专题2 集合间的基本关系-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

专题2 集合间的基本关系

题组1 集合的包含关系

1.已知集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是(　　)

A.P＝Q

B.PQ

C.PQ

D.P∩Q＝∅

【答案】B

【解析】P＝{x|y＝}＝[－1，＋∞)，

Q＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，

所以QP.

2.集合M＝，N＝，则M与N的关系为(　　)

A.M＝N

B.M⊆N

C.N⊆M

D. 无法判断

【答案】C

【解析】M中，x＝＋＝

N中，x＝k＋＝n＋，k＝n∈Z，

∴N⊆M.

3.指出下列各对集合之间的关系：

(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；

(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；

(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.

【答案】(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.

(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.

(3)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB.

(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故NM.

题组2 子集及其运算

4.设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是(　　)

A.A⊆B

B.B⊆A

C.B∈A

D.A＝B

【答案】C

【解析】∵A＝{x|x⊆B}，∴A＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，∴B∈A.

5.已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，C⊆A，C⊆B，则集合C最多含有________个元素.

【答案】3

【解析】由题意知C最多含有3个元素：4,5,6.

6.已知集合M满足关系{a，b}⊆M⊆{a，b，c，d，e}，写出所有的集合M.

【答案】满足条件的集合M可以是以下集合：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，{a，b，c，d，e}，共8个，

题组3 子集个数

7.若集合A＝{1,2,3}，若集合B⊆A，则满足条件的集合B有(　　)

A. 3个

B. 7个

C. 8个

D. 9个

【答案】C

【解析】由集合B⊆A，则B是A的子集，

则满足条件的B有23＝8个，故选C.

8.若M⊆P，M⊆Q，P＝{0,1,2}，Q＝{0,2,4}，则满足上述条件的集合M的个数是(　　)

A. 1

B. 2

C. 4

D. 8

【答案】C

【解析】P，Q中的公共元素组成集合C＝{0,2}，M⊆C，这样的集合M共有22＝4个.

9.定义集合运算A◇B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}，设A＝{0,1,2}，B＝{3,4,5}，则集合A◇B的子集个数为(　　)

A. 32

B. 31

C. 30

D. 14

【答案】A

【解析】∵A＝{0,1,2}，B＝{3,4,5}.

又∵A◇B＝{c|c＝a＋b，a∈A，b∈B}，

∴A◇B＝{3,4,5,6,7}，

由于集合A◇B中共有5个元素，

故集合A◇B的所有子集的个数为25＝32个.

故选A.

10.已知a为不等于零的实数，那么集合M＝{x|x2－2(a＋1)x＋1＝0，x∈R}的子集的个数为(　　)

A. 1

B. 2

C. 4

D. 1或2或4

【答案】D

【解析】当Δ＝4(a＋1)2－4＞0时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，所以集合M的元素有两个，

则集合M子集的个数为22＝4个；

当Δ＝4(a＋1)2－4＝0即a＝－2时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0有两个相等的实数根，所以集合M的元素有一个，

则集合M子集的个数为21＝2个；

当Δ＝4(a＋1)2－4＜0时，一元二次方程x2－2(a＋1)x＋1＝0没有实数根，所以集合M为空集，则集合M的子集的个数为1个.

综上，集合M的子集个数为：1或2或4.

故选D.

11.已知M＝{a|a≤－2或a≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有(　　)

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

【答案】B

【解析】由(a－2)(a2－3)＝0，可得a＝2或a＝±，

∵a∈M，M＝{a|a≤－2或a≥2}，

∴A＝{2}.

∴A的子集有：∅，{2}.

集合A的子集共有2个.

故选B.

12.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“好元素”.给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有(　　)

A. 6个

B. 12个

C. 9个

D. 5个

【答案】A

【解析】要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起，(要是不连在一起，分开的那个数就是“好元素”)，故不含“好元素”的集合共有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6种可能.故选A.

13.若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为(　　)

A. 15

B. 16

C. 28

D. 25

【答案】A

【解析】具有伙伴关系的元素组有－1,1，、2，、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，穷举可知个数共15个.故选A.

题组4 真子集及其运算

14.已知A＝{x|<－1}，B＝{x|x2－4x－m≥0}，若AB，则实数m的取值范围是(　　)

A.m≥0

B.m≤－3

C. －3≤m≤0

D.m≤－3或m≥0

【答案】B

15.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若AB，则实数a满足(　　)

A.a＜3

B.a≤3

C.a＞3

D.a≥3

【答案】D

【解析】由AB，结合数轴，得a≥3.

16.已知集合A满足{0,1}A{0,1,2,3}，写出满足条件的所有的集合A.

【答案】满足条件的集合A即为集合{2,3}的非空真子集，∴集合A有{0,1,2}，{0,1,3}.

17.已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.

(1)若AB，求a的取值范围；

(2)若B⊆A，求a的取值范围.

【答案】(1)若AB，由图可知a＞2.

(2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2.

题组5 真子集个数

18.已知集合A＝{1,2,3,4}，那么A的真子集的个数是(　　)

A. 15

B. 16

C. 3

D. 4

【答案】A

【解析】根据集合的元素数目与真子集个数的关系，n元素的真子集有2n－1个，

集合A有4个元素，则其真子集个数为24－1＝15，

故选A.

19.已知集合S＝{x∈N|－2＜x－1＜4，且x≠1}，则集合S的真子集的个数是(　　)

A. 32

B. 31

C. 16

D. 15

【答案】D

【解析】根据题意，－2＜x－1＜4可化为－1＜x＜5；

则集合S＝{x∈N|－2＜x－1＜4，且x≠1}＝{x∈N|－1＜x＜5，且x≠1}＝{0,2,3,4}.

其子集共24－1＝16－1＝15个.

故选D.

20.已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0}的非空真子集的个数为(　　)

A. 1

B. 2

C. 4

D. 不确定

【答案】B

【解析】∵集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0}，a为给定的实数，关于方程x2－3x－a2＋2＝0，

∵Δ＝(－3)2－4(2－a2)＝4a2＋1＞0，

∴方程有两个不同的实根，∴集合M中有两个元素，

∴集合M的非空真子集的个数为：22－2＝2，

故选B.

题组6 集合相等的概念

21.已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，E＝{x|y＝x2＋1}，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，G＝{x|x≥1}，则(　　)

A.P＝F

B.Q＝E

C.E＝F

D.Q＝G

【答案】D

【解析】∵P＝{y＝x2＋1}是单元素集，集合中的元素是y＝x2＋1，

Q＝{y|y＝x2＋1≥1}＝{y|y≥1}，

E＝{x|y＝x2＋1}＝R，

F＝{(x，y)|y＝x2＋1}，集合中的元素是点坐标，

G＝{x|x≥1}.

∴Q＝G.

故选D.

22.设集合A＝{x|y＝x2－4}，B＝{y|y＝x2－4}，C＝{(x，y)|y＝x2－4}，则下列关系：①A∩C＝空集；②A＝C；③A＝B；④B＝C，其中不正确的共有(　　)

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

【答案】C

【解析】集合A是数集，它是二次函数y＝x2－4的自变量组成的集合，即A＝R，

集合B也是数集，它是二次函数y＝x2－4的值域，即B＝{y|y≥－4}；

而集合C是点集，是二次函数图象上所有点组成的集合.因此②③④都不正确.

故选C.

23.已知集合M＝{a,2,3＋a}，集合N＝{3,2，a2}.若集合M＝N.则a等于(　　)

A. 1

B. 3

C. 0

D. 0或1

【答案】C

【解析】由M＝N得①

或②

解①得a∈∅，解②得a＝0，此时M＝{0,2,3}，N＝{0,2,3}，满足M＝N.

故选C.

24.含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a＋b,0}，则a2 009＋b2 009的值为(　　)

A. 0

B. －1

C. 1

D. ±1

【答案】B

【解析】根据题意，对于{a，，1}，有a≠1，a≠0；

又有{a，，1}＝{a2，a＋b,0}，

则有a＝0或＝0；

又由a≠0，故b＝0；

代入集合中.可得{a,1,0}＝{a2，a,0}，

必有a2＝1，又由a≠1，则a＝－1；

则a2 009＋b2 009＝－1，选B.

题组7 空集的性质及运算

25.下面四个集合中，表示空集的是(　　)

A. {0}

B. {x|x2＋1＝0，x∈R}

C. {x|x2－1＞0，x∈R}

D. {(x，y)|x2＋y2＝0，x∈R，y∈R}

【答案】B

【解析】∵方程x2＋1＝0无实数解，

∴{x|x2＋1＝0，x∈R}表示空集.

故选B.

26.在以下五个写法中：①{0}∈{0,1,2}；②∅⊆{0}；③{0,1,2}⊆{1,2,0}；④0∈∅；⑤0∩∅＝∅，写法正确的个数是(　　)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】B

【解析】②③正确.

27.已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}.

(1)若A是空集，求a的取值范围；

(2)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围.

【答案】(1)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0化为－3x＋2＝0，解集非空；

当a≠0时，要使A是空集，则Δ＝(－3)2－8a＜0，解得a＞.

∴使A是空集的a的取值范围是(，＋∞).

(2)当a＝0，集合A中有一个元素；

当a≠0时，若A中有两个元素，则Δ＝(－3)2－8a＞0，解得a＜.

综上，使A中至多只有一个元素的a的取值范围是a＝0或a≥.