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专题1.5-6平方差公式和完全平方公式（讲练）-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版）
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专题1.5-6平方差公式和完全平方公式
典例体系（本专题共76题33页）
一、知识点
（1） 平方差公式：
即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；
（2） 完全平方公式：
即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍；
（3） 添括号：①如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
②如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号；
二、考点点拨与训练
考点1：平方差公式的适用条件
典例：（2020·山西左权·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．(a+b)(a-2b) B．(x+2y)(x-2y) C．（-a+2b)(a-2b) D．（-2m-n）（2m+n）
方法或规律点拨
本题主要考查了平方差公式，熟练掌握相关公式是解题关键.
巩固练习
1．（2019·河北南宫·期末）下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·河南舞钢·期中）下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·江苏梁溪·期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·安徽临泉·期末）能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·达州市通川区第八中学期中）下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·沈阳市第一二七中学期中）下列各多项式相乘：①（-2ab+5x）(5x+2ab);②(ax－y)(-ax-y);③(-ab-c)(ab-c);④(m+n)(-m-n).其中可以用平方差公式的有 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2020·西藏日喀则·期末）下列乘法运算中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1） B．（x+1）（﹣x+1）
C．（﹣x+1）（﹣x﹣1） D．（x+1）（﹣x﹣1）
考点2：应用平方差公式进行计算
典例：（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）______．
方法或规律点拨
本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
巩固练习
1．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）若，则代数式的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
2．（2020·湖南涟源·初一期末）计算的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·绍兴市文澜中学期中）若，且，则_____
4．（2020·河南洛宁·月考）计算：__________．
5．（2020·山东中区·初一期末）若，，则_____．
6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）________．
7．（2020·吉林延边·初二期末）计算：=____________．
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
考点3：乘法公式与图形面积
典例：（2020·北京通州·初一期中）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）设图1中阴影部分的面积为S₁，图2中阴影部分的面积为S₂，请用含a．b的式子表示：S₁＝ ，S₂＝ ；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是 ．
（3）利用（2）中得到的公式，计算；20202﹣2019×2021．
方法或规律点拨
本题考查了平方差公式的几何背景及其在简算中的应用，数形结合并明确平方差公式的形式是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·沈阳市第一二七中学期中）如图，它由两块相同的直角梯形拼成，由此可以验证的算式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·福建省惠安科山中学月考）如下图所示，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·广东禅城·期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为 b的小正方形（a >b〉）把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2018·河南汝阳·初二期末）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是
A. B. C. D.
5．（2020·浙江鄞州·初一期末）有4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2．若S1＝S2，则a、b满足（ ）
A．2a＝3b B．2a＝5b C．a＝2b D．a＝3b
6．（2020·福建宁德·初一期末）有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中 3 个如图 1 摆放，构造一个正方形；其中5 个如图 2 摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙）．若图 1 和图2 中阴影部分的面积分别为 39 和 106，则每个小长方形的面积为___．
7．（2020·福建省惠安科山中学月考）用四块长为acm、宽为bcm的矩形材料（如图1）拼成一个大矩形（如图2）或大正方形（如图3），中间分别空出一个小矩形A和一个小正方形B．
（1）求（如图1）矩形材料的面积；（用含a，b的代数式表示）
（2）通过计算说明A、B的面积哪一个比较大；
（3）根据（如图4），利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式．
8．（2020·江苏新沂·初一期末）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积．
9．（2020·四川成华·初一期末）图1和图2的大正方形都是由一些长方形和小正方形组成的．观察图形，完成下列各题：
(1)如图1，求S大正方形的方法有两种：S大正方形=(x+y)2，同时，S大正方形=S①+S②+S③+S④= ．所以图1可以用来解释等式： ；同理图2可以用来解释等式： ．
(2)已知a+b+c=6，ab+bc+ca=11，利用上面得到的等式，求a2+b2+c2的值．
10．（2020·山东中区·初一期末）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2 ＝a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23＝（1+2）2＝32
尝试解决：
（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33＝ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
11．（2020·浙江新昌·初一期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是________．
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式．如果不能，请说明理由．
12．（2020·河北邢台·初一月考）若x满足(x－4) (x－9)＝6，求(x－4)2+(x－9)2的值．
解：设x－4＝a，x－9＝b，则(x－4)(x－9)＝ab＝6，a－b＝(x－4)－(x－9)＝5，
∴(x－4)2+(x－9)2＝a2+b2＝(a－b)2＋2ab＝52＋2×6＝37
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足(x－2)(x－5)＝10，求(x－2)2 + (x－5)2的值
(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．
13．（2020·浙江衢州·初一期中）（阅读材料）
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
（理解应用）
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式．
（拓展升华）
（2）利用（1）中的等式解决下列问题．
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
考点4：求完全平方公式的字母系数
典例：（2020·沈阳市第一二七中学期中）如果二次三项式x2﹣16x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．±8 B．4 C．±4 D．8
方法或规律点拨
本题考查了完全平方公式．能够掌握完全平方公式的运用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键．
巩固练习
1．（2020·长春市第五十二中学月考）若是完全平方式，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2020·绍兴市长城中学期中）若x2﹣2(k﹣1)x+4是完全平方式，则k的值为（ ）
A．±1 B．±3 C．﹣1或3 D．1或﹣3
3．（2020·达州市通川区第八中学期中）若(x-2y)2 =(x+2y)2+M,则M= ( )
A．4xy B．- 4xy C．8xy D．-8xy
4．（2020·四川巴州·期末）若是完全平方式，则的值应为（ ）
A．3 B．6 C． D．
5．（2019·南阳市第三中学月考）如果整式恰好是一个整式的平方，那么的值是（）
A．±3 B．±4.5 C．±6 D．9
6．（2020·广东高州·期中）已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值为_____________
7．（2020·山东长清·期中）若x2﹣mx+9是个完全平方式，则m的值是__．
8．（2020·达州市通川区第八中学期中）已知是完全平方式，则△＝_______．
9．（2020·达州市通川区第八中学期中）若9x2+kx+1是一个完全平方式，则k＝_____．
10．（2020·广西百色·期末）在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是______（只写出一个即可）．
11．（2020·江苏盱眙·期末）若是关于的完全平方式，则的值是______．
考点5：应用完全平方公式求值
典例：（2020·福建宁化·期末）已知有理数，满足，．
（1）求的值；
（2）求的值．
方法或规律点拨
本题考查了利用完全平方公式变形求值，解题关键是整体思想的应用．
巩固练习
1．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）已知a+b＝3，ab＝，则（a+b）2的值等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2020·达州市通川区第八中学期中）已知|x+y+5|+（xy﹣6）2＝0，则x2+y2的值等于（ ）
A．1 B．13 C．17 D．25
3．（2019·河北涿鹿·期末）若a+b=0，ab=11，则a2－ab+b2的值为（ ）
A．33 B．－33 C．11 D．－11
4．（2020·重庆南开中学期末）若，，则__________．
5．（2019·江西南康·其他）已知实数a，b满足，则=______．
6．（2020·甘肃镇原·初二期末）已知，则的值为__________．
7．（2020·山东济阳·初一期末）已知，ab=6 ，则a2+b2的值是__________ ．
8．（2019·河北石家庄·初一期末）若，，则的值为_________．
9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，，求下列各式的值：
（1） （2）
考点6：配方法及其应用
典例：（2020·四川成都·初一期末）(1)已知：a(a+1)﹣(a2+b)=3，a(a+b)+b(b﹣a)=13，求代数式ab的值．
(2)已知等腰ABC的两边分别为a、b，且a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58=0，求ABC的周长．
方法或规律点拨
本题主要考查了完全平方公式，三角形三边关系，非负数的性质，等腰三角形的定义和整式的混合运算，（1）正确将已知条件变形是解题关键，（2）利用配方法配方得出a和b的值是关键．
巩固练习
1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）已知-2x-6y+10＝0，则的值为（ ）
A． B．9 C．1 D．99
2．（2020·全国初二课时练习）代数式的值（ ）
A．大于或等于零 B．小于零 C．等于零 D．大于零
3．（2020·湖州市第四中学教育集团期中）若a，b都是有理数，且a2﹣2ab+2b2+4b+4＝0，则＝_____．
4．（2020·兴县教育科技局教学研究室期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中、、、均为整数），则有．，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得_____，_______；
（2）试着把写成一个完全平方式：；
（3）若是的立方根，是的平方根，试计算：．
5．（2020·泉州市第六中学初二期中）回答下列问题
(1)填空：x2+＝(x+)2﹣_____＝(x﹣)2+_____.
(2)若a+＝5，则a2+＝_____；
(3)若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值.
6．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）已知，则=______．
7．（2020·贵州石阡·期末）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：
∵，
当时，的值最小，最小值是0，
∴
当时，的值最小，最小值是1，
∴的最小值是1.
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）当x=______时，代数式的最小值是______；
（2）若，当x=______时，y有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；
（3）若，求的最小值.
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，求
9．（2019·河北安平·初二期末）阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值.方法如下：
∵，由，得；
∴代数式的最小值是4.
（1）仿照上述方法求代数式的最小值.
（2）代数式有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.
10．（2020·广西兴宾·初一期中）阅读下列材料，解答问题：
例：已知a－b=3，ab=2，求a2＋b2的值．
解：方法1：a2＋b2=(a－b)2＋2ab=32＋4=13
方法2：∵a－b=3
∴(a－b)2=32
即a2－2ab＋b2=9
a2＋b2=9＋2ab=9+4=13
请选择任意一种解题方法解决下列问题．
（1）已知a＋b=6，ab=－3，求代数式a2＋b2的值；
（2）已知a＋b=－2，ab=－1，求代数式(a－b)2的值．
11．（2020·全国初二课时练习）观察例题，然后回答：例：，则________．
解：由，得，即
所以：
通过你的观察你来计算：当时，求下列各式的值：
（1）；（2）．
考点7：乘法公式的混合运算
典例：（2020·重庆南开中学开学考试）化简求值：，其中满足
方法或规律点拨
本题主要考查了整式的化简及求值，利用绝对值的非负性求字母的值，并具体考查整式的加减乘除远算法则，完全平方公式和平方差公式的应用．
巩固练习
1．（2020·沈阳市第一二七中学期中）先化简，再求值．
，其中，．
2．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）先化简，再求值：，其中，．
2．（2020·辽宁北镇·期末）先化简，再求值：，其中，．
3．（2020·思南县张家寨初级中学期末）先化简，再求值：2（a+b）（a-b）-+．其中a=2，b=．
4．（2020·苏州市吴江区同里中学期末），其中x＝－1，y＝2．
5．（2020·辽宁昌图·期末）先化简，再求值：，其中
6．（2020·江苏江阴·初一期末）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（3x﹣y）2+5（x+y）（x﹣y），其中x＝，y＝2．
7．（2020·四川郫都·初一期末）先化简，再求值：[（x﹣3y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣x（2x﹣5y）]+（﹣y），其中x＝﹣2，y＝﹣3．
8．（2020·株洲景炎学校初一期中）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中，
9．（2020·江苏南京·初一期中）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣（x＋2y）（x﹣2y），其中x＝﹣1，y＝．
10．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）化简求值：，其中，.
专题1.5-6平方差公式和完全平方公式
典例体系（本专题共76题33页）
一、知识点
（1） 平方差公式：
即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；
（2） 完全平方公式：
即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍；
（3） 添括号：①如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
②如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号；
二、考点点拨与训练
考点1：平方差公式的适用条件
典例：（2020·山西左权·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．(a+b)(a-2b) B．(x+2y)(x-2y) C．（-a+2b)(a-2b) D．（-2m-n）（2m+n）
方法或规律点拨
本题主要考查了平方差公式，熟练掌握相关公式是解题关键.
巩固练习
1．（2019·河北南宫·期末）下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·河南舞钢·期中）下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·江苏梁溪·期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·安徽临泉·期末）能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·达州市通川区第八中学期中）下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·沈阳市第一二七中学期中）下列各多项式相乘：①（-2ab+5x）(5x+2ab);②(ax－y)(-ax-y);③(-ab-c)(ab-c);④(m+n)(-m-n).其中可以用平方差公式的有 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2020·西藏日喀则·期末）下列乘法运算中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1） B．（x+1）（﹣x+1）
C．（﹣x+1）（﹣x﹣1） D．（x+1）（﹣x﹣1）
考点2：应用平方差公式进行计算
典例：（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）______．
方法或规律点拨
本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
巩固练习
1．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）若，则代数式的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
2．（2020·湖南涟源·初一期末）计算的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·绍兴市文澜中学期中）若，且，则_____
4．（2020·河南洛宁·月考）计算：__________．
5．（2020·山东中区·初一期末）若，，则_____．
6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）________．
7．（2020·吉林延边·初二期末）计算：=____________．
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
考点3：乘法公式与图形面积
典例：（2020·北京通州·初一期中）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）设图1中阴影部分的面积为S₁，图2中阴影部分的面积为S₂，请用含a．b的式子表示：S₁＝ ，S₂＝ ；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是 ．
（3）利用（2）中得到的公式，计算；20202﹣2019×2021．
方法或规律点拨
本题考查了平方差公式的几何背景及其在简算中的应用，数形结合并明确平方差公式的形式是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·沈阳市第一二七中学期中）如图，它由两块相同的直角梯形拼成，由此可以验证的算式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·福建省惠安科山中学月考）如下图所示，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·广东禅城·期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为 b的小正方形（a >b〉）把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2018·河南汝阳·初二期末）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是
A. B. C. D.
5．（2020·浙江鄞州·初一期末）有4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2．若S1＝S2，则a、b满足（ ）
A．2a＝3b B．2a＝5b C．a＝2b D．a＝3b
6．（2020·福建宁德·初一期末）有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中 3 个如图 1 摆放，构造一个正方形；其中5 个如图 2 摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙）．若图 1 和图2 中阴影部分的面积分别为 39 和 106，则每个小长方形的面积为___．
7．（2020·福建省惠安科山中学月考）用四块长为acm、宽为bcm的矩形材料（如图1）拼成一个大矩形（如图2）或大正方形（如图3），中间分别空出一个小矩形A和一个小正方形B．
（1）求（如图1）矩形材料的面积；（用含a，b的代数式表示）
（2）通过计算说明A、B的面积哪一个比较大；
（3）根据（如图4），利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式．
8．（2020·江苏新沂·初一期末）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积．
9．（2020·四川成华·初一期末）图1和图2的大正方形都是由一些长方形和小正方形组成的．观察图形，完成下列各题：
(1)如图1，求S大正方形的方法有两种：S大正方形=(x+y)2，同时，S大正方形=S①+S②+S③+S④= ．所以图1可以用来解释等式： ；同理图2可以用来解释等式： ．
(2)已知a+b+c=6，ab+bc+ca=11，利用上面得到的等式，求a2+b2+c2的值．
10．（2020·山东中区·初一期末）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2 ＝a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23＝（1+2）2＝32
尝试解决：
（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33＝ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
11．（2020·浙江新昌·初一期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是________．
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式．如果不能，请说明理由．
12．（2020·河北邢台·初一月考）若x满足(x－4) (x－9)＝6，求(x－4)2+(x－9)2的值．
解：设x－4＝a，x－9＝b，则(x－4)(x－9)＝ab＝6，a－b＝(x－4)－(x－9)＝5，
∴(x－4)2+(x－9)2＝a2+b2＝(a－b)2＋2ab＝52＋2×6＝37
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足(x－2)(x－5)＝10，求(x－2)2 + (x－5)2的值
(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．
13．（2020·浙江衢州·初一期中）（阅读材料）
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
（理解应用）
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式．
（拓展升华）
（2）利用（1）中的等式解决下列问题．
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
考点4：求完全平方公式的字母系数
典例：（2020·沈阳市第一二七中学期中）如果二次三项式x2﹣16x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．±8 B．4 C．±4 D．8
方法或规律点拨
本题考查了完全平方公式．能够掌握完全平方公式的运用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键．
巩固练习
1．（2020·长春市第五十二中学月考）若是完全平方式，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2020·绍兴市长城中学期中）若x2﹣2(k﹣1)x+4是完全平方式，则k的值为（ ）
A．±1 B．±3 C．﹣1或3 D．1或﹣3
3．（2020·达州市通川区第八中学期中）若(x-2y)2 =(x+2y)2+M,则M= ( )
A．4xy B．- 4xy C．8xy D．-8xy
4．（2020·四川巴州·期末）若是完全平方式，则的值应为（ ）
A．3 B．6 C． D．
5．（2019·南阳市第三中学月考）如果整式恰好是一个整式的平方，那么的值是（）
A．±3 B．±4.5 C．±6 D．9
6．（2020·广东高州·期中）已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值为_____________
7．（2020·山东长清·期中）若x2﹣mx+9是个完全平方式，则m的值是__．
8．（2020·达州市通川区第八中学期中）已知是完全平方式，则△＝_______．
9．（2020·达州市通川区第八中学期中）若9x2+kx+1是一个完全平方式，则k＝_____．
10．（2020·广西百色·期末）在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是______（只写出一个即可）．
11．（2020·江苏盱眙·期末）若是关于的完全平方式，则的值是______．
考点5：应用完全平方公式求值
典例：（2020·福建宁化·期末）已知有理数，满足，．
（1）求的值；
（2）求的值．
方法或规律点拨
本题考查了利用完全平方公式变形求值，解题关键是整体思想的应用．
巩固练习
1．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）已知a+b＝3，ab＝，则（a+b）2的值等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2020·达州市通川区第八中学期中）已知|x+y+5|+（xy﹣6）2＝0，则x2+y2的值等于（ ）
A．1 B．13 C．17 D．25
3．（2019·河北涿鹿·期末）若a+b=0，ab=11，则a2－ab+b2的值为（ ）
A．33 B．－33 C．11 D．－11
4．（2020·重庆南开中学期末）若，，则__________．
5．（2019·江西南康·其他）已知实数a，b满足，则=______．
6．（2020·甘肃镇原·初二期末）已知，则的值为__________．
7．（2020·山东济阳·初一期末）已知，ab=6 ，则a2+b2的值是__________ ．
8．（2019·河北石家庄·初一期末）若，，则的值为_________．
9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，，求下列各式的值：
（1） （2）
考点6：配方法及其应用
典例：（2020·四川成都·初一期末）(1)已知：a(a+1)﹣(a2+b)=3，a(a+b)+b(b﹣a)=13，求代数式ab的值．
(2)已知等腰ABC的两边分别为a、b，且a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58=0，求ABC的周长．
方法或规律点拨
本题主要考查了完全平方公式，三角形三边关系，非负数的性质，等腰三角形的定义和整式的混合运算，（1）正确将已知条件变形是解题关键，（2）利用配方法配方得出a和b的值是关键．
巩固练习
1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）已知-2x-6y+10＝0，则的值为（ ）
A． B．9 C．1 D．99
2．（2020·全国初二课时练习）代数式的值（ ）
A．大于或等于零 B．小于零 C．等于零 D．大于零
3．（2020·湖州市第四中学教育集团期中）若a，b都是有理数，且a2﹣2ab+2b2+4b+4＝0，则＝_____．
4．（2020·兴县教育科技局教学研究室期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中、、、均为整数），则有．，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得_____，_______；
（2）试着把写成一个完全平方式：；
（3）若是的立方根，是的平方根，试计算：．
5．（2020·泉州市第六中学初二期中）回答下列问题
(1)填空：x2+＝(x+)2﹣_____＝(x﹣)2+_____.
(2)若a+＝5，则a2+＝_____；
(3)若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值.
6．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）已知，则=______．
7．（2020·贵州石阡·期末）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：
∵，
当时，的值最小，最小值是0，
∴
当时，的值最小，最小值是1，
∴的最小值是1.
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）当x=______时，代数式的最小值是______；
（2）若，当x=______时，y有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；
（3）若，求的最小值.
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，求
9．（2019·河北安平·初二期末）阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值.方法如下：
∵，由，得；
∴代数式的最小值是4.
（1）仿照上述方法求代数式的最小值.
（2）代数式有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.
10．（2020·广西兴宾·初一期中）阅读下列材料，解答问题：
例：已知a－b=3，ab=2，求a2＋b2的值．
解：方法1：a2＋b2=(a－b)2＋2ab=32＋4=13
方法2：∵a－b=3
∴(a－b)2=32
即a2－2ab＋b2=9
a2＋b2=9＋2ab=9+4=13
请选择任意一种解题方法解决下列问题．
（1）已知a＋b=6，ab=－3，求代数式a2＋b2的值；
（2）已知a＋b=－2，ab=－1，求代数式(a－b)2的值．
11．（2020·全国初二课时练习）观察例题，然后回答：例：，则________．
解：由，得，即
所以：
通过你的观察你来计算：当时，求下列各式的值：
（1）；（2）．
考点7：乘法公式的混合运算
典例：（2020·重庆南开中学开学考试）化简求值：，其中满足
方法或规律点拨
本题主要考查了整式的化简及求值，利用绝对值的非负性求字母的值，并具体考查整式的加减乘除远算法则，完全平方公式和平方差公式的应用．
巩固练习
1．（2020·沈阳市第一二七中学期中）先化简，再求值．
，其中，．
2．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）先化简，再求值：，其中，．
2．（2020·辽宁北镇·期末）先化简，再求值：，其中，．
3．（2020·思南县张家寨初级中学期末）先化简，再求值：2（a+b）（a-b）-+．其中a=2，b=．
4．（2020·苏州市吴江区同里中学期末），其中x＝－1，y＝2．
5．（2020·辽宁昌图·期末）先化简，再求值：，其中
6．（2020·江苏江阴·初一期末）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（3x﹣y）2+5（x+y）（x﹣y），其中x＝，y＝2．
7．（2020·四川郫都·初一期末）先化简，再求值：[（x﹣3y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣x（2x﹣5y）]+（﹣y），其中x＝﹣2，y＝﹣3．
8．（2020·株洲景炎学校初一期中）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中，
9．（2020·江苏南京·初一期中）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣（x＋2y）（x﹣2y），其中x＝﹣1，y＝．
10．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）化简求值：，其中，.
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