专题19 指数函数与对数函数（能力测评卷）-2021-2022学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

 章末检测（四)  指数函数与对数函数  能力卷

(时间：120分钟，满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知函数f(x)为奇函数，且x≥0时，f(x)＝2x＋x＋m，则f(－1)＝(　C　)

A．－ B．　

C．－2　 D．2

【答案】C

【解析】因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即20＋0＋m＝0，所以m＝－1，f(x)＝2x＋x－1(x≥0)．因为f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2，所以f(－1)＝－2.

2．已知关于x的不等式()x－4>3－2x，则该不等式的解集为(　B　)

A．[4，＋∞) B．(－4，＋∞)

C．(－∞，－4) D．(－4,1]

【答案】B

【解析】依题意可知，原不等式可转化为3－x＋4>3－2x，由于指数函数y＝3x为增函数，所以－x＋4>－2x，解得x>－4，故选B．

3．设函数f(x)＝log2x，若f(a＋1)<2，则a的取值范围为(　A　)

A．(－1,3) B．(－∞，3)

C．(－∞，1) D．(－1,1)

【答案】A

【解析】∵函数f(x)＝log2x在定义域内单调递增，f(4)＝log24＝2，

∴不等式f(a＋1)<2等价于0<a＋1<4，解得－1<a<3，故选A．

4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，令a＝f(1)，b＝f(2－0.3)，c＝f(－20.3)，则(　A　)

A．b<a<c B．c<b<a

C．b<c<a D．a<b<c

【答案】A

【解析】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以c＝f(－20.3)＝f(20.3)．

又因为y＝2x是R上的增函数．所以0<2－0.3<1<20.3.由于函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f(2－0.3)<f(1)<f(20.3)＝f(－20.3)，即b<a<c.

5．已知f(x)＝是R上的减函数，那么a的取值范围是(　B　)

A．(0,1) B．[，)

C．(0，) D．(，)

【答案】B

【解析】由题意得解得≤a<，故选B．

6．已知m，n∈(1，＋∞)，且m>n，若logmn2＋lognm6＝13，则函数f(x)＝的大致图象为(　A　)

【答案】A

【解析】由题意，令t＝logmn，则2t＋＝13，解得t＝或t＝6(舍去)，

所以n＝，即＝1，所以f(x)＝的大致图象为A中的图象．

7．若函数f(x)＝(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　C　)

A．[，3] B．[，2]

C．[，2) D．[，＋∞)

【答案】C

【解析】先保证对数有意义即－x2＋4x＋5>0，解得－1<x<5，又可得二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝－＝2，由复合函数单调性可得函数f(x)＝(－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2,5)，要使函数f(x)＝(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，

只需解得≤m<2.

8．某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　C　)

(参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)

A．2020 B．2021

C．2022 D．2023

【答案】C

【解析】该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为n，则150×(1＋8%)n－2018>200，则n>2018＋≈2021.8，所以n＝2022.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9．下列函数中，是奇函数且存在零点的是(　AD　)

A．y＝x3＋x B．y＝log2x

C．y＝2x2－3 D．y＝x|x|

【答案】AD

【解析】A中，y＝x3＋x为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符；

B中，y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；

C中，y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；

D中，y＝x|x|是奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符，故选AD．

10．下列函数中值域为R的有(　ABD　)

A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝lg(x2－2)

C．f(x)＝ D．f(x)＝x3－1

【答案】ABD

【解析】f(x)＝3x－1为增函数，函数的值域为R，满足条件．

B．由x2－2>0得x>或x<－，此时f(x)＝lg(x2－2)的值域为R，满足条件．

C．f(x)＝

当x>2时，f(x)＝2x>4，

当0≤x≤2时，f(x)＝x2∈[0,4]，即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件．

D．f(x)＝x3－1是增函数，函数的值域为R，满足条件．

11．若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围不能为(　BD　)

A．(5,8) B．(2,8)

C．[6,8) D．(3,8)

【答案】BD

【解析】因为函数f(x)＝是R上的增函数，

所以解得4≤a<8.

12．设函数f(x)＝若f(x)－b＝0有三个不等实数根，则b可取的值有(　BC　)

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】BC

【解析】作出函数f(x)＝的图象如图：

f(x)－b＝0有三个不等实数根，

即函数y＝f(x)的图象与y＝b有3个不同交点，

由图可知，b的取值范围是(1,3]，故b可取2,3.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)的反函数g(x)过点(9,2)，则f(2)＝__9__.

【答案】9

【解析】由函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(9,2)，可得：y＝ax图象过点(2,9)，

所以a2＝9，又a>0，所以a＝3.所以f(2)＝32＝9.

14．已知函数f(x)＝为定义在区间[－2a,3a－1]上的奇函数，则a＝__1__，b＝__1__.

【答案】1 1

【解析】因为f(x)是定义在[－2a,3a－1]上的奇函数，

所以定义域关于原点对称，即－2a＋3a－1＝0，所以a＝1，

因为函数f(x)＝为奇函数，

所以f(－x)＝＝＝－，

即b·2x－1＝－b＋2x，所以b＝1.

15．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0.2,0.6)内有唯一的零点，如果用二分法求这个零点的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(0.2,0.6)至少等分的次数为__6__.

【答案】6

【解析】由<0.01，得2n>＝40，故n的最小值为6.

16．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：

①此指数函数的底数为2；

②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m2；

③设野生薇甘菊蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3；

④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．

其中正确的说法有__①②③__(请把正确说法的序号都填在横线上)．

【答案】①②③

【解析】∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，

∴指数函数的底数为2，故①正确；

当t＝5时，S＝32>30，故②正确；

∵t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，

∴t1＋t2＝t3，故③正确；

根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确．

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)(1)计算3log32＋＋lg 50＋lg 2；

(2)已知2a＝3,4b＝6，求2b－a的值．

【解析】(1)3 log32＋＋lg 50＋lg 2＝2＋3＋lg 100＝2＋3＋2＝7.

(2)由2a＝3，得a＝log23，又由4b＝6，即22b＝6，得2b＝log26，

所以2b－a＝log26－log23＝log22＝1.

18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax－1－5(a>0，且a≠1)，若y＝f(x)的图象过点(3,20)．

(1)求a的值及y＝f(x)的零点；

(2)求不等式f(x)≥－2的解集．

【解析】　(1)根据题意，函数f(x)＝ax－1－5的图象过点(3,20)，则有20＝a2－5，

又由a>0，且a≠1，则a＝5，

f(x)＝5x－1－5，若f(x)＝5x－1－5＝0，

则x＝2，即函数f(x)的零点为2.

(2)f(x)≥－2即5x－1－5≥－2，变形可得5x≥15，

解可得x≥log515，即不等式的解集为[log515，＋∞)．

19．(本小题满分12分)(2019·河南南阳市高一期中测试)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)的定义域为[，4]．

(1)若t＝log2x，求t的取值范围；

(2)求y＝f(x)的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值．

【解析】(1)∵≤x≤4，∴－2≤log2x≤2，

∴－2≤t≤2.

∴t的取值范围是[－2,2]．

(2)y＝f(x)＝log2(4x)·log2(2x)＝(2＋log2x)(1＋log2x)，

由(1)知t＝log2x，t∈[－2,2]，

∴y＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2＝(t＋)2－.

当t＝－，即log2x＝－，x＝时，ymin＝－，

当t＝2，即log2x＝2，x＝4时，ymax＝12.

20．(本小题满分12分)某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：

(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．

Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt；

(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．

【解析】(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．

以表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c得到，

解得.

所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.

(2)当t＝－＝150天时，西红柿种植成本最低为Q＝·1502－·150＋＝100 (元/102kg)．

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，

(1)求g(x)的解析式及定义域；

(2)求函数g(x)的最大值和最小值．

【解析】(1)∵f(x)＝2x，

∴g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝22x－2x＋2.

因为f(x)的定义域是[0,3]，所以0≤2x≤3,0≤x＋2≤3，解得0≤x≤1.于是g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．

(2)设g(x)＝(2x)2－4×2x＝(2x－2)2－4.

∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，

∴当2x＝2，即x＝1时，g(x)取得最小值－4；

当2x＝1，即x＝0时，g(x)取得最大值－3.

22．(本小题满分12分)若函数f(x)满足f(logax)＝·(x－)(其中a＞0且a≠1)．

(1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；

(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．

【解析】(1)令logax＝t(t∈R)，则x＝at，

∴f(t)＝ (at－a－t)．

∴f(x)＝ (ax－a－x)(x∈R)．

∵f(－x)＝ (a－x－ax)＝－ (ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且＞0，

∴f(x)为增函数．

当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数，且＜0，

∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数．

(2)∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数．

由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，

只需f(2)－4≤0，即 (a2－a－2)≤4.

∴≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，

∴2－≤a≤2＋.又a≠1，

∴a的取值范围为[2－，1)∪(1,2＋]．