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专题1.1 有理数章末重难点题型-2021-2022学年七年级数学上册举一反三系列（人教版）
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专题1.1 有理数章末重难点题型
【人教版】
【考点1 表示相反意义的量】
【方法点拨】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.
【例1】（2019秋•川汇区期中）如图，是图纸上一个零件的标注，φ30±0.020.03表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际产品的直径最大可以是30.03mm，最小可以是（ ）
A．30mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm
【变式1-1】（2019秋•行唐县期中）某公交车上原有10个人，经过三个站点时乘客上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（+2，﹣3），（+8，﹣5），（+1，﹣6），则此时车上的人数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式1-2】（2019秋•临安区期中）实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用A﹣C表示观测点A相对观测点C的高度）
A﹣C
C﹣D
E﹣D
F﹣E
G﹣F
B﹣G
90米
80米
﹣60米
50米
﹣70米
40米
根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是（ ）米．
A．210 B．170 C．130 D．50
【变式1-3】（2019秋•新泰市期末）纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京时间1月7日8时时，纽约的时间是（ ）
A．1月6日21时 B．1月7日21时 C．1月6日19时 D．1月6日20时
【考点2 有理数相关概念】
【方法点拨】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念，如①整数和分数统称为有理数；②正有理数、0和负有理数亦可称为有理数；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；④在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；⑤数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；⑥一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
【例2】（2019秋•赵县期中）下列说法中，不正确的是（ ）
①符号不同的两个数互为相反数
②所有有理数都能用数轴上的点表示
③绝对值等于它本身的数是正数
④两数相加和一定大于任何一个加数
⑤有理数可分为正数和负数
A．①②③⑤ B．③④ C．①③④⑤ D．①④⑤
【变式2-1】（2019秋•嵊州市期中）下列说法正确的个数为（ ）
（1）0是绝对值最小的有理数；
（2）﹣1乘以任何数仍得这个数；
（3）0除以任何数都等于0；
（4）数轴上原点两侧的数互为相反数；
（5）一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数；
（6）一对相反数的平方也互为相反数
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式2-2】（2019秋•日照期中）下列说法正确的是（ ）
①任何一个有理数的平方都是正数
②任何一个有理数的绝对值都是非负数
③如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是1
④如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0．
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
【变式2-3】（2019秋•龙华区期中）下列说法中正确的有（ ）
①若两数的差是正数，则这两个数都是正数；
②任何数的绝对值一定是正数；
③零减去任何一个有理数，其差是该数的相反数；
④在数轴上与原点距离越远的点表示的数越大．
⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，任何数都有倒数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点3 数轴上点的表示】
【方法点拨】解决此类问题关键是掌握数轴上点的表示方法，明确数轴的特点能根据题目中的信息，
判断各个数在数轴上对应哪一个点．
【例3】（2019秋•江阴市校级月考）数轴上一动点A向左移动3个单位长度到达点B，再向右移动6个单位长度到达点C，若C表示的数为3，则点A表示的数为（ ）
A．6 B．0 C．﹣6 D．﹣2
【变式3-1】（2019秋•建湖县期中）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.8cm”对应数轴上的数为（ ）
A．5.8 B．﹣2.8 C．﹣2.2 D．﹣1.8
【变式3-2】（2019秋•乐亭县期中）若数轴上A，B两点之间的距离为8个单位长度，点A表示的有理数是﹣10，并且A，B两点经折叠后重合，此时折线与数轴的交点表示的有理数是（ ）
A．﹣6 B．﹣9 C．﹣6或﹣14 D．﹣1或﹣9
【变式3-3】如图，半径为1的圆从表示3的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示3的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（ ）
A．﹣2π B．3﹣2π C．﹣3﹣2π D．﹣3+2π
【考点4 数轴中的规律应用】
【例4】（2019秋•钟楼区期中）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2019次落下时，落点表示的数是（ ）
A．2019 B．2020 C．﹣2020 D．1010
【变式4-1】（2019秋•东湖区校级期中）等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2019次后，则数2019对应的点为（ ）
A．点A B．点B
C．点C D．这题我真的不会
【变式4-2】（2019秋•厦门期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，xn表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①x3＝3；②x5＝1；③x108＜x104；④x2018＞x2019．其中，正确的结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④
【变式4-3】（2019秋•思明区校级月考）一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4……若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点P100所表示的数恰好是2019，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是（ ）
A．1969 B．1968 C．﹣1969 D．﹣1968
【考点5 利用数轴判断符号】
【方法点拨】解决此类问题需由数轴得知字母所表示的数的正负性，再根据有理数加、减、乘、除、乘方、绝对值的意义以及数轴上右边点的数总比左边的数大判断即可.
【例5】（2019秋•浦北县期中）如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c，则下列结论中，正确的有（ ）①a+b+c＞0 ②a•b•c＞0 ③a+b﹣c＜0 ④0＜ba＜1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-1】（2019秋•昌吉州期中）如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，则下列结论：①ab＞0；②a﹣b＞0；③a+b＞0；④|a|﹣|b|＞0中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-2】（2019秋•大名县期中）在数轴上表示有理数a，b，c，d如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a+b＞c+d B．ab＜cd
C．（a+3）（b+1）＞0 D．（a﹣d）（c﹣b）＞0
【变式5-3】（2019秋•城厢区校级月考）观察图中的数轴，用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数，则ab，b﹣a，c的大小关系是（ ）
A．ab＜b﹣a＜c B．b﹣a＜c＜ab C．b﹣a＜ab＜c D．ab＜c＜b﹣a
【考点6 有理数大小比较】
【方法点拨】有理数大小比较注意两点：（1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；（2）在数轴
上右边点表示的数总比左边点表示的数大.
【例6】（2019秋•西峡县期中）下列比较有理数的大小，正确的是（ ）
A．﹣105＞0 B．﹣0.0001＜-110
C．-12019＞-12020 D．-20192018＜-20202019
【变式6-1】（2019秋•临高县期中）已知a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则下列关系正确的是（ ）
A．b＜﹣a＜a＜﹣b B．﹣a＜b＜a＜﹣b C．﹣a＜b＜﹣b＜a D．b＜a＜﹣b＜﹣a
【变式6-2】（2019秋•南召县期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a、b、﹣a、﹣b、0按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．﹣a＜a＜0＜﹣b＜b B．a＜﹣a＜0＜﹣b＜b
C．﹣b＜a＜0＜﹣a＜b D．a＜0＜﹣a＜b＜﹣b
【变式6-3】（2019秋•保山期中）若0＜m＜1，m、m2、1m的大小关系是（ ）
A．m＜m2＜1m B．m2＜m＜1m C．1m＜m＜m2 D．1m＜m2＜m
【考点7 科学记数法】
【方法点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【例7】（2020春•洪泽区期中）随着环境污染整治的逐步推进，某经济开发区的40家化工企业已关停、整改38家，每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为（ ）
A．167×103 B．16.7×104 C．1.67×105 D．0.167×106
【变式7-1】（2020春•郑州期中）从河南省工商联获悉，自新型冠状病毒引发的肺炎疫情出现以来，截止2月13日下午6点，全省民营企业、商会及企业家个人累计7412家（人），共向武汉等疫情严重地区及我省定点防治新冠肺炎的医院、政府部门、执勤卡点等捐赠物款约10.1亿元．10.1亿用科学记数法表示应为（ ）
A．101×107 B．10.1×108 C．1.01×109 D．1.01×1010
【变式7-2】（2019秋•太原期中）今年9月世界计算机大会在湖南省长沙市开幕，大会的主题是“计算万物，湘约未来”．从心算、珠算的古老智慧到“银河”“天河”“神威”创造的中国速度，“中国计算”为世界瞩目．超级计算机“天河一号”的性能是4700万亿次，换算成人工做四则运算，相当于60亿人算一年，它1秒就可以完成．数4700万亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.7×107 B．4.7×1011 C．4.7×1014 D．4.7×1015
【变式7-3】（2019秋•惠安县期中）光速约为3×108米/秒，太阳光射到地球上的时间约为5×102秒，地球与太阳的距离约是（ ）米．
A．15×1010 B．1.5×1011 C．15×1016 D．1.5×1017
【考点8 近似数】
【方法点拨】近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
【例8】（2019秋•秀屿区期中）下列说法正确的是（ ）
A．0.750精确到百分位
B．3.079×104精确到千分位
C．38万精确到个位
D．2.80×105精确到千位
【变式8-1】（2019秋•惠城区校级期中）台风“杜鹃”给某省造成的经济损失达16.9亿元，近似数16.9亿精确到（ ）
A．十分位 B．千万位 C．亿位 D．十亿位
【变式8-2】（2019秋•湄潭县期中）近似数3.20×105的精确度说法正确的是（ ）
A．精确到百分位 B．精确到十分位
C．精确到千位 D．精确到万位
【变式8-3】（2019秋•下陆区期中）已知a＝3.50是由四舍五入得到的近似数，则a的可能取值范围是（ ）
A．3.45≤a＜3.55 B．3.495≤a＜3.505
C．3.495≤a≤3.505 D．3.495＜a＜3.505
【考点9 绝对值及偶次乘方的非负性】
【方法点拨】直接利用绝对值及偶次乘方的非负数的性质分别得出字母的值，进而得出答案．
【例9】（2020春•鄞州区期中）已知（x﹣3）2+|2x﹣3y﹣3|＝0，则y＝ ．
【变式9-1】（2019秋•宜宾期中）已知|x﹣y+3|与（x﹣2）2互为相反数，则x+2yx-y= ．
【变式9-2】（2019秋•蕲春县期中）当2020+（﹣2a+1）2有最小值时，4040a﹣1＝ ．
【变式9-3】（2019秋•雨花区校级月考）若（a+b）2+|b+4714|＝b+4714，且8a﹣11b+1＝0，则ab＝ ．
【考点10 乘方的意义】
【例10】（2019秋•兴安盟期末）把（-12）×（-12）×（-12）×（-12）×（-12）写成幂的形式（不用计算）为
【变式10-1】（2019春•渝中区校级月考）计算（﹣3）2018•（﹣1）2019的结果为 ．
【变式10-2】（2019春•道里区校级期中）计算（﹣2）100×(12)99的结果是 ．
【变式10-3】（2019春•沙坪坝区校级月考）22018×42019×（﹣0.125）2017＝ ．
【考点11 乘方中的规律应用】
【方法点拨】解决找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
【例11】（2019秋•南海区校级月考）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅将一根很粗的面条，捏合一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多细的面条，如图所示：这样，第4次捏合后可拉出 根细面条；第 次捏合后可拉出256根细面条．
【变式11-1】（2019秋•云梦县期中）某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，4小时后分裂成18个并死去1个．按此规律，10小时后细胞存活的个数是 ．
【变式11-2】（2019秋•会宁县期中）观察下列各式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，
37＝2187…你从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：32012的个位数字是 ．
【变式11-3】（2019秋•和平区期中）将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虛线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第6次对折后得到的折痕比第5次对折后得到的折痕多 条．
【考点12 定义新运算】
【方法点拨】正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规
的有理数混合运算算式进行计算.
【例12】（2019秋•禹州市期中）对于有理数a、b，定义一种新运算“※”如下：a※b=ab-b2a，则（﹣3）※（-34）＝ ．
【变式12-1】（2019秋•舒兰市期中）在有理数的原有运算法则中，我们定义一个新运算“★”如下：x≤y时，x★y＝x2；x＞y时，x★y＝y．则（﹣2★﹣4）★1的值为 ．
【变式12-2】（2019秋•西湖区期末）定义新运算：
若a@b＝n（n是常数），则（a+1）@b＝n+1，a@（b+1）＝n﹣2．若1@1＝2，则1@2＝ ，2@2＝ ，2020@2020＝ ．
【变式12-3】（2019秋•红安县期中）规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．当﹣1＜x≤0时，化简[x]+（x）+[x）的结果是 ．
【考点13 利用有理数相关性质求值】
【方法点拨】解决此类问题需熟知两个互为相反数的数和为0，两个互为倒数的数乘积为1，值得注意的是
已知一个数的绝对值为非0的数，那么这个数应该有两个，此时应注意分类讨论，结果往往有两个.
【例13】（2019秋•海淀区校级期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，求x3+cdx2-a+b2的值．
【变式13-1】（2019秋•青羊区校级期中）若a与b互为相反数，c与d互为负倒数，|m|＝2，求代数式a+b3-2cb+2m3的值．
【变式13-2】（2019秋•邹城市期中）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝2，求代数式2m﹣ab+3（c+d﹣1）的值．
【变式13-3】（2019秋•越秀区校级期中）若a、b互为相反数，b、c互为倒数，并且m的立方等于它本身．
（1）求2a+2bm+2+ac值．
（2）若a＞1，且m＜0，S＝|2a﹣3b|﹣2|b﹣m|﹣|b+12|，求2a﹣S的值．
（3）若m≠0，试讨论：x为有理数时|x+m|﹣|x﹣m|是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【考点14 有理数的计算】
【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握有理数混合运算的先后顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号的先算括号里，值得注意有些题可能会运用运算律进行简便运算.
【例14】（2019秋•昂昂溪区期中）计算：
（1）﹣5﹣（﹣4）+（﹣3）﹣[﹣（﹣2）]
（2）2×（﹣5）+23﹣3÷12
（3）（14-59-13+712）÷（-136）
（4）﹣12﹣2×（﹣3）2﹣（﹣2）2+[313÷（-23）×15]4
【变式14-1】（2019秋•海淀区校级期中）计算
（1）(-6.5)-(-414)+834-(+312)+5
（2）﹣312×(-67)-(-10)÷(-23)
（3）﹣1﹣48×(425-316+16)
（4）-22-[(-3)×(-43)-(-2)3]
【变式14-2】（2019秋•越秀区校级期中）计算题：
（1）[-34-214×(-4)]÷(14913-16913)
（2）-16-(0.5-23)÷13×[-2-(-3)3]-|18-0.52|
【变式14-3】（2019秋•沙坪坝区校级期中）计算：
（1）6﹣（﹣14）+（﹣16）+18
（2）（-12）×（﹣8）÷（-23）
（3）﹣3573435÷17
（4）0.7×1311-6.6×37-3.2÷73+0.7×911
（5）﹣12019-{(-3)3-[6-|-512÷119-72|÷(-2)]}
【考点15 有理数中的实际应用】
【方法点拨】对于应用题理解题意是解决此类题型的关键.
【例15】（2019秋•广陵区校级期中）某天早上，一辆交通巡逻车从A地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B地，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下．（单位：km）
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
+15
﹣8
+6
+12
﹣4
+5
﹣10
（1）巡逻车在巡逻过程中，第 次离A地最远．
（2）B地在A地哪个方向，与A地相距多少千米？
（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元？
【变式15-1】（2019秋•雁塔区校级期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，﹣8，+9，﹣6，+14，﹣5，+13，﹣4．
（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？
【变式15-2】（2019春•南岗区校级期中）汽油价格的毎一次调整影响着有车一族的汽车用油的费用．王旭驾驶的汽车毎一次都加92号汽油，他时刻关注92号汽油的价格变化.2018年12月20日92号汽油的价格为6.74元/升，下表是92号汽油价格在6.74元/升基础上连续七次调整的变化情况，其中在上一次价格的基础上涨价记为正数，降价记为负数，如表中的﹣0.12表示第四次调整是在第三次调整后的92号汽油价格基础上毎升降0.12元．
调整次数
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
价格变化
﹣0.30
+0.27
+0.27
﹣0.12
+0.18
﹣0.05
﹣0.10
（1）在这七次调整中，哪次调整后92号汽油的价格最高，每升多少元？哪次调整后92号汽油的价格最低，每升多少元？
（2）王旭一家在五一期间自驾游玩，他驾驶的汽车毎行驶100km耗油8升，如果在这次游玩中他驾驶的汽车一共行驶600km，92号汽油价格按第六次调整的价格计算，那么在这次游玩中王旭驾驶汽车的用油费用是多少元？
【变式15-3】（2019秋•方城县期中）某自行车厂一周内计划平均每天生产200辆自行车，由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减产量/辆
+5
﹣2
﹣4
+13
﹣10
+16
﹣9
（1）根据记录的数据可知，该厂星期五生产自行车 辆．
（2）根据上表记录的数据可知，该厂本周实际生产自行车 辆．
（3）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另外奖励15元，若完不成每天的计划量，则少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
（4）若该厂实行每周计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每辆另外奖励15元，若完不成每周的计划量，则少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【考点16 有关数轴的探究题】
【例16】（2019秋•长春期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，从图中可以看出，终点表示的数是﹣2，已知A，B是数轴上的点．请参照图并思考，完成下列填空：
（1）如果点A表示数3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A，B两点间的距离是 ．
（2）如果点B表示数2，将点B向左移动9个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点A表示的数是 ，A，B两点间的距离是 ．
（3）如果点A表示的数是﹣4，将点A向右移动168个单位长度；再向左移动2个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A，B两点间的距离是 ．
（4）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么请你猜想终点B表示的数是 ，A，B两点间的距离是 ．
【变式16-1】（2019秋•建湖县期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）探究：
①数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示﹣1和﹣7的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示﹣2和5的两点之间的距离是 ．
（2）归纳：
一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
（3）应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是9，则可记为：|a﹣3|＝9，那么a＝ ．
②若数轴上表示数a的点位于﹣4与5之间，求|a+4|+|a﹣5|的值．
【变式16-2】（2019秋•青岛期中）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：
（1）已知点A，B，C表示的数分别为1，-52，﹣3．观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是 ，A，B两点之间的距离为 ．
（2）数轴上，点B关于点A的对称点表示的数是 ．
（3）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是 ；若此数轴上M，N两点之间的距离为2019（M在N的左侧），且当A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，则点M表示的数是 ，点N表示的数是 ；
（4）若数轴上P，Q两点间的距离为a（P在Q左侧），表示数b的点到P，Q两点的距离相等，将数轴折叠，当P点与Q点重合时，点P表示的数是 ，点Q表示的数是 （用含a，b的式子表示这两个数）．
【变式16-3】（2019秋•朝阳区校级期中）阅读下面材料，回答问题
距离能够产生美．
唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．
当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：
“世界上最遥远的距离
不是瞬间便无处寻觅
而是尚未相遇
便注定无法相聚”
距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．
已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB．
（1）当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB＝OB＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|．
（2）当A，B两点都不在原点时，
①如图2，点A，B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图3，点A，B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|；
③如图4，点A，B在原点的两边，AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|．
综上，数轴上A，B两点的距离AB＝|a﹣b|．
利用上述结论，回答以下三个问题：
（1）若数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离是4，则x＝ ；
（2）若代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，则x的取值范围是 ；
（3）若未知数x，y满足（|x﹣1|+|x﹣3|）（|y﹣2|+|y+1|）＝6，则代数式x+2y的最大值是 ，最小值是 ．
专题1.1 有理数章末重难点题型
【人教版】
【考点1 表示相反意义的量】
【方法点拨】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.
【例1】（2019秋•川汇区期中）如图，是图纸上一个零件的标注，φ30±0.020.03表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际产品的直径最大可以是30.03mm，最小可以是（ ）
A．30mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm
【变式1-1】（2019秋•行唐县期中）某公交车上原有10个人，经过三个站点时乘客上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（+2，﹣3），（+8，﹣5），（+1，﹣6），则此时车上的人数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式1-2】（2019秋•临安区期中）实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用A﹣C表示观测点A相对观测点C的高度）
A﹣C
C﹣D
E﹣D
F﹣E
G﹣F
B﹣G
90米
80米
﹣60米
50米
﹣70米
40米
根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是（ ）米．
A．210 B．170 C．130 D．50
【变式1-3】（2019秋•新泰市期末）纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京时间1月7日8时时，纽约的时间是（ ）
A．1月6日21时 B．1月7日21时 C．1月6日19时 D．1月6日20时
【考点2 有理数相关概念】
【方法点拨】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念，如①整数和分数统称为有理数；②正有理数、0和负有理数亦可称为有理数；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；④在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；⑤数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；⑥一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
【例2】（2019秋•赵县期中）下列说法中，不正确的是（ ）
①符号不同的两个数互为相反数
②所有有理数都能用数轴上的点表示
③绝对值等于它本身的数是正数
④两数相加和一定大于任何一个加数
⑤有理数可分为正数和负数
A．①②③⑤ B．③④ C．①③④⑤ D．①④⑤
【变式2-1】（2019秋•嵊州市期中）下列说法正确的个数为（ ）
（1）0是绝对值最小的有理数；
（2）﹣1乘以任何数仍得这个数；
（3）0除以任何数都等于0；
（4）数轴上原点两侧的数互为相反数；
（5）一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数；
（6）一对相反数的平方也互为相反数
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式2-2】（2019秋•日照期中）下列说法正确的是（ ）
①任何一个有理数的平方都是正数
②任何一个有理数的绝对值都是非负数
③如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是1
④如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0．
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
【变式2-3】（2019秋•龙华区期中）下列说法中正确的有（ ）
①若两数的差是正数，则这两个数都是正数；
②任何数的绝对值一定是正数；
③零减去任何一个有理数，其差是该数的相反数；
④在数轴上与原点距离越远的点表示的数越大．
⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，任何数都有倒数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点3 数轴上点的表示】
【方法点拨】解决此类问题关键是掌握数轴上点的表示方法，明确数轴的特点能根据题目中的信息，
判断各个数在数轴上对应哪一个点．
【例3】（2019秋•江阴市校级月考）数轴上一动点A向左移动3个单位长度到达点B，再向右移动6个单位长度到达点C，若C表示的数为3，则点A表示的数为（ ）
A．6 B．0 C．﹣6 D．﹣2
【变式3-1】（2019秋•建湖县期中）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“5.8cm”对应数轴上的数为（ ）
A．5.8 B．﹣2.8 C．﹣2.2 D．﹣1.8
【变式3-2】（2019秋•乐亭县期中）若数轴上A，B两点之间的距离为8个单位长度，点A表示的有理数是﹣10，并且A，B两点经折叠后重合，此时折线与数轴的交点表示的有理数是（ ）
A．﹣6 B．﹣9 C．﹣6或﹣14 D．﹣1或﹣9
【变式3-3】如图，半径为1的圆从表示3的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示3的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（ ）
A．﹣2π B．3﹣2π C．﹣3﹣2π D．﹣3+2π
【考点4 数轴中的规律应用】
【例4】（2019秋•钟楼区期中）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2019次落下时，落点表示的数是（ ）
A．2019 B．2020 C．﹣2020 D．1010
【变式4-1】（2019秋•东湖区校级期中）等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2019次后，则数2019对应的点为（ ）
A．点A B．点B
C．点C D．这题我真的不会
【变式4-2】（2019秋•厦门期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，xn表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①x3＝3；②x5＝1；③x108＜x104；④x2018＞x2019．其中，正确的结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④
【变式4-3】（2019秋•思明区校级月考）一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4……若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点P100所表示的数恰好是2019，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是（ ）
A．1969 B．1968 C．﹣1969 D．﹣1968
【考点5 利用数轴判断符号】
【方法点拨】解决此类问题需由数轴得知字母所表示的数的正负性，再根据有理数加、减、乘、除、乘方、绝对值的意义以及数轴上右边点的数总比左边的数大判断即可.
【例5】（2019秋•浦北县期中）如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c，则下列结论中，正确的有（ ）①a+b+c＞0 ②a•b•c＞0 ③a+b﹣c＜0 ④0＜ba＜1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-1】（2019秋•昌吉州期中）如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，则下列结论：①ab＞0；②a﹣b＞0；③a+b＞0；④|a|﹣|b|＞0中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-2】（2019秋•大名县期中）在数轴上表示有理数a，b，c，d如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a+b＞c+d B．ab＜cd
C．（a+3）（b+1）＞0 D．（a﹣d）（c﹣b）＞0
【变式5-3】（2019秋•城厢区校级月考）观察图中的数轴，用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数，则ab，b﹣a，c的大小关系是（ ）
A．ab＜b﹣a＜c B．b﹣a＜c＜ab C．b﹣a＜ab＜c D．ab＜c＜b﹣a
【考点6 有理数大小比较】
【方法点拨】有理数大小比较注意两点：（1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；（2）在数轴
上右边点表示的数总比左边点表示的数大.
【例6】（2019秋•西峡县期中）下列比较有理数的大小，正确的是（ ）
A．﹣105＞0 B．﹣0.0001＜-110
C．-12019＞-12020 D．-20192018＜-20202019
【变式6-1】（2019秋•临高县期中）已知a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则下列关系正确的是（ ）
A．b＜﹣a＜a＜﹣b B．﹣a＜b＜a＜﹣b C．﹣a＜b＜﹣b＜a D．b＜a＜﹣b＜﹣a
【变式6-2】（2019秋•南召县期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a、b、﹣a、﹣b、0按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．﹣a＜a＜0＜﹣b＜b B．a＜﹣a＜0＜﹣b＜b
C．﹣b＜a＜0＜﹣a＜b D．a＜0＜﹣a＜b＜﹣b
【变式6-3】（2019秋•保山期中）若0＜m＜1，m、m2、1m的大小关系是（ ）
A．m＜m2＜1m B．m2＜m＜1m C．1m＜m＜m2 D．1m＜m2＜m
【考点7 科学记数法】
【方法点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【例7】（2020春•洪泽区期中）随着环境污染整治的逐步推进，某经济开发区的40家化工企业已关停、整改38家，每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为（ ）
A．167×103 B．16.7×104 C．1.67×105 D．0.167×106
【变式7-1】（2020春•郑州期中）从河南省工商联获悉，自新型冠状病毒引发的肺炎疫情出现以来，截止2月13日下午6点，全省民营企业、商会及企业家个人累计7412家（人），共向武汉等疫情严重地区及我省定点防治新冠肺炎的医院、政府部门、执勤卡点等捐赠物款约10.1亿元．10.1亿用科学记数法表示应为（ ）
A．101×107 B．10.1×108 C．1.01×109 D．1.01×1010
【变式7-2】（2019秋•太原期中）今年9月世界计算机大会在湖南省长沙市开幕，大会的主题是“计算万物，湘约未来”．从心算、珠算的古老智慧到“银河”“天河”“神威”创造的中国速度，“中国计算”为世界瞩目．超级计算机“天河一号”的性能是4700万亿次，换算成人工做四则运算，相当于60亿人算一年，它1秒就可以完成．数4700万亿用科学记数法表示为（ ）
A．4.7×107 B．4.7×1011 C．4.7×1014 D．4.7×1015
【变式7-3】（2019秋•惠安县期中）光速约为3×108米/秒，太阳光射到地球上的时间约为5×102秒，地球与太阳的距离约是（ ）米．
A．15×1010 B．1.5×1011 C．15×1016 D．1.5×1017
【考点8 近似数】
【方法点拨】近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
【例8】（2019秋•秀屿区期中）下列说法正确的是（ ）
A．0.750精确到百分位
B．3.079×104精确到千分位
C．38万精确到个位
D．2.80×105精确到千位
【变式8-1】（2019秋•惠城区校级期中）台风“杜鹃”给某省造成的经济损失达16.9亿元，近似数16.9亿精确到（ ）
A．十分位 B．千万位 C．亿位 D．十亿位
【变式8-2】（2019秋•湄潭县期中）近似数3.20×105的精确度说法正确的是（ ）
A．精确到百分位 B．精确到十分位
C．精确到千位 D．精确到万位
【变式8-3】（2019秋•下陆区期中）已知a＝3.50是由四舍五入得到的近似数，则a的可能取值范围是（ ）
A．3.45≤a＜3.55 B．3.495≤a＜3.505
C．3.495≤a≤3.505 D．3.495＜a＜3.505
【考点9 绝对值及偶次乘方的非负性】
【方法点拨】直接利用绝对值及偶次乘方的非负数的性质分别得出字母的值，进而得出答案．
【例9】（2020春•鄞州区期中）已知（x﹣3）2+|2x﹣3y﹣3|＝0，则y＝ ．
【变式9-1】（2019秋•宜宾期中）已知|x﹣y+3|与（x﹣2）2互为相反数，则x+2yx-y= ．
【变式9-2】（2019秋•蕲春县期中）当2020+（﹣2a+1）2有最小值时，4040a﹣1＝ ．
【变式9-3】（2019秋•雨花区校级月考）若（a+b）2+|b+4714|＝b+4714，且8a﹣11b+1＝0，则ab＝ ．
【考点10 乘方的意义】
【例10】（2019秋•兴安盟期末）把（-12）×（-12）×（-12）×（-12）×（-12）写成幂的形式（不用计算）为
【变式10-1】（2019春•渝中区校级月考）计算（﹣3）2018•（﹣1）2019的结果为 ．
【变式10-2】（2019春•道里区校级期中）计算（﹣2）100×(12)99的结果是 ．
【变式10-3】（2019春•沙坪坝区校级月考）22018×42019×（﹣0.125）2017＝ ．
【考点11 乘方中的规律应用】
【方法点拨】解决找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
【例11】（2019秋•南海区校级月考）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅将一根很粗的面条，捏合一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多细的面条，如图所示：这样，第4次捏合后可拉出 根细面条；第 次捏合后可拉出256根细面条．
【变式11-1】（2019秋•云梦县期中）某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，4小时后分裂成18个并死去1个．按此规律，10小时后细胞存活的个数是 ．
【变式11-2】（2019秋•会宁县期中）观察下列各式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，
37＝2187…你从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：32012的个位数字是 ．
【变式11-3】（2019秋•和平区期中）将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虛线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第6次对折后得到的折痕比第5次对折后得到的折痕多 条．
【考点12 定义新运算】
【方法点拨】正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规
的有理数混合运算算式进行计算.
【例12】（2019秋•禹州市期中）对于有理数a、b，定义一种新运算“※”如下：a※b=ab-b2a，则（﹣3）※（-34）＝ ．
【变式12-1】（2019秋•舒兰市期中）在有理数的原有运算法则中，我们定义一个新运算“★”如下：x≤y时，x★y＝x2；x＞y时，x★y＝y．则（﹣2★﹣4）★1的值为 ．
【变式12-2】（2019秋•西湖区期末）定义新运算：
若a@b＝n（n是常数），则（a+1）@b＝n+1，a@（b+1）＝n﹣2．若1@1＝2，则1@2＝ ，2@2＝ ，2020@2020＝ ．
【变式12-3】（2019秋•红安县期中）规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．当﹣1＜x≤0时，化简[x]+（x）+[x）的结果是 ．
【考点13 利用有理数相关性质求值】
【方法点拨】解决此类问题需熟知两个互为相反数的数和为0，两个互为倒数的数乘积为1，值得注意的是
已知一个数的绝对值为非0的数，那么这个数应该有两个，此时应注意分类讨论，结果往往有两个.
【例13】（2019秋•海淀区校级期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，求x3+cdx2-a+b2的值．
【变式13-1】（2019秋•青羊区校级期中）若a与b互为相反数，c与d互为负倒数，|m|＝2，求代数式a+b3-2cb+2m3的值．
【变式13-2】（2019秋•邹城市期中）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝2，求代数式2m﹣ab+3（c+d﹣1）的值．
【变式13-3】（2019秋•越秀区校级期中）若a、b互为相反数，b、c互为倒数，并且m的立方等于它本身．
（1）求2a+2bm+2+ac值．
（2）若a＞1，且m＜0，S＝|2a﹣3b|﹣2|b﹣m|﹣|b+12|，求2a﹣S的值．
（3）若m≠0，试讨论：x为有理数时|x+m|﹣|x﹣m|是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【考点14 有理数的计算】
【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握有理数混合运算的先后顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号的先算括号里，值得注意有些题可能会运用运算律进行简便运算.
【例14】（2019秋•昂昂溪区期中）计算：
（1）﹣5﹣（﹣4）+（﹣3）﹣[﹣（﹣2）]
（2）2×（﹣5）+23﹣3÷12
（3）（14-59-13+712）÷（-136）
（4）﹣12﹣2×（﹣3）2﹣（﹣2）2+[313÷（-23）×15]4
【变式14-1】（2019秋•海淀区校级期中）计算
（1）(-6.5)-(-414)+834-(+312)+5
（2）﹣312×(-67)-(-10)÷(-23)
（3）﹣1﹣48×(425-316+16)
（4）-22-[(-3)×(-43)-(-2)3]
【变式14-2】（2019秋•越秀区校级期中）计算题：
（1）[-34-214×(-4)]÷(14913-16913)
（2）-16-(0.5-23)÷13×[-2-(-3)3]-|18-0.52|
【变式14-3】（2019秋•沙坪坝区校级期中）计算：
（1）6﹣（﹣14）+（﹣16）+18
（2）（-12）×（﹣8）÷（-23）
（3）﹣3573435÷17
（4）0.7×1311-6.6×37-3.2÷73+0.7×911
（5）﹣12019-{(-3)3-[6-|-512÷119-72|÷(-2)]}
【考点15 有理数中的实际应用】
【方法点拨】对于应用题理解题意是解决此类题型的关键.
【例15】（2019秋•广陵区校级期中）某天早上，一辆交通巡逻车从A地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B地，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下．（单位：km）
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
+15
﹣8
+6
+12
﹣4
+5
﹣10
（1）巡逻车在巡逻过程中，第 次离A地最远．
（2）B地在A地哪个方向，与A地相距多少千米？
（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元？
【变式15-1】（2019秋•雁塔区校级期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，﹣8，+9，﹣6，+14，﹣5，+13，﹣4．
（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？
【变式15-2】（2019春•南岗区校级期中）汽油价格的毎一次调整影响着有车一族的汽车用油的费用．王旭驾驶的汽车毎一次都加92号汽油，他时刻关注92号汽油的价格变化.2018年12月20日92号汽油的价格为6.74元/升，下表是92号汽油价格在6.74元/升基础上连续七次调整的变化情况，其中在上一次价格的基础上涨价记为正数，降价记为负数，如表中的﹣0.12表示第四次调整是在第三次调整后的92号汽油价格基础上毎升降0.12元．
调整次数
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
价格变化
﹣0.30
+0.27
+0.27
﹣0.12
+0.18
﹣0.05
﹣0.10
（1）在这七次调整中，哪次调整后92号汽油的价格最高，每升多少元？哪次调整后92号汽油的价格最低，每升多少元？
（2）王旭一家在五一期间自驾游玩，他驾驶的汽车毎行驶100km耗油8升，如果在这次游玩中他驾驶的汽车一共行驶600km，92号汽油价格按第六次调整的价格计算，那么在这次游玩中王旭驾驶汽车的用油费用是多少元？
【变式15-3】（2019秋•方城县期中）某自行车厂一周内计划平均每天生产200辆自行车，由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减产量/辆
+5
﹣2
﹣4
+13
﹣10
+16
﹣9
（1）根据记录的数据可知，该厂星期五生产自行车 辆．
（2）根据上表记录的数据可知，该厂本周实际生产自行车 辆．
（3）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另外奖励15元，若完不成每天的计划量，则少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
（4）若该厂实行每周计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每辆另外奖励15元，若完不成每周的计划量，则少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【考点16 有关数轴的探究题】
【例16】（2019秋•长春期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，从图中可以看出，终点表示的数是﹣2，已知A，B是数轴上的点．请参照图并思考，完成下列填空：
（1）如果点A表示数3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A，B两点间的距离是 ．
（2）如果点B表示数2，将点B向左移动9个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点A表示的数是 ，A，B两点间的距离是 ．
（3）如果点A表示的数是﹣4，将点A向右移动168个单位长度；再向左移动2个单位长度，那么终点B表示的数是 ，A，B两点间的距离是 ．
（4）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么请你猜想终点B表示的数是 ，A，B两点间的距离是 ．
【变式16-1】（2019秋•建湖县期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）探究：
①数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示﹣1和﹣7的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示﹣2和5的两点之间的距离是 ．
（2）归纳：
一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
（3）应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是9，则可记为：|a﹣3|＝9，那么a＝ ．
②若数轴上表示数a的点位于﹣4与5之间，求|a+4|+|a﹣5|的值．
【变式16-2】（2019秋•青岛期中）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：
（1）已知点A，B，C表示的数分别为1，-52，﹣3．观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是 ，A，B两点之间的距离为 ．
（2）数轴上，点B关于点A的对称点表示的数是 ．
（3）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是 ；若此数轴上M，N两点之间的距离为2019（M在N的左侧），且当A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，则点M表示的数是 ，点N表示的数是 ；
（4）若数轴上P，Q两点间的距离为a（P在Q左侧），表示数b的点到P，Q两点的距离相等，将数轴折叠，当P点与Q点重合时，点P表示的数是 ，点Q表示的数是 （用含a，b的式子表示这两个数）．
【变式16-3】（2019秋•朝阳区校级期中）阅读下面材料，回答问题
距离能够产生美．
唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．
当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：
“世界上最遥远的距离
不是瞬间便无处寻觅
而是尚未相遇
便注定无法相聚”
距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．
已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB．
（1）当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB＝OB＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|．
（2）当A，B两点都不在原点时，
①如图2，点A，B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图3，点A，B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|；
③如图4，点A，B在原点的两边，AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|．
综上，数轴上A，B两点的距离AB＝|a﹣b|．
利用上述结论，回答以下三个问题：
（1）若数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离是4，则x＝ ；
（2）若代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，则x的取值范围是 ；
（3）若未知数x，y满足（|x﹣1|+|x﹣3|）（|y﹣2|+|y+1|）＝6，则代数式x+2y的最大值是 ，最小值是 ．
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