专题01 以三角形为基础的图形的旋转变换问题-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题01 以三角形为基础的图形的旋转变换问题

【例题精讲】

1、如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．

（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：  BE=CD  ；

（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），

①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；

②当AC=ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．

2、如图①，在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC，AB与EC交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．

（1）求证：CF=CH；

（2）如图②，Rt△ABC不动，将Rt△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM的形状，并证明你的结论．

【针对训练】

1、如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），B（﹣4，0），C（4，0）．

（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝15°，AD＝3，求点D的坐标；

（Ⅱ）如图②，AD＝2，将△ABD绕点A逆时针方向旋转得到△ACE，点B，D的对应点分别为C，E．连接DE，BD的延长线与CE相交于点F．

①求DE的长；

②证明：BF⊥CE．

（Ⅲ）如图③，将（Ⅱ）中的△ADE绕点A在平面内旋转一周，在旋转过程中点D，E的对应点分别为D1，E1，点N，P分别为D1E1，D1C的中点，请直接写出△OPN面积S的变化范围．

2、如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为　   　，BH与AE的数量关系为　   　；

问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；

拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．

3、已知△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置．

（1）如图，旋转中心是　   　，∠DAE＝　   　°；

（2）如图，如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转动了　   　度；

（3）如果点D为BC边上的三等分点，且△ABD的面积为3，那么四边形ADCE的面积为　   　．

4、如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．

（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是　   　，位置关系是　   　．

（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；

（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．

．

5、如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）如图甲，将△ADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个　   　．（回答直接写序号）

①BD＝CE； ②BD⊥CE； ③∠ACE+∠DBC＝45°； ④BE2＝2（AD2+AB2）

（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE绕点A旋转：

①当∠CAE＝90°时，求PB的长；

②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值．

6、已知：△ABC是等边三角形，点D是△ABC（包含边界）平面内一点，连接CD，将线段CD绕C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点P．

（1）观察填空：当点D在图1所示的位置时，填空：

①与△ACD全等的三角形是　   　．

②∠APB的度数为　   　．

（2）猜想证明：在图1中，猜想线段PD，PE，PC之间有什么数量关系？并证明你的猜想．

（3）拓展应用：如图2，当△ABC边长为4，AD＝2时，请直接写出线段CE的最大值．

7、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．

（1）直线BD和CE的位置关系是　   　；

（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；

（3）设直线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°，AB＝2，AD＝1时，直接写出PB的长．

8、已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．

（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；

（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．

9、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．

（1）求证：△BCD≌△ACE；

（2）如图2，连接ED，若CD＝2，AE＝1，求AB的长；

（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．