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
6．（2021·江苏盐城·中考真题）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点．经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图像上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题．
【初步感知】
如图1，设，，点是一次函数图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点．
（1）点旋转后，得到的点的坐标为________；
（2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式．
【深入感悟】
（3）如图2，设，，点反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积．
【灵活运用】
（4）如图3，设A，，点是二次函数图像上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．
7．（2020年泰州第23题）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．
（1）用含x的代数式表示AD的长；
（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．
8．（2020年泰州第21题）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内．
（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若a＝25，A点的坐标为（3，1），求P点的坐标．
9．（2020年无锡第27题）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S．
（1）若DE=33，求S的值；
（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．
10．（2020年南通第21题）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
11．（2020年盐城第27题）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1～4．
（Ⅰ）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝22，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米）
AC
2.8
2.7
2.6
2.3
2
1.5
0.4
BC
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
AC+BC
3.2
3.5
3.8
3.9
4
3.9
3.2
（Ⅱ）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析：
①BC＝x，AC+BC＝y，以（x，y）为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点：
②连线：
观察思考
（Ⅲ）结合表中的数据以及所画的图象，猜想．当x＝____时，y最大；
（Ⅳ）进一步猜想：若Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝2a（a为常数，a＞0），则BC＝____时，AC+BC最大．
推理证明
（Ⅴ）对（Ⅳ）中的猜想进行证明．
问题1，在图①中完善（Ⅱ）的描点过程，并依次连线；
问题2，补全观察思考中的两个猜想：（Ⅲ） ；（Ⅳ） ；
问题3，证明上述（Ⅴ）中的猜想；
问题4，图②中折线B﹣﹣E﹣﹣F﹣﹣G﹣﹣A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A，B间的距离是4厘米，AG＝BE＝1厘米．∠E＝∠F＝∠G＝90°．平行光线从AB区域射入，∠BNE＝60°，线段FM、FN为感光区域，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．
【专项突破】
1．（2021·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段的中点，D是线段上一个动点，连接，将沿直线翻折，使得点A落在点E处，射线交直线于点F．
（1）连接，求的长；
（2）若点F在线段上，连接，当时，求的长；
（3）以F为圆心，长为半径作，若与x轴相切于点T，求点F的坐标．
2．（2021·江苏省天一中学三模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1＝y2．给出如下定义：若平面上存在一点P，使APB是以线段AB为斜边的直角三角形，则称点P为点A、点B的“直角点”．
（1）已知点A的坐标为(1，0)．
①若点B的坐标为(5，0)，在点P1(4，3)、P2(3，﹣2)和P3(2，)中，是点A、点B的“直角点”的是 ；
②点B在x轴的正半轴上，且AB＝，当直线y＝x+b上存在点A、点B的“直角点”时，求b的取值范围；
（2）⊙O的半径为r，点D(1，3)为点E(0，1)、点F(m，n)的“直角点”，若使得DEF与⊙O有交点，请直接写出半径r的取值范围．
3．（2021·江苏·泰兴市实验初级中学一模）阅读理解：对于线段MN和点Q，定义：若QM＝QN，则称点Q为线段MN的“等距点”；特别地，若∠MQN＝90°，则称点Q是线段MN的“完美等距点”．
解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(4，0)，点P(m，n)是直线y＝﹣x上一动点．
（1）已知4个点：B(2，﹣3)、C(2，﹣2)、D(﹣2，2)、E(2，)，则线段OA的“等距点”是 ，线段OA的“完美等距点”是 ．
（2）若OP＝，点H在y轴上，且H是线段AP的“等距点”，求点H的坐标；
（3）当m＞0，是否存在这样的点N，使点N是线段OA的“等距点”且为线段OP的“完美等距点”，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
4．（2021·江苏无锡·一模）将一矩形纸片放在直角坐标系中，为原点，在轴上，，．
（1）如图1，在上取一点，将沿折叠，使点落至边上的点，求直线的解析式；
（2）如图2，在、边上选取适当的点、，将沿折叠，使点落在边上的点，过作于点点，交于点．
①求证：；
②设，探求与满足的等量关系式，并将用含的代数式表示（指出变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当时，点在直线上，问坐标轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2021·江苏南通·一模）如图①，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线 运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是．现 ，两点同时出发，设运动时间为，的面积为 ，与的对应关系如图②所示．
（1）在图①中， ，矩形的周长为 ；
（2）求图②中线段对应的函数解析式．
6．（2021·江苏·盐城市初级中学一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与 x轴交于AB两点，点B在点A的右侧，顶点为C，直线CA交 y 轴于点D，且△ABC的面积是△DAB面积的2倍．
（1）抛物线的对称轴为__________；
（2）求点A坐标；
（3）若tan∠ABC=2，求抛物线的函数表达式．
7．（2021·江苏·苏州市振华中学校二模）如图（1），四边形ABCD的顶点A、D、C分别在x、y轴的正半轴上，AD∥BC，OC＝4cm．动点E从点C出发，沿C→D→A→B→C匀速运动，动点F以每秒1cm的速度从C出发沿线段CB向点B来回运动，当E点运动到点C点时，两点同时停止运动．若点E、F同时出发运动t秒后，如图（2）是△OEC的面积S（cm2）与t（秒）的函数关系图象，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG．
（1）填空：点E的运动速度是 ，B点坐标为 ．
（2）当0≤t＜4秒时，
①t为何值时，以O、C、E为顶点的三角形与△BFG相似？
②是否存在这样的时刻t，使点G正好落在线段AB上，若存在，求此时的t，若不存在，请说明理由．
8．（2021·江苏·常州外国语学校二模）如图，点A（2，n）和点D是反比例函数y（m＞0，x＞0）图象上的两点，一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接OA，OD．已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB：S△ODE＝3：4．
(1)S△OAB＝ ，m＝ ；
(2)已知点P（6，0）在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标．
9．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）如图，直线与反比例函数交于、B两点，过点A作x轴的垂线与过点B垂直于y轴的直线交于点C，且的面积为8，
（1）求反比例函数解析式；
（2）点E、F是第一象限内反比例函数上两点，设点E的横坐标为a，点F的横坐标为b，，连接、、、，试比较与的大小，并说明理由．
10．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，已知∠A=90°， AB=AC，A (-4，0)、B(0，2)、C(d，4)．
（1）求d的值：
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数y1的图象上．请求出这个反比例函数y1和此时的直线B′C′的解析式y2；
（3）当x满足什么条件时，y1＞y2．
11．（2021·江苏·镇江实验学校一模）如图，点A是坐标原点，点D是反比例函数图像上一点，点B在x轴上，，四边形是平行四边形，交反比例函数图像于点E．
（1）平行四边形的面积等于______；
（2）设D点横坐标为m，试用m的代数式表示点E的坐标；（要有推理和计算过程）
（3）的最小值为______．
12．（2021·江苏·苏州市金阊实验中学校一模）如图，在直角坐标系中，为原点，直线分别与轴､轴交于点､点，四边形是矩形，且点在轴正半轴上，连接于点，反比例函数（）经过点，
（1）求点的坐标及的值；
（2）若将绕点逆时针旋转，点､点分别对应点､点，再将向右平移个单位，若平移后点在反比例函数图像上，求的值．
13．（2021·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，过点作轴垂线交反比例函数（）图像于点．在延长线上取点，连接，交反比例函数（）图像于点，连接，．
（1）求的值；
（2）在轴正半轴上取点，当平分时，求点的坐标．
14．（2021·江苏镇江·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为．
（1）求k的值．
（2）设点M在反比例函数图象上，连接，，若的面积是菱形面积的，求点M的坐标．
15．（2021•宿迁模拟）如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=k2x的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．
（1）求反比例函数y2=k2x与一次函数y1＝k1x+b的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
16．（2021•天宁区校级模拟）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=6x（x＞0）的图象交于A（m，6），B（2，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若M是x轴上一点，且△MOB和△AOB的面积相等，求M点坐标．
17．（2020•张家港市模拟）如图，▱OABC的边OA在x轴的正半轴上，OA＝5，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点C（1，4）．
（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；
（2）过AB的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接CP，OP．求△COP的面积．
18．（2021•泗洪县二模）如图，已知反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．
（1）求k的值；
（2）若BD＝3OC，求四边形ACED的面积．
19．（2020•常州二模）如图，在直角坐标系中，正方形ABCD绕点A（0，6）旋转，当点B落在x轴上时，点C刚好落在反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象上．已知sin∠OAB=55．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）反比例函数y=kx的图象是否经过AD边的中点，并说明理由．
20．（2021•靖江市模拟）如图，平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=kx（k≠0）的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（3）过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D，点C是直线BE上一点，若AD＝3CD，求点C的坐标．
21.（2021•东台市模拟）如图所示，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式．
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．
22．（2020•泰兴市模拟）在平面直角坐标系中，过点P（0，a）作直线l分别交y=mx（m＞0、x＞0），y=nx（n＜0，x＜0）于点M、N，
（1）若m＝4，MN∥x轴，S△MON＝6，求n的值；
（2）若a＝5，PM＝PN，点M的横坐标为3，求m﹣n的值．
（3）如图，若m＝4，n＝﹣6，点A（d，0）为x轴的负半轴上一点，B为x轴上点A右侧一点，AB＝4，以AB为一边向上作正方形ABCD，若正方形ABCD与y=mx（m＞0、x＞0），y=nx（n＜0，x＜0）都有交点，求d的范围．
2022年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）
专题8 函数与几何综合问题
【真题再现】
1．（2021·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上．
（1）①如图，在点、、中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_______；
（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；
（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）①B；②；（2）或；（3）或．
【解析】
【分析】
由材料可知关联点的实质就是将点A绕y轴上点T顺时针或逆时针旋转90度的得到点．故先找到旋转90°坐标变化规律，再根据规律解答即可，
（1）①根据关联点坐标变化规律列方程求解点T坐标，有解则是关联点；无解则不是；②关联点的纵坐标等于0，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可；
（2）根据关联点坐标变化规律得出关联点，列不等式求解即可；
（3）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点E坐标求出点Q坐标即可．
【详解】
解：在平面直角坐标系中，设，点，关联点，
将点A、点、点T向下平移个单位，点T对应点与原点重合，此时点A、点对应点、，
∵绕原点旋转90度的坐标变化规律为：点（x，y）顺时针旋转，对应点坐标为（y，-x）；逆时针旋转对应点坐标为（-y，x），
∴绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为或，
即顺时针旋转时，解得：，即关联点，
或逆时针旋转时，，解得：，即关联点，
即：在平面直角坐标系中，设，点，关联点坐标为或，
（1）①由关联点坐标变化规律可知，点关于在y轴上点的关联点坐标为：或，
若点是关联点，则或，解得：，即y轴上点或，故点是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
故答案为：B；
②由关联点坐标变化规律可知，点关于点的关联点的坐标为或，
若，解得：，此时即点，不在线段上；
若，解得：，此时即点，在线段上；
综上所述：若在线段上存在点的关联点，则点
故答案为：；
（2）设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为点在一次函数的图像上，即：，
点在线段上，点、，
当∴，
∴，
∴，
或，
∴，
当；
综上所述：当或时，在线段上存在点Q的关联点．
（3）对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，
故点E与点Q也是关于同一点的关联，设该点，则
设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为在一次函数的图像上，即：，
∵点，
若，解得：，
即点，
若，解得：，
即点，
综上所述：或．
【点睛】
本题主要考查了坐标的旋转变换和一次函数图像上点的特征，解题关键是总结出绕点旋转90°的点坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解．
2．（2021·江苏无锡·中考真题）已知四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，设．
（1）如图1，若点E在线段上运动，交于点P，交于点Q，连结，
①当时，求线段的长；
②在中，设边上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
（2）设过的中点且垂直于的直线被等腰直角三角形截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．
【答案】（1）①；②，h最大值=；（2）
【解析】
【分析】
（1）①过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于点M，先证明，可得FM =，CM=，进而即可求解；②由，得CP=，把绕点A顺时针旋转90°得，可得EQ =DQ+BE，利用勾股定理得DQ=，EQ=，QP=，结合三角形面积公式，即可得到答案；
（2）以点B为坐标原点，BC 所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)，F(1+m，m)，从而求出AE的解析式为：y=x+1，AF的解析式为：y=x+1，EF的解析式为：y=mx-m2，再分两种情况：①当0≤m≤时，②当m＞时，分别求解即可．
【详解】
解：（1）①过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于点M，
∵在等腰直角三角形中，，AE=FE，在正方形中，∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=∠FEM+∠AEB，
∴∠BAE=∠FEM，
又∵∠B=∠FME，
∴，
∴FM=BE=，EM=AB=BC，
∴CM=BE=，
∴CF=；
②∵∠BAE=∠FEC，∠B=∠ECP=90°，
∴，
∴，即：，
∴CP=，
把绕点A顺时针旋转90°得，则AG=AQ，∠GAB=∠QAD，GB=DQ，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠QAD=∠BAE+∠GAB=90°-45°=45°，即：∠GAE=∠EAF=45°，
∵∠ABG=∠ABE=90°，
∴B、G、E三点共线，
又∵AE=AE，
∴，
∴EQ=EG=GB+BE=DQ+BE，
∴在中，，即：，
∴DQ=，
∴EQ= DQ+BE=+m=，QP=1--()=，
∴，即：×(1-m)= ×h，
∴=，即m=时，h最大值=；
（3）以点B为坐标原点，BC 所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)，
∵直线m过AB的中点且垂直AB，
∴直线m的解析式为：x=，
过点F作FM⊥x轴于点M，由（1）可知：，即FM=BE，EM=AB，
∴F(1+m，m)，
设AE的解析式为：y=kx+b，
把E(m，0)，A(0，1)代入上式，得，解得：，
∴AE的解析式为：y=x+1，
同理：AF的解析式为：y=x+1，EF的解析式为：y=mx-m2，
①当0≤m≤时，如图，G(，)，N(，m-m2)，
∴y=-(m-m2)=，
②当m＞时，如图，G(，)，N(，)，
∴y=-=，
综上所述：．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，添加辅助线构造全等三角形，建立坐标系，把几何问题用代数的方法解决，是解题的关键．
3．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点．
（1）k＝ ；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标： ．
【答案】（1）2；（2）见解析；（3），．
【解析】
【分析】
（1）将E点坐标代入函数解析式即可求得k值；
（2）根据AAS可证，根据全等三角形面积相等即可得证结论；
（3）设A点坐标为（a，），则可得C（0，），D（0，﹣），根据勾股定理求出a值，即可求得A点的坐标．
【详解】
解：（1）点是反比例函数图象上的点，
，
解得，
故答案为：2；
（2）在和中，
，
，
，
点坐标为，则可得，
，，
即，
整理得；
（3）设点坐标为，
则，，
，，
，
即，
解得（舍去）或，
点的坐标为，．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解题的关键．
4．（2021·江苏泰州·中考真题）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．
（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．你选择的条件是 （只填序号）．
【答案】（1），见解析；（2）见解析，①（也可以选择②）
【解析】
【分析】
（1）观察函数的图象即可作出判断，再根据A、B两点在反比例函数图象上，把两点的坐标代入后作差比较即可；
（2）若选择条件①，由面积的值及OC的长度，可得OD的长度，从而可得点B的坐标，把此点坐标代入函数解析式中，即可求得k；若选择条件②，由DB=6及OC=2，可得BE的长度，从而可得AE长度，此长度即为A、B两点纵坐标的差，（1）所求得的差即可求得k．
【详解】
（1）由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故；
当x=-6时，；当x=-2时，
∵，k＜0
∴
即
（2）选择条件①
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴OD∙OC=2
∵OC=2
∴OD=1
即
∴点B的坐标为(-6,1)
把点B的坐标代入y＝中，得k=-6
若选择条件②，即BE=2AE
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴DE=OC，CE=OD
∵OC=2，DB=6
∴BE=DB-DE=DB-OC=4
∴
∵AE=AC-CE=AC-OD=
即
由（1）知：
∴k=-6
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质、矩形的判定与性质、大小比较，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．
5．（2021·江苏常州·中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．
①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．
①当时，__________；当时，________；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
【答案】（1）①，=；②＞，＞；（2）①，1；②l的最小值是1，理由见详解
【解析】
【分析】
（1）①先证明，从而得，进而得CD的值，根据直角三角形的性质，直接得CE的值；②根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论；
（2）①把m，n的值直接代入=进行计算，即可；②过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，画出图形，用矩形的面积表示，进而即可得到结论．
【详解】
解：（1）①∵，
∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，即：∠A=∠BCD，
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴，
∴，即：，
∴，即：（负值舍去），
∵E是的中点，
∴==；
②∵，，
∴＞，即：＞．
故答案是：＞；
（2）①当时，==，
当时，==，
故答案是：，1；
②l的最小值是：1，理由如下：
由题意得：M(m，)，N(n，)，过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，
==
=[（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积+③的面积 +④的面积）]
= [（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+③的面积]
=(1+1+1+1+③的面积)≥1，
∴l的最小值是1．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，反比例函数的图像和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
6．（2021·江苏盐城·中考真题）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点．经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图像上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题．
【初步感知】
如图1，设，，点是一次函数图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点．
（1）点旋转后，得到的点的坐标为________；
（2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式．
【深入感悟】
（3）如图2，设，，点反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积．
【灵活运用】
（4）如图3，设A，，点是二次函数图像上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在最小值，
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的定义得，观察点和在同一直线上即可直接得出结果．
（2）根据题意得出的坐标，再利用待定系数法求出原一次函数表达式即可．
（3）先根据计算出交点坐标，再分类讨论①当时，先证明再计算面积．②当-时，证，再计算即可．
（4）先证明为等边三角形，再证明，根据在中，，写出，从而得出的函数表达式，当直线与抛物线相切时取最小值，得出，由计算得出的面积最小值．
【详解】
（1）由题意可得:
∴的坐标为
故答案为：；
（2）∵，由题意得
坐标为
∵，在原一次函数上，
∴设原一次函数解析式为
则
∴
∴原一次函数表达式为；
（3）设双曲线与二、四象限平分线交于点，则
解得
①当时
作轴于
∵
∴
∵
∴
∴在和中
∴
即；
②当-时
作于轴于点
∵
∴
∴
∴
∴
在和中
∴
∴；
（4）连接，，将，绕逆时针旋转得，，作轴于
∵，
∴
∴
∴为等边三角形，此时与重合，即
连接，∵
∴
∴在和中
∴
∴，
∴作轴于
在中，
∴
∴，即，此时的函数表达式为：
设过且与平行 的直线解析式为
∵
∴当直线与抛物线相切时取最小值
则
即
∴
当时，得
∴
设与轴交于点
∵
∴
【点睛】
本题考查旋转、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式、反比例函数的几何意义、两函数的交点问题，函数的最小值的问题，灵活进行角的转换是关键．
7．（2020年泰州第23题）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．
（1）用含x的代数式表示AD的长；
（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理，用x表示CD，进而求得结果；
（2）根据三角形的面积公式列出函数解析式，再根据函数性质求出S随x增大而减小时x的取值范围．
【解析】（1）∵PD∥AB，
∴CPCB=CDCA，
∵AC＝3，BC＝4，CP＝x，
∴x4=CD3，
∴CD=34x，
∴AD＝AC﹣CD＝3−34x，
即AD=−34x+3；
（2）根据题意得，S=12AD⋅CP=12x(−34x+3)=−38(x−2)2+32，
∴当x≥2时，S随x的增大而减小，
∵0＜x＜4，
∴当S随x增大而减小时x的取值范围为2≤x＜4．
8．（2020年泰州第21题）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内．
（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若a＝25，A点的坐标为（3，1），求P点的坐标．
【分析】（1）根据角平分线的性质即可用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a；
（2）在（1）的条件下，根据a＝25，A点的坐标为（3，1），利用勾股定理即可求P点的坐标．
【解析】（1）如图，点P即为所求；
（2）由（1）可得OP是角平分线，设点P（x，x），
过点P作PE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，AD⊥PE于点D，
∵PA＝a＝25，A点的坐标为（3，1），
∴PD＝x﹣1，AD＝x﹣3，
根据勾股定理，得
PA2＝PD2+AD2，
∴（25）2＝（x﹣1）2+（x﹣3）2，
解得x＝5，x＝﹣1（舍去）．
所以P点的坐标为（5，5）．
9（2020年无锡第27题）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S．
（1）若DE=33，求S的值；
（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．
【分析】（1）根据三角函数的定义得到∠AED＝60°，根据平行线的性质得到∠BAE＝60°，根据折叠的性质得到∠AEC＝∠AEM，推出△APE为等边三角形，于是得到结论；
（2）过E作EF⊥AB于F，由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PAE，求得AP＝PE，设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，根据勾股定理列方程得到a=x2+12x，于是得到结论．
【解析】（1）∵在矩形ABCD中，∠D＝90°，AD＝1，DE=33，
∴AE=AD2+DE2=233，
∴tan∠AED=ADDE=3，
∴∠AED＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝60°，
∵四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，
∴∠AEC＝∠AEM，
∵∠PEC＝∠DEM，
∴∠AEP＝∠AED＝60°，
∴△APE为等边三角形，
∴S=12×（233+33）×1=32；
（2）过E作EF⊥AB于F，
由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PAE，
∴AP＝PE，
设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，
则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，
在Rt△PEF中，（a﹣x）2+1＝a2，解得：a=x2+12x，
∴S=12⋅x×1+12×x2+12x×1=12x+x2+14x=3x2+14x．
10．（2020年南通第21题）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
【分析】（1）把点C的坐标代入y＝x+3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
【解析】（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴k+b=43k+b=0，解得k=−2b=6，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
11．（2020年盐城第27题）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1～4．
（Ⅰ）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝22，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米）
AC
2.8
2.7
2.6
2.3
2
1.5
0.4
BC
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
AC+BC
3.2
3.5
3.8
3.9
4
3.9
3.2
（Ⅱ）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析：
①BC＝x，AC+BC＝y，以（x，y）为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点：
②连线：
观察思考
（Ⅲ）结合表中的数据以及所画的图象，猜想．当x＝____时，y最大；
（Ⅳ）进一步猜想：若Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝2a（a为常数，a＞0），则BC＝____时，AC+BC最大．
推理证明
（Ⅴ）对（Ⅳ）中的猜想进行证明．
问题1，在图①中完善（Ⅱ）的描点过程，并依次连线；
问题2，补全观察思考中的两个猜想：（Ⅲ） 2 ；（Ⅳ） 2a ；
问题3，证明上述（Ⅴ）中的猜想；
问题4，图②中折线B﹣﹣E﹣﹣F﹣﹣G﹣﹣A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A，B间的距离是4厘米，AG＝BE＝1厘米．∠E＝∠F＝∠G＝90°．平行光线从AB区域射入，∠BNE＝60°，线段FM、FN为感光区域，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．
【分析】问题1：利用描点法解决问题即可．．
问题2：利用图象法解决问题即可．
问题3：设BC＝x，AC﹣BC＝y，根据一元二次方程，利用根的判别式解决问题即可．
问题4：延长AM交EF的延长线于C，过点A作AH⊥EF于H，过点B作BK⊥GF于K交AH于Q．证明FN+FM＝EF+FG﹣EN﹣GM＝BK+AH−33−3=BQ+AQ+KQ+QH−433=BQ+AQ+2−433，求出BQ+AQ的最大值即可解决问题．
【解析】问题1：函数图象如图所示：
问题2：（Ⅲ）观察图象可知，x＝2时，y有最大值．
（Ⅳ）猜想：BC=2a．
故答案为：2，BC=2a．
问题3：设BC＝x，AC+BC＝y，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°
∴AC=AB2−BC2=4a2−x2，
∴y＝x+4a2−x2，
∴y﹣x=4a2−x2，
∴y2﹣2xy+x2＝4a2﹣x2，
∴2x2﹣2xy+y2﹣4a2＝0，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△＝4y2﹣4×2×（y2﹣4a2）≥0，
∴y2≤8a2，
∵y＞0，a＞0，
∴y≤22a，
当y＝22a时，2x2﹣42ax+4a2＝0
∴（2x﹣2a）2＝0，
∴x1＝x2=2a，
∴当BC=2a时，y有最大值．
问题4：延长AM交EF的延长线于C，过点A作AH⊥EF于H，过点B作BK⊥GF于K交AH于Q．
在Rt△BNE中，∠E＝90°，∠BNE＝60°，BE＝1cm，
∴tan∠BNE=BEEN，
∴NE=33（cm），
∵AM∥BN，
∴∠C＝60°，
∵∠GFE＝90°，
∴∠CMF＝30°，
∴∠AMG＝30°，
∵∠G＝90°，AG＝1cm，∠AMG＝30°，
∴在Rt△AGM中，tan∠AMG=AGGM，
∴GM=3（cm），
∵∠G＝∠GFH＝90°，∠AHF＝90°，
∴四边形AGFH为矩形，
∴AH＝FG，
∵∠GFH＝∠E＝90°，∠BKF＝90°
∴四边形BKFE是矩形，
∴BK＝FE，
∵FN+FM＝EF+FG﹣EN﹣GM＝BK+AH−33−3=BQ+AQ+KQ+QH−433=BQ+AQ+2−433，
在Rt△ABQ中，AB＝4cm，
由问题3可知，当BQ＝AQ＝22cm时，AQ+BQ的值最大，此时EF＝（1+22）cm，
∴BQ＝AQ＝22时，FN+FM的最大值为（42+2−433）cm，此时EF＝（1+22）cm．
【专项突破】
一、解答题
1．（2021·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段的中点，D是线段上一个动点，连接，将沿直线翻折，使得点A落在点E处，射线交直线于点F．
（1）连接，求的长；
（2）若点F在线段上，连接，当时，求的长；
（3）以F为圆心，长为半径作，若与x轴相切于点T，求点F的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】
【分析】
（1）根据直线与坐标轴的交点特点，求出点A、B的坐标，得到OA=8，OB=6，根据点C为OA的中点，得到OC=4，用勾股定理求出答案即可；
（2）过点D作DH⊥x轴于H，先证明Rt△BCE≅Rt△BCO，再证明△DCH∼△CBO，得到
，再根据求出结论；
（3）连接，则轴．设，则，分两种情况讨论，利用勾股定理与点在函数图象上计算出结论．
【详解】
解：（1）当时，．
∴．
当时，．
∴．
∵点C是线段的中点，
∴．
∴．
（2）如图，过点D作轴于H．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
设，则．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．·
（3）连接，则轴．设，则．
分两种情形：
①如图，点F在线段上，
则，．
在中，．
∴．
解得（舍去），．
把代入得．
∴．
②如图，点F在线段的延长线上．则，．
在中，．
∴．
解得（舍去），．
把代入得．
∴．
由上①②可得，点F的坐标是或．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数与圆的有关性质，正确作出辅助线，根据题意画出图形是解题的关键．
2．（2021·江苏省天一中学三模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1＝y2．给出如下定义：若平面上存在一点P，使APB是以线段AB为斜边的直角三角形，则称点P为点A、点B的“直角点”．
（1）已知点A的坐标为(1，0)．
①若点B的坐标为(5，0)，在点P1(4，3)、P2(3，﹣2)和P3(2，)中，是点A、点B的“直角点”的是 ；
②点B在x轴的正半轴上，且AB＝，当直线y＝x+b上存在点A、点B的“直角点”时，求b的取值范围；
（2）⊙O的半径为r，点D(1，3)为点E(0，1)、点F(m，n)的“直角点”，若使得DEF与⊙O有交点，请直接写出半径r的取值范围．
【答案】（1）①，；②；（2）
【解析】
【分析】
（1）①根据“直角点”的定义即可解决问题；②首先求出的中点坐标，再利用“直角点”的定义确定：点、的“直角点”在以点为圆心，的长为半径的上，根据边界直线，确定的值，可得结论；
（2）以为圆心，以为半径画圆求出半径是最小值，以为半径画圆求出半径是最大值，可得结论．
【详解】
解：（1）①点的坐标为，若点的坐标为，点，
，，，
，
不是点、点的“直角点”；
同理得：，是点、点的“直角点”；
故答案为：，；
②，，
线段的中点，，
点、的“直角点”在以点为圆心，的长为半径的上，
当直线与相切于点，与两坐标轴相交于点、时，如图，连接，则，
，，
，
，
，
即，
同理：当直线与相切于点时，
，
，
即，
综上所述：；
（2）如图，
点为点、点的“直角点”，
，且，，
以为圆心为半径作圆，连接，以为半径作圆，
过D作DG⊥EF，垂足为G，
可得：EG=1，DG=2，
∴cos∠DEF=，
，
中，由勾股定理得：，
．
【点睛】
本题考查圆的综合题、圆的有关知识、一次函数的性质、“直角点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．
3．（2021·江苏·泰兴市实验初级中学一模）阅读理解：对于线段MN和点Q，定义：若QM＝QN，则称点Q为线段MN的“等距点”；特别地，若∠MQN＝90°，则称点Q是线段MN的“完美等距点”．
解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(4，0)，点P(m，n)是直线y＝﹣x上一动点．
（1）已知4个点：B(2，﹣3)、C(2，﹣2)、D(﹣2，2)、E(2，)，则线段OA的“等距点”是 ，线段OA的“完美等距点”是 ．
（2）若OP＝，点H在y轴上，且H是线段AP的“等距点”，求点H的坐标；
（3）当m＞0，是否存在这样的点N，使点N是线段OA的“等距点”且为线段OP的“完美等距点”，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）B，C，E为等距点，C为完美等距点；（2）(0，)或(0，﹣)；（3）存在，(8，﹣4)或(，﹣)
【解析】
【分析】
（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到O，A的距离，根据等距点和完美等距点做出判断；
（2）设出H点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论；
（3）假定存在，设出N点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论．
【详解】
解：（1）∵OB＝，AB＝，
∴OB＝AB．
∴B为等距点．
∵OC＝，AC＝，
∴OC＝AC．
∴C为等距点．
∵OD＝，AD＝，
∴OD≠AD．
∴D不为等距点．
∵OE＝，AE＝，
∴OE＝AE．
∴E为等距点．
∵OA＝4，
∴OB2+AB2≠OA2，OC2+AC2＝OA2，OD2+AD2≠OA2，OE2+AE2≠OA2，
∴C为完美等距点．
故答案B，C，E．C为完美等距点．
（2）∵P（m，n）在y＝﹣x上，
∴n＝﹣m．
∴．
∴m＝±2．
∴n＝±1．
∴P（2，﹣1）或P（﹣2，1）．
设H的坐标为（0，t），
∴PH＝或．
∵AH＝，AH＝HP，
∴或．
解得：t＝或t＝﹣．
经检验，符合题意，
∴H的坐标为（0，）或（0，﹣）．
（3）存在．
理由：设N点的坐标为（2，b），
∵P（m，﹣m），
∴ON＝，PN＝．
∵点N是线段OA的“等距点”，
∴ON＝PN．
∴．
解得：b＝4﹣m．
∵N为线段OP的“完美等距点”，
∴ON⊥PN．
∴△OPN为等腰直角三角形．
∴OP＝ON．
∵OP＝，ON＝．
∴＝×．
解得：m＝8或m＝．
经检验，符合题意，
当m＝8时，﹣m＝﹣4．
当m＝时，﹣m＝﹣．
∴P点的坐标为（8，﹣4）或（，﹣）．
【点睛】
此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的性质及勾股定理的应用．
4．（2021·江苏无锡·一模）将一矩形纸片放在直角坐标系中，为原点，在轴上，，．
（1）如图1，在上取一点，将沿折叠，使点落至边上的点，求直线的解析式；
（2）如图2，在、边上选取适当的点、，将沿折叠，使点落在边上的点，过作于点点，交于点．
①求证：；
②设，探求与满足的等量关系式，并将用含的代数式表示（指出变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当时，点在直线上，问坐标轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①见解析，②（）；（3）存在，或或
【解析】
【分析】
（1）在中，根据，设，在中，利用勾股定理求出即可．
（2）①只要证明，即可．
②如图3中，连接，在中利用勾股定理即可解决问题．
（3）分为对角线，为边两种情形讨论即可．
【详解】
解：（1）如图1中，
∵，，
∵是由翻折得到，
∴，
在中，，
∴，设，
在中，，
解得，
∴，
设直线的解析式为，把代入得到，
∴直线的解析式为．
（2）①如图2中，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
②如图3中，连接，
由（2）可得，
由勾股定理可得，
得．
结合（1）可得时，最小，从而，
当恰好平分时，最大即最大，
此时点与点重合，四边形为正方形，
故最大为9．从而，
∴．
（3）如图4中，时，，即点坐标．
∴，
①当为对角线时，点与重合，，
∴，
∴此时点坐标．
②为边时，∵四边形是平行四边形，
又∵四边形是平行四边形，
∴点与重合，点与点重合，
∴点坐标，
③当点在第四象限点时，四边形是平行四边形时，
∵直线的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
当时，，
综上所述，以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，点坐标或或．
【点睛】
本题考查四边形综合，根据题意做辅助线和判断等量关系列出方程是解题关键．
5．（2021·江苏南通·一模）如图①，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线 运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是．现 ，两点同时出发，设运动时间为，的面积为 ，与的对应关系如图②所示．
（1）在图①中， ，矩形的周长为 ；
（2）求图②中线段对应的函数解析式．
【答案】（1）5，18；（2）．
【解析】
【分析】
（1）从函数的图象和运动的过程可以得出：当点运动到点时，，，可得,再根据面积，求得，利用从函数的图象和运动的过程可以得出，当点从点运动到点时，需要的时间是秒，则，设，则，根据勾股定理可得，可解得（取正值），即，根据矩形的周长为求解即可；
（2）从函数的图象和运动的过程可以得出：图②中线段对应的，是点从点运动到点时，点从点 出发沿运动到点时，的面积，图②中点对应的，是点 到达点时的面积，根据秒，面积 ，求得点的坐标是（10，7.5），点的坐标是（12，9），设线段的函数解析式是，代入求值即可．
【详解】
解：（1）从函数的图象和运动的过程可以得出：当点运动到点时，，，
如图1所示，
∵，两点同时出发，运动速度都是，则有,
∴，
∴，
又∵从函数的图象和运动的过程可以得出：当点从点运动到点时，需要的时间是秒，则 ，
设，则，
在中，，
即，解之得： （取正值），
即：
∴矩形的周长为；
（2）从函数的图象和运动的过程可以得出：图②中线段对应的，是点从点运动到点时，点从点 出发沿运动到点时，的面积，
图②中点对应的是点到达点时的面积，
如图2所示，
则需要的时间是秒，
面积
即点的坐标是（10，7.5），点的坐标是（12，9）
设线段的函数解析式是，
则有，解之得： ，
∴线段的函数解析式是．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象的实际应用，待定系数法求函数解析式，一元二次方程，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键．
6．（2021·江苏·盐城市初级中学一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与 x轴交于AB两点，点B在点A的右侧，顶点为C，直线CA交 y 轴于点D，且△ABC的面积是△DAB面积的2倍．
（1）抛物线的对称轴为__________；
（2）求点A坐标；
（3）若tan∠ABC=2，求抛物线的函数表达式．
【答案】（1）x=3；（2）A点坐标为（1，0）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的性质可以得到解答；
（2）设A（p，0）、D（0，q），直线CA的表达式为y=kx+b，则由题意可以得到关于p的方程，解方程得到p的值即可得到A的坐标；
（3）根据抛物线的对称轴可得B点坐标，再由tan∠ABC=2可以得到C点坐标，代入抛物线解析式后求得m、n的值即可得到解答．
【详解】
解：（1）由抛物线的性质可得对称轴为：
，
故答案为x=3；
（2）由题意可知C点坐标为（3，-9m+n），
设A（p，0）、D（0，q），直线CA的表达式为y=kx+b，则：
，解得：，
∴直线CA的解析式为：，
∵C在y轴下方，
∴S△ABC=， ，
∴，
∴，
∴直线CA的解析式为：，
∵C在直线CA上，
∴，
∴p=1，
∴A点坐标为（1，0）；
（3）如图，
∵对称轴为x=3，A点坐标为（1，0），
∴B点坐标为（5，0），
∴AB=4，
∵tan∠ABC=2，
∴=2，
∴-9m+n=4,
∴C点坐标为（3，-4），
∴,
解得：m=1，n=5，
∴抛物线的函数表达式为：-6x+5．
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与性质、直线所围图形面积的计算及锐角三角函数的定义是解题关键．
7．（2021·江苏·苏州市振华中学校二模）如图（1），四边形ABCD的顶点A、D、C分别在x、y轴的正半轴上，AD∥BC，OC＝4cm．动点E从点C出发，沿C→D→A→B→C匀速运动，动点F以每秒1cm的速度从C出发沿线段CB向点B来回运动，当E点运动到点C点时，两点同时停止运动．若点E、F同时出发运动t秒后，如图（2）是△OEC的面积S（cm2）与t（秒）的函数关系图象，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG．
（1）填空：点E的运动速度是 ，B点坐标为 ．
（2）当0≤t＜4秒时，
①t为何值时，以O、C、E为顶点的三角形与△BFG相似？
②是否存在这样的时刻t，使点G正好落在线段AB上，若存在，求此时的t，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）cm/s，（4，4）；（2）①2或22；②存在，
【解析】
【分析】
（1）根据△OCD的面积求出OD的长，利用勾股定理求出CD，根据速度＝可得结论，观察图2可知，AD＝2，AB＝2，根点B作BH⊥OA于H．利用勾股定理求出AH＝2，推出点H与D重合可得点B坐标．
（2）当0≤t＜4时，点E在线段CD上．①由题意，∠BFG＝∠ECO＝45°，当时，△ECO∽△GFB，当时，△ECO∽△BFG，分别构建方程求解即可．
②存在．如图1﹣2中，由题意G（t，4﹣t）．求出直线AB的解析式，把G点坐标代入即可．
【详解】
解：（1）由题意，S△OCD＝8，
∴•OD•OC＝8，
∵OC＝4，
∴OD＝4，
，
由图象可知，E点从C点运动到D点用了4秒，
∴点E的运动速度cm/s，
观察图2可知，AD＝2，AB＝2，过点B作BH⊥OA于H．
∴四边形CBHO是矩形，
∴BH＝OC＝4，
∴AH，
∴AH＝AD，
∴点H与点D重合，
∴B（4，4）．
故答案为cm/s，（4，4）．
（2）当0≤t＜4时，点E在线段CD上．
根据题意可知：EC=,OC=4，CF=FE=t，BF=4-t，
∵等腰直角△EFG的斜边是EF，
∴FG==．
①由题意，∠BFG＝∠ECO＝45°，
当时，△ECO∽△GFB，
∴，
解得t＝2．
当时，△ECO∽△BFG，
∴，
解得t＝2-2或﹣2-2（舍去），
综上所述，满足条件的t的值为2或22．
②存在．如图1﹣2中，过点G作GM⊥EF，由△FGE是等腰直角三角形可知，GM=FM=，G点坐标为：G（t，4-t）．
∵B（4，4），A（6，0），
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，
把G（t，4-t）代入y＝﹣2x+12，
得到4-t＝﹣2×t+12，
解得t=．
点G正好落在线段AB上时t的值为．
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了一次函数的应用，速度，时间，路程之间的关系，相似三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数解决问题，属于中考压轴题．
8．（2021·江苏·常州外国语学校二模）如图，点A（2，n）和点D是反比例函数y（m＞0，x＞0）图象上的两点，一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接OA，OD．已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB：S△ODE＝3：4．
(1)S△OAB＝ ，m＝ ；
(2)已知点P（6，0）在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标．
【答案】(1)3，8
(2)D（8，1）
【解析】
【分析】
（1）由一次函数解析式求得点B的坐标，易得OB的长度，结合点A的坐标和三角形面积公式求得S△OAB＝3，所以S△ODE＝4，由反比例函数系数k的几何意义求得m的值；
（2）利用待定系数法确定直线AC函数关系式，易得点C的坐标；利用∠PDE＝∠CBO，∠COB＝∠PED＝90°判定△CBO∽△PDE，根据该相似三角形的对应边成比例求得PE、DE的长度，易得点D的坐标．
(1)
由一次函数y＝kx+3知，B（0，3）．
又点A的坐标是（2，n），
∴S△OAB3×2＝3．
∵S△OAB：S△ODE＝3：4．
∴S△ODE＝4．
∵点D是反比例函数y（m＞0，x＞0）图象上的点，
∴m＝S△ODE＝4，则m＝8．
故答案是：3；8；
(2)
由（1）知，反比例函数解析式是y．
∴2n＝8，即n＝4．
故A（2，4），将其代入y＝kx+3得到：2k+3＝4．
解得k．
∴直线AC的解析式是：yx+3．
令y＝0，则x+3＝0，
∴x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴OC＝6．
由（1）知，OB＝3．
设D（a，b），则DE＝b，PE＝a﹣6．
∵∠PDE＝∠CBO，∠COB＝∠PED＝90°，
∴△CBO∽△PDE，
∴，即①，
又ab＝8 ②．
联立①②，得（舍去）或．
故D（8，1）．
【点睛】
本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定与性质，要灵活掌握待定系数法确定函数关系式，函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式．
9．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）如图，直线与反比例函数交于、B两点，过点A作x轴的垂线与过点B垂直于y轴的直线交于点C，且的面积为8，
（1）求反比例函数解析式；
（2）点E、F是第一象限内反比例函数上两点，设点E的横坐标为a，点F的横坐标为b，，连接、、、，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据正比例函数和反比例函数的图像关于坐标原点中心对称，设，进而求得的坐标，进而求得的长，根据的面积为8，即可求得的值；
（2）过点分别作的垂线，垂足为，过点作垂足为，交于点,根据题意以及（1）的结论，可知，,，进而求得，进而证明，可得，，同理可得，可得，即可求得．
【详解】
（1）设
由中心对称可知点
∴，
∵
∴
∴
∴反比例函数解析式为
（2），理由如下：
联立，可得，
∵点E、F的横坐标为a
∴
如图所示，过点分别作的垂线，垂足为，过点作垂足为，交于点,
则
∴
又∵
∴，
同理：
∴
∴
【点睛】
本题考查了反比例函数与正比例函数图像的性质，求已知面积求，相似三角形的性质与判定，掌握反比例函数与几何图形的性质是解题的关键．
10．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，已知∠A=90°， AB=AC，A (-4，0)、B(0，2)、C(d，4)．
（1）求d的值：
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数y1的图象上．请求出这个反比例函数y1和此时的直线B′C′的解析式y2；
（3）当x满足什么条件时，y1＞y2．
【答案】（1）−6；（2）y1＝，y2＝− x＋6；（3）0＜x＜6或x＞12
【解析】
【分析】
（1）作CN⊥x轴于点N，根据HL证明Rt△CAN≌Rt△AOB，求出NO的长度，进而求出d；
（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，用c表示出C′和B′，根据两点都在反比例函数图象上，求出k的值，进而求出c的值，即可求出反比例函数和直线B′C′的解析式；
（3）直接从图象上找出y1＞y2时，x的取值范围．
【详解】
解：（1）作CN⊥x轴于点N，
∵A (-4，0)、B(0，2)、C(d，4)，
∴CN＝4，AO＝4，OB=2
在Rt△CAN和Rt△AOB中，
，
∴Rt△CAN≌Rt△AOB（HL），
∴AN＝BO＝2，NO＝NA＋AO＝6，
又∵点C在第二象限，
∴d＝−6；
（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，
则C′（−6＋c，4），则B′（c，2）
又点C′和B′在该比例函数图象上，
把点C′和B′的坐标分别代入y1＝，
得−24＋4c＝2c，
解得c＝12，
即反比例函数解析式为y1＝，
此时 C′（6，4），B′（12，2），
设直线B′C′的解析式y2＝mx＋n，
代入C′、B′得，
∴，
∴直线C′B′的解析式为y2＝− x＋6；
（3）由图象可知反比例函数y1和此时的直线B′C′的交点为 C′（6，4），B′（12，2），
若y1＞y2，则0＜x＜6或x＞12．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的知识，解决第（2）问关键求出c的值，此题难度不是很大．
11．（2021·江苏·镇江实验学校一模）如图，点A是坐标原点，点D是反比例函数图像上一点，点B在x轴上，，四边形是平行四边形，交反比例函数图像于点E．
（1）平行四边形的面积等于______；
（2）设D点横坐标为m，试用m的代数式表示点E的坐标；（要有推理和计算过程）
（3）的最小值为______．
【答案】（1）12；（2），；（3）
【解析】
【分析】
（1）作于，设．首先证明，根据反比例函数的几何意义求出即可解决问题．
（2）利用（1）中结论，根据得到点C坐标，求出直线的解析式，构建方程组确定点的坐标．
（3）作轴于，轴于．利用平行线分线段成比例得到，得到，求出的最小值即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图，作于，设．
，，
，
点在上，
，
．
故答案为12．
（2）由题意，
由（1）可知，
四边形是平行四边形，
，
，
，设直线的解析式为y=kx+b，
∴，解得：，
直线的解析式为，
由，解得或（舍弃），
，．
（3）作轴于，轴于．
，
，
，
要使得最小，只要最小，
，
的最小值为，
的最小值为．
【点睛】
本题属于反比例函数综合题，考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．
12．（2021·江苏·苏州市金阊实验中学校一模）如图，在直角坐标系中，为原点，直线分别与轴､轴交于点､点，四边形是矩形，且点在轴正半轴上，连接于点，反比例函数（）经过点，
（1）求点的坐标及的值；
（2）若将绕点逆时针旋转，点､点分别对应点､点，再将向右平移个单位，若平移后点在反比例函数图像上，求的值．
【答案】（1）B(1，0)，k=10；（2）
【解析】
【分析】
（1）令y=0，代入，可得B的坐标，设D(a，2)，则AD=OC=a，根据勾股定理列出关于a的方程，求出a的值，进而即可求解；
（2）过点作M⊥AD，由旋转的性质得BO=M=1，设再将向右平移个单位，(2+n，3)，进而即可求解．
【详解】
解：（1）∵直线与轴交于点，
∴令y=0，代入，得，解得：x=1，令x=0，y=2，
∴B(1，0)，A(0，2)，
∴OA=2，
∵四边形是矩形，
∴CD=AO=2，
设D(a，2)，则AD=OC=a，
∵，
∴，
又∵，，
∴，解得：a=5，即：D(5，2)，
∴把D(5，2)，代入，得k=10；
（2）过点作M⊥AD，
∵将绕点A逆时针旋转，点､点分别对应点､点，
∴也是由绕点A逆时针转90°得到，
∴BO=M=1，
∴(2，3)，
设再将向右平移个单位，(2+n，3)，在的图像上，则，解得：n=．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，旋转的性质以及函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
13．（2021·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，过点作轴垂线交反比例函数（）图像于点．在延长线上取点，连接，交反比例函数（）图像于点，连接，．
（1）求的值；
（2）在轴正半轴上取点，当平分时，求点的坐标．
【答案】（1）12；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用反比例函数的性质建立方程求出k的值；
（2）先求出OB＝5，再判断出BC＝OB＝5，进而求出点C的坐标，进而求出直线CD的解析式，再联立反比例函数解析式，求解，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵S△ABO＝6，AB⊥y轴，
∴k＝6，
∴k＝12；
（2）由（1）知，k＝12，
∴反比例函数的解析式为y，
∵AB⊥y轴，A（0，4），
∴B（3，4），
在Rt△ABO中，AB＝3，OA＝4，
∴OB5
∵OD平分∠OBE，
∴∠BOC＝∠COE，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴∠COE＝∠C，
∴∠BOC＝∠C，
∴OB＝BC＝5，
∴C（8，4），
设直线CD的解析式为y＝mx，
将（8，4）代入y＝mx中，得4＝8m，
∴m．
∴直线CD的解析式为yx，
联立解析式得：
解得，x＝±2，
∵点D在第一象限内，
∴D（2，）．
【点睛】
此题时反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数的性质，勾股定理，角平分线，等腰三角形的判定，待定系数法，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
14．（2021·江苏镇江·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为．
（1）求k的值．
（2）设点M在反比例函数图象上，连接，，若的面积是菱形面积的，求点M的坐标．
【答案】（1）k=32；（2）点M坐标为（2，16）或（6，）．
【解析】
【分析】
（1）如图，延长AD交x轴于E，根据菱形的性质可得AE//OB，即可证明AE⊥x轴，根据点D坐标可得OD的长，即可求出AE的长，可得点A坐标，代入反比例函数解析式求出k值即可得答案；
（2）由（1）可知k=32，根据点D坐标及OD的长可得菱形ABCD的面积，设M（a，），根据的面积是菱形面积的列方程求出a值即可得答案．
【详解】
（1）如图，延长AD交x轴于E，
∵菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，
∴AE//OB，AD=OD，
∴AE⊥x轴，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OE=4，DE=3，
∴OD==5，
∴AE=AD+DE=8，
∴点A坐标为（4，8），
∵点A在反比例函数的图象上，
∴8=，
解得：k=32．
（2）∵OD=AD=5，OE=4，
∴S菱形ABCD=AD·OE=20，
∵k=32，点M在反比例函数图象上，
∴设M（a，），
∵的面积是菱形面积的，
∴S△MAD=AD·=20×，即=2，
解得：a=2或a=6，
∴点M坐标为（2，16）或（6，）．
【点睛】
本题考查菱形的性质及反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
15．（2021•宿迁模拟）如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=k2x的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．
（1）求反比例函数y2=k2x与一次函数y1＝k1x+b的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
【分析】（1）把点D的坐标代入y2=k2x的利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作DE⊥x轴于E，根据题意求得A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）联立方程求得C的坐标，然后根据S△COD＝S△AOC+S△AOD即可求得△COD的面积；
（3）根据图象即可求得．
【解析】∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2═k2x的图象上，
∴k2＝2×（﹣3）＝﹣6，
∴y2=−6x；
作DE⊥x轴于E，
∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，
∴A（﹣2，0），
∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1＝k1x+b的图象上，
∴−2k1+b=02k1+b=−3，
解得k1=−34，b=−32，
∴y1=−34x−32；
（2）由y=−34x−32y=−6x，解得x1=2y1=−3，x2=−4y2=32，
∴C（﹣4，32），
∴S△COD＝S△AOC+S△AOD=12×2×32+12×2×3=92；
（3）当x＜﹣4或0＜x＜2时，y1＞y2．
16．（2021•天宁区校级模拟）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=6x（x＞0）的图象交于A（m，6），B（2，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若M是x轴上一点，且△MOB和△AOB的面积相等，求M点坐标．
【分析】（1）首先求出A、B两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2））设直线AB交x轴于P，则P（3，0），设M（m，0），由S△AOB＝S△OBM，可得S△AOP﹣S△OBP＝S△OBM，列出方程即可解决问题．
【解析】（1）∵点A（m，6），B（2，n）在函数y=6x（x＞0）的图象上，
∴m＝1，n＝3，
∴A点坐标是（1，6），B点坐标是（2，3），
把（1，6）、（2，3）代入一次函数y＝kx+b中，得k+b=62k+b=3，
解得k=−3b=9．
∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+9；
（2）设直线AB交x轴于P，则P（3，0），设M（m，0），
∵S△AOB＝S△OBM，
∴S△AOP﹣S△OBP＝S△OBM，
∴12×3×6−12×3×3=12|m|•3，
解得m＝±3，
∴点M的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．
17．（2020•张家港市模拟）如图，▱OABC的边OA在x轴的正半轴上，OA＝5，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点C（1，4）．
（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；
（2）过AB的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接CP，OP．求△COP的面积．
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；
（2）延长DP交OC于点E，由点D为线段BA的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出PD、EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解析】（1）∵反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点C（1，4）．
∴m＝1×4＝4，
∴反比例函数的关系式为y=4x（x＞0）．
∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OA＝5，点C（1，4），
∴点A（5，0），
∴点B（6，4）．
（2）延长DP交OC于点E，如图所示．
∵点D为线段BA的中点，点A（5，0）、B（6，4），
∴点D（112，2）．
令y=4x中y＝2，则x＝2，
∴点P（2，2），
∴PD=112−2=72，EP＝ED﹣PD=32，
∴S△COP=12EP•（yC﹣yO）=12×32×（4﹣0）＝3．
18．（2021•泗洪县二模）如图，已知反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．
（1）求k的值；
（2）若BD＝3OC，求四边形ACED的面积．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）求出直线BC的解析式，可得E点坐标，求出DE，OC，AC，即可利用梯形面积公式解决问题．
【解析】（1）∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（4，2），
∴2=k4，
解得：k＝8，
∴反比例函数解析式为：y=8x（x＞0）．
（2）∵AC⊥y轴，A（4，2），
∴OC＝2，
∵BD＝3OC，
∴BD＝3×2＝6，
∵BD⊥x轴，
∴点B的纵坐标为6，代入y=8x中，得：6=8x，
解得：x=43，
∴B（43，6），
∵C（0，2），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有43k+b=6b=2，
解得：k=3b=2，
∴直线BC的解析式为：y＝3x+2，
令y＝0，得：3x+2＝0，
解得：x=−23，
∴E（−23，0），
∴DE=43−（−23）＝2，
∵AC∥DE，
∴S四边形ACED=12（AC+DE）•OC=12×（4+2）×2＝6．
19．（2020•常州二模）如图，在直角坐标系中，正方形ABCD绕点A（0，6）旋转，当点B落在x轴上时，点C刚好落在反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象上．已知sin∠OAB=55．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）反比例函数y=kx的图象是否经过AD边的中点，并说明理由．
【分析】（1）过C点作CE⊥x轴于E，如图，利用正弦的定义得到sin∠OAB=OBAB=55，设OB=5x，则AB＝5x，OA＝25x，所以25x＝6，解方程得到B（3，0），接着证明△AOB≌△BEC得到AO＝BE＝6，OB＝CE＝3，从而得到C（9，3），然后利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）利用平移的方法确定D点坐标为（6，9），再利用线段中点坐标公式得到线段AD的中点坐标为（3，152），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征判断反比例函数y=kx的图象是否经过AD边的中点．
【解析】（1）过C点作CE⊥x轴于E，如图，
∵A（0，6），
∴OA＝6，
在Rt△OAB中，sin∠OAB=OBAB=55，
设OB=5x，则AB＝5x，
∴OA=(5x)2−(5x)2=25x，
∴25x＝6，解得x=355，
∴OB＝3，
∴B（3，0），
∵四边形ABCD为正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
而∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵∠AOB＝∠BEC，∠OAB＝∠CBE，AB＝BC，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴AO＝BE＝6，OB＝CE＝3，
∴C（9，3），
∵点C在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝9×3＝27，
∴反比例函数解析式为y=27x；
（2）反比例函数y=kx的图象不经过AD边的中点．
理由如下：
∵点B向左平移3个单位，再向上平移6个单位得到A点，
∴点C向左平移3个单位，再向上平移6个单位得到D点，
∴D点坐标为（6，9），
∴线段AD的中点坐标为（3，152），
∵3×152=452，
∴反比例函数y=kx的图象不经过AD边的中点．
20．（2021•靖江市模拟）如图，平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=kx（k≠0）的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（3）过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D，点C是直线BE上一点，若AD＝3CD，求点C的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）点A（1，2），点B（﹣2，﹣1），则AD＝2﹣（﹣1）＝3，由AD＝3CD得CD＝1，进而求解．
【解析】（1）把A（1，2）代入y2=kx中得k＝2，
∴反比例函数的表达式为y2=2x，
∴B（﹣2，﹣1），
把A（1，2）和B（﹣2，﹣1）代入一次函数y1＝ax+b得a+b=2−2a+b=−1，
解得a=1b=1，
∴一次函数的表达式为y1＝x+1；
（2）从图象可以看出，y1＞y2时x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1；
（3）点A（1，2），点B（﹣2，﹣1），
则AD＝2﹣（﹣1）＝3，
由AD＝3CD得CD＝1，
故点C（0，﹣1）或（2，﹣1）．
21.（2021•东台市模拟）如图所示，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式．
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．
【分析】（1）将点A坐标代入y=mx可得反比例函数解析式，据此求得点B坐标，根据A、B两点坐标可得直线解析式；
（2）根据点B坐标可得底边BC＝2，由A、B两点的横坐标可得BC边上的高，据此可得．
【解析】（1）将点A（2，4）代入y=mx，得：m＝8，
则反比例函数解析式为y=8x，
当x＝﹣4时，y＝﹣2，
则点B（﹣4，﹣2），
将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入y＝kx+b，
得：2k+b=4−4k+b=−2，
解得：k=1b=2，
则一次函数解析式为y＝x+2；
（2）由题意知BC＝2，
则△ACB的面积=12×2×6＝6．
22．（2020•泰兴市模拟）在平面直角坐标系中，过点P（0，a）作直线l分别交y=mx（m＞0、x＞0），y=nx（n＜0，x＜0）于点M、N，
（1）若m＝4，MN∥x轴，S△MON＝6，求n的值；
（2）若a＝5，PM＝PN，点M的横坐标为3，求m﹣n的值．
（3）如图，若m＝4，n＝﹣6，点A（d，0）为x轴的负半轴上一点，B为x轴上点A右侧一点，AB＝4，以AB为一边向上作正方形ABCD，若正方形ABCD与y=mx（m＞0、x＞0），y=nx（n＜0，x＜0）都有交点，求d的范围．
【分析】（1）点P（0，a），则点M、N的坐标分别为（ma，a）、（na，a），则S△MON＝6=12×MN×OP=12×（4a−na）×a，即可求解；
（2）点M、N的坐标分别为（ma，a）、（na，a），PM＝PN，则ma=−na，解得：m＝﹣n，即可求解；
（3）若正方形ABCD与y=mx（m＞0、x＞0），y=nx（n＜0，x＜0）都有交点，则HD≥0且CG≥0，即可求解．
【解析】（1）点P（0，a），则点M、N的坐标分别为（ma，a）、（na，a），
则S△MON＝6=12×MN×OP=12×（4a−na）×a，
解得：n＝﹣8；
（2）点M、N的坐标分别为（ma，a）、（na，a），
∵PM＝PN，则ma=−na，解得：m＝﹣n，
若a＝5，点M的横坐标为3，则点M（3，5），故m＝3×5＝15＝﹣n，
故m﹣n＝30；
（3）点A（d，0），则点B（d+4，0），点D、C的坐标分别为（d，4）、（d+4，4），
设正方形交两个反比例函数于点G、H，则点G、H的坐标分别为（d，−6d）、（d+4，4d+4），
若正方形ABCD与y=mx（m＞0、x＞0），y=nx（n＜0，x＜0）都有交点，
则HD≥0且CG≥0，即4+6d≥04−4d+4≥0，且d＜0，d+4＞0，
解得：﹣3≤d≤−32，
故d的范围为：﹣3≤d≤−32．
2022年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）
专题8 函数与几何综合问题
【真题再现】
1．（2021·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上．
（1）①如图，在点、、中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_______；
（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；
（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．
2．（2021·江苏无锡·中考真题）已知四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，设．
（1）如图1，若点E在线段上运动，交于点P，交于点Q，连结，
①当时，求线段的长；
②在中，设边上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
（2）设过的中点且垂直于的直线被等腰直角三角形截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．
3．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点．
（1）k＝ ；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标： ．
4．（2021·江苏泰州·中考真题）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．
（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．你选择的条件是 （只填序号）．
5．（2021·江苏常州·中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．
①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．
①当时，__________；当时，________；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
6．（2021·江苏盐城·中考真题）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点．经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图像上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题．
【初步感知】
如图1，设，，点是一次函数图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点．
（1）点旋转后，得到的点的坐标为________；
（2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式．
【深入感悟】
（3）如图2，设，，点反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积．
【灵活运用】
（4）如图3，设A，，点是二次函数图像上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．
7．（2020年泰州第23题）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．
（1）用含x的代数式表示AD的长；
（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．
8．（2020年泰州第21题）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内．
（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若a＝25，A点的坐标为（3，1），求P点的坐标．
9．（2020年无锡第27题）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S．
（1）若DE=33，求S的值；
（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．
10．（2020年南通第21题）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
11．（2020年盐城第27题）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1～4．
（Ⅰ）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝22，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米）
AC
2.8
2.7
2.6
2.3
2
1.5
0.4
BC
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
AC+BC
3.2
3.5
3.8
3.9
4
3.9
3.2
（Ⅱ）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析：
①BC＝x，AC+BC＝y，以（x，y）为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点：
②连线：
观察思考
（Ⅲ）结合表中的数据以及所画的图象，猜想．当x＝____时，y最大；
（Ⅳ）进一步猜想：若Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝2a（a为常数，a＞0），则BC＝____时，AC+BC最大．
推理证明
（Ⅴ）对（Ⅳ）中的猜想进行证明．
问题1，在图①中完善（Ⅱ）的描点过程，并依次连线；
问题2，补全观察思考中的两个猜想：（Ⅲ） ；（Ⅳ） ；
问题3，证明上述（Ⅴ）中的猜想；
问题4，图②中折线B﹣﹣E﹣﹣F﹣﹣G﹣﹣A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A，B间的距离是4厘米，AG＝BE＝1厘米．∠E＝∠F＝∠G＝90°．平行光线从AB区域射入，∠BNE＝60°，线段FM、FN为感光区域，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．
【专项突破】
1．（2021·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段的中点，D是线段上一个动点，连接，将沿直线翻折，使得点A落在点E处，射线交直线于点F．
（1）连接，求的长；
（2）若点F在线段上，连接，当时，求的长；
（3）以F为圆心，长为半径作，若与x轴相切于点T，求点F的坐标．
2．（2021·江苏省天一中学三模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1＝y2．给出如下定义：若平面上存在一点P，使APB是以线段AB为斜边的直角三角形，则称点P为点A、点B的“直角点”．
（1）已知点A的坐标为(1，0)．
①若点B的坐标为(5，0)，在点P1(4，3)、P2(3，﹣2)和P3(2，)中，是点A、点B的“直角点”的是 ；
②点B在x轴的正半轴上，且AB＝，当直线y＝x+b上存在点A、点B的“直角点”时，求b的取值范围；
（2）⊙O的半径为r，点D(1，3)为点E(0，1)、点F(m，n)的“直角点”，若使得DEF与⊙O有交点，请直接写出半径r的取值范围．
3．（2021·江苏·泰兴市实验初级中学一模）阅读理解：对于线段MN和点Q，定义：若QM＝QN，则称点Q为线段MN的“等距点”；特别地，若∠MQN＝90°，则称点Q是线段MN的“完美等距点”．
解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(4，0)，点P(m，n)是直线y＝﹣x上一动点．
（1）已知4个点：B(2，﹣3)、C(2，﹣2)、D(﹣2，2)、E(2，)，则线段OA的“等距点”是 ，线段OA的“完美等距点”是 ．
（2）若OP＝，点H在y轴上，且H是线段AP的“等距点”，求点H的坐标；
（3）当m＞0，是否存在这样的点N，使点N是线段OA的“等距点”且为线段OP的“完美等距点”，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
4．（2021·江苏无锡·一模）将一矩形纸片放在直角坐标系中，为原点，在轴上，，．
（1）如图1，在上取一点，将沿折叠，使点落至边上的点，求直线的解析式；
（2）如图2，在、边上选取适当的点、，将沿折叠，使点落在边上的点，过作于点点，交于点．
①求证：；
②设，探求与满足的等量关系式，并将用含的代数式表示（指出变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当时，点在直线上，问坐标轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2021·江苏南通·一模）如图①，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线 运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是．现 ，两点同时出发，设运动时间为，的面积为 ，与的对应关系如图②所示．
（1）在图①中， ，矩形的周长为 ；
（2）求图②中线段对应的函数解析式．
6．（2021·江苏·盐城市初级中学一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与 x轴交于AB两点，点B在点A的右侧，顶点为C，直线CA交 y 轴于点D，且△ABC的面积是△DAB面积的2倍．
（1）抛物线的对称轴为__________；
（2）求点A坐标；
（3）若tan∠ABC=2，求抛物线的函数表达式．
7．（2021·江苏·苏州市振华中学校二模）如图（1），四边形ABCD的顶点A、D、C分别在x、y轴的正半轴上，AD∥BC，OC＝4cm．动点E从点C出发，沿C→D→A→B→C匀速运动，动点F以每秒1cm的速度从C出发沿线段CB向点B来回运动，当E点运动到点C点时，两点同时停止运动．若点E、F同时出发运动t秒后，如图（2）是△OEC的面积S（cm2）与t（秒）的函数关系图象，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG．
（1）填空：点E的运动速度是 ，B点坐标为 ．
（2）当0≤t＜4秒时，
①t为何值时，以O、C、E为顶点的三角形与△BFG相似？
②是否存在这样的时刻t，使点G正好落在线段AB上，若存在，求此时的t，若不存在，请说明理由．
8．（2021·江苏·常州外国语学校二模）如图，点A（2，n）和点D是反比例函数y（m＞0，x＞0）图象上的两点，一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接OA，OD．已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB：S△ODE＝3：4．
(1)S△OAB＝ ，m＝ ；
(2)已知点P（6，0）在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标．
9．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）如图，直线与反比例函数交于、B两点，过点A作x轴的垂线与过点B垂直于y轴的直线交于点C，且的面积为8，
（1）求反比例函数解析式；
（2）点E、F是第一象限内反比例函数上两点，设点E的横坐标为a，点F的横坐标为b，，连接、、、，试比较与的大小，并说明理由．
10．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，已知∠A=90°， AB=AC，A (-4，0)、B(0，2)、C(d，4)．
（1）求d的值：
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数y1的图象上．请求出这个反比例函数y1和此时的直线B′C′的解析式y2；
（3）当x满足什么条件时，y1＞y2．
11．（2021·江苏·镇江实验学校一模）如图，点A是坐标原点，点D是反比例函数图像上一点，点B在x轴上，，四边形是平行四边形，交反比例函数图像于点E．
（1）平行四边形的面积等于______；
（2）设D点横坐标为m，试用m的代数式表示点E的坐标；（要有推理和计算过程）
（3）的最小值为______．
12．（2021·江苏·苏州市金阊实验中学校一模）如图，在直角坐标系中，为原点，直线分别与轴､轴交于点､点，四边形是矩形，且点在轴正半轴上，连接于点，反比例函数（）经过点，
（1）求点的坐标及的值；
（2）若将绕点逆时针旋转，点､点分别对应点､点，再将向右平移个单位，若平移后点在反比例函数图像上，求的值．
13．（2021·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，过点作轴垂线交反比例函数（）图像于点．在延长线上取点，连接，交反比例函数（）图像于点，连接，．
（1）求的值；
（2）在轴正半轴上取点，当平分时，求点的坐标．
14．（2021·江苏镇江·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为．
（1）求k的值．
（2）设点M在反比例函数图象上，连接，，若的面积是菱形面积的，求点M的坐标．
15．（2021•宿迁模拟）如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=k2x的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．
（1）求反比例函数y2=k2x与一次函数y1＝k1x+b的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
16．（2021•天宁区校级模拟）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=6x（x＞0）的图象交于A（m，6），B（2，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若M是x轴上一点，且△MOB和△AOB的面积相等，求M点坐标．
17．（2020•张家港市模拟）如图，▱OABC的边OA在x轴的正半轴上，OA＝5，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点C（1，4）．
（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；
（2）过AB的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接CP，OP．求△COP的面积．
18．（2021•泗洪县二模）如图，已知反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．
（1）求k的值；
（2）若BD＝3OC，求四边形ACED的面积．
19．（2020•常州二模）如图，在直角坐标系中，正方形ABCD绕点A（0，6）旋转，当点B落在x轴上时，点C刚好落在反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象上．已知sin∠OAB=55．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）反比例函数y=kx的图象是否经过AD边的中点，并说明理由．
20．（2021•靖江市模拟）如图，平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=kx（k≠0）的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（3）过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D，点C是直线BE上一点，若AD＝3CD，求点C的坐标．
21.（2021•东台市模拟）如图所示，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式．
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．
22．（2020•泰兴市模拟）在平面直角坐标系中，过点P（0，a）作直线l分别交y=mx（m＞0、x＞0），y=nx（n＜0，x＜0）于点M、N，
（1）若m＝4，MN∥x轴，S△MON＝6，求n的值；
（2）若a＝5，PM＝PN，点M的横坐标为3，求m﹣n的值．
（3）如图，若m＝4，n＝﹣6，点A（d，0）为x轴的负半轴上一点，B为x轴上点A右侧一点，AB＝4，以AB为一边向上作正方形ABCD，若正方形ABCD与y=mx（m＞0、x＞0），y=nx（n＜0，x＜0）都有交点，求d的范围．
2022年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）
专题8 函数与几何综合问题
【真题再现】
1．（2021·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上．
（1）①如图，在点、、中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_______；
（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；
（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）①B；②；（2）或；（3）或．
【解析】
【分析】
由材料可知关联点的实质就是将点A绕y轴上点T顺时针或逆时针旋转90度的得到点．故先找到旋转90°坐标变化规律，再根据规律解答即可，
（1）①根据关联点坐标变化规律列方程求解点T坐标，有解则是关联点；无解则不是；②关联点的纵坐标等于0，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可；
（2）根据关联点坐标变化规律得出关联点，列不等式求解即可；
（3）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点E坐标求出点Q坐标即可．
【详解】
解：在平面直角坐标系中，设，点，关联点，
将点A、点、点T向下平移个单位，点T对应点与原点重合，此时点A、点对应点、，
∵绕原点旋转90度的坐标变化规律为：点（x，y）顺时针旋转，对应点坐标为（y，-x）；逆时针旋转对应点坐标为（-y，x），
∴绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为或，
即顺时针旋转时，解得：，即关联点，
或逆时针旋转时，，解得：，即关联点，
即：在平面直角坐标系中，设，点，关联点坐标为或，
（1）①由关联点坐标变化规律可知，点关于在y轴上点的关联点坐标为：或，
若点是关联点，则或，解得：，即y轴上点或，故点是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
故答案为：B；
②由关联点坐标变化规律可知，点关于点的关联点的坐标为或，
若，解得：，此时即点，不在线段上；
若，解得：，此时即点，在线段上；
综上所述：若在线段上存在点的关联点，则点
故答案为：；
（2）设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为点在一次函数的图像上，即：，
点在线段上，点、，
当∴，
∴，
∴，
或，
∴，
当；
综上所述：当或时，在线段上存在点Q的关联点．
（3）对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，
故点E与点Q也是关于同一点的关联，设该点，则
设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为在一次函数的图像上，即：，
∵点，
若，解得：，
即点，
若，解得：，
即点，
综上所述：或．
【点睛】
本题主要考查了坐标的旋转变换和一次函数图像上点的特征，解题关键是总结出绕点旋转90°的点坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解．
2．（2021·江苏无锡·中考真题）已知四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，设．
（1）如图1，若点E在线段上运动，交于点P，交于点Q，连结，
①当时，求线段的长；
②在中，设边上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
（2）设过的中点且垂直于的直线被等腰直角三角形截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．
【答案】（1）①；②，h最大值=；（2）
【解析】
【分析】
（1）①过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于点M，先证明，可得FM =，CM=，进而即可求解；②由，得CP=，把绕点A顺时针旋转90°得，可得EQ =DQ+BE，利用勾股定理得DQ=，EQ=，QP=，结合三角形面积公式，即可得到答案；
（2）以点B为坐标原点，BC 所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)，F(1+m，m)，从而求出AE的解析式为：y=x+1，AF的解析式为：y=x+1，EF的解析式为：y=mx-m2，再分两种情况：①当0≤m≤时，②当m＞时，分别求解即可．
【详解】
解：（1）①过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于点M，
∵在等腰直角三角形中，，AE=FE，在正方形中，∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=∠FEM+∠AEB，
∴∠BAE=∠FEM，
又∵∠B=∠FME，
∴，
∴FM=BE=，EM=AB=BC，
∴CM=BE=，
∴CF=；
②∵∠BAE=∠FEC，∠B=∠ECP=90°，
∴，
∴，即：，
∴CP=，
把绕点A顺时针旋转90°得，则AG=AQ，∠GAB=∠QAD，GB=DQ，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠QAD=∠BAE+∠GAB=90°-45°=45°，即：∠GAE=∠EAF=45°，
∵∠ABG=∠ABE=90°，
∴B、G、E三点共线，
又∵AE=AE，
∴，
∴EQ=EG=GB+BE=DQ+BE，
∴在中，，即：，
∴DQ=，
∴EQ= DQ+BE=+m=，QP=1--()=，
∴，即：×(1-m)= ×h，
∴=，即m=时，h最大值=；
（3）以点B为坐标原点，BC 所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)，
∵直线m过AB的中点且垂直AB，
∴直线m的解析式为：x=，
过点F作FM⊥x轴于点M，由（1）可知：，即FM=BE，EM=AB，
∴F(1+m，m)，
设AE的解析式为：y=kx+b，
把E(m，0)，A(0，1)代入上式，得，解得：，
∴AE的解析式为：y=x+1，
同理：AF的解析式为：y=x+1，EF的解析式为：y=mx-m2，
①当0≤m≤时，如图，G(，)，N(，m-m2)，
∴y=-(m-m2)=，
②当m＞时，如图，G(，)，N(，)，
∴y=-=，
综上所述：．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，添加辅助线构造全等三角形，建立坐标系，把几何问题用代数的方法解决，是解题的关键．
3．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点．
（1）k＝ ；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标： ．
【答案】（1）2；（2）见解析；（3），．
【解析】
【分析】
（1）将E点坐标代入函数解析式即可求得k值；
（2）根据AAS可证，根据全等三角形面积相等即可得证结论；
（3）设A点坐标为（a，），则可得C（0，），D（0，﹣），根据勾股定理求出a值，即可求得A点的坐标．
【详解】
解：（1）点是反比例函数图象上的点，
，
解得，
故答案为：2；
（2）在和中，
，
，
，
点坐标为，则可得，
，，
即，
整理得；
（3）设点坐标为，
则，，
，，
，
即，
解得（舍去）或，
点的坐标为，．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解题的关键．
4．（2021·江苏泰州·中考真题）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．
（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．你选择的条件是 （只填序号）．
【答案】（1），见解析；（2）见解析，①（也可以选择②）
【解析】
【分析】
（1）观察函数的图象即可作出判断，再根据A、B两点在反比例函数图象上，把两点的坐标代入后作差比较即可；
（2）若选择条件①，由面积的值及OC的长度，可得OD的长度，从而可得点B的坐标，把此点坐标代入函数解析式中，即可求得k；若选择条件②，由DB=6及OC=2，可得BE的长度，从而可得AE长度，此长度即为A、B两点纵坐标的差，（1）所求得的差即可求得k．
【详解】
（1）由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故；
当x=-6时，；当x=-2时，
∵，k＜0
∴
即
（2）选择条件①
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴OD∙OC=2
∵OC=2
∴OD=1
即
∴点B的坐标为(-6,1)
把点B的坐标代入y＝中，得k=-6
若选择条件②，即BE=2AE
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴DE=OC，CE=OD
∵OC=2，DB=6
∴BE=DB-DE=DB-OC=4
∴
∵AE=AC-CE=AC-OD=
即
由（1）知：
∴k=-6
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质、矩形的判定与性质、大小比较，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．
5．（2021·江苏常州·中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．
①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．
①当时，__________；当时，________；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
【答案】（1）①，=；②＞，＞；（2）①，1；②l的最小值是1，理由见详解
【解析】
【分析】
（1）①先证明，从而得，进而得CD的值，根据直角三角形的性质，直接得CE的值；②根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论；
（2）①把m，n的值直接代入=进行计算，即可；②过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，画出图形，用矩形的面积表示，进而即可得到结论．
【详解】
解：（1）①∵，
∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，即：∠A=∠BCD，
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴，
∴，即：，
∴，即：（负值舍去），
∵E是的中点，
∴==；
②∵，，
∴＞，即：＞．
故答案是：＞；
（2）①当时，==，
当时，==，
故答案是：，1；
②l的最小值是：1，理由如下：
由题意得：M(m，)，N(n，)，过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，
==
=[（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积+③的面积 +④的面积）]
= [（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+③的面积]
=(1+1+1+1+③的面积)≥1，
∴l的最小值是1．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，反比例函数的图像和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
6．（2021·江苏盐城·中考真题）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点绕着某定点顺时针旋转一定的角度，能得到一个新的点．经过进一步探究，小明发现，当上述点在某函数图像上运动时，点也随之运动，并且点的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点的坐标和角度的大小来解决相关问题．
【初步感知】
如图1，设，，点是一次函数图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点．
（1）点旋转后，得到的点的坐标为________；
（2）若点的运动轨迹经过点，求原一次函数的表达式．
【深入感悟】
（3）如图2，设，，点反比例函数的图像上的动点，过点作二、四象限角平分线的垂线，垂足为，求的面积．
【灵活运用】
（4）如图3，设A，，点是二次函数图像上的动点，已知点、，试探究的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在最小值，
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的定义得，观察点和在同一直线上即可直接得出结果．
（2）根据题意得出的坐标，再利用待定系数法求出原一次函数表达式即可．
（3）先根据计算出交点坐标，再分类讨论①当时，先证明再计算面积．②当-时，证，再计算即可．
（4）先证明为等边三角形，再证明，根据在中，，写出，从而得出的函数表达式，当直线与抛物线相切时取最小值，得出，由计算得出的面积最小值．
【详解】
（1）由题意可得:
∴的坐标为
故答案为：；
（2）∵，由题意得
坐标为
∵，在原一次函数上，
∴设原一次函数解析式为
则
∴
∴原一次函数表达式为；
（3）设双曲线与二、四象限平分线交于点，则
解得
①当时
作轴于
∵
∴
∵
∴
∴在和中
∴
即；
②当-时
作于轴于点
∵
∴
∴
∴
∴
在和中
∴
∴；
（4）连接，，将，绕逆时针旋转得，，作轴于
∵，
∴
∴
∴为等边三角形，此时与重合，即
连接，∵
∴
∴在和中
∴
∴，
∴作轴于
在中，
∴
∴，即，此时的函数表达式为：
设过且与平行 的直线解析式为
∵
∴当直线与抛物线相切时取最小值
则
即
∴
当时，得
∴
设与轴交于点
∵
∴
【点睛】
本题考查旋转、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式、反比例函数的几何意义、两函数的交点问题，函数的最小值的问题，灵活进行角的转换是关键．
7．（2020年泰州第23题）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．
（1）用含x的代数式表示AD的长；
（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理，用x表示CD，进而求得结果；
（2）根据三角形的面积公式列出函数解析式，再根据函数性质求出S随x增大而减小时x的取值范围．
【解析】（1）∵PD∥AB，
∴CPCB=CDCA，
∵AC＝3，BC＝4，CP＝x，
∴x4=CD3，
∴CD=34x，
∴AD＝AC﹣CD＝3−34x，
即AD=−34x+3；
（2）根据题意得，S=12AD⋅CP=12x(−34x+3)=−38(x−2)2+32，
∴当x≥2时，S随x的增大而减小，
∵0＜x＜4，
∴当S随x增大而减小时x的取值范围为2≤x＜4．
8．（2020年泰州第21题）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内．
（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若a＝25，A点的坐标为（3，1），求P点的坐标．
【分析】（1）根据角平分线的性质即可用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a；
（2）在（1）的条件下，根据a＝25，A点的坐标为（3，1），利用勾股定理即可求P点的坐标．
【解析】（1）如图，点P即为所求；
（2）由（1）可得OP是角平分线，设点P（x，x），
过点P作PE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，AD⊥PE于点D，
∵PA＝a＝25，A点的坐标为（3，1），
∴PD＝x﹣1，AD＝x﹣3，
根据勾股定理，得
PA2＝PD2+AD2，
∴（25）2＝（x﹣1）2+（x﹣3）2，
解得x＝5，x＝﹣1（舍去）．
所以P点的坐标为（5，5）．
9（2020年无锡第27题）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S．
（1）若DE=33，求S的值；
（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．
【分析】（1）根据三角函数的定义得到∠AED＝60°，根据平行线的性质得到∠BAE＝60°，根据折叠的性质得到∠AEC＝∠AEM，推出△APE为等边三角形，于是得到结论；
（2）过E作EF⊥AB于F，由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PAE，求得AP＝PE，设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，根据勾股定理列方程得到a=x2+12x，于是得到结论．
【解析】（1）∵在矩形ABCD中，∠D＝90°，AD＝1，DE=33，
∴AE=AD2+DE2=233，
∴tan∠AED=ADDE=3，
∴∠AED＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝60°，
∵四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，
∴∠AEC＝∠AEM，
∵∠PEC＝∠DEM，
∴∠AEP＝∠AED＝60°，
∴△APE为等边三角形，
∴S=12×（233+33）×1=32；
（2）过E作EF⊥AB于F，
由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PAE，
∴AP＝PE，
设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，
则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，
在Rt△PEF中，（a﹣x）2+1＝a2，解得：a=x2+12x，
∴S=12⋅x×1+12×x2+12x×1=12x+x2+14x=3x2+14x．
10．（2020年南通第21题）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
【分析】（1）把点C的坐标代入y＝x+3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
【解析】（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴k+b=43k+b=0，解得k=−2b=6，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
11．（2020年盐城第27题）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1～4．
（Ⅰ）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝22，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米）
AC
2.8
2.7
2.6
2.3
2
1.5
0.4
BC
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
AC+BC
3.2
3.5
3.8
3.9
4
3.9
3.2
（Ⅱ）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析：
①BC＝x，AC+BC＝y，以（x，y）为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点：
②连线：
观察思考
（Ⅲ）结合表中的数据以及所画的图象，猜想．当x＝____时，y最大；
（Ⅳ）进一步猜想：若Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝2a（a为常数，a＞0），则BC＝____时，AC+BC最大．
推理证明
（Ⅴ）对（Ⅳ）中的猜想进行证明．
问题1，在图①中完善（Ⅱ）的描点过程，并依次连线；
问题2，补全观察思考中的两个猜想：（Ⅲ） 2 ；（Ⅳ） 2a ；
问题3，证明上述（Ⅴ）中的猜想；
问题4，图②中折线B﹣﹣E﹣﹣F﹣﹣G﹣﹣A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A，B间的距离是4厘米，AG＝BE＝1厘米．∠E＝∠F＝∠G＝90°．平行光线从AB区域射入，∠BNE＝60°，线段FM、FN为感光区域，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．
【分析】问题1：利用描点法解决问题即可．．
问题2：利用图象法解决问题即可．
问题3：设BC＝x，AC﹣BC＝y，根据一元二次方程，利用根的判别式解决问题即可．
问题4：延长AM交EF的延长线于C，过点A作AH⊥EF于H，过点B作BK⊥GF于K交AH于Q．证明FN+FM＝EF+FG﹣EN﹣GM＝BK+AH−33−3=BQ+AQ+KQ+QH−433=BQ+AQ+2−433，求出BQ+AQ的最大值即可解决问题．
【解析】问题1：函数图象如图所示：
问题2：（Ⅲ）观察图象可知，x＝2时，y有最大值．
（Ⅳ）猜想：BC=2a．
故答案为：2，BC=2a．
问题3：设BC＝x，AC+BC＝y，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°
∴AC=AB2−BC2=4a2−x2，
∴y＝x+4a2−x2，
∴y﹣x=4a2−x2，
∴y2﹣2xy+x2＝4a2﹣x2，
∴2x2﹣2xy+y2﹣4a2＝0，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△＝4y2﹣4×2×（y2﹣4a2）≥0，
∴y2≤8a2，
∵y＞0，a＞0，
∴y≤22a，
当y＝22a时，2x2﹣42ax+4a2＝0
∴（2x﹣2a）2＝0，
∴x1＝x2=2a，
∴当BC=2a时，y有最大值．
问题4：延长AM交EF的延长线于C，过点A作AH⊥EF于H，过点B作BK⊥GF于K交AH于Q．
在Rt△BNE中，∠E＝90°，∠BNE＝60°，BE＝1cm，
∴tan∠BNE=BEEN，
∴NE=33（cm），
∵AM∥BN，
∴∠C＝60°，
∵∠GFE＝90°，
∴∠CMF＝30°，
∴∠AMG＝30°，
∵∠G＝90°，AG＝1cm，∠AMG＝30°，
∴在Rt△AGM中，tan∠AMG=AGGM，
∴GM=3（cm），
∵∠G＝∠GFH＝90°，∠AHF＝90°，
∴四边形AGFH为矩形，
∴AH＝FG，
∵∠GFH＝∠E＝90°，∠BKF＝90°
∴四边形BKFE是矩形，
∴BK＝FE，
∵FN+FM＝EF+FG﹣EN﹣GM＝BK+AH−33−3=BQ+AQ+KQ+QH−433=BQ+AQ+2−433，
在Rt△ABQ中，AB＝4cm，
由问题3可知，当BQ＝AQ＝22cm时，AQ+BQ的值最大，此时EF＝（1+22）cm，
∴BQ＝AQ＝22时，FN+FM的最大值为（42+2−433）cm，此时EF＝（1+22）cm．
【专项突破】
一、解答题
1．（2021·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段的中点，D是线段上一个动点，连接，将沿直线翻折，使得点A落在点E处，射线交直线于点F．
（1）连接，求的长；
（2）若点F在线段上，连接，当时，求的长；
（3）以F为圆心，长为半径作，若与x轴相切于点T，求点F的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】
【分析】
（1）根据直线与坐标轴的交点特点，求出点A、B的坐标，得到OA=8，OB=6，根据点C为OA的中点，得到OC=4，用勾股定理求出答案即可；
（2）过点D作DH⊥x轴于H，先证明Rt△BCE≅Rt△BCO，再证明△DCH∼△CBO，得到
，再根据求出结论；
（3）连接，则轴．设，则，分两种情况讨论，利用勾股定理与点在函数图象上计算出结论．
【详解】
解：（1）当时，．
∴．
当时，．
∴．
∵点C是线段的中点，
∴．
∴．
（2）如图，过点D作轴于H．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
设，则．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．·
（3）连接，则轴．设，则．
分两种情形：
①如图，点F在线段上，
则，．
在中，．
∴．
解得（舍去），．
把代入得．
∴．
②如图，点F在线段的延长线上．则，．
在中，．
∴．
解得（舍去），．
把代入得．
∴．
由上①②可得，点F的坐标是或．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数与圆的有关性质，正确作出辅助线，根据题意画出图形是解题的关键．
2．（2021·江苏省天一中学三模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1＝y2．给出如下定义：若平面上存在一点P，使APB是以线段AB为斜边的直角三角形，则称点P为点A、点B的“直角点”．
（1）已知点A的坐标为(1，0)．
①若点B的坐标为(5，0)，在点P1(4，3)、P2(3，﹣2)和P3(2，)中，是点A、点B的“直角点”的是 ；
②点B在x轴的正半轴上，且AB＝，当直线y＝x+b上存在点A、点B的“直角点”时，求b的取值范围；
（2）⊙O的半径为r，点D(1，3)为点E(0，1)、点F(m，n)的“直角点”，若使得DEF与⊙O有交点，请直接写出半径r的取值范围．
【答案】（1）①，；②；（2）
【解析】
【分析】
（1）①根据“直角点”的定义即可解决问题；②首先求出的中点坐标，再利用“直角点”的定义确定：点、的“直角点”在以点为圆心，的长为半径的上，根据边界直线，确定的值，可得结论；
（2）以为圆心，以为半径画圆求出半径是最小值，以为半径画圆求出半径是最大值，可得结论．
【详解】
解：（1）①点的坐标为，若点的坐标为，点，
，，，
，
不是点、点的“直角点”；
同理得：，是点、点的“直角点”；
故答案为：，；
②，，
线段的中点，，
点、的“直角点”在以点为圆心，的长为半径的上，
当直线与相切于点，与两坐标轴相交于点、时，如图，连接，则，
，，
，
，
，
即，
同理：当直线与相切于点时，
，
，
即，
综上所述：；
（2）如图，
点为点、点的“直角点”，
，且，，
以为圆心为半径作圆，连接，以为半径作圆，
过D作DG⊥EF，垂足为G，
可得：EG=1，DG=2，
∴cos∠DEF=，
，
中，由勾股定理得：，
．
【点睛】
本题考查圆的综合题、圆的有关知识、一次函数的性质、“直角点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．
3．（2021·江苏·泰兴市实验初级中学一模）阅读理解：对于线段MN和点Q，定义：若QM＝QN，则称点Q为线段MN的“等距点”；特别地，若∠MQN＝90°，则称点Q是线段MN的“完美等距点”．
解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(4，0)，点P(m，n)是直线y＝﹣x上一动点．
（1）已知4个点：B(2，﹣3)、C(2，﹣2)、D(﹣2，2)、E(2，)，则线段OA的“等距点”是 ，线段OA的“完美等距点”是 ．
（2）若OP＝，点H在y轴上，且H是线段AP的“等距点”，求点H的坐标；
（3）当m＞0，是否存在这样的点N，使点N是线段OA的“等距点”且为线段OP的“完美等距点”，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）B，C，E为等距点，C为完美等距点；（2）(0，)或(0，﹣)；（3）存在，(8，﹣4)或(，﹣)
【解析】
【分析】
（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到O，A的距离，根据等距点和完美等距点做出判断；
（2）设出H点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论；
（3）假定存在，设出N点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论．
【详解】
解：（1）∵OB＝，AB＝，
∴OB＝AB．
∴B为等距点．
∵OC＝，AC＝，
∴OC＝AC．
∴C为等距点．
∵OD＝，AD＝，
∴OD≠AD．
∴D不为等距点．
∵OE＝，AE＝，
∴OE＝AE．
∴E为等距点．
∵OA＝4，
∴OB2+AB2≠OA2，OC2+AC2＝OA2，OD2+AD2≠OA2，OE2+AE2≠OA2，
∴C为完美等距点．
故答案B，C，E．C为完美等距点．
（2）∵P（m，n）在y＝﹣x上，
∴n＝﹣m．
∴．
∴m＝±2．
∴n＝±1．
∴P（2，﹣1）或P（﹣2，1）．
设H的坐标为（0，t），
∴PH＝或．
∵AH＝，AH＝HP，
∴或．
解得：t＝或t＝﹣．
经检验，符合题意，
∴H的坐标为（0，）或（0，﹣）．
（3）存在．
理由：设N点的坐标为（2，b），
∵P（m，﹣m），
∴ON＝，PN＝．
∵点N是线段OA的“等距点”，
∴ON＝PN．
∴．
解得：b＝4﹣m．
∵N为线段OP的“完美等距点”，
∴ON⊥PN．
∴△OPN为等腰直角三角形．
∴OP＝ON．
∵OP＝，ON＝．
∴＝×．
解得：m＝8或m＝．
经检验，符合题意，
当m＝8时，﹣m＝﹣4．
当m＝时，﹣m＝﹣．
∴P点的坐标为（8，﹣4）或（，﹣）．
【点睛】
此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的性质及勾股定理的应用．
4．（2021·江苏无锡·一模）将一矩形纸片放在直角坐标系中，为原点，在轴上，，．
（1）如图1，在上取一点，将沿折叠，使点落至边上的点，求直线的解析式；
（2）如图2，在、边上选取适当的点、，将沿折叠，使点落在边上的点，过作于点点，交于点．
①求证：；
②设，探求与满足的等量关系式，并将用含的代数式表示（指出变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当时，点在直线上，问坐标轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①见解析，②（）；（3）存在，或或
【解析】
【分析】
（1）在中，根据，设，在中，利用勾股定理求出即可．
（2）①只要证明，即可．
②如图3中，连接，在中利用勾股定理即可解决问题．
（3）分为对角线，为边两种情形讨论即可．
【详解】
解：（1）如图1中，
∵，，
∵是由翻折得到，
∴，
在中，，
∴，设，
在中，，
解得，
∴，
设直线的解析式为，把代入得到，
∴直线的解析式为．
（2）①如图2中，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
②如图3中，连接，
由（2）可得，
由勾股定理可得，
得．
结合（1）可得时，最小，从而，
当恰好平分时，最大即最大，
此时点与点重合，四边形为正方形，
故最大为9．从而，
∴．
（3）如图4中，时，，即点坐标．
∴，
①当为对角线时，点与重合，，
∴，
∴此时点坐标．
②为边时，∵四边形是平行四边形，
又∵四边形是平行四边形，
∴点与重合，点与点重合，
∴点坐标，
③当点在第四象限点时，四边形是平行四边形时，
∵直线的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
当时，，
综上所述，以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，点坐标或或．
【点睛】
本题考查四边形综合，根据题意做辅助线和判断等量关系列出方程是解题关键．
5．（2021·江苏南通·一模）如图①，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线 运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是．现 ，两点同时出发，设运动时间为，的面积为 ，与的对应关系如图②所示．
（1）在图①中， ，矩形的周长为 ；
（2）求图②中线段对应的函数解析式．
【答案】（1）5，18；（2）．
【解析】
【分析】
（1）从函数的图象和运动的过程可以得出：当点运动到点时，，，可得,再根据面积，求得，利用从函数的图象和运动的过程可以得出，当点从点运动到点时，需要的时间是秒，则，设，则，根据勾股定理可得，可解得（取正值），即，根据矩形的周长为求解即可；
（2）从函数的图象和运动的过程可以得出：图②中线段对应的，是点从点运动到点时，点从点 出发沿运动到点时，的面积，图②中点对应的，是点 到达点时的面积，根据秒，面积 ，求得点的坐标是（10，7.5），点的坐标是（12，9），设线段的函数解析式是，代入求值即可．
【详解】
解：（1）从函数的图象和运动的过程可以得出：当点运动到点时，，，
如图1所示，
∵，两点同时出发，运动速度都是，则有,
∴，
∴，
又∵从函数的图象和运动的过程可以得出：当点从点运动到点时，需要的时间是秒，则 ，
设，则，
在中，，
即，解之得： （取正值），
即：
∴矩形的周长为；
（2）从函数的图象和运动的过程可以得出：图②中线段对应的，是点从点运动到点时，点从点 出发沿运动到点时，的面积，
图②中点对应的是点到达点时的面积，
如图2所示，
则需要的时间是秒，
面积
即点的坐标是（10，7.5），点的坐标是（12，9）
设线段的函数解析式是，
则有，解之得： ，
∴线段的函数解析式是．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象的实际应用，待定系数法求函数解析式，一元二次方程，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键．
6．（2021·江苏·盐城市初级中学一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与 x轴交于AB两点，点B在点A的右侧，顶点为C，直线CA交 y 轴于点D，且△ABC的面积是△DAB面积的2倍．
（1）抛物线的对称轴为__________；
（2）求点A坐标；
（3）若tan∠ABC=2，求抛物线的函数表达式．
【答案】（1）x=3；（2）A点坐标为（1，0）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的性质可以得到解答；
（2）设A（p，0）、D（0，q），直线CA的表达式为y=kx+b，则由题意可以得到关于p的方程，解方程得到p的值即可得到A的坐标；
（3）根据抛物线的对称轴可得B点坐标，再由tan∠ABC=2可以得到C点坐标，代入抛物线解析式后求得m、n的值即可得到解答．
【详解】
解：（1）由抛物线的性质可得对称轴为：
，
故答案为x=3；
（2）由题意可知C点坐标为（3，-9m+n），
设A（p，0）、D（0，q），直线CA的表达式为y=kx+b，则：
，解得：，
∴直线CA的解析式为：，
∵C在y轴下方，
∴S△ABC=， ，
∴，
∴，
∴直线CA的解析式为：，
∵C在直线CA上，
∴，
∴p=1，
∴A点坐标为（1，0）；
（3）如图，
∵对称轴为x=3，A点坐标为（1，0），
∴B点坐标为（5，0），
∴AB=4，
∵tan∠ABC=2，
∴=2，
∴-9m+n=4,
∴C点坐标为（3，-4），
∴,
解得：m=1，n=5，
∴抛物线的函数表达式为：-6x+5．
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与性质、直线所围图形面积的计算及锐角三角函数的定义是解题关键．
7．（2021·江苏·苏州市振华中学校二模）如图（1），四边形ABCD的顶点A、D、C分别在x、y轴的正半轴上，AD∥BC，OC＝4cm．动点E从点C出发，沿C→D→A→B→C匀速运动，动点F以每秒1cm的速度从C出发沿线段CB向点B来回运动，当E点运动到点C点时，两点同时停止运动．若点E、F同时出发运动t秒后，如图（2）是△OEC的面积S（cm2）与t（秒）的函数关系图象，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG．
（1）填空：点E的运动速度是 ，B点坐标为 ．
（2）当0≤t＜4秒时，
①t为何值时，以O、C、E为顶点的三角形与△BFG相似？
②是否存在这样的时刻t，使点G正好落在线段AB上，若存在，求此时的t，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）cm/s，（4，4）；（2）①2或22；②存在，
【解析】
【分析】
（1）根据△OCD的面积求出OD的长，利用勾股定理求出CD，根据速度＝可得结论，观察图2可知，AD＝2，AB＝2，根点B作BH⊥OA于H．利用勾股定理求出AH＝2，推出点H与D重合可得点B坐标．
（2）当0≤t＜4时，点E在线段CD上．①由题意，∠BFG＝∠ECO＝45°，当时，△ECO∽△GFB，当时，△ECO∽△BFG，分别构建方程求解即可．
②存在．如图1﹣2中，由题意G（t，4﹣t）．求出直线AB的解析式，把G点坐标代入即可．
【详解】
解：（1）由题意，S△OCD＝8，
∴•OD•OC＝8，
∵OC＝4，
∴OD＝4，
，
由图象可知，E点从C点运动到D点用了4秒，
∴点E的运动速度cm/s，
观察图2可知，AD＝2，AB＝2，过点B作BH⊥OA于H．
∴四边形CBHO是矩形，
∴BH＝OC＝4，
∴AH，
∴AH＝AD，
∴点H与点D重合，
∴B（4，4）．
故答案为cm/s，（4，4）．
（2）当0≤t＜4时，点E在线段CD上．
根据题意可知：EC=,OC=4，CF=FE=t，BF=4-t，
∵等腰直角△EFG的斜边是EF，
∴FG==．
①由题意，∠BFG＝∠ECO＝45°，
当时，△ECO∽△GFB，
∴，
解得t＝2．
当时，△ECO∽△BFG，
∴，
解得t＝2-2或﹣2-2（舍去），
综上所述，满足条件的t的值为2或22．
②存在．如图1﹣2中，过点G作GM⊥EF，由△FGE是等腰直角三角形可知，GM=FM=，G点坐标为：G（t，4-t）．
∵B（4，4），A（6，0），
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，
把G（t，4-t）代入y＝﹣2x+12，
得到4-t＝﹣2×t+12，
解得t=．
点G正好落在线段AB上时t的值为．
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了一次函数的应用，速度，时间，路程之间的关系，相似三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数解决问题，属于中考压轴题．
8．（2021·江苏·常州外国语学校二模）如图，点A（2，n）和点D是反比例函数y（m＞0，x＞0）图象上的两点，一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接OA，OD．已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB：S△ODE＝3：4．
(1)S△OAB＝ ，m＝ ；
(2)已知点P（6，0）在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标．
【答案】(1)3，8
(2)D（8，1）
【解析】
【分析】
（1）由一次函数解析式求得点B的坐标，易得OB的长度，结合点A的坐标和三角形面积公式求得S△OAB＝3，所以S△ODE＝4，由反比例函数系数k的几何意义求得m的值；
（2）利用待定系数法确定直线AC函数关系式，易得点C的坐标；利用∠PDE＝∠CBO，∠COB＝∠PED＝90°判定△CBO∽△PDE，根据该相似三角形的对应边成比例求得PE、DE的长度，易得点D的坐标．
(1)
由一次函数y＝kx+3知，B（0，3）．
又点A的坐标是（2，n），
∴S△OAB3×2＝3．
∵S△OAB：S△ODE＝3：4．
∴S△ODE＝4．
∵点D是反比例函数y（m＞0，x＞0）图象上的点，
∴m＝S△ODE＝4，则m＝8．
故答案是：3；8；
(2)
由（1）知，反比例函数解析式是y．
∴2n＝8，即n＝4．
故A（2，4），将其代入y＝kx+3得到：2k+3＝4．
解得k．
∴直线AC的解析式是：yx+3．
令y＝0，则x+3＝0，
∴x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴OC＝6．
由（1）知，OB＝3．
设D（a，b），则DE＝b，PE＝a﹣6．
∵∠PDE＝∠CBO，∠COB＝∠PED＝90°，
∴△CBO∽△PDE，
∴，即①，
又ab＝8 ②．
联立①②，得（舍去）或．
故D（8，1）．
【点睛】
本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定与性质，要灵活掌握待定系数法确定函数关系式，函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式．
9．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）如图，直线与反比例函数交于、B两点，过点A作x轴的垂线与过点B垂直于y轴的直线交于点C，且的面积为8，
（1）求反比例函数解析式；
（2）点E、F是第一象限内反比例函数上两点，设点E的横坐标为a，点F的横坐标为b，，连接、、、，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据正比例函数和反比例函数的图像关于坐标原点中心对称，设，进而求得的坐标，进而求得的长，根据的面积为8，即可求得的值；
（2）过点分别作的垂线，垂足为，过点作垂足为，交于点,根据题意以及（1）的结论，可知，,，进而求得，进而证明，可得，，同理可得，可得，即可求得．
【详解】
（1）设
由中心对称可知点
∴，
∵
∴
∴
∴反比例函数解析式为
（2），理由如下：
联立，可得，
∵点E、F的横坐标为a
∴
如图所示，过点分别作的垂线，垂足为，过点作垂足为，交于点,
则
∴
又∵
∴，
同理：
∴
∴
【点睛】
本题考查了反比例函数与正比例函数图像的性质，求已知面积求，相似三角形的性质与判定，掌握反比例函数与几何图形的性质是解题的关键．
10．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，已知∠A=90°， AB=AC，A (-4，0)、B(0，2)、C(d，4)．
（1）求d的值：
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数y1的图象上．请求出这个反比例函数y1和此时的直线B′C′的解析式y2；
（3）当x满足什么条件时，y1＞y2．
【答案】（1）−6；（2）y1＝，y2＝− x＋6；（3）0＜x＜6或x＞12
【解析】
【分析】
（1）作CN⊥x轴于点N，根据HL证明Rt△CAN≌Rt△AOB，求出NO的长度，进而求出d；
（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，用c表示出C′和B′，根据两点都在反比例函数图象上，求出k的值，进而求出c的值，即可求出反比例函数和直线B′C′的解析式；
（3）直接从图象上找出y1＞y2时，x的取值范围．
【详解】
解：（1）作CN⊥x轴于点N，
∵A (-4，0)、B(0，2)、C(d，4)，
∴CN＝4，AO＝4，OB=2
在Rt△CAN和Rt△AOB中，
，
∴Rt△CAN≌Rt△AOB（HL），
∴AN＝BO＝2，NO＝NA＋AO＝6，
又∵点C在第二象限，
∴d＝−6；
（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，
则C′（−6＋c，4），则B′（c，2）
又点C′和B′在该比例函数图象上，
把点C′和B′的坐标分别代入y1＝，
得−24＋4c＝2c，
解得c＝12，
即反比例函数解析式为y1＝，
此时 C′（6，4），B′（12，2），
设直线B′C′的解析式y2＝mx＋n，
代入C′、B′得，
∴，
∴直线C′B′的解析式为y2＝− x＋6；
（3）由图象可知反比例函数y1和此时的直线B′C′的交点为 C′（6，4），B′（12，2），
若y1＞y2，则0＜x＜6或x＞12．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的知识，解决第（2）问关键求出c的值，此题难度不是很大．
11．（2021·江苏·镇江实验学校一模）如图，点A是坐标原点，点D是反比例函数图像上一点，点B在x轴上，，四边形是平行四边形，交反比例函数图像于点E．
（1）平行四边形的面积等于______；
（2）设D点横坐标为m，试用m的代数式表示点E的坐标；（要有推理和计算过程）
（3）的最小值为______．
【答案】（1）12；（2），；（3）
【解析】
【分析】
（1）作于，设．首先证明，根据反比例函数的几何意义求出即可解决问题．
（2）利用（1）中结论，根据得到点C坐标，求出直线的解析式，构建方程组确定点的坐标．
（3）作轴于，轴于．利用平行线分线段成比例得到，得到，求出的最小值即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图，作于，设．
，，
，
点在上，
，
．
故答案为12．
（2）由题意，
由（1）可知，
四边形是平行四边形，
，
，
，设直线的解析式为y=kx+b，
∴，解得：，
直线的解析式为，
由，解得或（舍弃），
，．
（3）作轴于，轴于．
，
，
，
要使得最小，只要最小，
，
的最小值为，
的最小值为．
【点睛】
本题属于反比例函数综合题，考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．
12．（2021·江苏·苏州市金阊实验中学校一模）如图，在直角坐标系中，为原点，直线分别与轴､轴交于点､点，四边形是矩形，且点在轴正半轴上，连接于点，反比例函数（）经过点，
（1）求点的坐标及的值；
（2）若将绕点逆时针旋转，点､点分别对应点､点，再将向右平移个单位，若平移后点在反比例函数图像上，求的值．
【答案】（1）B(1，0)，k=10；（2）
【解析】
【分析】
（1）令y=0，代入，可得B的坐标，设D(a，2)，则AD=OC=a，根据勾股定理列出关于a的方程，求出a的值，进而即可求解；
（2）过点作M⊥AD，由旋转的性质得BO=M=1，设再将向右平移个单位，(2+n，3)，进而即可求解．
【详解】
解：（1）∵直线与轴交于点，
∴令y=0，代入，得，解得：x=1，令x=0，y=2，
∴B(1，0)，A(0，2)，
∴OA=2，
∵四边形是矩形，
∴CD=AO=2，
设D(a，2)，则AD=OC=a，
∵，
∴，
又∵，，
∴，解得：a=5，即：D(5，2)，
∴把D(5，2)，代入，得k=10；
（2）过点作M⊥AD，
∵将绕点A逆时针旋转，点､点分别对应点､点，
∴也是由绕点A逆时针转90°得到，
∴BO=M=1，
∴(2，3)，
设再将向右平移个单位，(2+n，3)，在的图像上，则，解得：n=．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，旋转的性质以及函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
13．（2021·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，过点作轴垂线交反比例函数（）图像于点．在延长线上取点，连接，交反比例函数（）图像于点，连接，．
（1）求的值；
（2）在轴正半轴上取点，当平分时，求点的坐标．
【答案】（1）12；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用反比例函数的性质建立方程求出k的值；
（2）先求出OB＝5，再判断出BC＝OB＝5，进而求出点C的坐标，进而求出直线CD的解析式，再联立反比例函数解析式，求解，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵S△ABO＝6，AB⊥y轴，
∴k＝6，
∴k＝12；
（2）由（1）知，k＝12，
∴反比例函数的解析式为y，
∵AB⊥y轴，A（0，4），
∴B（3，4），
在Rt△ABO中，AB＝3，OA＝4，
∴OB5
∵OD平分∠OBE，
∴∠BOC＝∠COE，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴∠COE＝∠C，
∴∠BOC＝∠C，
∴OB＝BC＝5，
∴C（8，4），
设直线CD的解析式为y＝mx，
将（8，4）代入y＝mx中，得4＝8m，
∴m．
∴直线CD的解析式为yx，
联立解析式得：
解得，x＝±2，
∵点D在第一象限内，
∴D（2，）．
【点睛】
此题时反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数的性质，勾股定理，角平分线，等腰三角形的判定，待定系数法，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
14．（2021·江苏镇江·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为．
（1）求k的值．
（2）设点M在反比例函数图象上，连接，，若的面积是菱形面积的，求点M的坐标．
【答案】（1）k=32；（2）点M坐标为（2，16）或（6，）．
【解析】
【分析】
（1）如图，延长AD交x轴于E，根据菱形的性质可得AE//OB，即可证明AE⊥x轴，根据点D坐标可得OD的长，即可求出AE的长，可得点A坐标，代入反比例函数解析式求出k值即可得答案；
（2）由（1）可知k=32，根据点D坐标及OD的长可得菱形ABCD的面积，设M（a，），根据的面积是菱形面积的列方程求出a值即可得答案．
【详解】
（1）如图，延长AD交x轴于E，
∵菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，
∴AE//OB，AD=OD，
∴AE⊥x轴，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OE=4，DE=3，
∴OD==5，
∴AE=AD+DE=8，
∴点A坐标为（4，8），
∵点A在反比例函数的图象上，
∴8=，
解得：k=32．
（2）∵OD=AD=5，OE=4，
∴S菱形ABCD=AD·OE=20，
∵k=32，点M在反比例函数图象上，
∴设M（a，），
∵的面积是菱形面积的，
∴S△MAD=AD·=20×，即=2，
解得：a=2或a=6，
∴点M坐标为（2，16）或（6，）．
【点睛】
本题考查菱形的性质及反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
15．（2021•宿迁模拟）如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=k2x的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．
（1）求反比例函数y2=k2x与一次函数y1＝k1x+b的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
【分析】（1）把点D的坐标代入y2=k2x的利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作DE⊥x轴于E，根据题意求得A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）联立方程求得C的坐标，然后根据S△COD＝S△AOC+S△AOD即可求得△COD的面积；
（3）根据图象即可求得．
【解析】∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2═k2x的图象上，
∴k2＝2×（﹣3）＝﹣6，
∴y2=−6x；
作DE⊥x轴于E，
∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，
∴A（﹣2，0），
∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1＝k1x+b的图象上，
∴−2k1+b=02k1+b=−3，
解得k1=−34，b=−32，
∴y1=−34x−32；
（2）由y=−34x−32y=−6x，解得x1=2y1=−3，x2=−4y2=32，
∴C（﹣4，32），
∴S△COD＝S△AOC+S△AOD=12×2×32+12×2×3=92；
（3）当x＜﹣4或0＜x＜2时，y1＞y2．
16．（2021•天宁区校级模拟）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=6x（x＞0）的图象交于A（m，6），B（2，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若M是x轴上一点，且△MOB和△AOB的面积相等，求M点坐标．
【分析】（1）首先求出A、B两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2））设直线AB交x轴于P，则P（3，0），设M（m，0），由S△AOB＝S△OBM，可得S△AOP﹣S△OBP＝S△OBM，列出方程即可解决问题．
【解析】（1）∵点A（m，6），B（2，n）在函数y=6x（x＞0）的图象上，
∴m＝1，n＝3，
∴A点坐标是（1，6），B点坐标是（2，3），
把（1，6）、（2，3）代入一次函数y＝kx+b中，得k+b=62k+b=3，
解得k=−3b=9．
∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+9；
（2）设直线AB交x轴于P，则P（3，0），设M（m，0），
∵S△AOB＝S△OBM，
∴S△AOP﹣S△OBP＝S△OBM，
∴12×3×6−12×3×3=12|m|•3，
解得m＝±3，
∴点M的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．
17．（2020•张家港市模拟）如图，▱OABC的边OA在x轴的正半轴上，OA＝5，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点C（1，4）．
（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；
（2）过AB的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接CP，OP．求△COP的面积．
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；
（2）延长DP交OC于点E，由点D为线段BA的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出PD、EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解析】（1）∵反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点C（1，4）．
∴m＝1×4＝4，
∴反比例函数的关系式为y=4x（x＞0）．
∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OA＝5，点C（1，4），
∴点A（5，0），
∴点B（6，4）．
（2）延长DP交OC于点E，如图所示．
∵点D为线段BA的中点，点A（5，0）、B（6，4），
∴点D（112，2）．
令y=4x中y＝2，则x＝2，
∴点P（2，2），
∴PD=112−2=72，EP＝ED﹣PD=32，
∴S△COP=12EP•（yC﹣yO）=12×32×（4﹣0）＝3．
18．（2021•泗洪县二模）如图，已知反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．
（1）求k的值；
（2）若BD＝3OC，求四边形ACED的面积．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）求出直线BC的解析式，可得E点坐标，求出DE，OC，AC，即可利用梯形面积公式解决问题．
【解析】（1）∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（4，2），
∴2=k4，
解得：k＝8，
∴反比例函数解析式为：y=8x（x＞0）．
（2）∵AC⊥y轴，A（4，2），
∴OC＝2，
∵BD＝3OC，
∴BD＝3×2＝6，
∵BD⊥x轴，
∴点B的纵坐标为6，代入y=8x中，得：6=8x，
解得：x=43，
∴B（43，6），
∵C（0，2），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有43k+b=6b=2，
解得：k=3b=2，
∴直线BC的解析式为：y＝3x+2，
令y＝0，得：3x+2＝0，
解得：x=−23，
∴E（−23，0），
∴DE=43−（−23）＝2，
∵AC∥DE，
∴S四边形ACED=12（AC+DE）•OC=12×（4+2）×2＝6．
19．（2020•常州二模）如图，在直角坐标系中，正方形ABCD绕点A（0，6）旋转，当点B落在x轴上时，点C刚好落在反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象上．已知sin∠OAB=55．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）反比例函数y=kx的图象是否经过AD边的中点，并说明理由．
【分析】（1）过C点作CE⊥x轴于E，如图，利用正弦的定义得到sin∠OAB=OBAB=55，设OB=5x，则AB＝5x，OA＝25x，所以25x＝6，解方程得到B（3，0），接着证明△AOB≌△BEC得到AO＝BE＝6，OB＝CE＝3，从而得到C（9，3），然后利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）利用平移的方法确定D点坐标为（6，9），再利用线段中点坐标公式得到线段AD的中点坐标为（3，152），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征判断反比例函数y=kx的图象是否经过AD边的中点．
【解析】（1）过C点作CE⊥x轴于E，如图，
∵A（0，6），
∴OA＝6，
在Rt△OAB中，sin∠OAB=OBAB=55，
设OB=5x，则AB＝5x，
∴OA=(5x)2−(5x)2=25x，
∴25x＝6，解得x=355，
∴OB＝3，
∴B（3，0），
∵四边形ABCD为正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
而∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵∠AOB＝∠BEC，∠OAB＝∠CBE，AB＝BC，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴AO＝BE＝6，OB＝CE＝3，
∴C（9，3），
∵点C在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝9×3＝27，
∴反比例函数解析式为y=27x；
（2）反比例函数y=kx的图象不经过AD边的中点．
理由如下：
∵点B向左平移3个单位，再向上平移6个单位得到A点，
∴点C向左平移3个单位，再向上平移6个单位得到D点，
∴D点坐标为（6，9），
∴线段AD的中点坐标为（3，152），
∵3×152=452，
∴反比例函数y=kx的图象不经过AD边的中点．
20．（2021•靖江市模拟）如图，平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=kx（k≠0）的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（3）过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D，点C是直线BE上一点，若AD＝3CD，求点C的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）点A（1，2），点B（﹣2，﹣1），则AD＝2﹣（﹣1）＝3，由AD＝3CD得CD＝1，进而求解．
【解析】（1）把A（1，2）代入y2=kx中得k＝2，
∴反比例函数的表达式为y2=2x，
∴B（﹣2，﹣1），
把A（1，2）和B（﹣2，﹣1）代入一次函数y1＝ax+b得a+b=2−2a+b=−1，
解得a=1b=1，
∴一次函数的表达式为y1＝x+1；
（2）从图象可以看出，y1＞y2时x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1；
（3）点A（1，2），点B（﹣2，﹣1），
则AD＝2﹣（﹣1）＝3，
由AD＝3CD得CD＝1，
故点C（0，﹣1）或（2，﹣1）．
21.（2021•东台市模拟）如图所示，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式．
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．
【分析】（1）将点A坐标代入y=mx可得反比例函数解析式，据此求得点B坐标，根据A、B两点坐标可得直线解析式；
（2）根据点B坐标可得底边BC＝2，由A、B两点的横坐标可得BC边上的高，据此可得．
【解析】（1）将点A（2，4）代入y=mx，得：m＝8，
则反比例函数解析式为y=8x，
当x＝﹣4时，y＝﹣2，
则点B（﹣4，﹣2），
将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入y＝kx+b，
得：2k+b=4−4k+b=−2，
解得：k=1b=2，
则一次函数解析式为y＝x+2；
（2）由题意知BC＝2，
则△ACB的面积=12×2×6＝6．
22．（2020•泰兴市模拟）在平面直角坐标系中，过点P（0，a）作直线l分别交y=mx（m＞0、x＞0），y=nx（n＜0，x＜0）于点M、N，
（1）若m＝4，MN∥x轴，S△MON＝6，求n的值；
（2）若a＝5，PM＝PN，点M的横坐标为3，求m﹣n的值．
（3）如图，若m＝4，n＝﹣6，点A（d，0）为x轴的负半轴上一点，B为x轴上点A右侧一点，AB＝4，以AB为一边向上作正方形ABCD，若正方形ABCD与y=mx（m＞0、x＞0），y=nx（n＜0，x＜0）都有交点，求d的范围．
【分析】（1）点P（0，a），则点M、N的坐标分别为（ma，a）、（na，a），则S△MON＝6=12×MN×OP=12×（4a−na）×a，即可求解；
（2）点M、N的坐标分别为（ma，a）、（na，a），PM＝PN，则ma=−na，解得：m＝﹣n，即可求解；
（3）若正方形ABCD与y=mx（m＞0、x＞0），y=nx（n＜0，x＜0）都有交点，则HD≥0且CG≥0，即可求解．
【解析】（1）点P（0，a），则点M、N的坐标分别为（ma，a）、（na，a），
则S△MON＝6=12×MN×OP=12×（4a−na）×a，
解得：n＝﹣8；
（2）点M、N的坐标分别为（ma，a）、（na，a），
∵PM＝PN，则ma=−na，解得：m＝﹣n，
若a＝5，点M的横坐标为3，则点M（3，5），故m＝3×5＝15＝﹣n，
故m﹣n＝30；
（3）点A（d，0），则点B（d+4，0），点D、C的坐标分别为（d，4）、（d+4，4），
设正方形交两个反比例函数于点G、H，则点G、H的坐标分别为（d，−6d）、（d+4，4d+4），
若正方形ABCD与y=mx（m＞0、x＞0），y=nx（n＜0，x＜0）都有交点，
则HD≥0且CG≥0，即4+6d≥04−4d+4≥0，且d＜0，d+4＞0，
解得：﹣3≤d≤−32，
故d的范围为：﹣3≤d≤−32．
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