专题08 函数奇偶性-2021-2022学年高一数学上学期高频考点专题突破（人教A版2019必修第一册）学案

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\l "_Tc17146344" 模块一：函数的奇偶性及其应用 PAGEREF _Tc17146344 \h 2
\l "_Tc17146345" 考点1：函数的奇偶性 PAGEREF _Tc17146345 \h 2
\l "_Tc17146346" 考点2：函数奇偶性的应用 PAGEREF _Tc17146346 \h 3
\l "_Tc17146347" 模块二：奇偶性及单调性综合7
\l "_Tc17146348" 考点3：单调性与奇偶性综合7
课后作业： ……………………………………………………………………………………… 9
专题08 函数奇偶性
模块一：函数的奇偶性及其应用
函数奇偶性的操作：
1．乘以任何系数，不改变奇偶性，不管是还是；
2．，偶函数不变（相当于图象上下平移，不改变偶函数的对称性），奇函数不行；
3．则往往不再具有奇偶性（除非它本身是有周期性）
4．奇函数奇函数奇函数，奇函数奇函数偶函数，偶函数偶函数偶函数；
5．奇函数与偶函数的复合，是有偶函数则复合后为偶函数，否则为奇函数．
但因为奇偶性相对比较容易判断，所以以上这些结论应用较少．
考点1：函数的奇偶性
例1.判断下列函数的奇偶性：
（1）;
（2）;
（3），，；
（4）；
（5）；
（6）；
（7） ；
（8）；
（9）；
（10）．
【解答】解：（1）的定义域为，
，
是偶函数．
（2）由函数有意义可得，解得：．
为非奇非偶函数．
（3）函数的定义域不关于坐标原点对称，故函数是非奇非偶函数．
（4）函数的定义域为，关于坐标原点对称，且：
，函数是奇函数．
（5）既是奇函数又是偶函数；
（6）是偶函数但不是奇函数；
（7）奇函数但不是偶函数；
（8）既不是奇函数也不是偶函数；
（9）既不是奇函数也不是偶函数；
（10）奇函数但不是偶函数.
考点2：函数奇偶性的应用
例2.（1）已知函数，且，那么（2）等于
A．B．2C．D．10
【解答】解：令，
则是奇函数，
，
故，（2），
故（2）（2），
故选：．
（2）函数在上为奇函数，且当时，，则 ．
【解答】解：函数在上为奇函数，且当时，
，
解得：，
即当时，，
故（4），
故（4），
故答案为：．
例3.（1）设函数是定义域为上的奇函数，当时，，求时，的解析式为 ．
【解答】解：是定义域为上的奇函数，
当时，，
则，
则，
故答案为：
（2）已知为偶函数，则 ．
【解答】解：根据题意，设，则，
则，，
又由为偶函数，则有，
则有，，
则；
故答案为：4．
例4.（1）已知是定义域为的偶函数，当时，，那么，不等式的解集是 ．
【解答】解：若，则，
当时，，
当时，，
是定义域为的偶函数，
，
即当时，
当时，，
当时，，
综上所述，不等式的解集为，
故答案为．
（2）若函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ．
【解答】解：当时，由得，
函数为偶函数，或，即或．
故答案为．
（3）已知是偶函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）若不等式在时都成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，有，
为偶函数，
，．
（2）由题意得在时都成立，
即在时都成立，即在时都成立．
而在时，，．
例5.（1）已知定义在上的奇函数分，当时，
（Ⅰ）求函数在上的解析式；
（Ⅱ）写出单调区间（不必证明）
【解答】解（Ⅰ）根据题意，设，则，
，
又为奇函数，所以．
于是时，，
又由为上的奇函数，则，
则；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：；
可知在，上单调递增，在、上单调递减．
（2）已知函数是偶函数，的奇函数，它们的定义域为，，且它们在，上的图象如图所示，则不等式的解集为 ．
【解答】解：，，由不等式，可知，的函数值同号，即．
根据图象可知，当时，其解集为：，
是偶函数，是奇函数，
是奇函数，
当时，，其解集为：，
综上：不等式的解集是，
故答案为．
模块二：奇偶性及单调性综合
已知一半求一半
考点3：单调性与奇偶性综合
例6.（1）函数是上的奇函数，且在，上是减函数，若（1），则实数的取值范围是
A．B．C．D．或
【解答】解：根据题意，函数是上的奇函数，且在，上是减函数，
则函数在，上为减函数，
则在上为减函数，
若（1），必有，
即的取值范围为：，
故选：．
（2）已知是偶函数，且对任意的、，都有，（2），若，则的取值范围是
A．B．，，
C．，，D．
【解答】解：根据题意，满足任意的、，都有，
则函数在，上为减函数，
又由（2），则（2），
解可得：，
即不等式的解集为；
故选：．
（3）已知偶函数在区间，上单调递增，且满足（3），则不等式的解集是
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，偶函数在区间，上单调递增，且满足（3），
则（3），
解可得：，
即不等式的解集为；
故选：．
（4）已知为定义在上的偶函数，且在上单调递增，又（1），则不等式的解集为
A．，，B．，，
C．D．，，
【解答】解：根据题意，是定义在上的偶函数，在上单调递减，且（1），
则在上单调递增，且，
则有在和上，，则区间和上，，
或，
分析可得：或，
即不等式的解集为，，；
故选：．
（5）已知定义在上的奇函数在，上单调递减，若，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，定义在上的奇函数在，上单调递减，
则，
解可得：，即的取值范围为，
故选：．
课后作业
1.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则
A．3B．C．D．
【解答】解：因为函数是定义域为的奇函数，当时，，
所以，
故，
则（1），
所以（1）
故选：．
2．已知是上的奇函数，且当时，，则当时，
A．B．C．D．
【解答】解：时，，
因为当时，，
所以，
故．
故选：．
3．已知函数是上的偶函数，且在，上是增函数，若（a），则的取值范围是
A．，B．，C．，，D．，
【解答】解：函数是上的偶函数，且在，上是增函数，
不等式（a）等价为（2），
即，得或，
即实数的取值范围是，，，
故选：．
4．设函数为奇函数，当时，，则（1）
A．B．C．1D．2
【解答】解：根据题意，当时，，则（1），
又由为奇函数，则（1），
则（1）（1）；
故选：．
5．已知函数是定义在上的奇函数，在上是增函数，且，则使得成立的的取值范围是
A．B．，，
C．，，D．，，
【解答】解：函数是定义在上的奇函数，在上是增函数，
函数是在上是增函数，
又，（4），
由，得或，
或．
的取值范围是，，．
故选：．
6．已知函数，若，则（a）
A．0B．C．2D．
【解答】解：根据题意，函数，则（a），，
则有（a）；
故选：．
函数图象的对称性
轴对称
中心对称
函数示意图
奇偶性
偶函数
奇函数
满足的关系式
本质
当取的自变量互为相反数时，
函数值相等
当取的自变量互为相反数时，
函数值也互为相反数