专题3.3 三角函数的图像和性质-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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第三篇 三角函数与解三角形
专题3.3 三角函数的图像和性质
【考纲要求】
1. 能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．
3．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
4．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.
【命题趋势】
1.三角函数的图象，主要考查三角函数的图象变换、三角函数解析式的求法及三角函数图象的应用．
2．三角函数的性质是高考的必考内容，常与三角函数的图象结合，主要考查三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性．
3．高考中常以选择、填空题的形式考查三角函数关系式、三角函数诱导公式、三角函数的奇偶性及对称性，属于中低档题．
4．以解答题的形式考查三角函数的单调性、最值，常与平面向量、解三角形及三角恒等变换相结合.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算和直观想象的核心素养。
【素养清单•基础知识】
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).
函数y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在(k∈Z)上是递增函数
周
期
性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是
对
称
性
对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(k∈Z)
对称中心是
(k∈Z)

三角函数性质的注意点：
(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无单调递减区间；y＝tan x在整个定义域内不单调．
(2)要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆.
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ

4．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
ωx＋φ
0

π

2π
x
－
－

－

y＝Asin(ωx＋φ)
0

0
－A
0
5．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法

(1)两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度．
(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
【素养清单•常用结论】
1．对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ (k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋ (k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
【真题体验】
1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．
【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
2.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（，）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
【答案】C
【解析】为偶函数，故①正确．
当时，，它在区间单调递减，故②错误．
当时，，它有两个零点：；当时，
，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．
当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．
综上所述，①④正确，故选C．
【名师点睛】本题也可画出函数的图象（如下图），由图象可得①④正确．

3. 【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是（ ）
A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x|
C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|
【答案】A
【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；
因为，周期为，排除C；
作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确；
作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，
故选A．

图1

图2

图3
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数.
4.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解析】①若在上有5个零点，可画出大致图象，
由图1可知，在有且仅有3个极大值点.故①正确；
②由图1、2可知，在有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；

④当=sin（）=0时，=kπ（k∈Z），所以，
因为在上有5个零点，
所以当k=5时，，当k=6时，，解得，
故④正确.
③函数=sin（）的增区间为：，.
取k=0，
当时，单调递增区间为，
当时，单调递增区间为，
综上可得，在单调递增.故③正确.
所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.
【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错．
5．【2019年高考天津卷理数】已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵为奇函数，∴；
又∴，
又，∴，
∴，故选C.
【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数，再根据函数性质逐步得出的值即可.
6. 【2018年高考天津理数】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为.
则函数的单调递增区间满足，即，
令可得一个单调递增区间为.
函数的单调递减区间满足：，即，
令可得一个单调递减区间为：.
故选A.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7. 【2018年高考浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A，B；
因为时，，所以排除选项C，
故选D.
【名师点睛】解答本题时，先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可作出判断.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：
（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；
（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
8.【2017年高考全国Ⅲ理数】设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的一个周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在(，)单调递减
【答案】D
【解析】函数的最小正周期为，则函数的周期为，取，可得函数的一个周期为，选项A正确；
函数图象的对称轴为，即，取，可得y=f(x)的图象关于直线对称，选项B正确；
，函数的零点满足，即，取，可得的一个零点为，选项C正确；
当时，，函数在该区间内不单调，选项D错误.
故选D.
【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为或的形式.
（2）求的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令即可.
【考法拓展•题型解码】
考法一　三角函数的图象及变换
归纳总结：三角函数图象的两种变换
(1)平移变换
①沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移．
②沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移．
(2)伸缩变换
①沿x轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍．
②沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍．
【例1】 (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
【答案】D
【解析】由函数解析式可得该函数的周期为π，将其图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数为y＝2sin＝2sin.故选D．
(2)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝__________.
【答案】
【解析】把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，再把函数y＝sin图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，所以f＝sin＝sin＝.
考法二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
解题技巧：确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝(M－m)/2，b＝(M＋m)/2.
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝.
(3)求φ：常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点是在上升区间还是在下降区间)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
【例2】 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)

A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
【答案】A
【解析】由图象知A＝2，＝－＝，故T＝π，由此可排除C，D；将点依次代入选项A，B中的函数解析式，A项符合题意，B项不符合题意，由此排除选项B．故选A．
(2)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是(　　)

A．A＝3，T＝，φ＝－
B．A＝1，T＝，φ＝
C．A＝1，T＝，φ＝－
D．A＝1，T＝，φ＝－
【答案】C
【解析】由图象知，A＝＝1，b＝＝2，＝－＝，则T＝，ω＝.由×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，令k＝0，得φ＝－.
考法三　三角函数的单调性
解题技巧:三角函数单调性问题的常见类型及解题策略
(1)已知三角函数的解析式求单调区间：
①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律；
②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷．
【例3】 若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A． B．
C． D．π
【答案】C　
【解析】f(x)＝cos x－sin x＝－sin，所以当x－∈，即x∈时，sin单调递增，－sin单调递减，所以是f(x)在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a]⊆，所以0≤a≤，即amax＝.故选C．
【例4】 (2017·浙江卷)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2·sin xcos x(x∈R)．
(1)求f 的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
【答案】见解析
【解析】(1)由题意，f(x)＝－cos 2x－sin 2x
＝－2＝－2sin，
故f＝－2sin＝－2sin ＝2.
(2)由(1)知f(x)＝－2sin.则f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
考法四　三角函数的值域(最值)
解题技巧：
(1)直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出．
(2)化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．
(3)换元法：形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．换元后要注意标出t的取值范围．
【例5】 (1)y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A．2－ B．0
C．－1 D．－1－
【答案】A　
【解析】因为0≤x≤9，所以－≤－≤，
所以sin∈.所以y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－.故选A
(2)(2019·惠州模拟)函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为(　　)
A． B．1
C． D．2
【答案】C　
【解析】)y＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x＝－22＋，当sin x＝时，ymax＝.故选C．
(3)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为__________．
【答案】　
【解析】x∈，则sin x∈.又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝22＋.所以当sin x＝时，ymin＝；当sin x＝－或1时，ymax＝2.故函数值域为.
考法五　三角函数的奇偶性、周期性、对称性
解题技巧:三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)，同时当x＝0时，f(x)取得最大或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，且当x＝0时，f(x)＝0.
(2)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T＝，T＝，T＝求解．
(3)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
【例6】 (1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B　
【解析】f(x)是奇函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)；φ＝时，f(x)＝Acos＝－Asin ωx，为奇函数，所以“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要不充分条件
(2)(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是__________．
【答案】　－
【解析】由2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)得φ＝kπ－，又φ∈，取k＝0，φ＝－.
(3)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f ＝f ＝－f ，则f(x)的最小正周期为__________．
【答案】　π
【解析】记f(x)的最小正周期为T.由题意知≥－＝.又f ＝f ＝－f ，且－＝.
可作出示意图如图所示(一种情况)．

所以x1＝×＝，x2＝×＝，
所以＝x2－x1＝－＝.所以T＝π.
考法六　三角函数模型的应用
归纳总结
三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
【例7】 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)

A．5 B．6
C．8 D．10
【答案】C　
【解析】 根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.
【易错警示】
易错点　图象变换出现错误
【典例】 要得到y＝sin的图象，只需将y＝sin的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【错解一】：由函数y＝sin的图象向左平移就得到y＝sin＝sin的图象．故选C．
【错解二】：由函数y＝sin的图象向右平移就得到y＝sin的图象．故选D．
【错因分析】：错解一中将y＝sin的图象向左平移得到的应该是函数y＝sin＝sin的图象，变换求式时忽视了x的系数－.
错解二对题意理解有误，是将谁平移变换得到谁弄反了，另外，若向右平移个单位，应该得到函数y＝sin＝sin的图象．
【正解答案】：B
【正解】：因为y＝sin＝sin，与y＝sin比较，只需x→x－即可．故选B．
【跟踪训练】 要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【答案】B　
【解析】 由y＝sin＝sin 4得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移个单位长度即可．故选B．
【递进题组】
1．把函数y＝sin的图象上所有点向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，所得图象的解析式是y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)，则(　　)
A．ω＝，φ＝－ B．ω＝2，φ＝
C．ω＝2，φ＝0 D．ω＝2，φ＝
【答案】C　
【解析】 把函数y＝sin的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数y＝sin＝sin x的图象，再将所得图象的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，所得图象的解析式是y＝sin 2x，故ω＝2，φ＝0.
2．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图象关于点对称
【答案】D
【解析】 由题意知，f(x)＝cos x，所以它是偶函数，A项错误；它的周期为2π，B项错误；它的对称轴是直线x＝kπ，k∈Z，C项错误；它的对称中心是点，k∈Z，D项正确．
3．电流强度I(单位：安)随时间t(单位：秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　)

A．－5安 B．5安
C．5安 D．10安
【答案】A　
【解析】 由题图可知A＝10，＝－，即T＝，所以ω＝＝100π，函数图象过点(0,5)且0<φ<，所以φ＝，所以函数为I＝10sin，当t＝秒时，I＝－5安．故选A．
4．若函数y＝2sin(ωx＋φ)的一段图象如图所示，则ω＝__________，φ＝__________.

【答案】 2　
【解析】 因为T＝－＝π，所以ω＝＝2.由图象得2×＋φ＝2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－，k∈Z.因为|φ|≤，所以k＝1时，φ＝.
5．y＝sin的单调减区间为__________．
【答案】 ，k∈Z
【解析】 y＝sin＝－sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所给函数的减区间为，k∈Z.
6．设x∈，函数y＝4sin2x－12sin x－1的最大值为a，最小值为b，则a＋b＝__________.
【答案】－3
【解析】 令t＝sin x，由于x∈，故t∈，则y＝4t2－12t－1＝42－10.因为当t∈时，函数单调递减，所以当t＝－，即x＝－时，y取得最大值，a＝6；当t＝1，即x＝时，y取得最小值，b＝－9.所以a＋b＝－3.
【考卷送检】
一、选择题
1．函数y＝的定义域为(　　)
A．
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．R
【答案】C　
【解析】 因为cos x－≥0，即cos x≥，所以2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
2．将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
【答案】B　
【解析】 由题可得平移后的函数为y＝3sin＝3sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，解得kπ＋≤x≤kπ＋，故该函数在(k∈Z)上单调递增，当k＝0时，B项满足条件．故选B．
3．(2019·深圳中学测试)若函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)＋sin x是偶函数，函数f(x)＋cos x是奇函数，则f ＝(　　)
A．－ B．
C． D．
【答案】A　
【解析】 因为函数f(x)＋sin x是偶函数，所以f ＋sin＝f ＋sin，即f －＝f ＋.①
因为函数f(x)＋cos x是奇函数，所以f ＋cos＝
－f －cos，即f ＋＝－f －.②
由①－②，得－＝2f＋，所以f＝－.故选A．
4．(2019·广东七校联考)已知函数y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，则函数y＝cos(2x＋φ)的图象(　　)
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
【答案】A　
【解析】 因为函数y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，所以sin＝1，则φ＝2kπ＋，k∈Z，则y＝cos＝cos，当x＝时，y＝0，故A项正确．
5．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)

A．1 B．
C． D．
【答案】D　
【解析】 观察图象可知，A＝1，T＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)．将代入上式得sin＝0.由|φ|<得φ＝，则f(x)＝sin.函数图象的对称轴为x＝＝.又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，所以＝，所以f(x1＋x2)＝sin＝.故选D．
6．(2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
【答案】A　
【解析】 由f ＝2，f ＝0，f(x)的最小正周期T>2π可得－＝＝，所以T＝3π，所以ω＝＝.再由f ＝2及|φ|<π得φ＝.
二、填空题
7．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上为减函数，则ω的一个取值范围为________．
【答案】 [2,3](答案不唯一)
【解析】 由题意可得ω×≥2kπ＋，且ω×≤2kπ＋(k∈Z)，解得8k＋2≤ω≤4k＋3.令k＝0，得2≤ω≤3.
8．(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos(ω＞0)．若f(x)≤f 对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
【答案】
【解析】 因为f(x)≤f ，所以当x＝时函数f(x)取最大值．所以cos＝1，所以ω－＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝8k＋(k∈Z)．因为ω＞0，所以当k＝0时，ω取得最小值.
9．把函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x－图象上各点向右平移φ(φ>0)个单位，得到函数g(x)＝sin 2x的图象，则φ的最小值为________．
【答案】
【解析】 把函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋cos 2x＝sin图象上各点向右平移φ(φ>0)个单位，得到函数g(x)＝sin＝sin＝sin 2x的图象，则φ的最小值为.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝sin－cos.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调区间．
【答案】见解析
【解析】 (1)f(x)＝sin－cos＝cos x＋sin x＝2sin，所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调减区间为(k∈Z)．
11．(2018·北京卷)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
【答案】见解析
【解析】 (1)f(x)＝＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.因为x∈，所以2x－∈.要使得f(x)在上的最大值为，即sin在上的最大值为1.所以2m－≥，即m≥.所以m的最小值为.
12．已知函数f(x)＝cos＋2sinsin.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)在区间上的图象与直线y＝a有三个交点，求实数a的取值范围．
【答案】见解析
【解析】 (1)f(x)＝cos＋2sinsin＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x)＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z .所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z .
(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得g1(x)＝sin＝sin＝cos 2x的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g(x)＝cos x的图象．作函数g(x)＝cos x在区间上的图象，作直线y＝a.根据图象知，实数a的取值范围是.

13．下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上是减函数”的是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝sin
【答案】D
【解析】 易知函数y＝sin的最小正周期为4π，故排除A项；当x＝时，y＝sin＝0，故排除B项；当x∈时，2x＋∈，函数y＝cos在x∈上单调递增，故排除C项；对于函数y＝sin，可知T＝＝π，且y＝sin＝1，是最大值，函数的图象关于直线x＝对称，x∈时，2x＋∈，可知函数y＝sin在上是减函数．故选D．